Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Pöördkeha ruumala arvutamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
pöördkeha, koonuse, ruutu, teljel, parabool, rajad, valemist, raadiuseks, pöördfunktsioon12. lim a 1 0 lim a 1 02 1 x 0 2. 0 1 x 0 1 x Määratud integraali rakendusi. 1. Tasapinnalise kujundi pindala. Kui kõvertrapets (vaata joonist all) on piiratud ülalt ja alt vastavalt joontega y f x ja y g x ning vasakult ja paremalt vastavalt sirgetega x a ja x b, siis tema pindala saab leida valemist b S fx g x dx a Näide 12. Leida kõverate y cos x ja y cos 2x vahele lõigul 0, 2 olev pindala. Joonestame algul selle kujundi Näeme, et lõigul 0, 2 kõverad y cos x ja y cos 2x lõikuvad punktides, kus cos 2x cos x x 0, 23 , 43 , 2 Kuna kujund on sümmeetriline, piisab kui arvutame pinala lõigul 0, ja korrutame selle kahega
Paarisfunktsiooni tunnuseks on f ( - x ) = f ( x ) , paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni tunnuseks on f ( - x ) = - f ( x ) , paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni perioodilisuse tunnuseks on f ( x + nT ) = f ( x ) , n , kus T on lühim periood (näit. siinusfunktsioonil 2 ). Kui funktsiooni y = f ( x ) korral on tegemist üksühese vastavusega ja valemist y = f ( x ) saab seose x = g ( y ) , milles muutuja y loetakse argumendiks ning x funktsiooniks, siis seost x = g ( y ) nimetatakse (otsese) funktsiooni y = f ( x ) pöördfunktsiooniks. Pöördfunktsiooni võib tähistada näiteks sümboliga y = f ( x ) . -1 Pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on otsese funktsiooni muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks otsese funktsiooni määramispiirkond. Otsese ja pöördfunktsiooni
Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala S kindel väärtus, seega pindala S on x funktsioon S = S(x). Seda funktsiooni nimetatakse pindfunktsiooniks. Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku all. S Leiame pindfunktsiooni tuletise S ' = lim .
Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala P kindel väärtus, seega pindala S on x funktsioon S = S(x). Seda funktsiooni nimetatakse pindfunktsiooniks. Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku all. P Leiame pindfunktsiooni tuletise P ' = lim .
1 ( t ) = f [ ( t )] = f ( x ) ja tõepoolest on võrduse (1) mõlema poole tuletised võrdsed funktsiooniga f ( x ) , mis tõestabki teoreemi väite. Märkus. Funktsioon x = ( t ) ja tema pöördfunktsioon t = ( x ) kujutavad endast üht ja sama sõltuvust muutujate t ja x vahel, seega võib muutuja vahetuse teha nii ühel või teisel kujul kui ka mistahes muul kujul, mis väljendab sama sõltuvust. 37. Ositi integreerimise valem Olgu meil antud kaks diferentseeruvat funktsiooni u = u( x ) ja v = v ( x ) . Nende funktsioonide korrutise diferentsiaal on: d ( uv ) = udv + vdu . Võttes selle võrduse mõlemalt poolt määramata integraali, saame määramata
sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni tunnuseks on f x f x , paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni perioodilisuse tunnuseks on f x nT f x , n ¢ , kus T on lühim periood (näit. siinusfunktsioonil 2 ). Kui funktsiooni y f x korral on tegemist üksühese vastavusega ja valemist y f x saab seose x g y , milles muutuja y loetakse argumendiks ning x funktsiooniks, siis seost x g y nimetatakse (otsese) funktsiooni y f x pöördfunktsiooniks. Pöördfunktsiooni võib tähistada näiteks sümboliga y f x . 1 Pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on otsese funktsiooni muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks otsese funktsiooni määramispiirkond
