Matemaatiline analüüs - teooria spikker (11)

27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine .
Me vaatleme integraali ∫( sinx , cosx )dx
1. Universaalne asendus tan x/2=t
x/2=arctan t ; x=2arctan t ; dx=2/1+t2dt
2. Integraalid
Kasutame asendust tanx=t ; dx=1/1+t2*dt
3. Integraalid
28. Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega).
Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega
x0=a, x1, x2,..,xn=b
J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus
Igal lõigukesel Δxi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame punkti ξi =[xi-1,xi] Moodustame integraalsumma

Definitsioon Funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks lõigul [a,b] nimetatakse piirväärtust

tingimusel, et piirväärtus eksisteerib.

Määratud integraali omadused

1. Lineaarsus
2.
3.
2. Keskväärtusteoreem
Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a,b], siis leiduv vähemalt üks selline punkt ξ, mille korral kehtib valem
m=inf f(x) x є [a,b] ; M=sup f(x) x є [a,b]
Võtame piirväärtuse, kui n→∞ ja , siis
Järelikult leidub m≤ μ ≤ M, et
Kui f(x) on pidev lõigul [a,b], siis mistahes μ (m≤ μ ≤M) korral leidub vähemalt üks punkt, kus f(ξ)= μ
30. Teoreem määratud integraali olemasolust (tõestusega).
Teoreem 1 Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigul [a,b], siis eksisteerib määratud integraal
max Δxi→0
Tõestus: Kehtivad võrratused mi ≤ f(ξi)≤Mi ξi є [xi-1,xi]
Kuna eksisteerivad piirväärtused
max Δxi→0 ; max Δxi→0
Siis vastavalt “kahe politseiniku ” teoreemile eksisteerib ka piirväärtus
max Δxi→0 ; max Δxi→0
Vastavalt integraali definitsioonile, see piirväärtus ongi määratud integraal
32. Newton -Leibnizi valem (tõestusega).
Newton-Leibnizi valem
Vaatleme muutuva ülemise rajaga integraali
Järeldus: on funktsioon, mis vastavalt integraalarvutuse põhiteoreemile Φ(x)=F(x+C
Kui x=a, siis
Seega F(a)+C=0 ; C=-F(a)
Võttes x=b, saame
33. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus määratud integraali korral.
Määratud integraali korral kehtivad valemid
1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon.
2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega).
3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk.
4. Piirväärtus limx→=0 sinx/x=1 (tõestusega). Arv e ja piirväärtus lim(1+1/x)=e
5. Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni kohta.
6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand.
7. Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest (tõestusega).
8. Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega).
9. Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega).
10. Funktsiooni diferentsiaal ja selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni ligikaudne arvutamine diferentsiaali abil.
11. Teoreem diferentsiaali olemasolust (tõestusega).
12. Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni kõrgemat järku tuletised . Kõrgemat järku diferentsiaalid .
13. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle’i teoreem (tõestusega).
14. Lagrange ’i ja Cauchy teoreem (tõestusega).
15. L’ Hospitali reegel (tõestusega kui ,x→a).
16. Taylori valem. Teoreem jääkliikmest (tõestusega). Teoreem valemi ühesusest (tõestusega).
17. Taylori valemi jääkliige Lagrange’i ja Cauchy kujul.
19 Ekstreemumid . Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). Kriitilised punktid.
20. Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega).
21. Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. Teoreem kumerus- ja nõgusus-piirkonnast (tõestusega).
22. Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine .
23. Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused.
24. Integraalarvutuse põhiteoreem (tõestusega).
25. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus (tõestusega).
26. Ratsionaalfunktsioonide integreerimine.
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine.
28. Määratud integraal ja selle omadused. Keskväärtusteoreem (tõestusega).
30. Teoreem määratud integraali olemasolust (tõestusega).
32. Newton-Leibnizi valem (tõestusega).
33. Ositi integreerimine ja muutuja vahetus määratud integraali korral.
17. Vaatleme Taylori valemit
Kirjutame jääkliikme kujule , kus p≥n+1. Olgu a+h=b, a→x h=b-a=b-x
Me same +…+
g(b)=f(b)
1) g(a)=g(b) 2) g(x) on pidev lõigul [a,b] 3) g' (x) on diferentseeruv vahemikus ( a,b)
Vastavalt Rolle´i teoreemile leidub niisugune c є (a,b), et g' (c)=0
Seega b-a=h; c=a+9h; 00 ka punkti x1 ümbruses.
Seega y=f(x) on selles ümbruses.
Järelikult xf(x)x1 =>f(x)>f(x1)
See tähendab, et x1 ei saa olla ekstreemum . Analoogselt, kui y' (x2) y=f(x)kahanev ja x2 ei ole ekstreemum. Seega tõepoolest, ekstreemum punktis peab olema y'(x)=0 või ei eksisteeri üldse.
Definitsioon 3 Punkte, kus y' (x)=0 või ei eksisteeri nimetatakse kriitilisteks punktideks või statsionaarseteks punktideks.
20. Teoreem 1 (ekstreemumi piisavad tingimused)
Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti x kasvamise suunas tuletise y'(x) märk:
1) -→+ => x1 on minimaalne;
2) +→- => x1 on maksimaalne;
3) märk ei muutu =>x1 ei ole ekstreemum.
Tõestus: Olgu tuletise märgi muutus - →+
x0=>y=f(x) on kasvav =>f(x)>f(x1), kui x>x1
Järelikult leidub niisugune ümbrus Uε (x1), et f(x)>f(x1), Uε (x1);x≠ x1
Seega x1 on miinimum. Analoogselt tõestatakse (2) ja (3)
Teoreem 2 (ekstreemumi piisavad tingimused II)
Olgu x1 kriitiline punkt, milles y'(x1)=y''(x1)=..=y(n-1)(x1)=0, y(n)(x1) ≠0 ; n≥1
Siis on järgmised võimalused:
1)n on paarisarv =>x1 on ekstreemum;
y(n)(x1)x1 on max
y(n)(x1)>0=>x1 on min
2) n on paarituarv =>x1 ei ole ekstreemum.
Tõestus: Kirjutame funktsiooni y=f(x) Taylori valemi punktis x1
Vastavalt teoreemi eeldusele saame,
Kui n=2k on paarisarv, siis Δxn /n!= Δx2k /n!>0, kui x≠x1
Eeldame, et f(n)(x) on pidev punkti x1 ümbruses, siis
Siis saame f(x)-f(x1)>0 ; f(x)>f(x1) x1 ümbruses
Seega x1 on miinimum.
Analoogselt saame, et f(n)( x1)0, kui Δx>0, x>x1 ; Δxn/n!af(x)+βg(x) ja pp=>af(x)+βg(x)
Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest.

