8. 17,00 -0,07 0,0049 9. 17,00 -0,07 0,0049 10. 17,20 0,13 0,0169 Arvutan mõõtetulemuste keskmise n 1 đ= n ∑ di = 17,070 mm i=1 Arvutan juhusliku vea ehk A-tüüpi mõõtemääramatuse. Selleks on vaja teada Studenti tegurit, mille leian juhendaja antud tabelist. Kuna β (usaldusnivoo - tõenäosus, et tulemus on õige) on 95% ehk 0,95 ja vabadusastmete arv (n-1) on 9, siis saan Studenti teguriks 2,3. Ümardan vastuse kolme kehtiva numbrini. Varunumber on vajalik täpsuse kao vältimiseks edaspidisel ümardamisel. d i−d k ¿ ¿ ¿2 UA(đ) = tn-1,β n ∑¿
n 2 27 2 27 MS EXCEL: tabelist "tagurpidi" lugedes =normsinv((1+)/ 2) Alumine usalduspiir xal = x - = 23, 633 - 0, 032 = 23, 601 Ülemine usalduspiir xül = x + = 23, 633 + 0, 032 = 23, 665 Keskväärtuse 90%-line usalduspiirkond: (23,601; 23,665). Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond. Studenti jaotus Eeldame, et X ~ N(m, ), valimi maht on väike (n < 30) ning standardhälve ei ole teada. Valimi andmetel moodustame juhusliku suuruse X - m ( X - m) n T = = (X) s Nii moodustatud juhuslik suurus allub Studenti e. t-jaotusele vabadusastmete arvuga k = n 1, kus n on valimi maht. Vabadusastmete arvu suurenedes koondub Studenti jaotuse tihedusfunktsioon sk(x) kiiresti normeeritud normaaljaotuse
1,9979 -0,01336 0,000178 3 50±0,5 1,9822 -0,02906 0,000844 2,1385 0,12724 0,01619 1,9686 -0,04266 0,00182 tk 2,01126 Kokku: 0,02081 Lubatud põhiviga 0,0005 s1 0,3 s1 0,005 Studenti tegur 2,8 s2 0,4 s2 0,005 Usaldatavus 0,95 s3 0,5 s3 0,005 tk1 0,075442 n tk2 0,074733 ( x i- x )2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Määramatus 10 4.1 Määramatuse erinevus veast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 A-tüüpi määramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 B-tüüpi määramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4 Studenti kordajad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.5 Liitmääramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.6 Tehted määramatusega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.7 Näide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.8 Märgitest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Keskmise leidmiseks kasutasin valemit : OpenOffices vastas sellele funktsioon AVERAGE. Usaldusvahemike leidmiseks kasutasin funktsiooni CONFIDENCE, kuhu oli ühe argumendina vaja standardhälvet, mille sain funktsiooni STDEVP abil. Alpha on 1-β . Size on valimi suurus(50). Ülesanne 2 Hinnata mittesuitsetajate osakaalu üldkogumis (a) meeste seas, (b) naiste seas usaldusnivool 0,95. Kuna valimi maht jääb alla 30, siis kasutan Studenti jaotust (OpenOffices vastab F^-1 TINV funktsioon) β=0.95 α = (1 + β) / 2 (number) a studenti jaotuse kvantiilide puhul k* = n – 1 (degree_freedom Leian p* = k/n (kus k on mittesuitsetavate arv ja n koguarv) Naistel vahemik (59.2% ; 95.4%) Meestel vahemik (49.3% ; 86.5%) Ülesanne 3 Kas võib arvata, et meeste ja naiste keskmine palk on võrdsed? Koostada hüpoteeside paar. Esitada teststatistik. Usaldusnivoo 0,95 juures leida kriitilised väärtused, kriitiline piirkond. Arvutada
t n n 1 3 (2) tn-1,β- Studenti tegur (“Füüsika praktikumi metoodiline juhend I”, lk.17, tabel 1) β- usaldatavus; füüsika praktikumides tavaliselt β=0,95 ep – mõõtevahendi lubatud piirhälve Traadi raadius ja selle määramatus: d r 2 (3) r f d 2 r UC r UC d d 2
Vahemiku laius on 8,2. Vastus: 95% ostjatest kulutavad leiva- ja saiatoodete ostmise peale kuus ühe inimese kohta 71,1 ± 8,2 krooni ehk 95%-l on vastavad kulutused vahemikus 62,9 ÷ 79,3 krooni. 15 Väikeste valimite korral valimi keskväärtuste jaotus erineb normaaljaotusest ja tsentraalne piirteoreem ei kehti. Sellisel juhul kasutatakse kogumi keskväärtuse usalduspiiride määramisel t-jaotust ehk Studenti jaotust. Jaotuse võttis kasutusele inglise matemaatik William Seally Gosset (1876-1937) oma töös, mille ta avaldas Studenti varjunime all. MS Excelis leiab Studenti koefitsiendi funktsioon TINV, kus argument probability on vea tõenäosus ja deg_freedom vabadusastmete arv. NÄIDE 2.2 Kauba X nädalane läbimüük viies kesklinna poes oli 16, 82, 29, 31 ja 55 tk. Leida keskmine nädala läbimüük mingis kesklinna poes. Lahendus: Valimi keskväärtus (AVERAGE) ja standardhälve (STDEV)
