Referaat loogikust Kurt Gödel (0)

Referaat
Kurt Gödel
18.05.2013

Sisukord:

• Sissejuhatus
  
• Loogika
  
• Elulugu
  
• Viini ring ja Kurt Gödel
  
• Gödel Princetoni perspektiivsete uuringute instituudis.
  
• Gödeli täielikkuse ja mittetäielikkuse teoreemid
  
• Kokkuvõte
  
• Kasutatud allikad
  

Sissejuhatus.
Selles referaadis annan teile ülevaate loogikast ja ühest Austria-Ameerika loogikust, matemaatikust ja filosoofist, Kurt Gödel’ist.
Loogika
Loogika on teadus, mis uurib mõtlemise reegleid. Loogikat peetakse ka veel mõtlemismudeliks.
On olemas eri liiki loogikaid, neid on umbkaudu 17, võib-olla isegi rohkem , aga kõige tuntumad ja levinumad on matemaatiline loogika ehk sümbolloogika, formaalloogika ja traditisiooniline loogika.
Matemaatiline loogika on siis matemaatika haru, mis uurib matemaatilisi tõestusi ja matemaatika aluseid. Matemaatiline loogika esitab ka väiteid ja arutlusi kasutades kunstlikke formaalseid keeli.  20. sajandi algul püüdsid  Russell , Frege  ja teised  filosoofid näidata, et matemaatikat saab taandada sümbolloogikale. See neil ei õnnestunud, kuid vastavad uuringud on muutnud tänapäeva formaalse loogika üpris matemaatikasarnaseks. (Kurt Gödel tegeles matemaatilise loogikaga)
Formaalloogika, tuntud kui ka   formaalne loogika tegeleb sellega, kuidas järeldada tõestest väidetest tõeseid väiteid, kuid tavaliselt formaalne loogika ei ütle, millised väited on tõesed ja millised ei ole.
Traditsiooniline loogika, mida teatakse kui ka Aristotelese loogika on üldine nimetus loogikale, mis sai alguse Aristotelesest ja domineeris loogika valdkonnas kuni 19. sajandi lõpuni. 19. sajandil Aristotelese loogika asendus matemaatilise loogikaga.
Elulugu.
Kurt Gödel sündis 28. aprillil , 1906. aastal, tolleaegses Austria-Ungari linnas nimega Brno , (nüüd kuulub linn, Brno Tšehhi Vabariigi alla) tema isa oli Rudolf August, kes oli ärimees ning emaks Marianne August, kes oli haritud kultuuriinimene. Gödel kasvas oma emaga väga ühtseks ning jäi tema kõrvale terveks eluks.
Kurt’i lapsepõlv möödus vaikselt . Ta olevat olnud vaikne ja tagasihoidlik laps, lisaks oli Gödel halva tervisega ja alates tema 4. eluaastast esinesid tal paljud erinevad terviseprobleemid , mis tülitasid teda kogu tema elu.
Koolis oli Gödel eeskujulik õpilane. Eriti paistis ta silma matemaatikaga, keeltega ja religiooniga. 12-aastaselt sai temast  Tšehhoslovakkia  kodanik, sellepärast, et 24. oktoobril 1918 Austria-Ungari lagunes. Pärast Brno linnas gümnaasiumumi lõpetamist läks Kurt Gödel, 18-aastasena, Viini Ülikooli. Seal otsustas ta õppida füüsikat, kus ta kolmandal õppeaastal matemaatika erialale üle läks. Ülikoolis kohtus ta meestega nagu Rudolph Carnap ja Hans Hahn, kellelt ta loogikat õppis. Gödel lõpetas ülikooli matemaatika erialal aastal 1929 ja 1931 . aastal avalikustas ta oma mittetäiuslikkuse teoreemid. 1932 võttis Gödel endale Austria kodakondsuse, sellest jäi ta aga paratamatult ilma, sest Adolf Hitler otsustas 1940. aastal Austria ja Saksamaa ühendada. Temast sai Saksa Reichi kodanik. Gödel tembeldati „tugevalt juudistunud matemaatikuks“ ja seega oli ta sunnitud Adolf Hitleri Saksamaalt põgenema. Ta otsustas põgeneda koos oma naise Adele ’iga Ameerika Ühendriikidesse, kus ta sai tööd  Princetoni perspektiivsete uuringute instituudis. Temast sai Princetoni perspektiivsete uuringute instituudi liige ja talle tagati professori ametikoht . 1948. aastal sai Kurt Gödel ja tema abikaasa Adele Ameerika Ühendriikide kodakonsuse. Gödel töötas instituudis kuni erruminekuni (?pensionile, erru lähevad sõjaväelased ainult), mis oli aastal 1976.
1930. aastatel ilmnesid Gödelil vaimsed kõrvalekalded, mis vahelduva intensiivsusega häirisid teda elu lõpuni. See ei seganud tema teaduslikku loovust. Gödel suri 71-aastasena 14. jaanuaril 1978. Surma põhjuseks oli väidetavalt nälg. Niisugusele surmale aitasid kaasa tema vaimsed kõrvalekalded. Nimelt kartis Gödel, et ta toit on kas mürgitatud või kubiseb bakteritest. Seega lõpetas ta söömise ning näljutas ennast surnuks .
