.......................................................................................................20 TEST Loeng 1 · Arvutüübid: naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv, reaalarv, kompleksarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge; kompleksarv - arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik (arv,
Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et
f ( x) arvutada. (x väärtuste hulk) Muutumispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtustele vastavaid f-ni f(x) väärtuste hulka. (y väärtuste hulk) 1 Näited: f(x) := x-1 x0 sest murrujoone alune avaldis ei tohi olla 0 Määramispiirkond on siis: Muutumispiirkond on kogu reaalarvude hulk. Määramispiirkond: Muutumispiirkond: 9. Mis on reaalmuutuja funktsioon? Esitage 2 näidet! Kui argumendi x ja funktsiooni f(x) väärtuseks on reaalarvud, siis funktsiooni f(x) nimetatakse yfx x0 () - < x< 1<< reaalmuutuja funktsiooniks. Näited: f(x)=2 1x 10. Mis on funktsionaalne sõltuvus? Esitage 2 näidet! Operaatori tekitatud sõltuvust muutujate x ja y vahel nimetatakse funktsionaalseks sõltuvuseks, mida tähistatakse . Näited: << 0x
määramispiirkond: X = (-; ){(2k + 1)/2} 3. paaritu 23 Trig. funktsioon kootangens y = cot x y 1. periood = 2. määramispiirkond: X = (-; ){k} -/2 /2 3/2 (kõik reaalarvud, mis ei ole - 0 2 arvu täisarvkordsed) x 3. paaritu 24 Arkusfunktsioonid trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid y y = arcsin x /2 y y = arccos x
väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et kompleksarvudeks. Arve kujul a+bi, kus a ja b on mistahes reaalarvud ja i imaginaarühik, 2. =0 £(*a)=£(a) lineaarkujutuse tulemusena viidavad kanoonilisele kujule. Seejuures ilmneb,
.................................................................................5 Murdarvude hulk.................................................................................................................. 5 Ratsionaalarvude hulk Q...................................................................................................... 5 Irratsionaalarvud...................................................................................................................6 Reaalarvud R........................................................................................................................ 6 * Rooma numbrid..................................................................................................................... 6 Reaalarvu absoluutväärtus........................................................................................................6 Reaalarvude piirkonnad.............................................................................
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . .
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati?...
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x. Selle arvu absoluutväärtus moodul I x I on defineeritud järgmiselt: I x I = x, kui x ≥ 0 I x I = -x, kui x < 0 Nt. I 3 I = 3 ; I -5 I = 5 ; I 0 I = 0 Arvu absoluutväärtus muudab arvtel...
ühesed või lahendid puuduvad. Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kusjuures ülekantava liikme ees muudetakse märk vastupidiseks. Kui pärast võrrandi lihtsustamist on võrrandis oleva tundmatu kõrgeim aste üks, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandiks. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis esitub kujul ax 2 bx c 0, kus a 0. a, b ja c on reaalarvud ja x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrandi lahendid diskriminandi kaudu. D b 2 4ac Kui D 0, siis võrrandil 2 erinevat lahendit. Kui D 0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui D 0, siis võrrandil on kaks võrdset lahendit. Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb murru nimetajas. Murdvõrrandis tuleb kindlasti lisada tingimus, millega otsitav ei tohi võrduda, et ei tekiks nulliga jagamist.
ühesed või lahendid puuduvad. Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kusjuures ülekantava liikme ees muudetakse märk vastupidiseks. Kui pärast võrrandi lihtsustamist on võrrandis oleva tundmatu kõrgeim aste üks, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandiks. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis esitub kujul ax 2 bx c 0, kus a 0. a, b ja c on reaalarvud ja x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrandi lahendid diskriminandi kaudu. D b 2 4ac Kui D 0, siis võrrandil 2 erinevat lahendit. Kui D 0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui D 0, siis võrrandil on kaks võrdset lahendit. Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb murru nimetajas. Murdvõrrandis tuleb kindlasti lisada tingimus, millega otsitav ei tohi võrduda, et ei tekiks nulliga jagamist.