0,4 0,2 A 0 0 10 20 30 40 50 60 70 Jõud, N Arvutused Traadi keskmine läbimõõt dk = 0,603 mm. Arvutan läbimõõdu keskmise A-tüüpi laiendmääramatuse. Studenti teguri tn-1, väärtus on antud juhul 4,3. Usaldatavus on antud juhul 0,95. U A( d k )=4,3 0,000067 3(3-1) =0,0144 mm
Keskväärtus EX=m; Dispersioon DX= 2; Standardhälve (x)= Normjaotuse näited: detailide kulumine teatud mehhanismides, juhuslikud mõõtmisvead. Laplace funktsioon e. tõenäosuse integral. x -t 2 1 ( x) = 2 e 0 2 dt Laplace'i funktsiooni omadused: 1) (0)=0 2) ()=0,5 3) (-X)=- (X).(paarisfun) 7. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkonna leidmine. Studenti jaotus. k= n-1 ; - Usaldusnivoo k=n-1 (vabadusastme ARV) -dispersiooni usalduspiirkond 8. Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirkonna leidmine. Juhuslik sündmus on sündmus, mis antud katse korral võib toimuda või mitte toimud
Arvutused koos veaarvutustega Mõõtmistulemuste aritmeetilise keskmise saab arvutada valemiga (1): kus n on mõõtmiste kordade arv. A-tüüpi standardmääramatuseks ua(dk) on aritmeetilise keskmise eksperimentaalne standardhälve (2): Kuna juhuslikud mõõtehälbed on jaotunud normaalselt, siis saab aritmeetilise keskmise A-tüüpi laiendmääramatuse Ua(dk) = kua(dk) leida järgmise valemiga (3): kus katteteguriks k on Studenti tegur tn-1,, mille väärtus on antud juhul 2,3. Usaldatavus on antud juhul 0,95. Mõõtevahendi lubatud piirveast tingitud B-tüüpi standardmääramatus uB(dm) on leitav järgmisest valemist (4): kus dp on mõõteriista lubatud piirviga. Antud juhul nihikul 0,05 ja kruvikul 0,004 mm. Vastav B-tüüpi laiendmääramatus usaldatavusega avaldub (5): kus t, on Studenti tegur, mis antud juhul on 2,0. Korduvatel otsestel mõõtmiste korral avaldub liit(standard)määramatus järgnevalt (6):
Töökäik: Tähistused: mkeha-keha mass ckeha- keha erisoojus tkeha- keha temperatuur enne kalorimeetrisse asetamist mvesi- kalorimeetrisse valatud vee mass cvesi- vee erisoojus mkal- kalorimeetri sisemise anuma ja segaja masside summa ckal- kalorimeetri sisemise anuma ja segaja materjalide erisoojus t0- vee, kalorimeetri ja segaja ühine temperatuur t- vee, kalorimeetri, segaja ja metallic ühine temperatuur pärast metallsilindri vettelaskmist Vigade arvutus: Lõppvastus: Studenti koefitsentide tabel Mõõtmiste arv Usaldusnivoo (%) 90 95 99 1 6,31 12,71 63,66 2 2,92 4,30 9,92 3 2,35 3,18 5,84 4 2,13 2,78 4,6 5 2,02 2,57 4,03 6 1,94 2,45 3,71 7 1,89 2,36 3,5 8 1,86 2,31 3,36 9 1,83 2,26 3,25 10 1,81 2,23 3,17
vanuse mõju immigrantide hinnangule. Keskmine hinnang immigrantide elukeskkonna mõjule väheneb vanusega. 95% usaldusnivool erinevad 15-24-aastased meeste hinnangud üle 45-aastastest meestest. Naiste puhul erinevad 95% usaldusnivool 15-34-aastaste hinnangud üle 35-aastaste hinnangutest. Samuti erinevad 35-54-aastaste hinnangud üle 74-aastaste hinnangutest. Naiste hinnangud on reeglina kõrgemad kui meeste omad, kuid üheski vanusgrupis ei saa erinevust kinnitada 95% usaldusnivool. Ka Studenti t-test ei näita erinevust meeste ja naiste puhul (t=-1,837). Joonis 3. Soo ja vanuse mõju arvamusele immigrantidest. 3 Joonisel 4 on toodud vanuse ja hariduse mõju immigrantide hinnangule. 95% usaldusnivool ei ole haridustase eristavaks teguriks üheski grupis. Siiski võib leida mõningal määral kinnitust
Katsetäpsus (p) 2,7 2,9 3,0 3,7 4,9 6,9 Usalduse piirväärtus(∆) 17,5 11,2 20,2 13,0 25,9 15,1 Usaldusvahemiku ülemine piir 344,1 205,4 352,1 188,1 290,2 124,9 Usaldusvahemiku alumine piir 309,1 183,0 311,7 162,0 238,4 94,7 Tabel 2. Studenti´i kriteeriumid Studenti kriteerium (tx) Kõrgus Võrade läbimõõt I ja II katseala 0,4 2,2 I ja III katseala 4,0 9,0 II ja III katseala 4,1 6,5 Kui Studenti kriteerium puhul on saadud tulemus on väiksem kui 2, siis on erinevus oluline ja kui saadud tulemus on suurem kui 2 siis erinevus ei ole oluline. 2. Dispersioonanalüüs
Felice Coincidenza Felice Coincidenza narra l'incontro di Caroline e Francis, due studenti universitari. La storia è ambientata a Bologna negli anni Duemila. Le tematiche principali sono l'amicizia, l'arte e i sogni. Caroline è una studentessa di moda, lei sogna di rendere la propria linea di vestiario. Lavora nel locale (caffetteria) Pappare', ma fa anche i costumi per il teatro dell'università. Francis è uno studente di spettacolo, lui sogna di esibirsi nei grandi teatri italiani, ad esempio nel Teatro Comunale di Bologna.
