Tõenäosusteooria I (0)

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika
Ajaloost
Tekkinud 17. saj. seoses hasartmängudes (kaardid, täringud) tekkinud probleemidega – kuidas jaotada panuseid, kui mäng juhtuks mingil põhjusel pooleli jääma, milliste kaartide korral on mõtet edasi mängida jms
Tuntumad teadlased, kellel on suuri teeneid tõenäosusteooria arendamisel: De Fermat, Pascal , Huygens, Bernoulli , Gauss, Laplace , Kolmogorov jt
Tänapäeval on tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika paljude ülikoolide mitmete erialade õppekavas.
Põhimõisted
katse – põhimõtteliselt lõpmatult palju kordi teostatav toiming, mille korraldamise protseduur on fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud sündmused toimuvad või mitte
sündmus – katse tulemus või erinevate tulemuste ühendamisel saadav tulemus
Näit.
Katseks on täringu viskamine , sündmusteks võivad olla järgmised:

• saadakse 4 silma
  
• saadakse 5 silma
  
• saadakse 3 või 6 silma
  
• saadakse paarisarv silmi jne
  

Kui katseks on kahe täringu korraga viskamine, siis võiks vaadelda selliseid sündmusi:

• summaks saadakse 12
  
• summana saadakse vähemalt 3 silma
  
• ühel täringul on suurem silmade arv kui teisel jne
  

kindel sündmus – sündmus, mis antud katse korral kindlasti toimub; tähistatakse sümboliga
võimatu sündmus – sündmus, mis antud katse korral ei saa toimuda; tähistus -
juhuslik sündmus – sündmus, mis antud katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda; juhuslikke sündmusi tähistatakse suurtähtedega A, B, C, ..., sarnaste sündmuste korral kasutatakse tihti ka indekseid: A1, A2, A3, ...
Näit.
Kui katseks on täringu viskamine, siis sündmus “saadakse 7 silma” on võimatu sündmus, sündmus “saadakse üks tulemustest 1, 2, 3, 4, 5 või 6” on aga kindel sündmus. Sündmus “saadakse 4 silma” on juhuslik sündmus.
vastandsündmus – sündmuse A vastandsündmus
(loe: A kaetud) on selline sündmus, mis seisneb sündmuse A mittetoimumises
Näit.
1) A – kahe täringu viskamisel saadakse summaks 12
- kahe täringu viskamisel on summaks 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 või 11
2) A – kolmest vastutulijast on vähemalt üks naine
- kolme vastutulija hulgas naisi pole
3) A – kaardipakist tõmmatakse kolm kaarti , saadakse kolm ärtu mastist kaarti
- kolme kaardi hulgas, mis kaardipakist tõmmatakse, on ka “mitteärtusid”
(risti, pada või ruutu mastist)
4) Kui sündmuse kirjelduses esineb sõnapaar “vähemalt üks”, siis vastandsündmuse kirjelduses on vaja kasutada sõnu “mitte ükski”.
sõltumatud sündmused – kui katset korratakse mitu korda, siis ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist
sõltuvad sündmused – ühe sündmuse toimumisest sõltub teise sündmuse toimumine
Näit.
1) täringut visatakse järjest kolm korda
A – esimesel viskel saadakse 5 silma
B – teisel viskel saadakse 5 silma
C – kolmandal viskel saadakse 3 silma
Sündmused A, B, C on sõltumatud sündmused, sest katsetingimused on igal katsel samasugused.
2) korvis on 3 valget ja 4 musta kuulikest; korvist võetakse järjest 2 kuuli, neid tagasi panemata
A – esimesena saadakse valge kuulike
B – teisena saadakse must kuulike
Sündmuse B toimumine sõltub sündmuse A toimumisest või mittetoimumisest. Kui esimesena saadud kuulike on valge, siis enne teise katse toimumist on korvis alles 2 valget ja 4 musta kuulikest. Kui esimesena valget kuulikest ei saada (saadakse must), siis on enne teist katset korvis 3 valget ja 3 musta kuulikest. Seega sündmuse B toimumine teisel katsel toimub erinevates tingimustes.
Sündmus B sõltub sündmusest A.
teineteist välistavad sündmused – sündmused, millest ühe toimumisel on teise toimumine samal katsel võimatu
Näit. Visatakse üks kord täringut.
Sündmused
A – saadakse 4 silma,
B – saadakse 5 silma
on teineteist välistavad sündmused.
Ülesanded I teema kohta (läbi mõelda).

Iga sündmuse kohta märkida, kas ta on juhuslik, võimatu või kindel sündmus.

Täringuviskel saadakse viis silma

Rakveres paistab 24. veebruaril kell 23.45 päike.

