, . -, . - . ()- , , , . , , , . 42. . . . , «-«, , «+». , -. K=(C-H)/(C+H). +1 -1.(1- , -1- , 0- ). - . . 43. . (-«»). , , . . ( , , ). . (d, d^2, p=1-((6* d ^2)/(n(n^2- 1)). -1( ) 1( ). , . , . . 44. . - ( ), - . , , (yx), y x. , , , , . . , . ( (yx=a0+a1*x) (yx=a0+a1/x- , yx=a0+a1*x+a2*x^2- ). , , ( ) , . , , - . yx=a0+a1*x , : an + bSx = Sy aSx + bS x² = Sxy y x . , , . y x . . - , Yx . yt 2 R= y 2 45. ( ). - , - , , *- - . *- , - , . * . , , . , , , , .
selle lõpmatu hulga pinged on aga omavahelises sõltuvuses. Koormatud detail Elementaar-risttahukas Elementaar-risttahukas y yx F1 F3 Pind 4 Pind i xy x Pind 4
29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. Pöördfunktsiooni tuletis. 38. Funktsiooni pöördfunktsiooni tuletis on võrdne funktsiooni tuletise pöördväärtusega. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. Arcsin tuletis (tõestus kasutades pöördfunktsiooni). 47. Arkusfunktsioonid kujutavad endast vastavate trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioone (määramiospiirkonna teatud ahendis) ja seetõttu saab nende tuletiste 1 yx = xy arvutamisel kasutada valemit 48. 49. 50. 51. 52. 53. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 54. Funktsioon, mis pole kujul y=f(x). 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. Logaritmimisvõte. 1. Võtame avaldisest naturaallogaritmi ja lihtsustame (tuletise leidmise mõttes). 1 y' 2. Leiame tuletise, arvestades, et (lny)'= y . 3. Avaldame y'=. 62. 63
y = f ( x) x = f -1 ( y) yx = 1 xy = 1
Kokku 2850 10 3.2.2. Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil Väetisenormi (X) ja saagi (Y) vahelist seost on otstarbekas väljendada ruutvõrrandi abil järgmiselt: Yx= Yo+ bx- cx2, Kus Yx- saak väetisenormi (X) kasutamisel; Yo- saak väetamata põllult, b ja c- kordajad, mis leitakse katseandmete regressioonianalüüsi teel ning nende suurus sõltub kultuurist ja taimekasvatustingimustest. Kõige tõepärasema pildi väetiste efektiivsusest saame, kui väljendame seda nn. Piirefektiivsusena, mis näitab saagi juurdekasvu (enamsaaki) täiendava väetisühiku kohta (kg) teatud väetustasemel. Piirefektiivsust on võimalik väljendada matemaatiliselt järgmiselt:
44 39 - 11 - 17 - K 99 + 83 + K 9 - 41 48 66 97 46 33 98 59 44 39 11 17 99 83 9 i xi yi xi - xx 1 1.9 4.8 -1.06 2 2.9 8.4 -0.06 3 5.2 21.4 2.24 4 1.1 4.3 -1.86 5 3.7 12.5 0.74 ∑ 14.8 51.4 xx 2.96 yx 10.28 r 0.972611 t d 0.945972 z yi - yx (xi - xx )*(yi - yx ) (xi - xx )2 (yi - yx )2 -5.48 5.81 1.12 30.03 -1.88 0.11 0.00 3.53 11.12 24.91 5.02 123.65 -5.98 11.12 3.46 35.76 2.22 1.64 0
kui uue funktsiooni muutujatele etteantud punkti koordinaadid. Kõrgemat järku osatuletised Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) ning leidugu z x ja z y . Siis 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) z xx = ( z x ) x = z xxy = ( z x ) = z yx = ( z y ) = z yy = ( z y ) y = . x 2 y xy x yx y 2 Kui funktsioonid z xy ja z yx on pidevad, siis nad on võrdsed.
