* Ositi integreerimine. Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad f'id hulgal X ja eksisteerib määramata
integraal uv'dx, siis eksisteerib ka määramata integraal udv=uv-vdu
* Iga nullist erinev täisarv n on esitatav algarvude p astmete korrutisena n=(-1) (n)p1v1pkvk
* Iga kahe täisarvu a ja b>0 korral leiduvad täisarvud q ja r, et a=qb+r, kus 0<=rpolünoomi f(x)= anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 (an0)
astmeks loetakse naturaalarvu n ja tähistatakse deg(f).
* Iga kahe polünoomi f ja g0 korral leiduvad polünoomid q ja r, et f=qg+r, kus r on kas
nullpolünoom(r=0) või r0 ja deg(r)
põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Üks tähtsamaid elementaarfunktsioone on polünoom. Näited: , (mõlemad on polünoomid). Saab leida , 2. Mis on polünoom? Tooge 2 näidet! Polünoom on hulkliige, mida moodustavad üksliikmed on muutujate astmete ja konstantsete kordajate korrutised. Näited: , 3. Mis on polünoomi kordajad, aste ja juured? Tooge 2 näidet! Polünoomi üldkuju: polünoomi kordajaid tähistatakse tähega (reaalarvude kompleks) , polünoomi astmeks on arv n, polünoomi juurteks (nullkohtadeks) on need argumendi x reaal- või kompleksarvulised väärtused, mille korral polünoom f(x)=0 (nullkohad). Näited: Leian polünoomi kõik juured. 6 5 4 f ( x) := x + 30x + 4x + 7 7
x MDNK : Reed-Mulleri polünoom Reed-Mulleri polünoomi võib leida kolmel viisil, millest kõige eelistatum on Karnaugh' kaardi abil leidmine. Koostatakse spetsiaalne DNK, kus kõik tehted w tohib avaldises
vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi). Teoreemile 4
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks . Kui see polünoom on reaalsete kordajatega ja võrrandil Pn(x)=0 on lahendiks , siis tema lahendiks on ka . Kui on Pn(x)=0 m kordne kompleksne lahend, siis ka on selle sama Pn(x)=0 m kordne lahend. Järeldus: Kui meil on reaalsete kordajatega Pn(x), siis on see kirja pandav nii:
N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. 5. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? · Funktsiooni Taylori polünoom Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polynoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui siis kehtib ligikaudne valem Kui nimetame Taylori polünoomi McLaurinin polünoomiks. 6. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem) Kui funktsioon f on diferentseeruv vahemikus (a, b) kehtivad järgmised väited:
x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui aga f´ (x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kahanev vahemikus (a;b). 23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon.
ekstreemumiteks. Fermat' lemma kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks. 21) Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? = + - + - + + - 1! 2! ! Polünoomi nimetatakse funktsiooni Taylori polünoomiks ehk -järku lähendiks punkti ümbruses. Kui = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni McLaurini polünoom järgmine:
2. praktiline töö Tagasisidestatud süsteemi süntees ja analüüs 1. B=[1;1] C=[0 1] Sel juhul on süsteem juhitav ja jälgitav 2. eig(A) ans = -2 1 Mittestabiilne, kuna 1 pole negatiivne 3. y()= 4 .Polünoomi valik ksii = 0.999 Sel juhul stabiliseerub graafik aeglaselt ning võngub nõrgalt. 5. Tagasisidestatud süsteemide süntees L=place(A',C',P)' L = 12.6837 5.0000 K=place(A,B,P) K = 15.3673 -10.3673 6. Süsteemi väljund käitub, nagu tabelis nõutud 7. Tagasisidestatud süsteem on stabiilne, erinevalt algsest süsteemist
Olgu Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an n-astme polünoom, kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0. Vastavalt algebra põhiteoreemile on polünoomil Pn(x) kompleksarvude hulgal täpselt n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1, x2, . . . , xr, vastavalt kordsustega k1, k2, . . . , kr, siis pol¨unoom Pn(x) avaldub kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Horneri skeem. Polünoomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..., an on arvud, tahame arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: bn := an bn-1 := an-1 + bnx0 b0 := a0 + b1x0 siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi avaldisse p(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(an-1 + bnx0) ... )) = = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ..