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) Arvutame: F(a) = f(a) – (f(b)−f(a)/ g(b)−g(a))* (g(a) − g(a)) = f(a), F(b) = f(b) − f(b)−f(a)/ g(b)−g(a) *(g(b) − g(a)) = f(b) − (f(b) − f(a)) = f(a). Seega F(a) = F(b). ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b). Järelikult rahuldab F(x) Rolle’i teoreemi eeldusi. Rolle’i teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et F’(c) = 0. Valemist leiame funktsiooni F(x) tuletise: F’(x) = f’(x) − f(b) − f(a) /g(b) − g(a) *g’(x). Seega F’(c) = f’(c) − f(b) − f(a)/ g(b) − g(a)*g’(c) = 0. Siit järeldub, et F’(c) = f(b) − f(a)/ g(b) − g(a)*g’(c). Jagades suurusega g’(c), mis eelduse tõttu erineb nullist, saame valemi. Teoreem on tõestatud. Sõnastada ja tõestada Lagrange’i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus
. . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Funktsioonid ja jadad 25 3.1 Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Liitfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Pöördfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III 1) Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, st vahemikud, kus vastavalt f x 0 ja f x 0 . Leiame funktsiooni y = x3 - 3x2 - 2 tuletise y = 3x2 6x. Kasvamisvahemike leidmiseks lahendame võrratuse 3x2 6x > 0. Selleks leiame tuletise nullkohad: 3x2 6x = 0 x1 0 , x 2 2 ; skitseerime parabooli, arvestades, et ruutliikme kordaja on 3 > 0, seega parabool avaneb üles. y >0 y >0 x 0 2 y <0 Jooniselt näeme, et f x 0 , kui x ; 0 ja x 2; , seega kasvamisvahemikud on vahemikud ; 0 ja 2; . Kahanemisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse 3x2 6x < 0.
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium JUURVÕRRANDID Kõiki juurvõrrandi lahendeid tuleb alati kontrollida, sest lahendamise käigus võivad tekkida võõrlahendid. Samas tuleb veenduda, et lahendamise käigus lahendeid kaotsi ei läheks. Lahendame võrrandi 9 x 8x 2 9 x 3. Mõnikord leitakse enne võrrandi lahendamist võrrandi määramispiirkond. Tõstame mõlemad võrrandi pooled ruutu, siis saame 9 x 8x 2 9 x 2 6 x 9, x 8x 2 9 x 2 6 x. Kas võrduse mõlemat poolt võib nüüd jagada x-ga ? Ei või, sest sel juhul läheb üks lahend x = 0 kaotsi ! x 8x2 9 (x 6) 0, millest järeldub, et üks lahend võib olla x 0. Lahendame nüüd võrrandi 8x 2 9 x 6, 8x 2 9 x 2 12 x 36, 7 x 2 12 x 27 0. 9
Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0
x 0 x x 0 u x x 0 u u u ' = lim , x 0 x f u siis x 0 u 0 f 0 = lim lim = f u' u ' x 0 u x 0 x m.o.t.t. Teoreem 2 Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv punktis x , siis selle pöördfunktsioon x = g ( y ) on samuti diferentseeruv punktis y ( y = f ( x)) Seejuures nende tuletiste vaheline seos on järgmine 1 f ' ( x) = g ' ( y) Tõestus: Eelduse kohaselt eksisteerib tuletis x 1 1 1 y ' = f ' ( x) = lim = lim x = lim g ( y + y ) - g ( y ) = lim x 0 y x 0 x 0 x 0 g ' ( y ) y y
x 0 x x 0 u x x 0 u u u ' = lim , x 0 x f u siis x 0 u 0 f 0 = lim lim = f u' u ' x 0 u x 0 x m.o.t.t. Teoreem 2 Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv punktis x , siis selle pöördfunktsioon x = g ( y ) on samuti diferentseeruv punktis y ( y = f ( x)) Seejuures nende tuletiste vaheline seos on järgmine 1 f ' ( x) = g ' ( y) Tõestus: Eelduse kohaselt eksisteerib tuletis x 1 1 1 y ' = f ' ( x) = lim = lim x = lim g ( y + y ) - g ( y ) = lim x 0 y x 0 x 0 x 0 g ' ( y ) y y