Raamatus on 200 lehekülge. Seda raamatut juhuslikust kohast avades avame ta 45. ja 46. lehekülje vahelt.

Kahe täringu koos viskamisel saadakse summaks 5 silma.

Kolme täringu koos viskamisel saadakse summaks 20 silma.

Normaaltingimustes hakkav vesi keema 100 kraadi juures.

Vesi hakkab keema 100 kraadi juures.

Täna kutsutakse geograafiatunnis vastama Peeter (Peeter on antud klassi õpilane ning täna ka koolis, geograafiatunnis on ta kohal).

100 aasta pärast on 100 m jooksu maailmarekord 8,8 sekundit.

Korvis on 2 musta ja 4 valget kuulikest. Võetakse üks kuul ning saadakse sinine kuul.

Iga sündmuse kohta märkida, mis on tema vastandsündmuseks.

A – täringuviskel saadakse paarisarv silmi

A – nelja vastutulija hulgas on vähemalt üks blondiin

A – 10 viskest tabab korvpallur vähemalt ühel korral

A – kaardipakist tõmmatud 3 kaarti on kõik ässad

A – saja detaili hulgas on vähemalt 80 kvaliteetset detaili

Kas sündmused A ja B on sõltumatud või sõltuvad.

Täringut visatakse kaks korda.
A – esimesel viskel saadakse paarisarv silmi
B – teisel viskel saadakse 4 silma
Kas A ja B on sõltumatud või sõltuvad.

Korvis on 4 õuna ja 5 pirni . Võetakse kolm puuvilja.
A – esimesena saadakse õun.
B – teisena saadakse õun.
C – kolmandana saadakse õun.
Kas A, B, C on sõltumatud või sõltuvad?

Korvis on 4 valget ja 5 punast kuulikest. Võetakse üks kuul. Pärast tema värvi kindlakstegemist pannakse kuulike korvi tagasi. Samuti toimitakse veel kaks korda.
A – esimesena saadakse valge kuul
B – teisena saadakse valge kuul
C – kolmandana saadakse kolmas kuul
Kas A, B, C on sõltumatud või sõltuvad?

Kas sündmused A ja B on teineteist välistavad sündmused või mitte?

Visatakse korraga kahte täringut.
A – summana saadakse 7 silma
B – ühe täringuga saadakse 5 silma, teise täringuga 2 silma

Visatakse korraga kahte täringut
A – mõlema täringuga saadakse paarisarv silmi
B – summana saadakse 11 silma

Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse 4 suvalist kaarti.
A – saadud kaartide hulgas on 3 ässa
B – saadud kaartide hulgas on vähemalt 2 ärtu mastist kaarti

Kaardipakis on 36 kaarti. Tõmmatakse üks kaart.
A – saadud kaart on ärtu äss
B – saadud kaart on risti mastist
Tõenäosuse mõiste, tõenäosuse arvutamine
Tõenäosus – sündmuse toimumise võimalikkuse määr (arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust).
Eristatakse järgmisi tõenäosuse arvutamise võtteid: klassikaline tõenäosus, geomeetriline tõenäosus, statistiline tõenäosus. Vaatleme neid lähemalt.
1. Klassikaline valem:
p - tõenäosus
p(A) – sündmuse A tõenäosus
m – sündmuse A jaoks soodsate võimaluste arv antud katses
n – antud katses kõikvõimalike võimaluste arv
Võimatu sündmuse korral
Kindla sündmuse korral
Juhusliku sündmuse tõenäosus jääb aga 0 ja 1 vahele:
Seos sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste vahel:
Näited
1) A – täringuviskel saadakse 5 silma
n = 6 (igal viskel võib saada ühe järgmistest tulemustest: 1, 2, 3, 4, 5, 6)
m = 1 (viis silma on vaid ühel tahul)
2) A – kahe täringu koos viskamisel saadakse summaks 8
n = 36 (esimesel täringul võib olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6; teisel täringul aga samuti 1, 2, 3, 4, 5, 6; kokku seega 6·6 = 36)
m = 5 (soodsad on järgmised paarid: 2 ja 6, 6 ja 2, 5 ja 3, 3 ja 5, 4 ja 4)
3) Kaardipakist tõmmatakse 3 kaarti. Kui suur on tõenäosus, et nende hulgas ei ole ässasid?
n = 52 · 51 · 50 (esimese kaardi valimiseks on 52 võimalust, teise kaardi valimiseks jääb siis üle 51 kaarti, kolmanda kaardi jaoks aga 50 võimalust)
m = 48 · 47 · 46 (esimese “mitteässa” valimiseks on 48 võimalust, teie kaardina “mitteässa” valimiseks 47 võimalust, kolmanda jaoks 46 võimalust)
4) On teada, et p(A) = 0,2, siis vastavalt sündmuse ja vastandsündmuse tõenäosuste vahelisele seosele =1 – 0,2 = 0,8
Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele

1. Täringut visatakse 5 korda järjest. Kui suur on tõenäosus, et neljandal katsel saadakse 5 silma?
2. Visatakse korraga kahte täringut.
Kui suur on tõenäosus, et summaks on vähemalt 3 silma?
3. Firma annab teatud detailile 99%-lise garantii tööks ühe aasta jooksul. Kui suur on tõenäosus, et selles firmas toodetud detail läheb rikki enne aasta möödumist?
4. Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult üks kaart. Kui suur on tõenäosus, et saadakse pilt (piltideks on sõdur, emand , kuningas, äss)?
5. Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et nad mõlemad on ärtu mastist?
6. Klassis on 15 poissi ja 10 tüdrukut. Ajalootunnis kutsutakse vastama üks õpilastest. Kui õpilase väljavalimine on juhuslik, kui suur on siis tõenäosus, et vastama kutsutakse poiss?
7. Korvis on 2 valget, 5 musta ja 6 sinist palli. Võetakse 10 palli (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et korvi jäävad vaid valged pallid ?
8. Mustkunstniku 52-lehelises kaardipakis on vaid ärtu ässad ning risti kuningad (mõlemaid võrdselt). Võetakse 37 kaarti (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et nende kaartide hulgas on vähemalt üks äss?
9. Ühel riiulil on 4 saksakeelset ja 5 inglisekeelset raamatut. Riiulilt võetakse 2 raamatut. Kumb tõenäosus on suurem, kas see, et riiulile jääb inglisekeelseid rohkem kui saksakeelseid, või see, et saksakeelseid raamatuid jääb riiulile rohkem kui inglisekeelseid, või on need tõenäosused hoopiski võrdsed?
10. Peeter ja Ants sõlmivad järgmise kihlveo. Neutraalne isik viskab kolme täringut korraga. Peeter võidab, kui kolme täringu summana saadakse vähemalt 10 silma, Ants võidab vastupidisel juhul. Kumma poisi võidu tõenäosus on suurem?
2. Geomeetriline tõenäosus.
Vaatleme näidet. Järve keskel asub saar. Arvutuste kohaselt tabab meteoriit päris kindlalt järve piirkonda. Kui suur on järve keskel oleva saare tabamise tõenäosus?
Klassikalist valemit kasutada ei saa, sest nii saarel kui ka järvel on lõpmatult palju punkte. Küll aga saab leida kummagi pindala – saare pindala S1 ja järve pindala S.
Sellisel juhul sündmuse A tõenäosus (meteoriit tabab saart) avaldub järgmiselt:
Geomeetrilist tõenäosust saab rakendada nn ühemõõtmelisel juhul (näit., kui suur on tõenäosus, et 1 m pikkune raudlatt murtakse katki 40. ja 60. cm vahelt; lahenduseks leitakse vastavate lõikude pikkuste suhe) kui ka kolmemõõtmelisel juhul (siis leitakse tõenäosuse arvutamisel ruumalade suhe).
Huvitav on tähele panna, et ka võimaliku sündmuse tõenäosus võib olla null.
Näit. kui ülaltoodu saarel valida vaid üks punkt, siis tõenäosus, et meteoriit tabab seda punkti, on null (punkti pindala on null). Samas on punkti tabamine ju võimalik!
3. Statistiline tõenäosus
Rakendatakse siis, kui katsetulemusi ei ole võimalik ette näha (erinevaid katsetulemusi on lõpmatult palju või lihtsalt ei teata, mis katsetulemusteks võib tulla) või kui erinevad tulemused ei ole võrdvõimalikud (näit. täringu raskuskeset on nihutatud, nii et mõni tahk hakkab viskamisel sagedamini esile tulema).
Sellisel juhul saab sündmuse tõenäosust hinnata nn tagantjärele.
Fikseeritakse teatud hulga katsete (l katset) käigus esiletulnud sündmuse A toimumiste arv k ning leitakse nn suhteline sagedus .
Kui katseid on tehtud küllaldaselt palju, siis see suhe läheneb sündmuse A toimumise tõneäosusele:
Näited
1) Korvpallur viskab iga treeningu lõpus vabaviskeid. Tulemused on kantud tabelisse
Visete arv
150
150
200
200
150
Tabamusi
100
90
130
125
110
Nende andmete põhjal leiame: k = 555, l = 850
2) Ehkki poisi sündimise tõenäosus on esimesel pilgul sama suur kui tüdruku sündimise tõenäosus, näitab statistika muud. Erinevate allikate andmetel on poisi sündimise tõenäosus ligikaudu 0,516.
3) Et hinnata mingi detaili töökõlbulikkust mingi ajaperioodi kestel (selleks et omistada talle garantiid ), vaadeldakse teatud hulka detaile vaadeldava ajaperioodi jooksul, leitakse suhe
ning saadud arv loetaksegi antud liiki detailide garantiimääraks (tõenäosuseks, et juhuslikult valitud detail etteantud aja jooksul tõrgeteta töötab). Kombinatoorika elemendid
Tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisel on tihti vaja leida mitmesuguste nn ühendite arvu.
Ühenditeks nimetatakse mingitest esemetest, elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest.
Näit.
1) mitu erinevat järjekorda saab moodustada kümnest inimesest
2) mitmel erineval viisil saab klassi 20 õpilasest valida välja kaks klassi korrapidajat
3) mitu erinevat viiekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, 5 ( numbrid ei tohi korduda)
4) mitu erinevat viiekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, 5, kui numbrid tohivad korduda
5) mitu erinevat võimalust on 52 kaardi hulgast valida 5 kaarti
Vaatleme järgmisi mõisteid: permutatsioonid, variatsioonid , kombinatsioonid.
1. permutatsioonid - antud hulga elementidest moodustatud kõikvõimalikud järjestused
Näit.
kahe elemendi a, b korral on võimalikud järjekorrad: a b
b a
kolme elemendi korral on võimalikud järgmised järjekorrad: a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a
nelja elemendi korral võib arutleda nõnda, kui esimesele kohale paigutada element a, siis ülejäänud kolme elemendi omavaheliseks järjestamiseks on 6 võimalust; kui esimesel kohal on element b, siis ülejäänud elemente saab järjestada 6 viisil, samamoodi on see ka siis, kui esimesel kohal on element c või element d.
Kokku on nelja elemendi järejestamiseks siis 24 võimalust.

