1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused
· Reegel #2 Kui märgid on erinevad, siis lahuta suurema absoluutväärtusega arvust väiksema absoluutväärtusega arv. Vastusele pane suurema absoluutväärtusega arvu märk. suurem arv -9 + +5 = 9 - 5 = 4 Vastus = - 4 Lahenda · 3 + -5 = 53=2 -2 · -4 + 7 = 74=3 3 · (+3) + (-4) = 43=1 -1 · -6 + 7 = 76=1 1 · 5 + -9 = 95=4 -4 · -9 + 9 = 99=0 0 Kuidas liita täisarve arvtelje abil Kui arv on positiivne, siis loe paremale. Kui arv on negatiivne, siis loe vasakule. - + -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Kuidas liita täisarve arvtelje abil +3 + -5 = -2 + -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 - Kuidas liita täisarve arvtelje abil +6 + -4 = +2 + -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 - Kuidas liita täisarve arvtelje abil
2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsioonaalarvuks. Reaalarvud R Reaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga ja irratsionaalarvude hulga ühend. Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks
Reaalarvud Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. R= I Q ja Q R. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Reaalarvude hulk R 1. On järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2. On pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel; 3. On hulk, mis on kinnise liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või ab.
aevule a järgneb arv a+1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. ● Arvuhulga nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulk arve. Jätk järgmisel slaidil Arvuhulkade omadused ● Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. ● Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev. Arvuhulkade omadused ● Naturaalarvude hulk N 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles vähim, kuid pole suurimat arvu. 2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üks- teisele ega kata kogu arvtelge. 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-,korrutamis- ja lahutamistehte suhtes. Arvuhulkade omadused
samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus.
Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve.
Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus kui igale arvule a järgneb arv a+1 selliselt, et nende arvude
vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu.
Arvuhulka nimetatakse järjestikuseks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest
võimalusest a
Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Võrratus-(f(x)>0) (Tähis:X+) Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Võrratus-(f(x) <0)(Tähis:X-) Funktsiooni kasvamispiirkonnaks nimetatakse arvtelje piirkonda, mil argumendi väärtuse kasvades funktsiooni väärtus kasvab. Tähis( X ) Funktsiooni kahanemispiirkonnaks nimetatakse arvtelje piirkonda, mil argumendi väärtuse kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Tähis( X ) Argumendi väärtust, mille korral funktsioon saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumkohaks.X min/ Xmax Funktsiooni väärtust, mille korral funktsiooni saavutab oma suurima või vähima väärtuse nimetatakse ekstreemumiks. Ymin/Ymax
· Vastajate kehakaal pidev tunnus · Vastajate elukoht - nominaaltunnus · Vastajate eelmise aasta keskmine hinne pidev tunnus Vastuse variandid: nominaaltunnus, binaarne tunnus, järjestustunnus, diskreetne tunnus, pidev tunnus. Arvulised (kvantitatiivsed) tunnused Diskreetne - väärtused teatud sammu tagant, omavad enamasti suhteliselt vähe võimalikke väärtusi (laste arv peres) Pidev - kõik reaalarvulised väärtused arvtelje teatud lõigul, omavad lõpmata palju võimalikke väärtusi (õhutemperatuur) Mittearvulised (kvalitatiivsed) tunnused Järjestustunnused - väärtused omavad sisulist järjekorda (hinnete sõnaline väljendus) Nominaaltunnused - väärtustel puudub sisuline järjekord (raamatute pealkirjad) Kaheväärtuseline (binaarne) tunnus - omab kahte võimalikku väärtust, võib olla nii arvuline (väärtused 1 ja 0) kui mittearvuline (sugu, jah/ei)
Diskreetsed tunnused on tunnused, mis saavad omandada väärtusi ainult kindlate vahemike järel ehk on piiratud väärtusvaruga näitajad (laste arv perekonnas, eksamihinne, ainepunktid, tähtede arv sõnas jms). Need leitakse tavaliselt loendamise teel NB! See küsimus hinnatakse hiljem käsitsi! Pidev tunnus võib omada arvtelje teatud lõigul kõiki reaalarvulisi väärtusi (näiteks õhutemperatuur, inimese kehakaal jms). Saadakse tavaliselt füüsikalise mõõtmise tulemusena. Diskreetne tunnus saab omada väärtusi teatud vahemike järel (laste arv peres, tudengite arv loengus jms). Saadakse tavaliselt loendamise teel. Comment: Question
Reaalarvude hulk Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Irratsionaalarvud ei ole avaldatavad lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad kokku reaalarvude hulga R. Reaalarvude hulga omadused Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk Reaalarvude hulk on pidev nendele arvudele vastavad punktid katavad kogu arvtelje Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on reaalarv. Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete nimetusi liidetav +liidetav = summa; vähendatav - lahutatav = vahe; tegur · tegur = korrutis; jagatav : jagaja = jagatis. NB! Lahutamine on liitmise pöördtehe ning jagamise on korrutamise pöördtehe. Tehete järjekord keerulisema avaldise
+ Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-;a), (a; ) ja lõpmatu poollõigud (-; a], [a; ) 2. + Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-; a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui . + Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvele vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. + Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegat. reaalarvu: |a| = + 1) + |-a|=|a| 2) |ab|=|a| |b| 3) |a+b||a|+|b| 4) |a-b| ||a|-|b|| + Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a- ; a], kus >0