21) y component: v v v 1 p +u +v =- + v 2 u t x y y (1.22) Now differentiating 1.21in respect to y and 1.22 in respect to x, so we get: 2 u u u 2 u v u 2u 1 2 p u + +u + +v 2 = - + v 2 ty y x xy y y y xy y (1.23) 2 v u v 2 v v v 2v 1 2 p v + +u 2 + +v =- + v 2 tx x x x x y yx yx x (1.24) Subtracting (1.24) from (1.23) 2 v 2u 2v 2u 2v 2 u u v u u v v v u - +u 2 -u +v -v 2 + - + - = tx ty x xy yx y x x y x x y y y 1 2 p 1 2 p v u =- + + v 2 - v 2 yx xy x y (1.25)
o Kaaliumi tarve on keskmine K-3 o Kaaliumi eemaldamine 1 tonni põhitoodanguga (kg): ristik 5, suvinisu 20, oder 17, rukis 22. o Väetustarbe koefitsient Km on saadud P ja K puhul vastava elemendi tarbe järgi vastavatest tabelitest. 3.3.2 Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil Väetisnormi (x) ja saagi (y) vahelist seost väljendatakse ruutvõrrandi abil järgmiselt: Yx = Y0 + bx cx2 Yx saak väetisnormi (x) kasutamisel; Y0 saak väetamata põllult; b ja c kordajad, mis leitakse katseandmete regressioonanalüüsi teel ning nende suurus sõltub kultuurist ja taimekasvutingimustest. Väetise efektiivsuse teada saamiseks tuleb seda väljendada piirefektiivsusena, mis näitab saagi juurdekasvu (enamsaaki) täiendava väetiseühiku kohta (kg) teatud väetustasemel. Piirefektiivsuse arvutamiseks kasutatakse valemit: Yx' = b 2cx
Võrdeline seos Pöördvõrdeline seos Lineaarfunktsioon Y=ax Y=a/x Y=ax + b a-võrdetegur a-võrdetegur ax-lineaarliige x;y-muutujad x;y-muutujad b-vabaliige y/x = a Yx = a Sirge (0;0) ja (1;a) Hüperbool Sirge y = ax (o;b) A<0 II ; IV A<0 II ; IV A> 0 I ;III A> 0 I ;III Lineaarfunktsioon
lõiketsoonis tekivad nihkedeformatsioonid (materjalikihid nihkuvad üksteise suhtes koormuse mõjumise sihis ja paindedeformatsioon on tühine); - varda ristlõikepinnas (yz) mõjub lõikele vastav nihkepingexy ja sellele vastavtekib y-telje sihiline deformatsioon v; - nihkepingete paarsuse tõttu tekib ristlõike ristpinnas (zx) nihkepinge yx ja sellele vastav x-telje sihiline deformatsioon u; - nihked u ja v, suhtelised osanihked xy = v u ja yx = u v ning suhteline nihkedeformatsioon xy = yx = xy + yx sõltuvad koormuse F väärtusest; kontaktpinnal tekivad survedeformatsioonid; - kontaktpinnal mõjub muljumispinge C (mis on olemuselt
lõiketsoonis tekivad nihkedeformatsioonid (materjalikihid nihkuvad üksteise suhtes koormuse mõjumise sihis ja paindedeformatsioon on tühine); - varda ristlõikepinnas (yz) mõjub lõikele vastav nihkepingexy ja sellele vastavtekib y-telje sihiline deformatsioon v; - nihkepingete paarsuse tõttu tekib ristlõike ristpinnas (zx) nihkepinge yx ja sellele vastav x-telje sihiline deformatsioon u; - nihked u ja v, suhtelised osanihked xy = v u ja yx = u v ning suhteline nihkedeformatsioon xy = yx = xy + yx sõltuvad koormuse F väärtusest; kontaktpinnal tekivad survedeformatsioonid; - kontaktpinnal mõjub muljumispinge C (mis on olemuselt
paindemoment ei saa tekitada M y = x( Mz ) zdA = 0 z yzdA = 0 , Iz pinged teises peatasandis (ehk A A paindemomendist Mz tulenevad pinged Mz ei saa tekitada paindemomenti My ja kuna 0, siis yzdA = 0 = I yx , Iz vastupidi): A kus: ( Mz ) paindemomendist Mz tulenev normaalpinge, [Pa]; ( My ) paindemomendist My tulenev normaalpinge, [Pa]. Priit Põdra, 2004