( a ↑↓ b ; a ↓ ↑b ) 13.Vektorite vaheline nurk- vektorite vaheline nurk tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule AC 14.Vektori projektsioon- vektori a projektsiooniks vektori b sihile nimetame arvu |a| cosθ , kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk. θ=∠ (a , b) 15.Ristreeper- Ühikvektorid, i, j, k on baasvektorid. { O; i ; j ; k } on ristkordinaadisüsteemi ristreeper. Iga vektor a on esitatav kujul a=xi+yi+zi, kus x,y,z on reaalarvud 16.Komplanaarsed vektorid- Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 17.Skalaarkorrutis- kahe vektori a, b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu a ∙ b=|a||b| cos ∠(a , b) 18.skalaarkorrutamise omadused- skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti
− 4 x + 9 x = 21 − 12 + 6 5 x = 15 :5 x = 3. Kontroll. x = 3 , 2⋅3+ 3 v = 1− = 1 − 1,5 = −0,5 6 7 − 3⋅3 7 − 9 p= = = −0,5 4 4 v = p. Vastus. Võrrandi lahend x = 3. Näide 2. Lahendada võrrand 3( x − 2) + 5 = 3 x − 1. Lahendus. Avame sulud: 3( x − 2) + 5 = 3 x − 1 3x − 6 + 5 = 3x − 1 3 x − 3 x = −1 + 6 − 5 0 ⋅ x = 0. Vastus. Võrrandi lahenditeks on kõik reaalarvud. 24 4x − 1 Näide 3. Lahendada võrrand + 1 = 2( x + 4 ) − 5 . 2 Lahendus. Teeme vajalikud teisendused: 4x − 1 + 1 = 2( x + 4) − 5 ⋅2 2 4 x − 1 + 2 = 4 x + 16 − 10 4 x − 4 x = 16 − 10 − 2 + 1 0 ⋅ x = 5. Vastus. Võrrandil puudub lahend. Näide 4. Lahendada võrrand 2 x 2 − x − 1 = 0 . Lahendus
sõltumatute muutujate suhtes Definitsioon Olgu F (x; y ; z) määratud piirkonnas R3. Vahemikus (a; b) määratud funktsiooni y = y (x) nimetatakse võrrandi F (x;y;y')=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x; y(x); y'(x)) iga x (a,b) ning F (x; y (x); y'(x))=0 iga x(a,b) 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb vähemalt üks diferentsiaalvõrrandi y'= f (x; y) integraalkõver. Lause (Cauchy teoteem) Olgu f (x; y ) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon
Antsla Gümnaasium 8B klass CARL FRIEDRICH GAUSS Referaat Juhendaja: õpetaja 2008 Sisukord Sissejuhatus 3 Carl fr. Gauss 4 Kokkuvõte 7 Kasutatud allikad 8 Lisad 9 Sissejuhatus Valisime Carl Friedrich Gaussi sellepärast et ta tundus meile kõige sobivam matemaatik.Raamatust vaadates tundus just tema jutt ja nimi huvitavam kui teised. Gauss olevat ilmutanud oma matemaatilisi võimeid juba siis kui ta oli kolme aastane. Ta oli väga tark laps.Ta arvutas alati isaga koos arveid ja oli omapärane poiss. Gaussi aju kaalus kolm naela ehk 1492 grammi. Carl fr. Gauss Matemaatikute vürsti gaussi sugupuu oli kõike muud kui vürstilik. Ta sündis armetus hütis vaeste vanemate lapsena 30. aprill 1777 Braunschweigis. Isapoolne vanaisa Jürgen Gooss (1712-1774), vaene talunik oli kolinud Braunschweigi...
Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus ehk moodul. Positiivseid ja negatiivseid täis- ning murdarve koos arvuga null nimetatakse ratsionaalarvudeks. Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena esitatavaid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi x = x, kui x 0, x = -1,
Programmi koostamisel saab määrata lihtmuutujate ja struktuurmuutujate elementide väärtuste jaoks sobivad esitusviisid ehk tüübid, käsutades spetsiaalseid deklareerimislauseid, millest peamine on Dim-lause. Järgnev Dim-lause deklareerib väärtuste tüübid nelja muutuja jaoks Dim n As Integer, a As Single, b As Double, nimi As String Lause määrab, et muutuja n väärtusteks võivad olla täisarvud, a väärtusteks ühekordse täpsusega reaalarvud, d väärtusteks topelttäpsusega reaalarvud ning muutuja nimi väärtusteks stringid. Arvmuutujate jaoks tulenevad siit ka väljade pikkused: n - 2 baiti, a - 4 baiti ning b - 8 baiti. Muutuja nimi välja pikkus on muutuv ning sõltub talle omistatavatest väärtustest. Andmetüüp määratletakse deklaratsioonis võtmesõna abil. Igale tüübile vastab kindel väärtuste esitusviis ja diapasoon ning välja pikkus. Mitme andmetüübi määramiseks võib käsutada ka
üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuse andmisel. Esimest järku DV üldlahendist saame erilahendi, kui rahuldame algtingimuse y( x0) = y0 , kus x0 , y0 on etteantud arvud. Kuna n-järku DV üldlahend sisaldab n suvalist konstanti, siis on konstantide määramiseks vaja n algtingimust Tihti esitatakse need kujul : 1. 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D kulgeb vähemalt üks diferentsiaalvõrrandi y’= f (x; y) integraalkõver. Lause (Cauchy teoteem) Olgu f (x; y ) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y’ = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon
funktsiooni f(x;y) on null astme homogeenne funktsioon, s.t kui f (tx, ty) = f (x, y).( dy =f (1 ; y / x) dx 36. Lineaarseks esimest järku DV-ks nimetatakse DV-t , mis on lineaarne tundmatu funktsiooni y dy ning selle esimese tuletise y´ suhtes. Kuju + P ( x ) y=Q ( x) dx 37. Olgu a0 , a1 ,…. an reaalarvud. Diferentsiaalvõrrandit kujul F( x , y , y ´ , y ´ ´ … y(n) =0 nimetatakse n-järkus DV-ks. N-järku DV-ks on ka võrrand y(n) = f(x) (n ) (n−1) 38. DV-t kujul a0 y + a1 y +...+ an−1 y ´ + an y=0 nimetatakse konstantsete kordajatega homogeenseks lineaarseks n-järku DV-ks. 39. Lineaarse konstantsete kordajatega mittehomogeense teist järku DV erilahend: a. y ü= y h + y e 40.