35 ms t 1 Suhteline viga D= = =±0.001001 t 999 Mõõtetulemustest n1 = 46 jäi vahemikku ±0,1 s. Nende mõõtmiste osa kogu mõõtmiste arvust n 46 P= 1 = 100 %=92 % n 50 Mõõtetulemustest n2 = 31 jäi vahemikku ±0,05 s. Nende mõõtmiste osa kogu mõõtmiste arvust n1 31 P= = 100%=62 % n 50 Katsetaja ühe mõõtmise piirviga (intervall tõenäosusega P = 0,9, koefitsient Studenti teguri tabelist 50 mõõtmise korral: 1,68) t=±1,68 =12.44 ms =t k -t 0=963.74-999=-35.26 ms U (t)= 2+2= 52.352+12.44 2=53.81 ms
SUM 181,113 180,917 180,94 181,053 181,012 Keskmise hälbe B11 B12 B13 B14 B15 18,1113 18,0917 18,094 18,1053 18,1012 (xi-xkesk)^2 0,00011 0,000081 0,00004489 0,00002116 0,00000025 Leian B keskväärtuseintervallhä Keskmine hälve 18,1007 Min 18,027 Studenti tabelist kriitiline t (=0, Standardhälve 0,00720639 Max 18,166 B intervallhälve tõenäosustasemel P=0.95 Normaaljaotusele vastav mõõtetulemus t 2,01 Bmin 18,098652 n- on mõõtetulemuste koguarv, Bmax 18,102748 h - on intervalli samm
Arvutused koos mõõtemääramatustega (1) Mõõtmistulemuste aritmeetiline keskmine: 1 n x = xi n i =1 (2) A-tüüpi mõõtemääramatus (juhuslik viga): n (x - x) 2 i U ( x) = t A n -1, i =1 n( n - 1) tn-1,- Studenti tegur ("Füüsika praktikumi metoodiline juhend I", lk.17, tabel 1) - usaldatavus; füüsika praktikumides: =0,95 (3) B-tüüpi mõõtemääramatus (süstemaatiline viga): ep U B ( x ) = t 3 mõõtevahendi täpsus (4) Liitmääramatuse leidmine: Kaudne viga: (Toru ristlõike pindala ja selle viga) S = f ( ds , dv ) S= 4 ( 2 dv - ds 2 )
kogum, klastervalik, kihtvalik, lihtne juhuvalik, süstemaatiline valik tõenäosuslik valikumeetod, empiiriline valik fikseeritud samm, süstemaatiline valik, punkthinnang nihketa, efektiivne, optimaalne keskväärtus, normaaljaotus, suur valim keskväärtuse standardviga standardhälve standardviga, keskväärtuse usalduspiirid valimvaatlus usaldatavus suur valim, usaldatavus suurem üldkogumi keskväärtuse usaldusvahemiku laius, vabadusastmete arv studenti jaotus mediaani usalduspiiride leidmisel kasutatakse binoomjaotust, loend on ülekaetud ankeetküsitluse läbiviimisel, mõõtmisvahendi viga Test nr 8 sisukas hüpotees, järeldus peale parameetri empiirilise väärtuse võrdlust kriitilisega z-testi parameetri kriitiline väärtus t-testi parameetri empiiriline väärtus sisukas hüpotees, sõltuv valim, sõltumatu valim empriiline väärtus, kriitiline, nullhüpotees, sisukas hüpotees
kontsentratsioonist (xb) segus kasutades lineaarset regressiooni (Excelis): 0 Arvutan tundmatu proovi koostise (massprotsentides) eeldusel, et piigi pindala kontsentratsioonist lineaarselt : Bu Kuna masin annab piigi pindala 0,01 pool viimast numbrikohta. : Leian B- ; ; Leian aritmeetilise keskmise A- Studenti tegur, kus ; : Leian B- Leian aritmeetilise keskmise A- Tundmatu proovi koostis: 9,3% Leian suhtelised vead: Leian molaarsed kontsentratsioonid: kg (kontsentratsioonid on alati samad), siis on segus . Eeldan, et ruumalad on liidetavad. Leian ruumalaumurrud: Leian moolimurrud: Tabel 4
1 n x = xi n i =1 (1) Mõõtmisseeria lõppresultaadi x juhusiku vea hindamisvalem: n ( x - x) 2 i x j = t n -1, i =1 n( n - 1) (2) tn-1,- Studenti tegur ("Füüsika praktikumi metoodiline juhend I", lk.17, tabel 1) - usaldatavus; füüsika praktikumides tavaliselt =0,95 Füüsika praktikumis saadud mõõtmistulemuste vea hindamisel oletatakse, et süstemaatiliseks veaks on põhiliselt mõõteriistaviga. Seejuures lähtutakse sellest, et iga mõõteriista jaoks määratakse riiklike standarditega lubatud. Usaldusvahemik mistahes usaldatavuse jaoks: x x s = t 3 (3)