() = () () () ( [, ]), Kusjuures () on rangelt monotoonne ja pidevalt sup () st - () + Polünoomi RL-n integreerimine on = (t) kus M = [, ] , (f [, ]). lim |
4 x/2 x/2 See ringi sees = -1 3 Tuletada funktsiooni y = arc sin x tuletise valem. 4. Tuletada funktsiooni y = arc cos x tuletise valem. 5. Tuletada funktsiooni y = x tuletise valem. n 6. Tuletada Taylori valem. Olgu y = f(x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n+1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi: ; P ' n (a ) =f ' ( a ) ; P ' ' n (a ) =f ' ' (a ) ; Pn ( a ) =f (a ) Koraldame otsitava polünoomi (x-a) astmete järgi: Pn ( x ) =C0 + C1 ( x - a) + C2 (x - a) 2 + . . .+ Cn ( x -a) n Leiame vajalikud tuletised: Pn ' ( x) = C1 +2C 2 ( x - a) +3C3 ( x - a) 2 + . . .+ nC n ( x -a) n -
hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? ' f ( a) f ' '(a) 2 f ' ' ' ( a) Pn(x) = f(a) + 1 ! (x-a) + 2! (x-a ¿ + 3! (x-a)3 f (n ) (a) + n! (x-a)n Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini
Naaberelementidel peavad olema ühised sõlmpunktid. Kõikide elementide kogusumma peab kogu määramispiirkonna täpselt kokku andma. 4. Pidev arvutatav funktsioon aproksimeeritakse igas elemendis polünoomiga, mis defineeritakse funktsiooni väärtuste alusel sõlmpunktides (st sõlmväärtuste alusel). Igas elemendis võetakse erinev polünoom, kuid need valitakse nii, et funktsiooni pidevuse tingimused elementide rajajoontel oleksid täidetud. Seda polünoomi nimetatakse ka elemendi funktsiooniks. Nendest elemendi funktsioonidest moodustub tükiti pidevate funktsioonide hulk, mis hõlmab kogu määramispiirkonna. 5. Lineaarvõrrandite süsteemi tuletamine antud objekti iseloomustava funktsionaali minimeerimise kaudu. 6. Selle süsteemi lahendamine sõlmväärtuste suhtes. 7. Kõigi vajalike suuruste lõplik arvutamine igas elemendis 14. Milliseid elemente kasutatakse kahemõõtmelise LEM-i juhtumi korral?
NB ! Nullid peaksid seal võrdusmärgi all ja üleval olema. = = 1 = = = 1 = = = 1 = = = 1 12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem. Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi: , , Polünoomi otsime kujul: Leiame vajalikud tuletised: +.
Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine.
Küsimus 8 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Loogikafunktsioonide süsteem on nõrgalt täielik, kui ta sisaldab . . . vali kõik õiged : ühte mittepööratavat funktsiooni; ühte monotoonset funktsiooni; ühte pööratavat funktsiooni; ühte mittelineaarset funktsiooni; ühte lineaarset funktsiooni; ühte mittemonotoonset funktsiooni; Küsimus 9 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Reed-Mulleri polünoomi leidmisel Karnaugh' kaardi abil tuleb kõik 1-d katta kaardil mittelõikuvate kontuuridega Küsimus 10 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millisel tingimusel tohib loogikatehted "disjunktsioon" asendada avaldises loogikatehtega "välistav VÕI" (ilma avaldise loogilist väärtust sellega muutmata) ? Valige üks: juhul kui disjunktsiooniga liidetavaid loogikaväärtusi 0 avaldises ei ole;
vähemalt üks funktsioon, mis ei ole monotoonne; Küsimus 8 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Loogikafunktsioonide süsteem on nõrgalt täielik, kui ta sisaldab . . . vali kõik õiged : Vali üks või enam: ühte mittelineaarset funktsiooni; ühte mittepööratavat funktsiooni; ühte monotoonset funktsiooni; ühte mittemonotoonset funktsiooni; ühte pööratavat funktsiooni; ühte lineaarset funktsiooni; Küsimus 9 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Reed-Mulleri polünoomi leidmisel Karnaugh' kaardi abil tuleb kõik 1-d katta kaardil mittelõikuvate kontuuridega Küsimus 10 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millisel tingimusel tohib loogikatehted "disjunktsioon" asendada avaldises loogikatehtega "välistav VÕI" (ilma avaldise loogilist väärtust sellega muutmata) ? Vali üks: juhul kui disjunktsiooniga liidetavaid loogikaväärtusi 0 avaldises ei ole;