suunas. Nullist suuremaid reaalarve nimetatakse positiivseteks, nullist väiksemaid negatiivseteks. Iga nullist erineva reaalarvu a korral nimetatakse reaalarve a ja a teineteise vastandarvudeks ning a ja 1 teineteise pöördarvudeks. A Reaalarvude hulga omadusi: · Reaalarvude hulk R on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv. · Reaalarvude hulk R on pidev arvuhulk, s.t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel. · Reaalarvude hulk R on kinnine liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. REAALARVUDE PIIRKONNAD Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel. Valime arvteljel kaks suvalist reaalarvu a ja b nii, et a < b
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,pikkuühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita,et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks realarv ja vastupidi:igale realarvule vastab üks ja ainult üks avtelje punkt. Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi punktile vastab üks ja ainult üks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja
Piirväärtus
Punkti ümbrus
Punkti a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see
punkt kuulub.
Punkti a ümbruseks raadiusega > 0, nimetatakse arvtelje
vahemikku arvust a - kuni a + .
a- a a+
x
Ehk arv x kuulub arvu a ümbrusesse raadiusega , kui
a-
Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis kogu oma
määramispiirkonnas on mittekasvav(monotoonselt kasvav) või
mittekahanev(monotoonselt kahanev).
Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Punkti E ümbruseks nimetakse arvtelje vahemikku a kuni a+E.
Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|
Matemaatiline analüüs (vähendatud programm) KT nr. 1 Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine;
astendatakse. 24. Korrutise astendamisel käib aste mõlema korrutise kohta. 25. Murru astendamisel astendatakse nii lugeja kui ka nimetaja. 26. Negatiivse astendaja puhul pöörame arvu ringi ehk tekib pöördarv. 27. Astendaja 0 puhul on ükskõik millise aluse väärtus 1. 28. Arvu standartkuju on , kus k kuulub hulka Z ja 1 29. Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 30. Korrutamine Jagamine 31. Juurimine Astendamine (, kui m kuulub hulka Z, siis a ei võrdu 0-ga) 32. Taandamine 33. Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks. 34. Juurte koondamiseks nim 35. Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi.
Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul. Nende funktsioonide väärtusi saab arvutada kas argumendi x teatavast väärtusest alates või argumendi x teatava väärtuseni Joonestame näiteks funktsioonide y= x ja y = 4 -x2 graafikud. Ka nende funktsioonide graafikuid saab visandada ühe pideva joonega, kuid nad ise pole pidevad kogu arvteljel, vaid ainult oma määramispiirkonnas. Need on oma määramispiirkonnas pidevad
· Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb arv a+1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. · Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. · Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. · Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev. Naturaalarvude hulk N · on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurimat arvu · on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Täisarvude hulk Z · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine;
26. Võrdhaarseks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 27. Võrdkülgseks nimetatakse kolmnurka, mille kolm külge on võrdsed. 28. Ristuvateks sirgeteks nimetatakse kahte lõikuvat sirget, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 29. Hulkliige on üksliikmete summa. 30. Sarnasteks liidetavadeks nimetatakse liidetavateks, mis erinevad ainult kordarvu tõttu või ei erine üldse. 31. Arvu absoluutväärtuseks nimetatakse arvu arvteljel kujutava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 32. Arvu a n-daks astmeks nimetatakse arvu a n- kordset korrutist. 33. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ristkülikut. 34. Ruuduks nimetatakse rombi, mille lähisnurgad on võrdsed 35. Lähisnurkadeks nimetatakse nurki, mille sisepiirkonnad on ühelpool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. 36. Põiknurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on teine teisel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. 37
Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused
Positiivsed ja negatiivsed arvud 1. Mis tahes positiivse arvu ja arvu 0 absoluutväärtus on võrdne arvu endaga, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne tema vastandarvuga. NÄIDE: |5|= 5 ; |-5|= 5 ; |-12, 7| = 12,7. 2. Iga negatiivne arv on väiksem mis tahes positiivsest arvust ja arvust 0. 3. Kahest negatiivsest arvust on suurem see, mille absoluutväärtus on väiksem, st mis asub arvtelje nullpuntile lähemal. NÄIDE: -5 > -10, sest |-5| < |-10|
t. leiduvad r z| , arg z . sellised maatriksid A ja B, et Kompleksarvu z 0 argument on üheselt määratud kuni AB BA; arvu 2täisarvu kordse 2) maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. täpsuseni. Seepärast lepitakse sageli kokku valida mingil ABCABC, alati, kui vaadeldavad maatriksid on kindlal arvtelje poollõigul korrutatavad; pikkusega 2näiteks 0 2. 3) liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, s.t. Suurused r ja avalduvad x ja y kaudu valemitega: AB CAB AC, A BC AC BC alati, kui antud tehted on teostatavad; r=x2+y2.
31. Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kolm kõlge on võrdsed. 32. Ristuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, mis lõikumisel moodustavad täisnurga. 33. Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete algebralist summat. 34. Sarnasteks liidetavateks nimetatakse liidetavaid, mis ei erine üksteisest üldse või ainult kordaja poolest. 35. Arvu absoluutväärtuseks nimetatakse arvu arvteljel kujutava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 36. Arvu a n- daks astmes nimetatakse arvu a n- kordset korrutist. 37. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ristkülikut. 38. Ruuduks nimetatakse rombi, mille lähisnurgad on võrdsed. · Kahe sirge lõikamine kolmanda sirgega Lähisnurkadeks nim nurki, mille sisepiirkonnad on ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. Põiknurkadeks nim kaht nurka, mille sisepiirkonnad on teineteisel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised.
bold face olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. Programm järgib otseselt Jaan Janno konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. Teooria töö 1 1) Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: | |= 0
Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i
Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusüuhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvteljepunktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljelon arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε.
konstruktsioonijoonise üheaegsel vaatlemisel.Toereaktsiooni märk näitab reaktsiooni jõutegeliku suunda ja joonisel oleva suuna vahekorda.Negatiivne märk tähendab seda, et reaktsiooni suund on vastupidine joonisel esitatule. 2.2.Et jõudu täielikult analüütiliselt määrata,peame teadma suurust ja suunda.Selleks on vaja teada tema kahte projektsiooni ehk komponenti.Positiivne jõu projektsioon on suunatud arvtelje positiivses suunas,negatiivne vastupidi.Summavektori projektsioon mingil teljel võrdub liidetavate vektorite samal teljel võetud projektsioonide summaga.Jõuhulknurgast saame summa F1+F2+F3+F4=RAnalüütiliseks koonduva tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et jõudude projektsioonide summa kahel mitteparalleelsel teljel üheaegselt võrdub nulliga. 3
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused
Arvestades uuringuprotseduuril tekkivaid kõrvalekaldumisi esialgsest kavast kasutatakse veel mõisteid kavandatud valim (intended sample) ja realiseerunud valim (resulting sample, realized sample) Parameeter mingi tunnuse kui terviku karakteristik või kirjeldus üldkogumis (perede sissetuleku keskmine, leibkonnaliikmete arvu jaotus) Statistik (?) tunnuse kirjeldus valimis, kasutatakse üldkogumi vastava parameetri hindamiseks Usaldusvahemik arvtelje vahemik, mille iga väärtus võiks võrdväärsena olla tundmatu parameetri hinnanguks Usaldusnivoo tõenäosus, millega vaadeldav vahemik võiks sisaldada parameetri tõelise, üldkogumis kehtiva väärtuse Valimite liigitus Tõenäosuslikud ja mittetõenäosuslikud valimid Mittetõenäosuslikud (empiirilised) valimid Mittetõenäosuslikud (empiirilised) valimid - objektide valimisse sattumise tõenäosused ei ole teada.