standardiseeritud normaaljaotus tabelis on ainult üks (stanardiseeritud) normaaljaotus, siis tabeli kasutamiseks peame ,,oma" normaaljaotuse standardiseerima st teisendama F0 = keskväärtus =0 ja standardhälve =1 kolme sigma reegel. 13. Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotusega kui normaaljaotust tahetakse rakendada diskreetse JS puhul ja katsete arv n>50, siis lähendame binoomjaotust normaaljaotusega: 14. Studenti jaotus - Student'i jaotus tekib, kui normaaljaotusega JS üldkogumist teha väike valim ja arvutada selle põhjal JS keskmist (see ei võrdu üldkogumi keskväärtusega). Statistikas kasutatakse Student'i jaotuse jaotusfunktsiooni mitmesuguste vigade hindamisel. Võrreldes normaaljaotusega on siin 2 parameetrit. t = tk, k = n - 1, kus n on mõõtmiste arv tõenäosus e. kvantiil 15
2 0 50 100 x ,l i Leian usaldatavuspiirkonnad X ja Y keskväärtuse, dispersiooni ning standardhälbe hinnangutele. Olulisuse nivooks olgu =0.95. 0.95 Leian väärtuse e, mille korral hinnatav suuruse kuulub piirkonda (suurus-e;suurus+e) tõenäosusega . 1. X keskväärtuse hinnangu usaldatavuspiirkond Studenti jaotuse tegur kohal (n-1, ( +1)/2) t 2.160 s_x. _x t n _x = 14.44 Seega P(x_kesk - _x < EX < x_kesk + _x) = P(44.417 < EX < 73.297) = = 0.95 2. Y keskväärtuse hinnangu usaldatavuspiirkond s_y. _y t n _y = 1.079 Seega P(y_kesk - _y < EY < y_kesk + _y) = P(5.821 < EY < 7.979) = = 0.95 y_kesk usaldatavuse graafik 1 y_kesk _y
Mõõtmiste keskväärtus: 1 = = 1999,74 J J (# 1 n 2 Dispersioon: D(t ) = n - 1 i =1 ( t i - t k ) = 2906,71 ms2 Standardhälve: = () = 53,91 J Suhteline viga: 1 = = = ±0,00049727 2011 Katsetaja ühe mõõtmise piirviga (intervall tõenäosusega P = 0,9, koefitsient Studenti teguri tabelist 50 mõõtmise korral: 1,68). = ±1,68 = ±12,80 J Süstemaatilist viga ei esine, kui mõõdetava suuruse täpne väärtus langeb vahemikku: ± 1,68 = 1999,74 ± 12,80 J. Kuna täpne väärtus on 2011, siis süstemaatilist viga ei esine. 3. Arvutan katsetaja mõõtevea = - " hinnang ja mõõtemääramatus. Mõõtevea hinnang: = - " = 1999,74 - 2011 = -11,26 J Mõõtemääramatus: () = $ + $ = 53,91$ + 1$ = 53,92 J
8 4 49 5619 5704,2 -85,28 7272,67 5722 -103 10609 8 8 50 5690 5704,2 -14,28 203,918 5722 -32 1024 8 4 Katseandmete keskmine (keskväärtus): 5704,28ms t== Dispersioon: D(t)==5441,87ms2 Mõõteseeria standardhälve: =D(t) = ±73,76 ms Leiame seeria mõõtemääramatuse. Studenti teguri tn-1,ß saame tabelist. Võtame ß=0.95 ja n=50, seega t49,ß=1.68 U(t) = t49,ß *=1,68*73.76=123.92 ms Mõõtmiste seeria tulemus on: 5704,28±123.92 ms, mis langeb täpse väärtuse piiridesse, seetõttu võib öelda, et süstemaatilist viga ei esinenud. Keskväärtuse hajumine: Ühel mõõtmisel on hajumine: = =10.43 ms Seega keskväärtus koos keskväärtuse hajumisega on: 5704,28 ± 10.43 ms Suhteline viga. == =0.002172.2% Mõõtevea hinnang: 0= 5704,28-5722= -17,72ms t= t-t
f(x) = {1/(b-a)}, kui a x b JS nimetatakse ristkülikjaotusega intervallis [a; b] kui tema tõenäosuse tihedus on konstantne c vahemikus [a; b] ja väljaspool [a; b] võrdne 0. 11. Normaaljaotus. Normeeritud normaaljaotus Normaaljaotus, mille tihedus on normeeritud ja tsentreeritud (a =0 ja ,=1) on Gaussi kõver 12. Eksponentsiaalne jaotus. (Töö)kindlusfunktsioon 13. Gammajaotus. Beetajaotus. Logaritmiline jaotus = 0 kui t <0 14. 2 jaotus. F jaotus. Studenti jaotus 52 jaotuseks n vabadusastmega nimetatakse sõltumatute standardsete normaalsete suuruste n ruutude summa jaotust 20. Matemaatiline ootus ja tema omadused JS keskkaalutud väärtus tõenäosusega. Tähis E või varasemalt M. Omadused: 21. Dispersioon ja tema omadused on JS matemaatiline ootus hälbe ruudust oma matemaatilisest ootusest. Tähis D. Omadused: 1. Konstandi dispersioon on null 2. Konstant tuuakse dispersiooni märgi ette koos ruutu tõstmisega 3