Analoogiliselt x ϵ(a;a + δ) korral leidub c ϵ(a;x), nii et Δy = f (x) -f (a) = f ’(c)(x -a) kuna x -a >0, siis Δy ≤0 kui f ’(c) ≤0 12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem. iga c ϵ(a;a + δ). Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, Seega on vajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. mis rahuldab tingimusi: Analoogilselt on võimalik tõestada lokaalse miinimumi juhtum. Pn(a)=f(a) 16. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused
Saame f(x) − f(a) = f′(a)(x − a) + β . Avaldame f(x): f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + β Jättes funktsiooni f(x) avaldisest välja jääkliikme β, saame uue funktsiooni, mis on lineaarne: P1(x) = f(a) + f′(a)(x − a). f(x) ≈ P1(x) Funktsioon P1(x) on funktsiooni f(x) lineaarne lähend. Jääkliikme β eemaldamisega funktsiooni avaldisest me lineaariseerisime selle funktsiooni. 2. Tuletada funktsiooni y = f(x) Taylori polünoom punktis x = a. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Pn(a) = C0 , P′n (a) = 1! C1 , P′′n (a) = 2! C2 , P′′′n (a) = 3! C3 , . . . , P(n)n(a) = n! Cn . Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) ≈ Pn(x). Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 3. Defineerida funktsiooni lokaalne maksimum, lokaalne miinimum ja lokaalne ekstreemum.
= ( v v) v ( v v ) v () v () 8. Teha punktis 2 saadud MDNK-le Shannoni konjunktiivne arendus vabaltvalitud 2he muutuja järgi. MDNK: f(, , , ) = v v v Shannoni konjuktiivne arendus ja järgi: f(, , , ) = ( v v f (1, 1, x3, x4))( v v f (1, 0, x3, x4)) & & ( v v f (0, 1, x3, x4))( v v f (0, 0, x3, x4)) = = ( v v ())( v v ())( v v ( v ))( v v ()) 9. Leida ja esitada punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed- Mulleri polünoom. MDNK: f(, , , ) = v v v Reed-Mulleri polünoomi saab Karnaugh' kaardilt mittekattuvate kontuuridega kaetud 1-de piirkondade välja kirjutamisel ja saadud DNKs kõik disjunktsioonid -ga asendades (ning silmas pidades seda, et = x ). x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 1 1 1 01 1 0 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 0 0 Saadud DNK: f(, , , ) = v v v Reed-Mulleri polünoom:
diferentsiaali b.3. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse . Kehtib valem Jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega d saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? a. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem) Funktsiooni lineaarne lähend punkti x=a ümbruses, avaldub valemiga Funktsioon koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks konstrueerivasse lähendisse üle kanda esialgse funktsiooni teise tuletise väärtust,
ühte pööratavat funktsiooni; ühte mittemonotoonset funktsiooni; ühte lineaarset funktsiooni; ühte monotoonset funktsiooni; Question 9 Reed-Mulleri polünoomi leidmisel Karnaugh' kaardi abil tuleb Correct kõik 1-d katta kaardil mittelõikuvate kontuuridega Mark 1.00 out of 1.00 Lehekülg 2/4 24.11.2012 19:37