24. Teoreem 1 (integraalarvutuse põhiteoreem) Ühe ja sama funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad erineda ainult konstandi poolest.

Tõestus: Olgu funktsiooni f(x) kaks algfunktsiooni F(x) ja G(x)
Vaatleme funktsiooni h(x)=F(x)-G(x)
Me näeme, et h'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0
Kasutades Lagrange’i valemit saame, h(x)-h(x0)=h'(x−)(x-x0)=0
Siit järeldubki, et h(x)=h(x0)=C1=>F(x)-G(x)=C1
Järeldus: Funktsiooni f(x) kõik algfunktsioonid võib esitada kujul F(x)+C
Funktsiooni f(x) määramata integral
∫f(x)dx=F(x)+C kus C on määramata konstant
25. Ositi integreerimine Olgu f(t) pidev funktsioon, t=u(x) -pidev ja diferentseeruv, siis kehtib valem
Tõestus: diferentseerime võrduse mõlemat poolt
Tuletised on võrdsed. Seega on võrdsed ka integraalid valemis Olgu f[u(x)]=1/u(x), siis same
Olgu u(x)=ax+b, siis (ax+b)'=a
Korrutise tuletise reegel annab (uv)'=u'v+uv'
Siit uv'=(uv)'-u'v
Integreerime võrduse mõlemad pooled
26. Ratsionaalfunktsioonide integreerimine.
Me vaatleme integraale
Pm(x) – m astme polünoom ; Qm(x) – n astme polünoom
Kui lugeja aste on suurem või võrdne nimetaja astmest (m≥2) Siis avaldise täisosa ja murdosa
Murdosa lahutame osamurdudeks. Selleks tegurdame nimetaja Qn(x)
Viies osamurdude summa ühisele nimetajale ja võrdsustades saadud lugeja 1/q0*S(x)-ga. Saame leida tundmatud kordajad A,B,C
I liiki osamurru integraal
II liiki osamurru integreerimine

2.
Selleks, et funktsioonil y=f(x) oleks piirväärtus, kui x→x0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed.
Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et funktsiooni saaks esitada kujul f(x)=a(x)+α(x) on lõpmatult vähenev suurus

