Fibonacci jada (referaat) (3)

Q: Kus on inimesed seda kasutanud?

Vastus leiad õppematerjalist: Fibonacci jada (referaat)

5 VÄGA HEA

õnn - Tuleb kõvasti tööd teha, mitte oodata, et õnn (taevast) sülle kukub

Esitatud küsimused

Kus on inimesed seda kasutanud?

Rakvere Ametikool
Kevin Kullerkupp
MT10
FIBONACCI JADAD
Referaat
Juhendaja : Riho Kokk
Rakvere 2012
Sisukord
Sissejuhatus………………………………………………….. 3
1 . Fibonacci arvud ja nende üldistused…………………………….. 4¨¨
1.1 Fibonacci arvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Üldistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨5-6
1.2.1 Jada algsete väärtuste muutus (esimene ¨ üldistus) . . . . . . . . . . ¨5-6
1.2.2 Elementide kordajate muutus (teine üldistus) . . . . . . . . . . . . ¨5-6
1.2.3 Valitavate elementide muutus (kolmas üldistus) . . . . . . . . . . . ¨5-6¨
2 . Kuldlõige. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Kus on inimesed seda kasutanud? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
4. Fibonacci arvud ja kuldlõige looduses . . . . . . . . . . . . . . . .9
5. Inimese proportsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
6. Kokkuvõte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Sissejuhatus
Matemaatikas on üheks kestvaimaks uurimisobjektiks olnud Fibonacci arvud - jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . , milles iga järgnev element on kahe eelneva summa. Esimesena käsitleti neid teaduslikult juba 13. sajandil. Varasest avastamisest hoolimata pakuvad nad aga suurt huvi ka tänapäeva matemaatikutele, omades väärtust nii teoreetikute kui praktikute jaoks. Nende uurimisele on pühendatud 4 korda aastas ilmuv ajakiri, neid käsitletakse ka paljudes teistes väljaannetes ja tähtsamaid uurimistulemusi avaldatakse tihti raamatutena. Kõige selle põhjuseks on ilmselt just nende arvude lai rakendatavus ja üldistatavus. Nimelt põhineb suur osa looduslikest protsessidest kas eksponentfunktsioonil (ex) või siis just diskreetsetel rekurrentsetel jadadel, millistest lihtsaimaks ehk ongi Fibonacci jada. Siiski on imestamisväärne, et siiani leitakse uusi viise nende arvude rakendamiseks, nii börsi liikumiste ennustamiseks, õnnemängudes võitmiseks ning algoritmide keerukuse hindamiseks. Huvi pakuvad kindlasti ka puhtalt arvuteoreetilised tulemused, mida arvude pikast ajaloost hoolimata siiski pidevalt juurde avastatakse. Niisiis on Fibonacci arvude näol tegu vägagi unikaalse nähtusega matemaatikas.
3
1. Fibonacci arvud ja nende üldistused
1.1 Fibonacci arvud
Fibonacci arvude ∗ nime all tuntakse tanapäeval jada 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . , kus jada iga jargmine element on kahe eelneva summa. Edasises tekstis on n-is Fibonacci arv tähistatud kujul Fn. Kuigi tanapäeval on teada juba jada üldliikme valem (nn. Binet’ valem, (1.1)), Deﬁneerimisel on siiski vaja paika panna ka kaks suvalist elementi. Tavaliselt ﬁkseeritakse F0 = 0 ja F1 = 1. Fibonacci arve on uuritud juba 13. sajandist peale. Nimelt saab nende abil üpris hästi kirjeldada paljusid looduslikult kulgevaid protsesse. Samuti on kahe järjestikuse lõpmatusele laheneva indeksiga Fibonacci arvu jagamisel saadav suhe
Φ = 1+√52≈1, 618034 juba antiigist saati olnud kasutuses kunstis, kus seda peetakse koige harmoonilisemaks suhteks kahe pikkuse vahel (nn. kuldloige). Lisaks on arvud ise seotud mõningate kombinatoorika ja paljude tõenäosusteooria probleemidega (ka praktilise tõenäosusteooria, nt ruletiteooria, börsi liikumise teooriatega), samuti on nad leidnud kasutust informaatikas (nt. Fibonacci otsing, kui parandatud versioon kahendotsingust, mõnede algoritmide keerukuse hindamine).
∗
-Nimetatud Leonardo Pisano Fibonacci, 13. saj. itaalia matemaatiku auks.
4
1.2 Üldistused
Erinevaid üldistusi on Fibonacci arvudele päris mitu. Kuna nad pole nii põhjalikult läbiuuritud, kui seda on algne jada ise, on nende praktilised kasutusalad praeguse seisuga pisut piiratumad. Pea kõik neist sobivad aga sellegipoolest mingite spetsiiﬁliste protsesside kirjeldamiseks, leides seega kasutust ligilahedaselt sarnastel aladel kui algsed Fibonacci arvud. Selles uurimistöös on käsitletud üldistustest kolme põhilisemat. Väärib veel mainimist, et neid saab omavahel üpris hästi kombineerida.
1.2.1 Jada algsete väärtuste muutus (esimene üldistus)
Selle asemel, et jada algaks kahe kindla väärtusega, nagu Fibonacci arvude puhul selleks on F0 = 0 ja F1 = 1, võib ta alata ka mingite suvaliste arvudega , sest matemaatiliselt on põhilisimaks omaduseks ikkagi seos. Kuigi jada jab üheselt määramata, kehtivad sellistel tingimustel leitud valemid mitte ainult ühel kindlal jadal, vaid tervel jadade klassil. Sellist lähenemist võib ilmselt rakendada ka kahele ülejäänud üldistustele.
1.2.2 Elementide kordajate muutus (teine üldistus)
Selle asemel, et järgmise elemendi annab kahe eelneva jada elemendi lihtne summeerimine , võib mõlemale liidetavale valemis anda kordaja. Edasises tekstis on sellist tüüpi lihtsamad jadad tähistatud Un. Nii saame seose Un = pUn−1 + qUn−2. Kuigi jada võib üldisuse huvides jätta ka üheselt deﬁneerimata, võetakse tihti sellise jada alguseks V0 = 0 ja V1 = 1∗ , mis annab tavaliselt algsele kujule juurde mõned matemaatiliselt head omadused. Tuleb mainida, et tegelikult on selliste jadade näol tegu lihtsalt teist järku vabaliikmeta lineaarsete võrrandite lahenditega. Kuna need jadad
5
on mittediskreetse matemaatika vaatepunktist pea identsed Fibonacci arvudega, saab paljusid ainult viimastele kehtivaid valemeid lihtsate vahenditega üldistada kõigile selle alajaotuse alla kuuluvatele jadadele.
∗
- Un tahistab edaspidi üheselt määramata liikmetega jadasid, Vn aga sel viisil antud kindla algusegajad
1.2.3 Valitavate elementide muutus (kolmas uldistus)
Selle asemel, et liita kahte elementi, on võimalik liita nt. 3 või 4 või k elementi, samuti ei pea neid alati valima sugugi järjestikuseid. Antud juhul ei piisa muidugi jada üheseks määramiseks enam alati kahe algelemendi deﬁneerimisest, vaid on vaja ette anda nii mitu algelementi, kui suur on suurima ja vähima indeksi vahe antud seoses kasutatud elementidel.
Gx =Xki=1Gx−i ja Gx = Gx−1 + Gx−k.
6
Kuldlõige
Φ=1,61803398874989484820458683...
Φ=
Esimesena mainis seda matemaatik Euclid umbes 300 aastat E.Kr, pannes selle kirja seosena:
7
Kus on inimesed seda kasutanud?
8
Fibonacci arvud ja kuldlõige looduses
Fibonacci jada on nummerdamise süsteem looduses – leheasetused taimel, taimeõite ehitus, inimese proportsioonid, okaspuude käbide ehitus jpm. ...isegi DNA ehitus allub sellele:
9
Inimese proportsioonid
10
Kokkuvõtteks
Eelnevate seoste üle ei tasu siiski liialt pead murda – elusloodusel on olnud pea pool miljardit aastat aega, et avastada effektiivseimad moodused kasvamiseks ja paljunemiseks.
Kes teab, ehk on kuldlõige universaalne suurus, mis kirjeldab kogu universumis toimuvat...
11