= ∑ ( 1) = ∑ + = ( ) ∑ ∑ = => = = ∑ ̅ 4. Vahemikhinnangu leidmine tsentraalse piirteoreemi või Studenti t-jaotuse abil Iα = [u; ū] = [¯x – εα; ¯x + εα] Vahemikhinnangu leidmine tsentraalse piirteoreemi abil ̅ √ (0,1); = √ ( ) √ ( ) ( ̅ ̅+ )= <=> ( ̅ )= <=> ( ̅ )=
n d d 2 i U C d U A d t n 1, i 1 n n 1 kus, (5) tn-1,β- Studenti tegur, β- usaldatavus; füüsika praktikumides tavaliselt β=0,95 Pindpinevus tegur ja selle määramatus: mg d (6) f m; d 2 2 mg mg
Bi Igas mõõtmiskohas tekkinud hälve B- Igas mõõtmiskohas tekkinud hälbe keskmine Keskmi ne hälve B11 B12 B13 B14 B15 12.10 12.092 35 12.0968 12.1221 12.0988 0.000113 7.396 3.41056 0.0003786 1.47456 21 E-07 E-05 92 E-05 Keskmine hälve on 12.1 Standardhälve s s= s= 0.01046652 BMIN=12.035 BMAX=12.17 4 · Leian B keskväärtuseintervallhälve tõenäosusastmel P=0.95 ehk =0.05 Studenti tabelist kriitiline t (=0,05; n=50; kahepoolne) = 2,01 B-(t* B+(t* 12.0996818 Bmin 4 12.1055981 Bmax 6 · Teha mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetilise normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik f(x). Intervallide arvuks valida 8 kuni 10. Samm h=(MaxMin)/intervallide arv. Normaaljaotusele vastav mõõtetulemuste arv ni" intervallis i on leitav valemiga: ni"= n*h*f( zi)
Kui standardhälve on const, aga M kasvab, siis normaaljaotuse graafik nihkub paremale. Kui M on const, aga standardhälve kasvab, siis normaaljaotuse max.väärtus kahaneb. Jaotuskõvera alune pindala on ühikuline (=1). · Standardiseeritud normaaljaotus. o Normaaljaotus, mille puhul matemaatiline ootus = 0 ja standardhälve = 1. · Studenti test. o . · Normaaljaotuse ajaloost. o De Moivre. o De Laplace. o Gauss. 2. Füüsikalised mõõtmised. · Ühikute unifitseerimine, meetermõõdustik. o Põhiühikud: meeter, sekund, kilogramm. · Põhiühikute (kg, m, s) etalonid. o Pikkusühik: Pariisi meridiaan; plaatinast (hiljem plaatina+iriidium) etalon; valguse kiirus. o Kaaluühik: gramm 1 cm³ puhast vett; kilogramm 1 liitri puhta vee kaal 4°C
Sx²=1164,123 Standardhälve: Sx=34,1193 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Me=38 Haare: R=97 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10). Keskväärtuse usaldusvahemik: = 0,10 t0,1; 24= 1,711 (Studenti tabelist) Dispersiooni usaldusvahemik: = 0,10 ja (leitud Exceli CHIINV funktsiooniga) 3. Kontrollida järgmisi hüpoteese (eeldades uldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10): 3.1 H0: = 50 alternatiiviga H1: 50 1 Et Hüpotees vastu võetaks, peab tkr > t; 1,711 > -0,7268. Hüpotees võetakse vastu. 3.2 H0: 2 = 800 alternatiiviga H2: 2 800 Et hüpotees vastu võetaks peab jääme kahe kriitilise väärtuse vahele:
B5 0,0007 0,0000 0,0001 0,0020 0,0007 0,0006 0,0013 0,0008 0,0007 0,0000 B keskväärtus: 20,098 mm; Standardhälve: 0,037 mm; Min B: 20,026 mm; Max B: 20,182 mm. 4. Leida mõõtme B keskväärtuse intervallhälve tõenäosuse tasemel P = 0,95 , kus t Studenti teguri väärtus antud valimi suuruse ning tõenäosuse tasemel (t = 2,01), sB mõõtme B standardhälve. 20,024 mm 20,172 mm 5. Mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetilise normaaljaotuse graafik int.nr. int.algus int.lõpp sagedus ni f(xi) sagedus ni' (ni-ni')2/ni'
Sx²=867,9167 Standardhälve: Sx=29,46 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Me=46 Haare: R=99 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10). Keskväärtuse usaldusvahemik: = 0,10 t0,1; 24= 1,711 (Studenti tabelist) Dispersiooni usaldusvahemik: = 0,10 ja (leitud Exceli CHIINV funktsiooniga) 3. Kontrollida järgmisi hüpoteese (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10): 3.1 H0: = 50 alternatiiviga H1: 50 1 Et Hüpotees vastu võetaks, peab tkr > t; 1,711 > -0,6449. Hüpotees võetakse vastu. 3.2 H0: 2 = 800 alternatiiviga H2: 2 800 D=2