2 2 ( ) = x 2 sin x - 2 - x cos x - - cos xdx = x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C Kontroll: leiame tuletise (x 2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C ) = 2 x sin x + x 2 cos x + + 2 cos x - 2 x sin x - 2 cos x = x 2 cos x MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm
vabaltvalitud 2he muutuja järgi. f (x1, x2, x3, x4) = Shannoni konjuktiivne arendus x3 x4 järgi: f (x1, x2, x3, x4) = ( f (x1, x2, 0, 0)) & & ( f (x1, x2, 0, 1)) ( f (x1, x2, 1, 0)) & & ( f (x1, x2, 1, 1)) = = ( ( )) ( ()) & & ( ()) ( ()) 9. Leida ja esitada punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed- Mulleri polünoom. f (x1, x2, x3, x4) = Reed-Mulleri polünoomi saab Karnaugh' kaardilt mittekattuvate kontuuridega kaetud 1-de piirkondade välja kirjutamisel ja saadud DNKs kõik disjunktsioonid -ga asendades (ning silmas pidades seda, et = x ). x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 1 0 1 0 10 1 0 0 1 Saadud DNK: f (x1, x2, x3, x4) =
x x x ( = e x sin x - - e x cos x - - e x cos xdx = ) = e x sin x + e x cos x - e x cos xdx Saime tagasi esialgse integraali aga töö ei ole olnud sugugi asjatu, avaldame I = e x cos xdx I = e x ( sin x + cos x ) - I 2 I = e x ( sin x + cos x ) 1 I = e x ( sin x + cos x ) + C 2 MURDRATSIONAALSETE AVALDISTE LAHUTAMINE OSAMURDUDEKS Ratsionaalmurruks nimetatakse kahe polünoomi jagatist: P ( x ) a0 + a1 x + + an x n = Q( x ) b0 + b1 x + + bm x m Vaatleme juhtu, kus lugejas asuva polünoomi aste on madalam, kui nimetajas asuva oma, s.t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm
· p = T =
· (Au)m = Aum
· (a A)T = a AT
· E1 = E-1 = ET = Eu = E
· (A +/- B)T = AT +/- BT
· (A B)T = BT = AT
15. Nullmaatriksist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks nimetatakse
teguriteks.
AB A B = B A=
Maatriksi polünoom ja selle nullkoht.
N inda astme Pn(x) nimetatakse avaldist Pn(x) = 0 + 1x + 2x2 + 3x3 + ...+ nxn
Reaalarvu x0, mille korral on rahuldatud tingimus Pn(X) = 0 nimetatakse polünoomi
nullkohaks.
N inda astme maatriks polünoom Pn(A) = 0 E + 1 A+ 2 A2 + 3 A3 + ...+ n An
Ruutmaatriksi A0, mille korral on täidetud tingimus Pn(A0) =
Lineaarsed võrrandi süsteemid
Def : (m×n) järku lineaarseks võrrandi süsteemiks nimetatakse m- võrrandist ja n-
tundmatust moodustatud hulka järgmisel kujul.
( a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1nxn = b1
( a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2nxn = b2
( a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3nxn = b3
Kolme moodi seotud: m=n , m
d^3 y(x)=f^''' (x)?dx?^3. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse? d?^n y . Kehtib valem d^n y(x)=f^((n) ) (x) ?dx?^n. Lõpuks märgime, et jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega dx^n saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: (d^n y)/(dx^n )=f^((n) ) (x). 28.Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised lähendid polünoomide hulgast. Polünoomiga on lihtne opereerida. Polünoomi väärtuse arvutamisel tuleb ju teostada ainult aritmeetilisi tehteid (liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist). Näiteks taskuarvuti leiab funktsioonide a^x, sin x jms tegelike väärtuste asemel nende funktsioonide