paindemoment ei saa tekitada M y = x( Mz ) zdA = 0 z yzdA = 0 , Iz pinged teises peatasandis (ehk A A paindemomendist Mz tulenevad pinged Mz ei saa tekitada paindemomenti My ja kuna 0, siis yzdA = 0 = I yx , Iz vastupidi): A kus: ( Mz ) paindemomendist Mz tulenev normaalpinge, [Pa]; ( My ) paindemomendist My tulenev normaalpinge, [Pa]. Priit Põdra, 2004
T.6. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on ta pidev sellel kohal. T.7. Kui fun on diferentseeruv kohal P=(x,y) siis on tal olemas osatuletised f'x(P) ja f'y(P) sellel kohal. Tõestus: Eelduse kohaselt kehtivad lim(h,k)-(0,0)/(h2+k2)1/2=0 ja f=Ah+Bk+=0... T.8. Kui funil z=f(x,y) on kohal P=(x,y) pidevad osatuletised f'x(P) ja f'y(P) siis on see fun diferentseeruv kohal P. T.9. Kui segatuletised on piddevad kohal P=(x,y) siis on nad võrdsed sellel kohal, st kehtib f''xy=f''yx T.10. Kui funi z=f(x,y) osatuletised f'x(P) ja f'y(P) on mõlemad diferentseefuvad kohal P=(x,y) siis on segatuletised võrsed (f''xy=f''yx) kohal P=(x,y) T.11. Kui funidel u ja v on olemas osatuletised u'x (u'y)ja v'x (v'y) kohal P=(x,y) ja kui fun f on diferentseeruv vastaval kohal Q=(u(P);v(P)) siis on liitfunil F olemas osatuletis F'x (F'y) kohal P, mis on kujul F' x=f'u*u'x+f'v*v'x (F'y=f'u*u'y+f'v*v'y )
Liitfunktsiooni tuletise leidmiseks eraldi valemeid ei eksisteeri, seega me tähistame funktsiooni nii, et me selle tuletist leida oskaks. Tuletise leidmiseks tuleb nummerdada arvutusetapid seespoolt väljapoole ning tuletise leidmist alustame väljast poolt sisse. Selleks, et funktsiooni tuletis ei muutuks, tuleb asendatud funktsiooni osa tuletisega kogutuletis läbi korrutada. Liitfunktsiooni tuletis arvutatakse järgmise valemi järgi: yx = yz zx . Korrutise tuletise (tõestus) (u*v)'=u'v+v'u Tõestus: y+y=(u+u)(v+v) y = ( u + u )( v + v ) - ( uv ) = uv + vu + uv y uv + vu + uv = x x y uv + vu + uv uv vu lim = lim = lim + lim + x 0 x x x 0 x 0 x x 0 x uv + lim x 0 x 2 v
4. Kaer 3,2 3,0 3,0 K-3 1,0 230,4 13,12 15,36 215,04 688,1 Kokku 12,8 31,08 2842,3 3.3.2. Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil Lämmastikväetiste planeerimiseks saab kasutada väetisnormi (x) ja saagi (y) vahelist seost ruutvõrrandina. Yx=Y0+bx-cx2 Yx – saak väetisnormi (x) kasutamisel Y0 – saak väetamata põllult B ja c – kordajad, mis leitakse katseandmete regressioonanalüüsi teel, nende suurus sõltub kultuurist ja taimekasvatustingimustest. Kõige tõepärasema pildi väetiste efektiivsusest saab, kui seda väljendada piirefektiivsusena, mis näitab saagi juurdekasvu täiendava väetisühiku kohta (kg) teatud väetustasemel. Piirefektiivsus ruutvõrrandi tuletiste abil: Yx’ = b – 2cx
Tavaliselt [0 , +lõpmatus), [0,2) [0, ]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} (a x b) ( (x) (x))}. Rajajoont läbime positiivses suunas. Saame:
x yx 37 203,85 288,12 37 d 691,15 522,74 64,14 pr x tr x
5. Raps 10 3 2 15 K-3 1,0 10 100 Kokku 58 3631,4 (Tabel 4. Kaaliumväetiste vajadus lihtsustatud bilansi meetodil) 3.3.2 Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil Teatavasti on otstarbekas väetisnormi (x) ja saagi (y) vahelist seost väljendada ruutvõrrandi abil järgmiselt: Yx = Yo + bx cx2 Yx saak väetisnorm (x) kasutamisel Yo saak väetamata põllul b ja c kordajad, mis leitakse katseandmete regressioonanalüüsi teel ning nende suurus sõltub kultuurist ja taimekasvatustingimustest. Kõige tõepärasema pildi väetiste efektiivsusest saame, kui väljendame seda nn. piirefektiivsusena, mis näitab saagi juurdekasvu (enamsaaki) täiendava väetisühiku kohta (kg) teatud väetustasemel.