3 4 5 5 5 5 5/4 4/5 5 humanitaarh 3 2 2 48 7 reaalharu 4 4 4 53 üldharu 3 3 3 50 matem.eriklassid 5 5 5 56 Gümnaasiumi ossa kavandati järgmised matemaatikakursused: 1. Reaalarvud ja avaldised (humanitaarharus 20 tundi, reaalharus 30 tundi) 2. Võrrandid ja võrratused (hum. harus 20 tundi, reaalharus 30 tundi) 3. Trigonomeetria (20, 30) 4. Vektor tasandil. Joone võrrand (30, 30) 5. Funktsioonid, vastavad võrrandid ja võrratused (30, 60) 6. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis (30, 60) 7. Stereomeetria. Vektor ruumis (10, 30) 8. Integraal ja selle rakendusi (25, 45) 9. Tõenäosusteooria ja mat. statistika (25, 30). Viimane, 9
Reimers E. Matemaatilise analu¨ usi ¨ praktikum I. Tallinn, Valgus, 1988. ~ T., Tuutmaa V. Matemaatiline analu¨ us Ruustal E., Jogi ¨ I. ¨ Harjutused. Tallinn, TTU kirjastus, 1999. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 6 / 25 Reaalarvud Matemaatiline analu¨ us ¨ Matemaatiline analu¨ us ¨ on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende uldistusi ¨ uuritakse piirva¨ artuste ¨ meetodil. Piirva¨ artuse ¨ ~ moiste ~ on tihedalt seotud lopmata ¨ vaikese suuruse ~ moistega. ~ ka vaita,
8. Funktsioonid ja nende uurimine tuletise abil 9. Ekstreemumülesanded ja joone puutuja võrrand Nende teemade õppimiseks vaadake lehte, mis Hüva hiljuti tunnis jagas funktsiooni uurimise kohta! 10. Eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, eksponentvõrrand, logaritmvõrrand. Eksponentfunktsioon Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, milles muutuja on astmes. Eksponentfunktsiooni määramispiirkond on kõik reaalarvud. Muutumispiirkond on ]0;[, nullkohad puuduvad. Kui funktsiooni alus on a>1, siis on funktsioon alati kasvav, kui a<1, siis kahanev. Logaritmfunktsioon Logaritmi definitsioon on järgmine: ab=c -> b=logac Logaritmi alus ei tohi olla kunagi negatiivne või 1! Kõige tavalisemad logaritmi alused on 10, 2 ja e, mis on Euleri arv. Logaritmi
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis
Hu lgateooria põh im õis ted N B ! Värv ilin e tek s t arves tu s es . H ulk on baas ter min iks nii ma te ma at ikas kui ka arvutiteadus es . J ärgnevalt tuvu me hulgateoori a põhikonts epts ioonidega ja hulkadele rakendatavate operats ioonidega. P aradoks : a) H abemeaj aj a puzle- kapten käs ib rühma habemeaj aj ale aj ada habet kõikidel kompan ii liikmete l, eeldus el et rühma liik med ei tohi is e habet aj ada. O lles kõigi teis te habemed aj anud, kas vab talle endale habe. Enda habet ei s aa ta aj ada, s es t nii rikuks ta kapteni käs ku. Kui ta aga enda habet ei aj a, s iis ta peaks ühtpidi kapteni käs u järgi enda habet aj ama (kõikidel liik me tel). D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k...
Hulgateooria põhimõisted H ulk on baas ter min iks nii ma te ma at ikas kui ka arvutiteadus es . J ärgnevalt tuvu me hulgateoori a põhikonts epts ioonidega ja hulkadele rakendatavate operats ioonidega. P aradoks : a) H abemeaj aj a puzle- kapten käs ib rühma habemeaj aj ale aj ada habet kõikidel kompan ii liikmete l, eeldus el et rühma liik med ei tohi is e habet aj ada. O lles kõigi teis te habemed aj anud, kas vab talle endale habe. Enda habet ei s aa ta aj ada, s es t nii rikuks ta kapteni käs ku. Kui ta aga enda habet ei aj a, s iis ta peaks ühtpidi kapteni käs u järgi enda habet aj ama (kõikidel liik me tel). D ef: Hu lk A on k ollek ts ioon k orrek ts elt d ef in eeritu d ob jek tid es t, n ii et iga ob jek ti k orral k eh tib ük s järgevas t k ah es t võim alu s es t - x k u u lub h u lk a A , k irju tam e x A - x ei ku u lu h u lk a A , k irju tam e x A H ulki tähis tame s uurte tähte...