Permutatsioonide arvu tähistatakse sümboliga Pn.
Seega leidsime, et
P2 = 2 = 1 · 2
P3 = 6 = 1·2·3
P4 = 24 = 1·2·3·4
Jätkates samasuguseid arutlusi, jõuame tulemusele, et
P5 = 120 = 1·2·3·4·5 P6 = 720 = 1·2·3·4·5·6
Üldkujuline valem: Pn = 1·2·3·...·n
Korrutist 1·2·3·...·n tähistatakse matemaatikas sümboliga n! ning nimetatakse faktoriaaliks.
Erijuhtumid : 1! = 1 0! = 1
Permutatsioonide arvutamise valemi üldkuju on seega Pn = n!
Näiteks
1. Kümnest inimesest saab moodustada P10 = 10! = 1·2·3·...·10 = 368800 järjekorda.
2. Sõnadest TIHTI TAEVAS TÄHTI NÄHTI saab moodustada sõnade järjekorra muutmise teel 4! = 24 erinevat lauset. Kirjutage need laused välja ja püüdke minuti jooksul nad ette lugeda!!!
3. Numbrite 1, 2, 3, 4, 5 abil saab moodustada 5! erinevat viiekohalist arvu (kui korduvad numbrid pole lubatud)
4. Kui klassis on 27 õpilast, siis nendest saab moodustada 27! järjekorda. Taskuarvutiga arvutades (on olemas n! või x! klahv, kasutada koos funktsiooniklahviga) leiame, et 27! = 1,08 · 1028.
Kui ühe järjekorra loomiseks kuluks 15 sekundit, siis kokku kuluks nende järjekordade moodustamiseks 5,2 · 1021 aastat.
2. variatsioonid – n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad
(hulga elementidest valitakse välja teatud arv elemente (k elementi) ning esitatakse nende väljavalitud elementide kõikvõimalikud järjestused)
Näiteks
Laual on kaardid tähtedega M U A R I T E L
Väikesel Maril lastakse valida 4 tähte ning asetada need üksteise järele. Kui suur on tõenäosus, et ta laob välja oma nime. Lugeda ta veel ei oska.
Lähtume klassikalisest valemist .
Kõikide võimaluste arv n leidmiseks arutleme järgmiselt.
Esimese tähena võib olla ükskõik milline 8 tähest. Teise tähe valikuks jääb siis võimalusi 7, kolmanda tähe jaoks 6 ja neljanda jaoks viis.
Kokku on kõiki võimalusi: n = 8 · 7 · 6 · 5
Soodsaid võimalusi on vaid üks (see, kui valitakse tähed M A R I)
Tõenäosus:
Arvutusvalem variatsioonide arvu leidmiseks:
/variatsioonide arv n elemendist k kaupa/
Meie näites
Erijuhtumid:
Veel näiteid:
1. Mitu erinevat 5-kohalist arvu saab moodustada numbrite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 abil, kui korduvaid numbreid ei tohi arvus olla?
Lahendus
Leida on vaja . Vastavalt arvutusvalemile leiame
2. Digiallkirja andmiseks vajalik PIN2 kood on 5-kohaline. Ants pani tähele, et Peetri PIN2 algab numbriga 2 ning lõpeb numbriga 4. Veel tundus Antsule, et kõik numbrid olid erinevad. Mitu katset peab Ants maksimaalselt tegema, et Peetri PIN2 koordi teada saada?
Lahendus
Kuna numbrid on erinevad, algus- ja lõpunumber aga teada, siis tuleb leida
Seega, kui on tehtud juba 335 katset ning PIN2 koodi veel ei ole kätte saadud, siis 336. katsel saab Ants täie kindlusega Peetri PIN2 koodi sisestada.