[lim0; x0xu ja xv0] seega z/x=z/uu/x+z/vv/x ja sama ka y korral. Liitf-ni osatuletised: u=u(x; y); v=v(x; y) ja w=w(x; y) z/x=z/uu/x+z/vv/x+z/ww/x (sama y-ga). z=(x; y;t) x=x(t); y=y(t) dz/dt=z/xdx/dt+z/ydy/dt+z/t1 Täisdif kuju ei muutu ka siis kui on sõltumatute muutujatega või täisdiferentsiaal. Mistahes järku osatuletised z=(x; y) ja osatuletised on vastavalt z/x ja z/y 2z/x2=/x(z/x); 2z/xy=/y(z/x); 2z/yx=/x(z/y); 2z/y2=/y(z/y); nz/xn=/x(n-1z/xn-1) Teoreem: Kui 2-muutuja f-n z=(x; y) on olemas z/x; z/y; 2z/x2; 2z/yx pidevad siis 2z/xy=2z/yx Tuletis antud suunas z=(x; y) (joon) z=z/xx+z/yy+1x+2y /:s (s on pikkus s=x2+y2 ja x/s=cos ning y/s=cos (joon). Asendades valemisse saab: z/s=z/xx/s+z/yy/s+1x/s+2y/s [cos, cos-vektori s suunakoosinused s°- vektori s suunaline ühikvektor s°=(cos; cos)=(x/s; y/s)] z/s=z/xcos+z/ycos+1cos+2cos Def: Piirv-
5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx – Xy)dxdy, kusjuures rajajoont Г läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus: Kõigepealt näitame, et: dx= - ydxdy 1. Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} ( ׀a x b) ˄ ( (x) (x))}
süm y-
telje suhtes. F(x)=x2 , x4 .3.funk
piirväärtus-vaatleme funk f(x).kui
argumendi x väärtuste jada xn lähenemisel
arvule a üxkõik kummalt poolt kas paremalt
või vasakult funk väärtuste jada f(xn)
läheneb kindlale arvule A siis see arv A on
funk f(x) piirväärtus argumendi x
lähenemisel arvule a lim f(x)=A 4.funk
tuletis-funk tuletis on funk muudu ja argu
muudu suhte piirväärtus argu muudu
lähenemisel nullile.y=f(x) tuletiste tähised
y`,f`(x),dy/dx,df/dy,yx funk tuletis sümb.-
y`=lim(x0) y/x=lim(x0) f(x+x)-
f(x) / x ..funk tuletise väärtus mingis
puntkis näitab selle funk muutumiskiirust
antud punktis. 5.joone puutuja-joonele
mingis punktis tõmmatud puutuja on seda
punkti läbivate lõlikajate piirasend.putuja
võrrand y-y0=f`(x0)*(x-x0)
6.funk kasv/kah ja extreem-funk f(x)
kasvamispiirkond on selline osa
määramispiirkonnast milles suuremale
argu-le vastab suurem funk väärtus.kui
x1
Lõputu juuli · Debüütkogu mis tõi Liisi Click to edit Master text styles Ojamaale tuntuse. Second level Third level · 80leheküljeline kogu Fourth level Fifth level avaldati 1990.aastal, see kuulus kogumikku ,,Luulekassett 90". WÄIKE HIPI See on yx maailm mis awali mu ees On minu ainukene ainuõige tee See on see sõna milles lahustub mu tusk On minu elustiil ja enesesseusk Mis on õnn mis on armastus? Seni kestis weel sarnasus samaxsaamise saladus endaleidmise alandus Murtud riimide walus keel Ah las kesta see lummus weel Ah las lennata linnud weel yle Tallinna taewaste Las nad laulawad minule läbi suwe ja sygise:
[3] 12 2.3.2. Lämmastikväetiste planeerimine ruutfunktsiooni abil Lämmastikväetiste planeermiseks saab kasutada väetisnormi (x) ja saagi (y) vahelist seost ruutvõrrandina. Yx=Y0+bx-cm2 Yx – saak väetisnormi x kasutamisel Y0 – saak väetamata põllult B ja c – kordajad, mis leitakse katseandmete regressioonanalüüsi teel ning nende suurus sõltub kultuurist ja taimekasvatustingimustest. Kõige tõepärasema pildi väetiste efektiivsusest saab, kui seda väljendada piirefektiivsusena, mis näitab saagi juurdekasvu täiendava väetisühiku kohta teatud väetustasemel. Piirefektiivsus ruutvõrrandi tuletise abil : Yx’ = b – 2cx
b
[a;b] (joon) y=(x); y=g(x) ja (x)g(x) ning S = [ f ( x) - g ( x) ]dx Kui aga joon on antud parameetrilisel kujul:
a
b
(joon) x=(t) ja y=(t) siis S = ydx [x=at=; x=bt= ja dx=(t)dt=xdt] siis pindala saab: S = yx dt
a
Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides
(joon) -polarkaugus (p raadius), punkti kaugus poolusest; -polaarnurk. Seos ristkoordinaadistikuga: (joon) P(;).
[x/=cos; y/=sin] {x=cos; y=sin} x2=2cos2; y2=2sin2 =x2+y2 Kõversektori pindala
polaarkoordinaadistikus: (joon) =; = ja =(). Vaja leida pindala [; ] vahel =o<1<...