1. Sissejuhatus: 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? l Programmeerimise paradigma l loogiline (LP) l funktsionaalne (FP) l jt Fookus: MIDA ARVUTADA l LP ja FP on deklaratiivsed programmeerimisstiilid; l LP põhineb loogika printsiipidel ja kasutab automaattõestamise protseduure (resolutsioon, unifitseerimine); l LP keel on Prolog, kuid LP ≠ Prolog; 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? (2) l LP sobib tehisintellekti rakenduste programmeerimiseks: l loomuliku keele analüüs ( DCG grammatikareeglid) l ekspertsüsteemid (otsingu- ja järeldusreeglid) l kujundituvastus (tuvastusreeglid) l kitsendustega planeerimine (logistika, marsruudi otsimine) l rekursiivsete funktsioonide püsipunkti arvutus l jne l LP ei sobi: l Kiired numbrilised arvutused (n. maatriksarvutused, võrrandid) l OOP (kuigi on toetatud mõnes prologis) l kasu...
etteantud avaldiste järgi. Sõltuvalt sellest, kas on Pindala - (m 2 ) - S tegemist naisega või mehega, on tulemused erinevad (valemi kirjutamisel tuleb arvestada mõlemaga). y ( 35 ,75 - log m) / 53 Sisendandmete lahtritele (sinised) määrata sisestuskontroll (valideerimine) ja sobivad vea- ja infoteated: - isikukoodi pikkus peab olema 11 sümbolit (numbrid); - kaal ja pikkus on reaalarvud, valida ise sobivad piirid. Kollastesse lahtritesse kirjutada valemid. NB! ka sünniaeg ja sugu leitakse isikukoodist. Määrata lahtritele nimed ja kasutada neid valemites!!! Kas tunned iseennast? Algandmed l - pikkus (cm), m - mass (kg), t - vanus (aasta) Ideaalne mass ehk kaal (kg) - mid (3l 450 t ) 0,225 40 ,5 naine mid (3l 450 t ) 0,250 45 ,0 mees Rasvasus (%) - r m mid
................................................ 14 15. Fourier' teisenduse omadusi. Üks neist tõestada............................................................ 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis
................................................ 14 15. Fourier' teisenduse omadusi. Üks neist tõestada............................................................ 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t
Programm järgib otseselt Jaan Janno konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. Teooria töö 1 1) Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: | |= 0 - < 0 Absoluutväärtuse omadused: 1. |- | = | | 2. | | = | || | 3. | + | | | + | | 4. | | | | - | | Reaalarvu ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku - , + , kus > 0 on ümbruse raadius. Arv kuulub arvu ümbrusesse ( - , + siis ja ainult siis, kui selle
Relatsiooni (vastavuse) muutumispiirkond R ange(R )= { b B | leidub a A nii et (a,b) R} (range of R) N 2: A ntud on hulgad A= { 2,3,4} j a B={ 3,4,5,6,7} . D efineerida relats ioon aRb nii et b j agub a-ga. Leida selle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mis p iirkond. R = { (2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)} D om(R )= { 2,3,4} R ange(R )= { 3,4,6} N 3: V aatle me relats ioone reaalarvude hulgal ehk olgu A = B= reaalarvud e hulk. Ele mend id a j a b loeme relats ioonis R olevateks kui kehtib võrratus |x |+ |y|< = 1 j a teis es relats ioonis S olevateks kui kehtib võrratus |x+ y|< = 1 M õlemad relats ioonid on alamhu lgad ots ekorrutis es t R × R j a on kuj utatavad tas andi punktihulkadena R elats ioon R on romb i s iss e Relats ioon S on riba j ääv punktipaaride hulk N 4: V aatle me relats ioone naturaal arvude hulgal ehk olgu A= B= naturaalarvude hulk.