.., x m ) R m ja reaalarvu r > 0 . { } Def. Hulka B( A, r ) = P R m : d (P, A) < r nimetatakse lahtiseks keraks ruumis R m . Def. Hulka B ( A, r ) = {P R m : d (P, A) r} nimetatakse kinniseks keraks ruumis R m . Punkti A nimetatakse kera keskpunktiks ning reaalarvu r kera raadiuseks. R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) < r 2 } Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 . Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest: Tõestus: Olgu y =F 1 ( x ) ja y =F 2 ( x ) suvalised kaks algfunktsiooni funktsioonile y = f ( x ) . Siis algfunktsiooni definitsiooni kohaselt: F1( x ) = f ( x ) ; F2( x ) = f ( x ) F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0
1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja geomeetriline sisu. · Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks S1,S2,...,Sn.Tähistagu Si samaaegselt nii i-ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= (P1) S1 + (P2) S2+...+ (Pn) Sn Seda summat Vn nim funktsiooni integraalsummaks piirkonnas D · Olgu (x,y) 0. siis saab integraalsummas olevat korrutist (P i) Si tõlgendada kui silindri ruumala, mille põhi on S i ja kõrgus (Pi) Selline silinder tähistatakse Zi-ga. IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste j
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarv�
d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x ) .Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algse funktsiooni graafikuga, sirge y=x suhtes. Teineteise pöördfunktsioonideks on: eksponent- ja logaritmfunktsioon , tirgonomeetrilised ja arkusfunktsioonid. Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused- Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks. Lõpmata väikese suuruse omadused: 1
h→ 0 h x0,y0 ühikvektori u=a,b suunas. 15.Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? OMADUSED: Lineaarsus Adiktiivsus. Kui piirkond D on jaotatud kaheks piirkonnaks D1,D2 millel pole ühiseid seesmisi punkte Monotoonsus Kõigepealt arvutan sisemise integraali, panen rajad asemele ja siis välimise integraali ja panen rajad asemele. 16.Kahekordse integraali rakendusi Kujundi pindala leidmine Keerukamate kujundite massi Massikeskmeid 17.Üleminek polaarkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Kasutada siis, kui piirkond D on ringjoon x=r∗cosθ , y=r∗sinθ , r2=x2+y2 18.Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? Lineaarsus Adiktiivsus
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 8. (20p) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. Lahendus: Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Sirge y = 0 on x-telg. Joone y =1 - x 2 graafik on parabool, mis avaneb alla, nullkohad on -1 ja 1. ABC = 900 . Kuna VABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, siis alusnurgad on võrdsed ja CBA = CAB = 450 . Koonusekujulise katuse moodustajat läbiv sirge on puutujaks paraboolile y = 1 x2. Märkus: puutuja võrrand y y0 = k(x x0). Puutuja tõus on k ja puutepunkt (x0; y0). Kuna sirge tõus võrdub tõusunurga tangensiga, siis otsitava puutuja tõus k = tan 450 = 1.
Külgpindala S k 2 23 2400 cm 2 . Täispindala S 1200 3 2400 1200 3 2 cm 2 . Vastus. Püramiidid täispindala on 1200 3 2 cm². 5 5) Riigieksam 1999 (15p.) Koonuse telglõike tipunurk on 64o ja põhja ümbermõõt on 126 cm. Arvutage selle koonuse külgpindala ja ruumala. Lahendus. 63 Ülesande andmete põhjal on põhja ümbermõõt C = 2 r 126 r . Kuna telglõikeks on võrdhaarne kolmnurk, kus kõrgus poolitab tipunurga, siis r 63
Tallinna Tehnikaülikool Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused.........................................................................7 Omadus 1......................................