Normaalvõrrandite süsteem Parameetrite hinnangute leidmine u^ ( yi b^1 b^2 x2i b^3 x3i ... b^k xki )2 min 2 i Normaalvõrrandite süsteem maatrikskujul Peale osatuletiste nulliga võrdsustamist saadakse normaalvõrrandite YX T = b^ ( X T X ) süsteem k tundmatu b^1 , b^2 , ... , b^k jaoks y i nb^1 b^2 x2i b^3 x3i ... b^k xki XT on transponeeritud maatriks (read ja veerud vahetatud) yx i 2i b^1 x2i b^2 x22i b^3 x2i x3i ... b^k x2i xki Vektori b^ leidmiseks korrutame vasakult poolt XTX pöördmaatriksiga
III Kõrgemat järku osatuletised (f ) 2 f (f ) 2 f II j osatul: = = f = = f yy x(x) (x) 2 y (y ) (y ) 2 xx (f ) 2 f (f ) 2 f segatul. = = f yx = = f xy y (x) yx x(y ) xy Märkus 1: n muutuja funktsioonil võib esineda n esimest järku osatuletist. Nad iseloomustavad funktsiooni muutumise kiirust vastava koordinaattelje sihis. Kui wi > 0 siis funktsioon kasvab i- nda koordinaadi kasvades, kui wi < 0 siis funktsioon kahaneb i-nda koordinaadi kahanedes. Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi
: T,XS;;uffiXKXffi-:Uf""-"1&.', .,1111HH e,r]+lail v-oo: srLods.i,1'u^');';U:;-il";;'; u*^^**,xn* '{ot$i **iil'* L.f # rtu*tJ*f^ffi;trlf 3":,.d'0 ^ 'ri,^r* 5v^n'& ha.q^+d!^ r*t*&q''i YX'*l.fmt5i,x!,.r, b* n1*ur i "*r5,1T T: mi";[ s^^.nrr ryfl{:r{":*- v-i '- *' 'i1lLl.[Uil_*;vii,i?3'il;*
y 9. Kõrgemat järku osatuletised. Teoreem segatuletisest. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Diferentseerides seda funktsiooni ning seejärel osatuletisi leiame algul esimest järku osatuletised, siis teist järku osatuletised jne. Teoreem 9.1. Olgu funktsioon f ( x, y ) ja selle osatuletised kuni teist järku osatuletisteni pidevad. Siis teist järku segatuletis ei sõltu diferentseerimise järjekorrast. 2z 2 z (9.1) = xy yx Tõestus. Vaatleme järgmist avaldist. A( x, y ) = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y + y ) - f ( x + x, y ) + f ( x, y ) Tähistame ( x ) = f ( x, y + y ) - f ( x, y ) Siis A = ( x + x ) - ( x ) ( x ) on pidev ja diferentseeruv lõigul [ x, x + x ] järelikult saame kasutada Lagrange'i valemit. ( x + x ) - ( x ) = ( x ) ( x + x - x ) = ( x ) x x ( x , x + x ) f Kuid ( x ) = ( x , y + y ) - f ( x , y ) x x f
( f y ) = 2f ( fx ) = f (fy )= f 2 2 2 2 f xx = f yy = f xy = f yx = x x y y y xy x yx Viimaseid kahte teist järku osatuletist nimetatakse segatuletisteks. Teoreem 1 (Schwarzi teoreem). Kui funktsiooni f ( x, y ) osatuletised f xy ja f yx on pidevad punktis P = ( x, y ) , siis f xy (P ) = f yx (P ) . 4 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad)
mulla Dm=1,2g/cm³ ja H8,2= 6mg ekv/100g. Lahendus: M(CaCO3)=100E=50; 250 l*0,35kg/l=87,5kg; 100 g jaoks kulub CaCO3: H8,2=6mg ekv*50=300 mg/100g=3g/kg; 3g--1kg ja x g-- 87,5kgx=(4*87,5)/1=350g; 350g-- 75% ja x g-- 100% x=(350*100)/75=467g. 3) Ammooniumnitraat maksab 2600kr/t. Kui palju maksab 1kg N selles väetises? Lahendus: Ammoonitraadis on 35% N. 1000kg=1t; 1000*0,35=350; N=2600:350=7,4kr/kg. 4) Väetise N-normi ja saagi vahelist seost väljendab: Yx=1846+36,811x-0,1332x². a) Arvutada üldine enamsaak ja piirefektiivsus N-i normi 70kg/ha kasutamisel. b) Arvutada agronoomiliselt max N-i norm ja saak max N-i normi kasutamisel. Lahendus: a) E=bx-cx²= 36,811*70- 0,1332*(70)²=1924kg b) y'=b-2cx= 36,811-2*(0,1332*70)=18kg Xmax=b/2c= 36,811/(2*0,1332)=138kg/N Ymax=1846+36,811*138-0,1332*(138)²= 4389kg/ha. 5) Kui palju kaaliumsulfaati kulub 30 m² peenra väetamiseks, kui K-norm on 150 kg/ha? Lahendus:
L a b G ( x, y )dy = G ((t ),(t ))' (t )dt L a Kaks viimast võrdust kokku liites saame b F ( x, y )dx + G ( x, y )dy = [ F ((t ),(t )) ' (t ) + G ((t ),(t )) ' (t )]dt L a 27. Kahekordse- ja joonintegraali vaheline seos. Greeni valem Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greeni valem lXdx+Ydy=ll(Yx-Xy)dxdy=ll(dY/dX-dX/dY)dxdy D D kusjuures piirkonna D rajajoont läbitakse positiivses suunas, st liikudes mööda rajajoont jääb piirkond D vasakule. Joonintegraal tuleb võtta positiivses suunas. Olgu xy-tasandil antud regulaarne piirkond D, mis on piiratud kinnise kontuuriga L. Olgu piirkonnas D antud funktsioonid F ja G
Muutujavahetus kordses integraalis. Mida iseloomustab jakobiaan. Polaarkoordinaadid. t c [a,b], siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(X(x(t), y(t), z(t))x(t) + Y(x(t),y(t),z(t))y(y) + Z(x(t),y(t),z(t))z(t))dt. Teisendust (u,v) (x,y) nimetatakse regulaarseks, kui Greeni valem: Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Ta on üksühene. on tükiti sile, siis Xdx + Ydy = D(Yx Xy)dxdy kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Osatuletised xu,xv,yu ja yv on pidevad piirkonnas .
1 x2 y xa y' = ax a 1 y arccos x 1 y'= 1 x2 yx y' = 1 y arctan x 1 y'= 1 x2 y x 1 y arc cot x 1 y' = y'=
on võrdsed ja sama märgiga (suunatud mõlemad kas serva poole või paarsuse seadus sellest eemale) (Joon. 3.13): Kehtib kõikides kehades mistahes koormusseisundite korral NB! Nihkepinged mõjuvad alati Nihkepingete paarsus paarikaupa: xy-ga kaasneb alati ka samaväärne yx yz(+) yx(-) Nihkepingete paarsuse seadus xy(-) xy = yx väändel: zy(+) z yz = zy
, . 46. r , . . . 1 1. , + . . . 0 1, 0 . . 47. , , , , .. , . , . (i) (i). , na + bx + cx2 = y ax + bx2 + cx3 = yx } ax2 + bx3+ cx4= yx2 (yyt)2 = (yyt)2 / n y2 = y2 / n , R = 1 (yyt)2/ y2 , . ( ). 48. . 1. , , .. , (kuju) . (kordaja). 0, , 1 () , .. .
saab võtta uuesti osatuletisi: saame teist järku osatuletised 2 2f z xx (tähistatakse ka f xx või x 2z või x 2 ), 2z 2f z xy (f xy , x y või x y ), 2z 2f z yx (f yx , y x või y x ) ja 2z 2f z yy (f yy , y2 või y2 ). Osatuletisi z xy ja z yx nimetatakse segatuletisteks Teist järku osatuletisi võib uuesti diferentseerida nii x kui ka y järgi, saades kolmandat järku osatuletised. Neid on ilmselt juba kaheksa:
suurim tõmbepinge võrdse arvväärtusega? 6.33. Millistel juhtudel on painde korral ristlõike suurim survepinge ja suurim tõmbepinge erinevate arvväärtustega? 6.34. Määratlege varda ristlõike tugevusmoment! Wz -ristlõike (telg-) tugevusmoment (vastupanumoment) peatelje z suhtes, [m3]; Iz- ristlõike inertsimoment peatelje z suhtes, [m4]; a-kaugeima punkti kaugus peateljest z (nulljoonest), [m]. 6.35. Sõnastage Zhuravski hüpotees! hüpoteesi järgi nihkepinged yx laotuvad varda laiuses (b ulatuses) ühtlaselt 6.36. Mis on lubatav paindepinge? Konkreetses ülesandes ohutuks loetud normaalpinge kas tõmbel või survel 6.37. Kuidas on seotud materjali tõmbetugevus, survetugevus ja paindetugevus? 6.38. Sõnastage tugevustingimus paindel! Koormatud detaili üheski punktis ei tohi ühegi pinge väärtus ületada vastavat lubatava pinge väärtust. 6.39. Määratlege optimaalne tala! - küllaldane tugevus vähima materjalikuluga ehk kgu pikkuses
8. Eksaktne DV. Definitsioon: DV-d M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 nimetatakse eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga
võrrandiks, kui leidub funktsioon u=u(x) nii, et tema täisdiferentsiaal on kujul du(x,y)= M(x,y)dx+ N(x,y)dy *