Sümmeetrilise jaotuse korral on asümmeetriakordaja 0 Ekstsess - liialdus; vahejuhtum. Stat järsakuskordaja, arv, mis kajastab juhusliku suuruse Xjaotuse erinevust normaaljaotusest. 16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. Pidevad: 1) Normaaljaotus 2) X^2- jaotus 3) Empiiriline jaotus 4) Logaritmiline normaaljaotus 5) Gram-charlier normaaljaotus 6) Weibulli jaotusseadus 7) Eksponentjaotus 8) Gammajaotus 9) Beetajaotus 10) Studenti jaotus 11) F-jaotus Diskreetsed: 1) Binoomjaotus 2) Hüpergeomeetriline jaotus 3) Poissoni jaotus 4) Pascali jaotus 17. Mis on usaldusnivoo? Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku. 18. Mis on usalduspiirid? usalduspiirid, usaldusvahemiku alumine ja ülemine otspunkt. Usalduspiirkond on valimi põhjal arvutatud piirkond, millesse hinnatava parameetri tegelik väärtus kuulub teatava tõenäosusega. Selle
B2 0,0006 0,0028 0,0000 0,0006 0,0006 0,0006 0,0033 0,0003 0,0005 0,0027 B3 0,0003 0,0008 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0000 0,0016 0,0005 0,0011 B4 0,0010 0,0012 0,0015 0,0004 0,0035 0,0009 0,0004 0,0001 0,0008 0,0021 B5 0,0008 0,0042 0,0044 0,0004 0,0001 0,0006 0,0000 0,0015 0,0004 0,0021 3. Mõõtme B keskväärtuse intervallhälve tõenäosustasemel P=0,95% Studenti tabelist kriitiline t(α=0,05; n=50) : 25,03 ≤ B 25,164 8 ≤ 4. detaili mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetiline normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik f(x). Teoreetilin Kogus e kogus Interva Interva Interva mõõtmis Tihedusfunktsio intervallis (ni- ll lli algus lli lõpp el ni on f(xi) ni ' ni')2/ni'
B3 0,0003 0,0008 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0000 0,0016 B4 0,0010 0,0012 0,0015 0,0004 0,0035 0,0009 0,0004 0,0001 B5 0,0008 0,0042 0,0044 0,0004 0,0001 0,0006 0,0000 0,0015 3. B keskväärtus: 25,101 Standardhälve: 0,032 Min B: 25,035 Max B: 25,166 4. Mõõtme B keskväärtuse intervallhälve tõenäosustasemel P=0,95% Studenti tabelist kriitiline t(=0,05; n=50) : 2,00 25,038 B 25,164 5. Detaili mõõtme B histogramm Intervall Int algus Int lõpp ni f(xi) ni' (ni-ni')2/ni' 1 25,035 25,047 4 2,026 1,3 5,38 2 25,048 25,060 4 4,120 2,7 0,63
Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Me=46 5)Haare R = xmax xmin = 99 0 = 99 2. Leian keskväärtuse usaldusvahemiku eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo = 0,10: t, N-1 arvutasin Exceli TINV funktsiooniga ( on ka leitav Studenti tabelist): 1,711 Leian dispersiooni usaldusvahemiku eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo = 0,10 ning põhikogumit moodustavate mõõdiste arv n = 25: ja arvutasin Exceli CHIINV funktsiooniga, vastavalt: 36,415 ja 13,848 3. Kontrollin järgmisi hüpoteese (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0,10) 3.1 H0: = 50 alternatiiviga H1: 50
Haare: 2. Eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks =0,10. Keskväärtuse usaldusvahemik: ( ) = 0,10 t, N-1 on arvutatav Exceli TINV funktsiooniga: 1,711 (või leida Studenti tabelist) ( ) ( ) (arvutatud Excelis väärtuste ümardusi rakendamata) Dispersiooni usaldusvahemik:
B4 0,0010 0,0012 0,0015 0,0004 0,0036 0,0009 0,0004 0,0001 0,0008 0,00 B5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0024 0,0005 0,0008 0,0010 0,0006 0,0009 0,00 3.Detaili mõõtme B keskvääartus B ja standardhälve s. B keskväärtus: 25,102 Standardhälv e: 0,032 Min B: 25,026 Max B: 25,152 4. Mõõtme B keskväärtuse intervallhälve tõenäosustasemel P=0,95% Studenti tabelist kriitiline t(α=0,05; n=50) : 2,00 ≤ B 25,039 ≤ 25,165 5. Detaili mõõtme B histogramm Interva Int Int (ni- ll algus lõpp ni f(xi) ni ' ni')2/ni' 1 25,026 25,038 1 1,090 0,7 0,14 2 25,039 25,050 3 2,434 1,5 1,40 3 25,051 25,063 4 4,634 2,9 0,40
1 n x = xi (1) n i =1 Mõõtmisseeria lõppresultaadi x juhusiku vea hindamisvalem: n (x - x) 2 i (2) x j = t n -1, i =1 n( n - 1) tn-1,- Studenti tegur ("Füüsika praktikumi metoodiline juhend I", lk.17, tabel 1) - usaldatavus; füüsika praktikumides tavaliselt =0,95 Füüsika praktikumis saadud mõõtmistulemuste vea hindamisel oletatakse, et süstemaatiliseks veaks on põhiliselt mõõteriistaviga. Seejuures lähtutakse sellest, et iga mõõteriista jaoks määratakse riiklike standarditega lubatud. Usaldusvahemik mistahes usaldatavuse jaoks: x x s = t (3)
või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Excel: MEDIAN Me = 41 Haare: R = 87 1 = 86 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10). Keskväärtuse usaldusvahemik: = 0,10 t0,1; 24= 1,711 (Studenti tabelist) Dispersiooni usaldusvahemik: = 0,10 ja on arvutatavad Excel'i CHIIVN funktsiooniga ning on vastavalt: 33,196 ja 13,848 3. Kontrollida järgmisi hüpoteese (eeldades uldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10): 3.1. H0: = 50 alternatiiviga H1: 50 1 Et hüpotees vastu võetaks, peab tkr > t; 1,711 > -0,911. Hüpotees H0 võetakse vastu. 3.2. H0: 2 = 800 alternatiiviga H2: 2 800
x xi (1) n i 1 Mõõtmisseeria lõppresultaadi x juhusiku vea hindamisvalem: n x x 2 i (2) x j t n 1, i 1 n n 1 tn-1,- Studenti tegur ("Füüsika praktikumi metoodiline juhend I", lk.17, tabel 1) - usaldatavus; füüsika praktikumides tavaliselt =0,95 Füüsika praktikumis saadud mõõtmistulemuste vea hindamisel oletatakse, et süstemaatiliseks veaks on põhiliselt mõõteriistaviga. Seejuures lähtutakse sellest, et iga mõõteriista jaoks määratakse riiklike standarditega lubatud. Usaldusvahemik mistahes usaldatavuse jaoks: x
1 n x xi n i 1 (1) Mõõtmisseeria lõppresultaadi x A-tüüpi mõõtemääramatuse (juhusiku vea) hindamisvalem: n x i x 2 U A x t n 1, i 1 n n 1 (2) tn-1,- Studenti tegur ("Füüsika praktikumi metoodiline juhend I", lk.17, tabel 1) - usaldatavus; füüsika praktikumides tavaliselt =0,95 Füüsika praktikumis saadud mõõtmistulemuste vea hindamisel oletatakse, et B-tüüpi mõõtemääramatuseks (süstemaatiliseks veaks) on põhiliselt mõõteriistaviga. Usaldusvahemik mistahes usaldatavuse jaoks: ep U B x t 3 (3) ep mõõtevahendi lubatud piirhälve
n x x 2 i (2) x j t n 1, i 1 n n 1 tn-1,β- Studenti tegur (“Füüsika praktikumi metoodiline juhend I”, lk.17, tabel 1) β- usaldatavus; füüsika praktikumides tavaliselt β=0,95 Füüsika praktikumis saadud mõõtmistulemuste vea hindamisel oletatakse, et süstemaatiliseks veaks on põhiliselt mõõteriistaviga. Seejuures lähtutakse sellest, et iga mõõteriista jaoks määratakse riiklike standarditega lubatud. Usaldusvahemik mistahes usaldatavuse β jaoks: x
3 1,4649 41 0,0232698 0,0276909 -0,545 0,0082 56,695 4 1,465 41 0,02327 0,027695 -0,545 0,0082 56,707 1,464975 0,0082 56,70425 Arvutuskäigud: 1) Keskmise dispersiooni leidmine nF-nC=A+B 2) Abbe arvu leidmine nD - 1 = n F - nC 3) Juhusliku määramatuse arvutamine usaldatavus =0,68, seega 4 katse korral Studenti tegur = 1,1 Katse nD nD - nD i ( n D - n D i )2 -i ( -i )2 nr. 1 1,4652 -0,000225 5,062 * 10-8 56,732 -0,02775 0,00077 2 1,4648 0,000175 3,062 * 10-8 56,683 0,02125 0,00045 3 1,4649 0,000075 5,62 * 10-9 56,695 0,00925 0,000086
kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Excel: MEDIAN Me=74 Haare: =96-0=96 R=96 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10). Keskväärtuse usaldusvahemik: = 0,10 t0,1; 24= 1,711 (Studenti tabelist) (Arvutatud excelis väärtuste ümardusi rakendamata) Usaldusvahemiku poollaius: 11,2 Dispersiooni usaldusvahemik: = 0,10 ja (leitud Exceli CHIINV funktsiooniga) 3. Kontrollida järgmisi hüpoteese (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10): 3.1 H0: = 50 alternatiiviga H1: 50 1 Et Hüpotees vastu võetaks, peab tkr > t; 1,711 > 1,28
n x x 30 1979529261 228 2 2 i i se 1401.57997 6 sb x n x 1979529261 30 7623.1 2 2 2 i 8.3 Studenti jaotuse kvantiil: t (k ; ) 1.70113093 alpha = k= 8.4 Vabaliikme a 90%-lised usalduspiirid: aalumine a sa t (k ; ) 5767.4714 740.827303 3 1.7011309 aülemine a sa t (k ; ) 5767.4714 740.827303 3 1.7011309 8.5 Lineaarliikme kordaja b 90%-lised usalduspiirid: balumine b sb t (k ; ) 1.341186 0.09120037 9 1.7011309 bülemine b sb t (k ; ) 1.341186 0.09120037 9 1.7011309 9
Sx²=705,69 Standardhälve: Sx=26,56 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Me=51 Haare: R=94-9=85 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0.10). Keskväärtuse usaldusvahemik: = 0,10 t0,1; 24= 1,711 (Studenti tabelist) Dispersiooni usaldusvahemik: = 0,10 ja (leitud Exceli CHIINV funktsiooniga) 3. Kontrollida järgmisi hüpoteese (olulisuse nivoo = 0.10): 3.1 H0: = 50 alternatiiviga H1: 50 1 Et Hüpotees vastu võetaks, peab tkr > t; 1,711 > 0,61. Hüpotees võetakse vastu. 3.2 H0: 2 = 800 alternatiiviga H2: 2 800 Et hüpotees vastu võetaks peab jääme kahe kriitilise väärtuse vahele: 13,84 < 21,17< 36,42. Hüpotees võetakse vastu. 4
dl n 1 = − ∑¿ dp p 1− p i =1 n ∑ x i= np =¿ p= n n = 1´x i=1 ∑ xi i=1 . Vahemikhinnangu leidmine tsentraalse piirteoreemi või Studenti t-jaotuse abil Iα = [u; ū] = [¯x – εα; ¯x + εα] Vahemikhinnangu leidmine tsentraalse piirteoreemi abil x´ −μ √ n⩪ N ( 0,1 ) ; σ =√ D(x i ) √ D( x i ) P ( ´x −ε α ≤ μ ≤ ´x + ε α )=α≤¿ P (−ε α ≤ μ−´x ≤ ε α ) =α ≤¿ P (−ε α ≤ ´x −μ ≤ ε α )=α ≤¿ P ( −ε α √ n x´ −μ
f t, , t 1 e t kui t 0 ( ) 1 f x, , x 1 x 1 kui 0 [ 1 ( )( ) 1 e ln y X 2 / 2 2 f ( y, X , ) y 2 14. jaotus. F jaotus. Studenti jaotus 2 f2 (x, n) = Ke-x/2 x(n/2)-1 fF (x, 1, 2) fS (t, ) = B (1 + t2/) ( +1)/2 T = Z / U 15. Ühe juhusliku argumendi funktsioon Jaotusfunktsioon y muutujate x alusel 16. Kahe juhusliku argumendi funktsioon F(Z), kui Z = X+ Y 17. Ühtlaste jaotuste summa ja normaaljaotuste summa f(x)=1/a ja f(y)=1/a intervallis !0 & 2f@ g(z) = 0 kui z 0, g(z) = z/4a2 kui 0 z 2a, g(z) = 1 z/4a2 kui 2f z 4a, g(z) = 0 kui z 4a. Norm jaotusel keskmiste ja dispersioonide summa uuele. 18
2.3 Usaldusintervallid Hinnatava parameetri usaldusintervall (vahemikhinnang) kujutab enesest sellist piirkonda parameetri punkthinnangu ümber, mis katab parameetri õige väärtuse küllalt suure etteantud tõenäosusega. Täpsuse huvides räägitakse vahel ka alumisest ja ülemisest usalduspiirist (du Prel et. al 2009). 2.4 Student t-test Üheks rakendatavamaks testiks aritmeetiliste keskmiste võrdlemisel on t-test, nimetatakse ka selle väljamõtleja varjunime Student järgi Studenti t-testiks. Erinevad testid: võrdsete dispersioonidega üldkogumid; erineva dispersiooniga üldkogumid; paarikaupa andmed/mõõtmised (Livingston 2004). 2.5 Korreltasioonanalüüs Korrelatsioon tähendab nähtuste vastastikust sõltuvust ehk suhet, mille tõttu muutused ühes nähtuses kutsuvad esile ka muutused teises nähtuses. Korrelatiivse seose olemasolu ei tähenda, et suurused on omavahel põhjuslikult seotud. Korrelatsioon saab olla positiivne või negatiivne
annaabi.ee 