Relatsiooni (vastavuse) muutumispiirkond R ange(R )= { b B | leidub a A nii et (a,b) R} (range of R) N 2: A ntud on hulgad A= { 2,3,4} j a B={ 3,4,5,6,7} . D efineerida relats ioon aRb nii et b j agub a-ga. Leida selle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mis p iirkond. R = { (2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4)} D om(R )= { 2,3,4} kõik või mal ikud paaride es imes ed elemendid R ange(R )= { 3,4,6} N 3: V aatle me relats ioone reaalarvude hulgal ehk olgu A = B= reaalarvud e hulk. Ele mend id a j a b loeme relats ioonis R olevateks kui kehtib võrratus |x |+ |y|< = 1 tuleb romb graafikul j a teis es relats ioonis S olevateks kui kehtib võrratus |x+ y|< = 1 graafik läheb lõppma tus s e M õlemad relats ioonid on alamhu lgad ots ekorrutis es t R × R j a on kuj utatavad tas andi punktihulkadena R elats ioon R on romb i s iss e Relats ioon S on riba j ääv punktipaaride hulk
Materjal õpikus. Lk 5355 (sidusus). Ülesanne 5. Teha kindlaks, kas järgmine positiivsete reaalarvude hulgal määratud relatsioon x2 y R = {(x, y) : 2 = } y x on ekvivalents. 2 Lahendus. Võrdus xy2 = xy on samaväärne võrdusega x3 = y 3, sest põhi- hulga elemendid on positiivsed reaalarvud. Järelikult võib relatsiooni esitada kujul R = {(x, y) : x3 = y 3 }. Kontrollime ekvivalentsi omaduste kehtivust. · Relatsioon on refleksiivne, sest iga positiivse reaalarvu x korral kehtib x3 = x3 , st (x, x) R. · Relatsioon on sümmeetriline, sest kui x3 = y 3, siis ka y 3 = x3 , st kui (x, y) R, siis ka (y, x) R. · Relatsioon on transitiivne, sest kui x3 = y 3 ja y 3 = z 3 , x3 = z 3 , st kui
võrratus x > a. Arvust a väiksemate reaalarvude hulk on vahemik ]-, a[, mille määrab võrratus x < a. Analoogiliselt on määratud poollõigud [ a, [ ja ]-, a]. 3 Niisiis: lahendada võrratus (võrratuste süsteem) tähendab leida arvpiirkonnad milles võrratus (süsteem) on rahuldatud. Märgime, et võrratusel võivad lahendid üldse puududa, seda võivad rahuldada kõik reaalarvud või ainult üksikud arvud. Et arvpiirkond ise on määratud võrratustega, mida nende lihtsuse tõttu nimetame elementaarvõrratusteks, siis tähendab võrratuse (süsteemi) lahendamine sellele vastavate elementaarvõrratuste väljaselgitamist. Võrratuse (süsteemi) lahendamisel asendatakse see järkjärgult lihtsamate võrratustega (süsteemidega), kuni jõutakse elementaarvõrratusteni. Sellises asendamisprotsessis võib kasutada vaid esialgse võrratusega (süsteemiga)
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a) 2 ∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α|||u|| ...
C# - PROGRAMMERIMISE KEEL Programm on eeskirjade (käskude) kogum, mis määrab, milliseid operatsioone ja tegevusi peab arvuti täitma andmetega antud klassi kuuluvate ülesannete lahendamiseks. Andmed on informatsiooni formaliseeritud esitus kujul, mis võimaldab informatsiooni salvestamist ja töötlemist arvutis. Eristatakse mitut liiki andmeid: arve, tekste, graafikakujundeid, heli jm. Programmide koostamiseks on loodud spetsiaalsed programmeerimiskeeled. Taolisi keeli on palju, kuid enamiku ülesehitus ja käsutamise põhimõtted on analoogilised. Kasutamisvaldkonna järgi jagatakse keeled kahte rühma: universaalsed ehk üldkeeled ja spetsialiseeritud keeled. Üldisi programmeerimiskeeli käsutatakse suvaliste rakendus- ja süsteemi-programmide loomiseks, mis töötavad autonoomselt või koos teiste programmidega. Praegusel ajal on levinud järgmised üldised programmeerimiskeeled C, ++, Visual ++, Visual Basic, Java, Pascal, Fortran, Co...
