Tehted ratsionaalarvudega (1)

Tehted ratsionaalarvudega
© T. Lepikult , 2010 Ratsionaalarvud Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ühiselt ratsionaalarvudeks . Ratsionaalarve tähistatakse sümboliga Q.
Ratsionaalarve võib ka defineerida kahe täisarvu jagatisena ( sealjuures ei või jagaja muidugi null olla).
Näited : 2 6 0 Q; 12 Q; - 1 Q; - Q; 4 Q. 11 13
Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvu esitamine kümnendmurruna Iga ratsionaalarv esitub kas lõpliku või (lõpmatu) perioodilise kümnendmurruna
Näiteks: 2 = 2, (0);
1 - = -0,25; 4 2 - = -0,181818... = -0, (18). 11 Kümnendmurrud Kümnendmurd on kümnendsüsteemis koma abil kirjutatud murdarv, kus komast vasakul paiknevad täisosa numbrid ning komast paremal murdosa numbrid.
Iga lõpliku või perioodilise kümnendmurru saab esitada harilike murdude summana, lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru aga vastava rea (e. lõpmatu summa) abil.
Näited: täisosa murdosa
7 7 1) 3,7 = 3 + = 3 ; 10 10 Näited kümnendmurdudest 3 1 5 9 2) - 15,3159 = -(15,3159) = -15 + + + + = 10 100 1000 10000 3159 = -15 ; Geomeetrilise rea summa 10000 valemi põhjal
3 3 3 3) 3,333... = 3 + 0,333... = 3 + + + + ... = 10 100 1000 3 3 3 1 = 3 + 10 = 3+ = 3+ = 3 . 1 9 9 3 1- 10 10 10 1 4 1 5 9 4) 3,14159... = 3 + + + + + ... 10 100 1000 10000 100000 Perioodiline kümnendmurd Perioodiliseks nimetatakse niisugust lõpmatut kümnendmurdu, mille murdosas mingist kohast alates teatav numbrite rühm (periood) lõpmatult kordub.
Kui periood algab vahetult pärast koma, siis on tegemist nn. puhtperioodilise, vastasel korral aga nn. segaperioodilise kümnendmurruga.
Perioodi tähistamiseks kasutatakse ümarsulge. Näited perioodilistest kümnendmurdudest puhtperioodiline kümnendmurd
1 (loe: null koma 1 perioodis ); 1) = 0,111... = 0, (1) 9 12 2) - = -1,7142871428... = -1, (71428); 7 (loe: miinus üks koma, 71428 perioodis);
segaperioodiline kümnendmurd 5 3) = 0,83333... = 0,8(3) 6 (loe: null koma kaheksa, kolm perioodis); Null perioodilise kümnendmurru perioodina Perioodi null võib jätta kirjutamata.
Näited : 2 1) = 0,4000... = 0,4(0) = 0,4; 5 48 2) = 0,0768000... = 0,0768(0) = 0,0768; 625
Järeldus : Ei ole õige kirjutada = 3,14, kuna 3,14 = 3,14(0) 3,14159...
Õige on: 3,14, või = 3,14... . Perioodilise kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks geomeetrilise rea abil Iga perioodiline kümnendmurd on vaadeldav perioodi ees seisva lõpliku kümnendmurru ja lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summana. See asjaolu võimaldab teisendada perioodilist kümnendmurdu harilikuks murruks.
7 7 7 Näide: 0, (7) = 0,777... = + + + ... = 10 100 1000
7 1 1 2 1 n = 1 + + + + + = 10 10 10 10 7 7 7 9 7 10 7 = 10 = 10 = : = = . 1 9 10 10 10 9 9 1- 10 10 Perioodilise kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks (II) Näide : - 3,4(27) = - 3,4 + 27 27 2) + + ... = 1000 100000 4 27 1 1 2 = - 3 + 1 + + + = 10 1000 100 100
27 27 3 1 4 1000 4 1000 4 27 100 = - 3 + = - 3 + = - 3 + = 10 1 - 1 10 99 10 1000 99 11 100 100 10
4 3 44 + 3 47 = - 3 + = - 3 =-3 . 10 110 110 110 Perioodilise kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks võrrandi abil Näide 1: Olgu x = 1, (3). Korrutades selle võrrandi mõlemat poolt kümnega, saame: 10 x = 13, (3). Kirjutame need võrrandid üksteise alla ja lahutame võrrandite vasakud ja paremad pooled: 10 x = 13, (3) ­ x = 1, (3) 9 x = 12, (0) Lahutamise tulemusena saadud võrrandist leiame otsitava x:
12 4 1 x = = =1 1 1, (3) = 1 . 9 3 3 Seega: 3 Perioodilise kümnendmurru teisendamine harilikuks murruks võrrandi abil Näide 2: Olgu x = 3,25(31). Korrutades selle võrrandi mõlemat poolt 10000-ga ja 100-ga, saame: 10000 x = 32531, (31) ­ 100 x = 325, (31) 9900 x = 32206, (0) Lahutamise tulemusena saadud võrrandist leiame otsitava x: 32206 2506 1253 x= =3 =3 . 9900 9900 4950 1253 Seega: 3,25(31) = 3 4950 Hariliku murru teisendamine kümnendmurruks Selleks, et teisendada harilik murd kümnendmurruks, tuleb jagada murru lugeja nimetajaga.
Näited : 16 1) = 16 : 25 = 0,64(0) = 0,64; 25
2 2) = 2 : 7 = 0,285714285714... = 0, (285714). 7 11 3) = 11 : 12 = 0,91666... = 0,91(6). 12