.DOCX Laadi alla originaalfail 9 lk · .docx · 37 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 9 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2012-01-31 Kuupäev, millal dokument üles laeti

37 laadimist Kokku alla laetud

3 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Kevin_14 Õppematerjali autor

Matemaatikas on üheks kestvaimaks uurimisobjektiks olnud Fibonacci arvud - jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . , milles iga järgnev element on kahe eelneva summa. Esimesena käsitleti neid teaduslikult juba 13. sajandil. Varasest avastamisest hoolimata pakuvad nad aga suurt huvi ka tänapäeva matemaatikutele, omades väärtust nii teoreetikute kui praktikute jaoks. Nende uurimisele on pühendatud 4 korda aastas ilmuv ajakiri, neid käsitletakse ka paljudes teistes väljaannetes ja tähtsamaid uurimistulemusi avaldatakse tihti raamatutena. Kõige selle põhjuseks on ilmselt just nende arvude lai rakendatavus ja üldistatavus. Nimelt põhineb suur osa looduslikest protsessidest kas eksponentfunktsioonil (ex) või siis just diskreetsetel rekurrentsetel jadadel, millistest lihtsaimaks ehk ongi Fibonacci jada. Siiski on imestamisväärne, et siiani leitakse uusi viise nende arvude rakendamiseks, nii börsi liikumiste ennustamiseks, õnnemängudes võitmiseks ning algoritmide keerukuse hindamiseks. Huvi pakuvad kindlasti ka puhtalt arvuteoreetilised tulemused, mida arvude pikast ajaloost hoolimata siiski pidevalt juurde avastatakse. Niisiis on Fibonacci arvude näol tegu vägagi unikaalse nähtusega matemaatikas.