lõppu b vastasvektori b lisamisega. Rööpküliku reeglite järgi oleks vektorite a ja b vahe neile ehitatud rööpküliku lühem diagonaal. Selle suund on selline, et b+(a-b)=a. Kahe vektori summa ja vahe pikkused ja vektorite vahelised nurgad saab arvutada siinus- või koosinusteoreemi abil. Koordinaatidega antud vektorid, tehted nendega Olgu antud vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vektorit b kujul b = a1a1 + a2a2 +. . .+akak, kus a1, a2, . . , ak on reaalarvud, nimetatakse vektorite a1, a2, . . . , ak lineaarseks kombinatsiooniks. Kui vektor on esitatud mingite vektorite lineaarse kombinatsioonina, siis öeldakse, et ta on arendatud nende vektorite järgi. T1 Iga tasandi vektor on esitatav üheselt kahe mittekollineaarse vektori 1 ja 2 lineaarse kombinatsioonina, s.t = a11 + a22. T2 Iga ruumi R3 vektor on esitatav üheselt kolme mittekomplanaarse vektori 1, 2 ja 3 lineaarse kombinatsioonina, s.t =a1 1 + a2 2 + a3 3.
1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või
Astmerea koonduvuspiirkond on vahemik, mille keskpunkt 0, st vahemik kujul(-R,R).Arvu R nim astmerea koonduvusraadiuseks.Koondusvusraadiuseks võib olla ükskõik missugune mitteneg arv, k.a. lõpmatus.Kui R=0, on koonduvuspiirkond tühi hulk, st astmerida hajub kõikjal.kui R=lõpmatus, on koonduvuspiirkond kogu reaalarvude hulk R. Nihutatud astmerida: S(x)= ai (x a)i a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+.... kus ai=reaalarv, kus a,a1,a2,a3,....on reaalarvud. i=0 35. Taylori ja McLaurini read. f(x)= f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ... = f(i)(a)(x-a) i/ i! i=0 Funktsiooni f(x) Taylori rida punktis a. Kui a=0 nim. Taylori rida McLaurini reaks. 36. Millist rida nimetatakse trigonomeetriliseks reaks? (lk 52)
g(x) graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f (x) > g(x) lõigul [0;2 ]. 41.(2010) On antud funktsioon f x x 3 3x 2 7 . 1. Näidake, et f (-2) > f (3) . 2. Leidke funktsiooni f (x) tuletis. 3. Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik ja arvutage ekstreemumpunktide koordinaadid. 4. Joonestage eespool saadud tulemusi kasutades funktsiooni f (x) graafik lõigul [- 2; 3]. 42. (2010) 1. On antud funktsioon f (x) = ax2 + bln x + c , kus a, b ja c on reaalarvud. Leidke kordajate a, b ja c väärtused nii, et funktsiooni f (x) graafik läbib punkti P(1; 3) ning graafiku puutujaks selles punktis on sirge y = 4x + a . Kontrollige saadud tulemusi. 2. Leidke funktsiooni g(x) = 4 + 6ln x x2 suurim ja vähim väärtus lõigul [1; e]. 43.(2011) On antud funktsioon f x x 4 4 x 3 4 x 2 5 . 1. Arvutage funktsiooni f (x) ekstreemumpunktide koordinaadid ja määrake nende liik. 2. Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemikud. 3
Matemaatiline analüüs I I KT 1. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on maaratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud. Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi. Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist. |a| =a kui a 0 -a kui a < 0 . Absoluutväärtuste omadused 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist lõiku (a-;a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub a ümbrusesse siis ja ainult siis, kui punkti x
Tühi hulk on elementideta hulk. Tühi hulk ∅ on iga hulga osahulgaks ∀𝐴(∅⊂𝐴). Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3…}. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅∩(𝐵∪𝐶) ja 𝐴̅∪(𝐵∩𝐶)
Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Ar...