...............................................................32 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. ........................................................ 32 9. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks. ...........................32 1. Leida funktsiooni määramispiirkond. ........................................................................................32 2. Leida antud funktsiooni pöördfunktsioon ja pöördfunktsiooni määramispiirkond. .................. 32 3. Leida antud funktsiooni katkevuskohad, kõrvaldatava katkevuse puhul kõrvaldada katkevus. ........................................................................................................................................................ 32 4. Leida antud (ilmutatud) funktsiooni tuletis. .............................................................................. 32 5. Leida antud funktsiooni integraal. ..................
1. Ristkülik Mõiste: Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O)
Kui S = 3 3 , siis b = 3 3 3 = 3 3= 3 = 2 ja a = 3 3 3 = 3 3= 3=4. 3 3 3 3 3 3 2 4 Vastus: Trapetsi küljed on b = c = S 3 , a = S 3 ; a = 4 ja c = b = 2 pikkusühikut. 3 3 6. (15p) Koonuse tipp asub punktis T(0; 0; 8), punkt A (3 2 ; 3 2 ; 16 ) paikneb põhja ümberringjoonel ja põhja raadius on 8 cm. Leidke koonuse täispindala ja ruumala. Kui kaugele tipust tuleb teha põhjaga paralleelne lõige, mille pindala on 0,25 põhja pindalast? Lahendus: Antud on meil koonus, mille tipp asub punktis T(0; 0; 8). Seega R = 8 ühikut. Koonuse kõrgus on h., koonuse moodustaja on m. Punkt A (3 2 ; 3 2 ; 16) asub põhja ümberringjoonel.
f ( x ) dx= f [ ( u ) ] ' ( u ) du Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks x Olgu v =v (x ) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise u=u ¿ ) ja diferentsiaali avaldise. d (uv ) =vdu+ udv Integreerime seda avaldist. Saame d (uv ) =¿ vdu+ udv ¿ Kuna d ( uv )=uv +C integraalide tabeli vaheli 1 põhjal, siis uv+ C= vdu+ udv Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. udv=uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega x 0 , x 1 , x 2 , ... x n , kusjuures a=x 0< x 1 < x 2< ..
4) Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise Ositi integreerimine. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise (vt. Diferentsiaali omadus 3 §3.3) d(uv) = vdu + udv Integreerime seda avaldist. Saame: Kuna d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalidudv javdu sisaldavad juba määramata konstante. Viiesvdu võrduseteisele poolele saame Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.
X(x;y) suvaline punkt joonel; |r1r2| = 2a! |F1F2| = c. | |F1X| - |F2X| | = 2a | [(x+c)2 + y2]1/2 - [(x-c)2 + y2]1/2 | = 2a lihtsustades (c2 a2 =täh b2): x2/a2 y2/b2 = 1 hüperbooli (kanooniline) vôrrand. |A1A2| = 2a reaaltelg (vôrrandis +märgiga); |B1B2| = 2b imaginaartelg. c > a; = c/2 > 1. Asümptoodid jooned, millele hüperbool läheneb lôpmatult: 1) y = -(b/a)x. 2) y = (b/a)x. 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand). Parabool teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud (juht) joonest vôrdsetel kaugustel. d punkti X(x;y) kaugus juhtjoonest; F(p/2; 0) juhtjoone vôrrand x = -p/2 x + p/2 = 0. d = |Ax+By+C | / (A2+B2)1/2 = |x+p/2| / (12 + 02)1/2 = |x + p/2|. |XF| = [(x p/2)2 + (y 0)2]1/2. d = |XF| |x+p/2| = [(x-p/2)2+y2]1/2 lihtsustades: y2 = 2px parabooli vôrrand. p fookuse kaugus juhtjoonest. 28
annaabi.ee 