fibonacci jada

Sarnased õppematerjalid

odt

Fibonacci jada

Rakvere Ametikool Sten Taklaja Al10 Fibonacci jada Referaat Juhendaja: Riho Kokk Rakvere 2013 SISUKORD Sissejuhatus....................................................................................................1 Fibonacci Arvud.............................................................................................2 Fibonacci side kuldlõikega.............................................................................3 Pilte........................................................................................

Matemaatika

docx

Fibonacci jada

MIS ON JADA? Jada on matemaatikas kujutus, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N või selle mõni alamhulk. Määramispiirkonna fikseeritud elemendi kujutist nimetatakse selle jada elemendiks ehk liikmeks. Kui kujutuse määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk või selle mõni lõpmatu alamhulk, siis räägitakse lõpmatust jadast. Lõpliku määramispiirkonna korral räägitakse lõplikust jadast ehk järjendist. Lõplike jadade puhul on võimalik kõnelda jada pikkusest ehk selle jada liikmete arvust. Jada pikkusega n määramispiirkonnaks valitakse sageli hulk {1,2,3,...,n} Tähistused: Lõplikke jadasid pikkusega n tähistatakse loetlemise teel

Matemaatika

docx

ITT0030 Diskreetne matemaatika II - eksamikonspekt

[8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi. [12]. Rekurrentsed võrrandid. Rekurrentsi lahendamine ad hoc meetodil ja iteratsioonimeetodil. [13]. Tasandi tükeldamine n sirgega ja n nurgaga. [14]. Lineaarsed rekurrentsed võrrandid. [15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide meetodil. [16]. Fibonacci arvud. Üldliikme valem ja rakendused. [17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju

Diskreetne matemaatika ii

816

pdf

Matemaatika - Õhtuõpik

Oskussõnad .................................................. 42 Tähed ja sümbolid .........................................43 Matemaatilised žanrid .................................. 44 OSA 3 – arvude sõbrad ja muutuja ....................................... 48 sugulased ....................................... 125 Muutuja erinevates rollides ........................... 48 jada . ................................................... 128 võrdus ja võrdsus ......................... 52 Aritmeetiline jada ........................................129 Matemaatiline võrdus ....................................54 Geomeetriline jada ...................................... 131 Matemaatilise võrduse kasutused ..................55 Mõned teised põnevad jadad ....................... 135 hulk .....................

Matemaatika

177

pdf

ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS

2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Osajadad. Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Jada osapiirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 Ülemine ja alumine piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Ülemise ja alumise piirväärtuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Aritmeetilised ja kaalutud keskmised. Stolzi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4

Algebra I

156

pdf

Kõrgem matemaatika

. . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 37 4.1 Jada piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Funktsiooni piirväärtuse mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Ühepoolsed piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Funktsiooni piirväärtuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

doc

Loogika ja programmeerimine

............................................................................36 SUUNAMISLAUSE..............................................................................................................38 VALIKULAUSE...................................................................................................................39 ÜLESANDED....................................................................................................................... 39 STRUKTUURSED ANDMETÜÜBID: JADA, MASSIIV, KIRJE, FAIL. .............................39 ............................................................................................................................................... 39 Sissejuhatus ...........................................................................................................................39 Jada. Massiiv. Massiivi mõõtmed .........................................................................................40 Massiivi deklareerimine .

Arvutiõpetus

230

pdf

Programeerimise algkursus 2005-2006

......50 Valikulause.................................................................................................50 Valikulause keeles Pascal.......................................................................50 Valikulause keeles C...............................................................................51 Valikulause keeles Qbasic.......................................................................52 KUUES TEEMA: struktuursed andmetüübid: jada, massiiv, kirje, fail. ...............54 Sissejuhatus ..............................................................................................54 Jada. Massiiv. Massiivi mõõtmed ...............................................................54 Massiivi deklareerimine .............................................................................55 Massiivi deklareerimine keeles Pascal ...................................................55

Programmeerimine

Rohkem sarnaseid