Mustandid säilitatakse koolis. Hindamiskomisjon ei loe ega hinda hariliku pliiatsiga kirjutatud lahendusi ega mustandipaberile kirjutatut. Nõutavad teadmised ja oskused Matemaatika riigieksam ei ole 12. klassi lõpueksam, vaid kogu koolimatemaatika põhiteadmiste ja oskuste omandatust kontrolliv eksam. Eksamiülesannete koostamisel eeldatakse, et eksaminand on (minimaalselt) läbinud järgmised ainekursused: 1. Reaalarvud. Võrrandid ja võrratused. 2. Trigonomeetria. 3. Vektor tasandil. Joone võrrand. 4. Funktsioonid I, II. 5. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis. 6. Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. 7. Stereomeetria. Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest (vt ,,Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava"; http://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=174787 ). Eksamiülesannete lahenduste näiteid (2008/2009 õ-a riigieksami põhjal)
vastavusse ainult üks funktsiooni väärtus. 7. Mitmesed funktsioonid- nim funktsiooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastavusse mitu funktsiooni väärtust.(Ruudud jne) 8.Algebraline funktsioon-nim funktsiooni, mis saadakse x-st lõpliku arvu algebraliste tehete teel 8.1. Täisratsionaalsed funktsioonid- nime funktsiooni kujul: y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 ,kus n on positiivne täisarv ja a reaalarvud. 8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0 8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur. Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed. Liitfunktsioon Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist.
2 c C[a,b], 1, 2 c C(prxy()) nimetatakse normaalseks piirkonnaks (xy-tasandi ja x-telje suhtes). Kui f c I(), kus = {(x,y,z) c R3 | (a <= x <= b) (1(x) <= y <= 2(x)) (1(x,y) <= z <= 2(x,y))}, siis Df(P)dV = abdx 1(x) 2(x)dy 1(x,y) 2(x,y) f(x,y,z)dz. y(x0) = y0 Silindrilised koordinaadid: kus x0, y0 on mingid antud reaalarvud. x = cos Diferentsiaalvõrrandi lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse saame samasuse sõltumatute muutujate suhtes. Olgu F(x,y,z) määratud piirkonnas c R3
D x 4 , y 4 , z 4 Tetraeedri ruumala on 1/3 samale põhjale ehitatud kolmnurkse põhjaga prisma ruumalast, see omakorda pool rööptahuka ruumalast. 1 V ABCD AB AC AD 6 VEKTORITE LINEAARNE SÕLTUMATUS Definitsioon. Vektoreid a1 , , an nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui leiduvad reaalarvud 1 , , n , millest vähemalt üks on nullist erinev, nii et 1a1 2 a2 n an 0 . (1) Vastasel korral, kui niisuguseid arve ei leidu, siis nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatuteks. Nii saab defineerida ka maatriksi astakut: astak on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) arv
funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide Võrrandeid nimetatakse funktsiooni y=f(x) arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal , kui suvalises piirprotsessis x, parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega antud joon punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi
KW tegur, mis arvestab niiskuse mõju kuivati jõudlusele (KW = 1,1). Valemeid nummerdatakse vastavalt põhijaotise numbrile järjestatult. Valem lõpeb komaga, millele järgneb tähiste loetelu. Valemis kirjutatakse tähised ja tähiste indeksid võimalusel tähestikulises järjekorras. Tähised (sulgudeta) esitatakse loetelus valemist päripäeva järjestuses (valem 2.2), tähised sulgudes aga sellele järgnevalt tehtepõhiselt (valem 2.1). Reaalarvud kirjutatakse komadega nt 4,9998 ja 78,09. Üliõpilastöödes ümardatakse reaalarvud kahe kuni ühe kohani peale koma. Töös mitu korda esinevat ühte ja sama tähist samal ja järgneval leheküljel lahti ei seletata (piisab ühekordsest seletusest) (Lisa I.1). Valemi tähiseid selgitavate sõnastuste ja ühikute lõppu kirjutatakse semikoolon, viimane selgitus lõpeb punktiga. Mõttekriipsud valemi tähiste ja selgitavate osade vahel peavad olema kohakuti ja nende ees ning taga väljapeetud
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