3. Definitsioon 1 Funktsiooni α(x) nim. lõpmatult vähenevaks suuruseks tingimusel, et x→x0, kui
Piirväärtuse definitsiooni kohaselt
Teoreem 1 Lõpliku arvu lõpmatult vähenevate väärtuste summa on samuti lõpmatult vähenev suurus
Definitsioon 2 Funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal A, kui leidub selline positiivne konstant M, et
Teoreem 2 Lõpmatult väheneva suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmatult vähenev suurus
Tõestus: Olgu
Järk. Olgu kaks lõpmatult vähenevat suurust α(x) ja β(x), kui x→x0 , s.t.
Võrdlemine:
Definitsioon 3 Lõpmatult väheneva suuruse α (x) järguks nim. sellist arvu n, mille korral
4.
Vastavalt 2 politseiniku teoreemile saame, et eksisteerib ka piirväärtus
Arv e. Teoreem 1
Tõestus: Newtoni binoomvalem
Ja liikmete arv kasvab ühe võrra, kuna (1+1/n) 0 funktsioon on kasvav
Δy/Δx=y'(x)+α(Δx)>0 kui Δx on piisavalt väike.
Funktsioon on mittekahanev y'(x)≥0 Analoogselt
Funktsioon on kahanev y'(x)≤0
Kui y'(x)f(x)=0
Kuid konstandi tuletis on null
f'(x)=0 x є(a,b)
2) Olgu M≠0 ja olgu f(c)=M
Eksisteerib y'(c) mis ei saa olla positiivne ega negatiivne. Vastasel juhul funktsioon oleks kasvav või kahanev punkti c ümbruses. Mõlemal juhul peab funktsioon omandama punkti c läheduses väärtuseid, mis on suurem kui M See aga on võimatu.
Järelikult f'(c)=0
14. Teoreem 1 – Lagrange’i teoreem
Olgu täidetud tingimused:
1) funktsioon f(x) on pidev lõigul [a,b]
2) funktsioon f(x) on diferentseeruv vahemikus (a,b)
Siis leidub vähemalt üks selline punkt c є (a,b), et
f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a) Lagrange’i või lõpliku muudu valem
Tõestus: Vaatleme järgmist funktsiooni
F(x)=(f(x)-f(a))(b-a)-(f(b)-f(a))(x-a)
See funktsioon on
1) pidev lõigul [a,b]
2) diferentseeruv vahemikus (a,b) F'(x)=f'(x)(b-a)-(f(b)-f(a))
3) F(a)=F(b)=0 F(a)=(f(a)-f(a))(b-a)-(f(b)-f(a))(a-a)=0
Vastavalt Rolle’i teoreemile eksisteerib niisugune c є (a,b), et F'(c)=0
Teoreem 2 – Cauchy teoreem
Olgu kaks funktsiooni f(x) ja g(x) , mis rahuldavad tingimusi:
1) nad on pidevad lõigul [a,b]
2) nad on diferentseeruvad vahemikus (a,b)
3) g(a)-g(b)≠0
4)f(x) ja g(x) ei muutu üheaegselt nulliks vahemikus (a,b)
Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt c є (a,b), et
Tõestus: Vaatleme funktsiooni
G(x)=(f(x)-f(a))(g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))
Sellel funktsioonil on järgmised omadused:
1) ta on pidev lõigul [a,b]
2) ta on diferentseeruv vahemikus (a,b); G'(x)=f'(x)(g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))g'(x)
3) G(a)=G(b)=0
Vastavalt Rolle’i teoreemile leidub vähemalt üks niisugune punkt c є (a,b), et G'(c)=0
G'(c)=f'(c)(g(b)-g(a))-(f(b)-f(a))g'(c)=0
f'(c)(g(b)-g(a))=(f(b)-f(a))g'(c)
g'(c)≠0 sest kui g'(c)=0 siis järeldub võrdusest, et f'(c)=0, mis on vastuolus eeldusega.
Jagades võrduse mõlemad pooled g'(c)-ga ja (g(b)-g(a))-ga saamegi Cauchy valemi.
15. L´Hospitali reegel Teoreem 1 Olgu antud piirväärtus milles on määramatus 0/0 või ∞/∞
Kui eksisteerib funktsioonide tuletiste suhte piirväärtus, siis eksisteerib ka esialgne piirväärtus ja
L’Hospitali reegel
Tõestus: 1) Olgu määramatus 0/0 ja a- lõplik
Eeldame, et punkti a teatud ümbruses on täidetud Cauchy reegli tingimused. , kus c є (a,x)
f(a)=g(a)=0, Kui x→ a, siis ka c →a
Kui eksisteerib piirväärtus , siis eksisteerib ka ja nad on võrdsed.
2) Olgu määramatus 0/0 ja a-lõpmatu.
Vaatleme piirväärtust
Seega
3) Olgu määrmatus ∞/∞ ja a-lõplik. Olgu lõigul [x0,x] täidetud Cauchy teoreemi tingimused.
c є (x0,x)
x0→a, siis ka c→a ; x→a =>f(x) →∞, g(x)→ ∞
Suhte f(x)/g(x) kordaja läheneb järelikult ühele, kui x→a Ja seega
16. Definitsioon 1 Taylori valemiks nimetatakse valemit, mis avaldab funktsiooni väärtuse argumendi muudu astmetena
Rn(h) on valemi jääkliige
Valem on kirjutatud nii, et f(a+h) ja selle n esimest tuletist on võrdsed f(a), f'(a), f(n)(a) kui võtta h=0
Teoreem 1 Olgu funktsioonil y=f(x) tuletised kuni (n+1) järguni kohal a. Kusjuures f(n+1)(a) võib olla nii lõplik kui lõpmatu. Sel juhul
Tõestus: 1) Olgu f(n+1)(a) lõplik.
Φ(n+1)(0)=є>0 =>Φ(n)(h) on kasvav => f(n)(0)=0=>f(n)(h)>0, kui h>0. Järelikult Φ(n-1)(h) on kasvav ja et Φ(n-1)(0)=0 siis Φ(n-1)(h)>0, kui h>0. Lõpus Φ(h) on kasvav ja Φ(n-1))(0)>0 kui h>0
Samamoodi saame tõestada, et M>f(n+1)(a)-є. Järelikult ׀M- f(n+1)(a)׀0 Φ(n-1)(h) >0, kui h on võimalikult väike. Nii nagu esimese punktis, saame f(h)>0 M