3. kombinatsioonid – n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestamata osahulgad; võrreldes variatsioonidega on erinevus selles, et elementide järjestus ei ole oluline, tähtis on vaid see, et väljavalitud osahulkade elementide hulgas oleks erinevaid elemente)
Näiteks.
1) Klassis on 20 õpilast. Mitu võimalust on 2 korrapidaja väljavalimiseks/määramiseks?
2) Kaardipakis on 52 kaarti. Mitu erinevat 5 kaardist koosnevat kombinatsiooni saab moodustada (kaartide kättesaamise järjestus ei ole oluline).
3) Viking Lotto loosimisel valitakse välja 6 numbrit 48 numbrist. Mitu erinevat kombinatsiooni on?
Arvutusvalem (ilma tuletuseta):
Näiteks:
Erijuhtumid:
Eespool esitatud näidete lahendused:
1) korrapidajate määramine:
2) kaardikombinatsioonide arv:
3) Viking Lotto kombinatsioonid:
Siit järeldame muuhulgas , et kui osta veidi üle 12 miljoni pileti, täita need erinevalt, siis saame kindlasti nn jackpoti! (kulutame ca 12 · 10 = 120 miljonit krooni ning võidame 9 miljonit!)
Ülesanded geomeetrilise ja statistilise tõenäosuse kohta.
Ülesanded permutatsioonide, variatsioonide, kombinatsioonide kohta.
1. Laual on täheklotsid tähtedega A, B, C, D, M, U, R, I
Tuppa kutsutakse koer Muri, kellel kästakse käpaga näidata, millises järjekorras tuleb klotse välja valida. Kui neli klotsi on välja valitud, kui suur on siis tõenäosus, et Muri suutis välja valida oma nimeks vajalikud klotsid (õiges järjekorras)?
2. Ukse mõõtmed on 1x2 meetrit. Ukses on aknake mõõtmetega 2x5 detsimeetrit. Ust pommitatakse/visatakse lumepallidega. Kui suur on tõenäosus, et tabatakse aknaruutu?
3. Klassi 25 õpilase hulgast tuleb kooli õpilasesindusse valida kaks liiget. Mitu erinevat võimalust on?
4. Mitu erinevat kolmekohalist erinevatest numbritest koosnevat arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, 5, 6?
5. Korvpallur on viimase hooaja ametlikes mängudes sooritanud kokku 2400 lähipositsiooni pealeviset, neist tabanud aga 1000. Kui suur on tõenäosus, et täna toimuvas mängus see korvpallur tabab oma viienda pealeviske?
6. Kaardipakis on 52 kaarti. Sealt võetakse kolm kaarti. Mitu erinevat kaardikombinatsiooni võib saada?
7. Kui korvis on 5 valget ja 6 musta ühesuurust kuulikest ning korvist võetakse 2 kuuli, kui suur on siis tõenäosus, et saadakse kaks valget kuuli?
8. Kui täringuviskamisel on üheksal korral järjest saadud 6 silma, kui suur on siis tõenäosus, et kümnendal korral saadakse ka 6 silma?
9. Mul on taskus 5-, 10-, 20-, 50- ja 100-eurosed rahatähed (igaüht täpselt üks). Kui ma võtan järjest need rahatähed taskust välja, kui suur on siis tõenäosus, et viimasena saan 100-eurose rahatähe?
10. Mitu erinevat kolmetähelist “sõna” saab moodustada tähtede X, Y, Z abil, kui iga täht tohib esineda sõnas vaid ühe korra?