Paremal pool on paarisarv, seega ka vasakul on paarisarv. n2 on paarisarv n on paarisarv. Murd pidi olema taandumatu, kuid selgus, et m ja n on paarisarvud. Seega murdu on võimalik taandada 2-ga. Saime vastuolu. Seega murdu pole. Et aga ratsionaalarvu saab alati avaldada taandatud murruna, siis 2 ei ole ratsionaalarv. 15. Reaalarvud. 1) Reaalarvude hulk on pidev. S.t arvtelje igale punktile vastab üks kindel reaalarv ning vastupidi. 2) Reaalarvude hulk on järjestatud. S.t iga kahe erineva reaalarvu a ja b korral kehtib üks väidetest : a < b või b > a 3) Omadused : a) a, b a+b=b+a liitmise kommutatiivsus b) a, b, c (a + b) + c = a + (b + c) liitmise assotsiatiivsus
Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati? 2400 + 384 = 2784 Vastus: Istutati 2784 puud. Reaalarvu absoluutväärtus: | | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. 1 Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine: +(+a) = +a +(-a) = -a -(-a) = +a -a(+a) = -a Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine: (+)*(+) = + (+) : (+) = + ( - )* ( - ) = + (-):(-)=+ ( - ) * (+) = - (+) : ( - ) = - (+) * ( - ) = - ( - ) : (+) = -
mis kuuluvad hulka A või hulka B. A B (A või B). Hulkade A ja B ühisosasse kuuluvad mõlema hulga ühised elemendid. A B (A ja B). Absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks (mooduliks) nimetatakse arvu a, kui a0 ja arvu a vastandväärtust a, kui a 0. a; a 0 a a; a 0 Absoluutväärtus a b on võrdne arvtelje punktide a ja b vahelise kaugusega. Omadused: 1. Arvu absoluutväärtus on mittenegatiivne, a 0 2. Vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed, a a 3. Arvu absoluutväärtus pole arvust väiksem, a a 4. Arvu absoluutväärtus pole väiksem antud arvu vastandarvust a a 5. ab a b 6. ab a b 7. a b a b a a 8. , kui b0 b b
mis kuuluvad hulka A või hulka B. A B (A või B). Hulkade A ja B ühisosasse kuuluvad mõlema hulga ühised elemendid. A B (A ja B). Absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks (mooduliks) nimetatakse arvu a, kui a0 ja arvu a vastandväärtust a, kui a 0. a; a 0 a a; a 0 Absoluutväärtus a b on võrdne arvtelje punktide a ja b vahelise kaugusega. Omadused: 1. Arvu absoluutväärtus on mittenegatiivne, a 0 2. Vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed, a a 3. Arvu absoluutväärtus pole arvust väiksem, a a 4. Arvu absoluutväärtus pole väiksem antud arvu vastandarvust a a 5. ab a b 6. ab a b 7. a b a b a a 8. , kui b0 b b
a > b , a = b või aarvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev 5. Vastandarv- Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0. 6. Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks
Irratsionaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. 2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Reaalarvud R Reaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga ja irratsionaalarvude hulga ühend. Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac * Rooma numbrid I =1; X=10; C=100; M=1000; V=5; L=50; D=500
Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st . Arvtelg on sirge, millele on märgitud nullpunkt, ühiklõik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Näiteks Lihtsustamine Tingimuse esitamine arvteljel. Arv x kuulub reaalarvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - ; a], kus > 0.
]a; [ või ( a; ) Poollõik a-st b-ni [a; b[ või [a; b ) a xarvtelje nullpunktist. a, a 0 a 0 -a = a a= - a, a < 0 2.4 Tehted astmete ja juurtega a n = a a ... a (n tegurit) a x a x = a x+ y a1 = a (a )x y = a x y a 0 = 1 , ( a 0) ax
variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel.
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks kutsume sirget, millel on positiivne suund, määratud nullpunkt ja pikkusühik. Arvteljega on võimalik seada vastavusse kõik reaalarvud, kus ühele reaalarvule vastab ainult üks arvtelje punkt. · Reaalarvu absoluutväärtus · Absoluutväärtuse omadused · Reaalarvu lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a+), kus >0 on ümbruse raadius · Reaalarvu vasakpoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a], kus >0 · Reaalarvu parempoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku [a, a+), kus >0 · Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetame hulka (M,), kus M>0
Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius.
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a
MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius
mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni
omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on
mittenegatiivne f(x) >= 0.2)
Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne
ühega. |f(x)dx=1 Tihedusfunktsioon kannab
endaga kaasas kõikvõimalike intervallide
tõenäosusi, intervalli (a,b) tõenäosus on
võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni
alla selle intervalli kohale.P(a
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A (a,b). 2. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nim...
Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st . Arvtelg on sirge, millele on märgitud nullpunkt, ühiklõik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Näiteks Lihtsustamine Tingimuse esitamine arvteljel. Arv x kuulub reaalarvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - ; a], kus > 0.
a) 2 + i b) 1 - 5i c) 7i - 4,4 d) -7 + 0i TRIGONOMEETRILINE KUJU e) 0 + 0i f) -(3 - 5i) g) 8 - (3 - 5i) h) 1 - i - i 828. Kirjuta kaks kompleksarvu, mille 1. Kompleksarvu geomeetriline esitus a) summa on reaalarv; Iga reaalarvu a võime kujutada arvteljel punktina. Kehtib ka vastupidine: arvtelje igale punktile vastab mingi kindel reaalarv. Kompleksarvu a + bi aga arvteljel kujutada ei b) korrutis on reaalarv; saa, kuna ta on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, s.t. reaalarvude järjestatud c) summa ja korrutis on mõlemad reaalarvud. paariga (a; b)
annaabi.ee 