D= {(x,y):a
I IAi (ema) JBi (isa) Gameedid IA i JB i II Genotüübid ii JBi II Fenotüübid 0 B Isa vererühm on B, sest nende laps on isalt pärinud B vererühma 7. Koosta skeem, mille abil tõestate, et poisse ja tüdrukuid sünnib enam-vähem võrdselt. I XY XX Gameedid X Y X X II Genotüübid XX XX XY YX II fenotüübid Tütar Tütar Poeg Poeg Poja ja tütre sündimise protsendid võrduvad (50%=50%) 8. Tumedajuukselisus ( B) on dominantne heledajuukselisuse suhtes (b) ja naha pigmentsus (P) dominantne albiino s.t. tedretähnide puudumise (p) suhtes. Milliseid lapsi ning millise tõenäosusega on oodata perekonnas, kus vanemad on genotüüpidega I Bbpp X bbPp gameedid BP Bp bP bp
.. + y 93 + 0,5 y103 = 2 L f ( J x ) . 3 L 3 3 -2 Veeliinitasandi piki-inertsimomenti JF läbi pinna raskuskeskme F on vajalik teada laeva trimmi arvutamisel. Arvutus toimub kahes osas algul leitakse piki-inertsimoment Jy keskkaare lõikejoonel ja seejärel lahutatakse parand, mis tuleneb XF -st saadakse JF. Arvutusvalemid on: L 2 J y = 2 yx 2 dx 2(L) 3 f ( J y ) - L2 J F = J y - AWP ( XF ) 2 Näidis 1 Example 1 Arvuta veeliinitasandi pindala, selle raskuskese ja inertsimomendid läbi abstsiss- ja ordinaattelje ning läbi raskuskeskme. Veeliini-tasand on määratud järgmiste poolordinaatidega alates ahtrist. Laeva pikkus on LPP = 220m, s.t. L = 220/10 = 22 m. Calculate the area, position of the flotation and the second moments of area
väetisnormid. Lähtutakse variandist kus väetusannuste täiendav lisamine pole enam saaki oluliselt suurendanud. Funktsionaalne meetod- põhineb sellel et väetisnorm ja saak ei ole omavahel lineaarses seoses. Väetisnormi suurenedes ei suurene saak samavõrra vaid saagi juurdekasv väheneb pidevalt ja lõpuks hakkab isegi langema Saagifunktsioon- võrrand mis iseloomustab x(väetisnorm) ja y(saak) vahelist seost. Yx=Y0+bx-cx2 Väetiste efektiivsust saab väljendada: Kogu e üldine enamsaak( E) E=bx-cx2 Keskmine enamsaak 1kg toiteelemendi kohta bx-cx / x selle puuduseks on see et me ei saa vastust millise väetisnormi juures lõpeb tegelik enamsaak Täiendavalt antud väetisühiku(1kg) efektiivsus ( Y') mida näitab eespool toodud ruutvõrrandi tuletis y'= b-2cx see ( nim ka diferentsiaal e piir
Piirväärtuste arvutamisel võivad ette tulla nn. määramatused. Need on järgmised: ; ; 0*∞; ∞ - ∞; ; ; Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile (kui see piirväärtus on olemas). Olgu meil funktsioon y=f(x) Joonis 10. ∆x – argumendi x muut ∆y – argumendi x muudule ∆x vastav funktsiooni muut ∆y = f (x+∆x) – f(x) Tuletise tähised: y ´ ; yx´ ; f´(x) ; (diferentsiaal) ; Tuletise definitsioon sümbolites: ∆y f ( x +∆ x )−f (x ) y ´ = lim = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆x Funktsiooni tuletise leidmist nim. diferentseeruv kui on olemas f ´(a). Kui funktsioon f(x) kirjeldab mingit protsessi (liikumist), siis selle funktsiooni tuletise väärtus kohal a on antud protsessi muutumise kiirus (intensiivsus) sellel kohal a. Joonis 11.
#" u# A#hQI7#z]-
[#9E!CGph__0QYx##(cdha#;$8t#
-#`####rKrq#MOD'#=l#P@ ;L##l *#gNql):w#u]'#S|
ziGnv%##LX #w;?y###2z@##ZcW;###k#2
aY7Yy#?#(##:,## uq #p!NWtx#m######PK##########!
#C###<######word/styles.xmlms8#}#ib4#!21#|
7}[n#v#I?>bLH%Sd#0J#_i"V/2?~Og~e
$;KRq#,JdoZ&n>#"
6+8 -u (
T#S#,#oW#Q#B#:3m?OJt=,;p##
'Y#)2}EuM OQ#FQ X%?M u#l-# öMsS_&G34#/ 1
3[Xz#.[### ###,L #?714V###Yx,##BrE#2ix1Q##? J#2&
4*P<5~2
?Kg2-#jhp<9ku`&#&
:&yc#JVr`zPe)Y#(t####'vYxiw#&&M#OFF!