Viini ring ja Kurt Gödel.
Nagu eelnevalt mainitud sai Kurt Ülikoolis oma loogika teadmised Rudolph Carnap’ilt, kes oli Saksmaa päritoluga filosoof ning Hans Hanh’ilt, kes oli Austria matemaatik. Rudolph ja Hans kuulusid „Viini ringi“. Viini ring oli filosoofide ja teadlaste ring, mida juhtis mees nimega  Moritz Schlick. Nad käisid koos üle nädala aastatel 1924 -1936 ja nende lähenemist filosoofiale hakati nimetama  loogiliseks positivismiks. 1936 lasi üks õppur Mortz Schlicki maha ning ring lagunes.
Kuigi Kurt Gödel ise ei kuulunud Viini ringi, meeldis talle nende koosolekuid külastamas käia ja nende diskussioonides osaleda. Need mõjutasid teda väga.
Gödel Princetoni perspektiivsete uuringute instituudis.
Instituudis kohtus Gödel Albert Einstein’iga, kellega nad väga hästi läbi said ja lõpuks sõpradeks said.
Instituudis hakkas Gödel huvi näitama matemaatika filosoofia suunas. Ta avaldas oma esimese filosoofilise teksti aastal 1944, mille pealkirjaks oli „On Russell's Mathematical Logic “. Oma teise teksti avaldas ta aastal 1947, pealkirjaks „What is Cantor's Continuum Hypothesis?”. 1949. aastal avaldas ta oma kolmanda teksti, mille pealkirjaks sai „A Remark on the Relationship between Relativity Theory and Idealistic Philosophy“. Gödeli filosoofilised tekstid ei piirdunud vaid kolmega, lisaks neile kolmele avaldas ta veel palju teisi ning isegi andis loengu 1941. aastal Yale’i Ülikoolis, teemal „In What Sense is Intuitionistic Logic Constructive?”.
Gödeli täielikkuse teoreem ja mittetäielikkuse teoreemid.
Gödeli teoreem on  formaalse aritmeetika mittetäielikkuses. Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav.
Täielikkuse teoreem;
http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html : „1930. aastal tõestas Gödel, et loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli , Whiteheadi, Hilberti, Tarski , Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski, poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest.“
Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise induktsiooni printsiipi , mis n-ö loob ehk genereerib täisarvud koos kõigi nende omadustega. Kõike, mida üldse kirja panna saab, saab otseselt või kaudselt kirja panna predikaatarvutuse vahendite abil; täisarvude kõigi omaduste hulk ei ole aga üldse lõplikul viisil kirja pandav .“’
Mittetäielikkuse teoreem;
http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html : „Gödeli kõige kuulsam resultaat on varem mitmel korral mainitud teoreem mittetäielikkusest, avaldatud 1931. aastal: Peano aritmeetika postulaatide range aksiomatiseerimine annab formaalse teooria, millest ei saa tuletada kõiki tegelikult tõeseid aritmeetikaväiteid.
Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks : kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi.
Koostame nüüd sellise aritmeetilise väite A, mis ütleb, et seesama A ei ole tõestatav (see väide ei ütle, et A ei ole tõsi!). Siis ei saa väide A ise olla vale. Tõepoolest, kui A oleks vale, siis A sisu kohaselt peaks A olema tõestatav. Kuna me valesid väiteid tõestada ei saa, siib peabki A olema õige. Kuna A on õige, peab kehtima see, mida A väidab: A pole tõestatav. Tõepoolest, kui A oleks tõestatav, siis oleks A sisu ("A ei ole tõestatav") vale, see on aga, nagu näidatud, võimatu. Kokkuvõtteks, A on õige, aga ei A ega A eitus pole tõestatavad.“
Kokkuvõte
Oma elu jooksul andis Kurt Gödel loogikale väga palju tagasi. Ta töötas välja ja avalikustas mittetäiuslikkuse teoreemid, hulga artikkleid nind muud huvitavat.
Kasutatud allikad:
http://plato.stanford.edu/entries/goedel/
http://et.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6deli_mittet%C3%A4ielikkuse_teoree m
http://et.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
http://et.wikipedia.org/wiki/Viini_ring
http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html
http://et.wikipedia.org/wiki/S%C3%BCmbolloogika
http://et.wikipedia.org/wiki/Traditsiooniline_loogika
http://et.wikipedia.org/wiki/Formaalne_loogika
http://et.wikipedia.org/wiki/Loogika