+A*W W 5#*Y :4 #*9:##*#:##qD #,#j6]ci7#h#unE*#R^z-
#fi"N_#NU"C^z)#>rZ~q
Y on asendatav tootmisteguri X ühe ühikuga antud koguste juures (punktis (x0,y0)). LK - kapitalimahutuste suurendamisel K ühikult L ühikule tuleb tootmismahu säilitamiseks tasemel Q = F (K,L) ühikut tööjõukulutusi vähendada 1,5 ühikut. 31. Olgu U = f (x, y) mingi kasulikkusefunktsioon (kus x ja y on tarbitavate kaupade X ja Y mahud). Mis on kaupade X ja Y asendatavuse piirmäär? Mida tähendab, et yx =-3? asendatavuse piirmäär - näitab ligikaudselt, kui suure koguse kauba Y tarbimisest võib loobuda, kui täiendavalt tarbida üks ühik kaupa X. tähendab, et X kauba tarbimise suurendamisel ühe võrra saab kasulikkuse esialgse taseme säilitada, kui vähendada kauba Y tarbimist 3 võrra. 32. Selgitada, mida tähendab geomeetriliselt tingliku ekstreemumi ülesande max min z= f(x,y) g(x, y) = 0 lahendamine.
n lim f ( Pi )Si = f ( P ) dS = f (on funktsiooni f(p ,y) integraalsumma lõigul [c,d]. Olgu =max{y , integraalsumma, seega D a 1 ( x) yx,...,y , y )},dxdy i l 1 siis piirväärtus Kui piirkond D on regulaarne x-telje suhtes ja antud võrratustega
v u - u v = v2 + 0 u u v - u v = Järelikult v v2 Pöördfunktsiooni tuletis Funtsiooni pöördfunktsiooni tuletis on võrdne funktsiooni tuletise pöördväärtusega. Arcsin tuletis Arkusfunktsioonid kujutavad endast vastavate trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioone (määramiospiirkonna teatud ahendis) ja seetõttu saab nende tuletiste 1 yx = xy arvutamisel kasutada valemit 1. Olgu y = arcsin x , pöördfunktsioon on x = sin y ( arcsin x ) = 1 = 1 ( sin y ) y cos y cos y = 1 - sin 2 y = 1 - x 2 ( arcsin x ) = 1 2 1- x Diferentsiaal ja muut, erinevus, sarnasus
2 2 Sj,o ] ij i 1 i 1 i 1 Fyf,k = s2afrn / s2jcn > s2jcn ] Sjcn / p (q-1), s2afrn ] Safrn / (p-1) 52. Regressioonanalüüs y = +x+; y a^1 b^1 x 53. Lineaarne korrelatsioon. Mittelineaarne korrelatsioon. Tasemeline korrelatsioon rxy xi x y i y n x y yx = Ax2 + Bx + C. Kaks taset andmeid. Spearman taseme korrelatsiooni koefitsient 6 d i2 B 1 n3 3 54. Paari regressiooni arvutamine vähimruutude meetodil. Meetodi hälbed x'i = xj - x; y'i = yj - y, b = x'i y'i / (x'i)2; x'i y'i = xi yi - n x y; (x'i)2 = (xi)2 - n x2. Dispersioon s2b= s2 / (x'i)2; s2a= xi2 s 2 ; n ( x' i ) 2 55. Regressioonijoone usaldusintervallid
Väetiste keskmine efektiivsus väljendab kõigi kasutatud väetiste (NPK) 1 kilogrammile (toimeaines) osanevat enamsaaki ehk enamsaaki keskmiselt väetiseühiku kohta. Eväet=(Ynpk-Yo):X , kus siis Ynpk on saak väetist saanud põllult, Yo on saak väetamata põllult ja X on summaarne väetisannus toimaines. Saagifunktsioon, mis iseloomustab väetisannuse ja saadava enamsaagi vahelist seost (saagikõverat), on leitav järgmise matemaatilise võrrandi abil: Yx=Yo+bx-cx². Kus siis Yx on planeeritud saak, Yo saak väetamata alalt, x on väetisenorm, bx-cx² on väetamisega planeeritav enamsaak, b ja c on saagifunktsioonide kordajad. Majanduslikult optimaalne väetise kogus sõltub väetise hinnast. Majanduslikult optimaalse väetisenormi all on mõeldud väetamise taset, mille juures väetise viimase kiloga saadava enamsaagi hind on võrdne väetisekilo hinnaga, millele on liidetud väetamise kulud ning kavandatav kasum. 13
annaabi.ee 