..,m kehtivad seosed: F1 (P)= F2 (P) ; F2 (P)= F3 (P) ; F1 (P)= F3 (P) x2 x1 x3 x2 x3 x1 Nende seoste tõttu saame valemist F3 (P) - F2 (P) ; F1 (P) - F3 (P) ; F2 (P) - F1 (P) x3 x1 x2 x3 x1 x2 võrduse rot F(P)=0. Seega võib väita, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 24) Tuletada kahemuutuja funktsiooni Taylori polünoomi valem n=3 korral. Esitada vastav valem suvalise n korral. Vaatame kahe muutuja funktsiooni (x,y). Seame endale eesmärgks leida muutujate x ja y polünoom, mis lähendab funktsiooni (x,y) mingi fikseeritud punkti A=(a,b) lähedal. Üldine idee on järgmine: kirjutame funktsiooni (x,y) Taylori polünoomi välja ühe argumendi suhtes ja asendame seal esinevad osatuletised, mis sõltuvad teisest argumendist , oma Taylori polünoomidega. Teeme selle protseduuri läbi n=3 korral
..,m kehtivad seosed: F1 (P)= F2 (P) ; F2 (P)= F3 (P) ; F1 (P)= F3 (P) x2 x1 x3 x2 x3 x1 Nende seoste tõttu saame valemist F3 (P) - F2 (P) ; F1 (P) - F3 (P) ; F2 (P) - F1 (P) x3 x1 x2 x3 x1 x2 võrduse rot F(P)=0. Seega võib väita, et potentsiaalne väli on keerisevaba. 24) Tuletada kahemuutuja funktsiooni Taylori polünoomi valem n=3 korral. Esitada vastav valem suvalise n korral. Vaatame kahe muutuja funktsiooni (x,y). Seame endale eesmärgks leida muutujate x ja y polünoom, mis lähendab funktsiooni (x,y) mingi fikseeritud punkti A=(a,b) lähedal. Üldine idee on järgmine: kirjutame funktsiooni (x,y) Taylori polünoomi välja ühe argumendi suhtes ja asendame seal esinevad osatuletised, mis sõltuvad teisest argumendist , oma Taylori polünoomidega. Teeme selle protseduuri läbi n=3 korral
integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37
Leiame n- juhul kehtib ta ka n korral. Seega kehtib: [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]𝑥=𝑎 = ∑𝑛−1 𝑘=0 ( )𝑓 (𝑎) 𝑘 astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi: 𝑃𝑛 (𝑎) = 𝑓(𝑎) ; 𝑃′ 𝑛 (𝑎) = 𝑓 ′ (𝑎), 𝑃′′ 𝑛 = (𝑛−1) ′ 𝑛−1 𝑛 − 1 (𝑘+1) (𝑛−1−𝑘) (𝑛)
d 3 y ( x ) = d d 2 y ( x) = d f ' ' ( x)dx 2 = d [ f ' ' ( x)] dx 2 = d [ f ' ' ( x)] dxdx2 = f ' ' ' ( x )dx 3 Järelikult : d 3 y ( x ) = f ' ' ' ( x)dx Kehtib valem : d n y ( x) = f n ( x)dx b dny = f (n) x dx n 6. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem) Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? a. Polünoomi Pn nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks e n-järku lähendiks punkti a ümbruses. Kui siis kehtib ligikaudne valem: b. Kui nimetame Taylori polünoomi McLaurinin polünoomiks. 7. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga. Tõestada vastav teoreem. a. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis kehtivad järgmised väited: a.i
d 3 y ( x )=f '' ' ( x ) d x 3 3. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku n diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse d y . Kehtib valem d n y=f (n ) ( x ) d x n Jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega d x n saame järgmise valemi n-järku tuletise jaoks: n d y (n ) n =f ( x) dx 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem) Funktsiooni lineaarne lähend punkti x=a ümbruses, avaldub valemiga P1 ( x )=f ( a ) + f ' (a)( x-a) Funktsioon P1 ( x ) koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st P1 ( x )=f ( a ) , P 1 ' ( x )=f ' ( a ) Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks konstrueerivasse lähendisse üle kanda esialgse funktsiooni teise tuletise väärtust,
asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Järelikul on määramispiirkond järgmine · Elementaarfunktsioonid funktsioonid mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Põhilised elementaarfunktsioonid on nt: jne. · Polünoomfunktsioon n astme polünoom on defineeritud avaldisega · Ratsionaalfunktsioon - on kahe polünoomi jagatis. 6. · Ilmutatud funktsioon Funktsiooni ilmutatud kujuks on võrrad mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x ,kuid mitte y. · Ilmutamata funktsioon Funktsiooni ilmutamata kujuks on võrrad, mis sisaldab x ja y läbisegi · Parameetrilisel kujul antud joon Olgu antud lõigul kaks funktsiooni ja . Kirjutame nad üles süsteemina:
saab aruvtada kuidas süsteem reageerib erinevatele sisenditele. Ülekandefunktsioon on orienteeritud lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. Määratakse väljund- ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Pidevaja süsteemide puhul kasutatakse Laplace'i teisendust, diskreetaja süsteemidel aga z-teisendust. Koondparameetrilistel süsteemidel väljendub ülekandefunktsioon tavaliselt polünoomide suhtena. Nimetaja polünoomi nullkohad on süsteemi poolusteks ja ühtivad süsteemi omaväärtustega. Ülekandefunktsiooni realiseeritavus: Ülekandefunktsioon on realiseeritav kui nullide arv ei ületa pooluste arvu: n > m. Tingimus peab olema täidetud iga ploki kohta. Siirdeprotsessid ja nende arvutamine: Siirdeprotsessid on muutuvates tingimustes toimuvad dünaamilised protsessid süsteemis, mida põhjustavad muutuvad sisendsignaalid või süsteemisisene
Seega d2y(x) = f’’(x)dx2 . (3.33) Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali d3y. Kasutades juba tuletatud valemeid (3.32) ja (3.33) arvutame: d3y(x) = d[d2y(x)] = d[f’’(x)dx2] = d[f’’(x)]dx2 = [f’’(x)]’dxdx2 = f’’’(x)dx3 . Järelikult d3y(x) = f’’’(x)dx3 . 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Pn(a) = f(a), P’ n(a) = f’(a), ... , P(n) n (a) = f(n)(a) Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul: Pn(x) = C0 + C1(x − a) + C2(x − a)2 + C3(x − a)3 +C4(x − a)4 + ... + Cn(x − a)n kus C0,C1,...,Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate määramiseks arvutame kõigepealt Pn tuletised kuni järguni n: P’ n(x) = 1C1 + 2C2(x − a) + 3C3(x − a)2 + 4C4(x − a)3 +... + nCn(x − a)n−1 , P’’ n(x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3(x − a) + 4 · 3C4(x − a)2 +... + n(n − 1)Cn(x − a)n−2 P’’’ n (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4(x − a) +..
integreerimiseks. 31. Määramata integraal- avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom- hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal- piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37
= [ x 2 x3 f ( x111x 4 )][ x 2 x3 f ( x110 x 4 )][ x 2 x3 f ( x1 01x 4 )][ x 2 x3 f ( x1 00 x 4 )] = = [ x 2 x3 ( x1 0 00 x 4 x11x 4 )][ x 2 x3 ( x1 0 01x 4 x11x 4 )] & & [ x 2 x3 ( x11 10 x 4 x1 0 x 4 )][ x 2 x3 ( x11 11x 4 x1 0 x 4 )] = = [ x 2 x3 ( x1 x 4 )][ x 2 x3 ( x1 x 4 )][ x 2 x3 ( x1 )][ x 2 x3 ( x1 x 4 )] 9. Leian punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdse Reed-Mulleri polünoomi. x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 0 0 0 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 0 x1 x 2 x1 x 2 x3 x 4 x1 x 2 x 4
5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx
DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
= (xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3) V (xx1 xx2x3 V x1xx2xx3 V x2)= = [(x1 V x2 V xx3)(xx1 V x2 V x3)(xx2)](xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3) V (xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3)[(x1 V x2 V xx3)(xx1 V x2 V x3)]= = (x1xx2x3 V xx1 xx2 xx3)(xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3) V (xx1 xx2x3 V x1xx2 xx3)(x1x2 V x1x3 V xx1x2 V x2x3 V xx1 xx3 V x2xx3) = = x1xx2x3 V x1x2 V x1x2x3 V xx1x2 V x2x3 V xx1x2xx3 V x2xx3 = x1x3 V x2 11. Leida MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed-Mulleri polünoom vabalt valitud meetodiga. Leian Reed-Mulleri polünoomi Karnaugh kaardi abil. MDNK Karnaugh’ kaart: 7 1de piirkond on juba kaetud minimaalse arvu võimalikult suurte kontuuridega, niimoodi et iga „1“ on kaetud paaritu arvu kontuuridega. Seega kehtib võrdus: 0 V 0 V 1 = 0 ⊕ 0 ⊕ 1. Järelikult: f(x1x2 x3x4) = xx1 xx2 x3 ⊕ x1 xx2 xx3 ⊕ x2 x4 = (x1 ⊕ 1)(x2 ⊕ 1)x3 ⊕ x1(x2 ⊕ 1)(x3 ⊕ 1) ⊕ x2x4 =
kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu 28Taylori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese Enamasti konstrueeritakse taolised lähendid polünoomide hulgast. Polünoomiga on lihtne opereerida. Polünoomi x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . väärtuse arvutamisel tuleb ju teostada ainult aritmeetilisi tehteid (liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist). Näiteks
Ülekandefunktsioon- Ülekandefunktsioon on orienteeritud lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik, mis määratakse väljund- ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Pidevaja süsteemide puhul kasutatakse Laplace'i teisendust, diskreetaja süsteemidel aga z-teisendust. Koondparameetrilistel süsteemidel väljendub ülekandefunktsioon tavaliselt polünoomide suhtena. Nimetaja polünoomi nullkohad on süsteemi poolusteks ja ühtivad süsteemi omaväärtustega. Süsteemi ülekandefunktsioon võimaldab sisend- ja väljundmuutujate kujutised seostada valemiga y(s)=H(s)u(s), kusjuures ülekandefunktsioon H(s) on sisuliselt ülekandeoperaatori realisatsioon süsteemi sisendi ja väljundi operaatorkujutiste ruumis. Ülekande-funktsioon sõltub ainuüksi süsteemi omadustest (parameetritest) ning H(s) tundes
liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ... , R(x), S(x) on mingid polünoomid. Irratsionaalfunkts nim algebralist funkts-i, mis ei ole ratsionaalfunkts
y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ ... + pn-1y'+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ ... + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; ... ; n
määratud sisendmuutujaga u(t). 3.2 Ülekande funktsioon- Orienteeritud lineaarse süsteemi ülekandemudeli põhikarakteristik. Määratakse väljund- ja sisendsuuruste operaatorkujutiste suhtega teisendatud süsteemivõrrandeis nullistel algtingimustel. Pidevaja süsteemide puhul kasutatakse Laplace'i teisendust, diskreetaja süsteemidel aga z-teisendust. Koondparameetrilistel süsteemidel väljendub ülekandefunktsioon tavaliselt polünoomide suhtena. Nimetaja polünoomi nullkohad on süsteemi poolusteks ja ühtivad süsteemi omaväärtustega. 3.3 Ülekandefunktsiooni realiseeritavus- Ülekandefunktsioon on realiseeritav kui nullide arv ei ületa pooluste arvu: n > m. Tingimus peab olema täidetud iga ploki kohta. 3.4 Siirdeprotsessid ja nende arvutamine- Muutuvais (muutunud) tingimusis toimuv dünaamiline protsess süsteemis, mida põhjustavad muutuvad sisendsignaalid või süsteemisisene akumulatsioon olekumuutujate algväärtuste näol analüüsi alghetkel
y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ … + pn-1y’+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ … + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; … ; n
ekstreemum selles pk-s.Lõigus x pideva fn-i f globaalsete ekstreemumite leidmine:1)leida fni kriitilised punktid lõigu x=(a,b) sisepunktides 2)arvutada fni f väärtused kriitilistes punktides ja lõigu x=(a,b) otspunktides a ja b 3) saadud väärtustest valida välja suurim ja vähim,mis ongi vastavalt fni f suurim(glob max) ja vähim(glob min) väärtuses selles lõigus xTaylori ritta arendamisel arendame antud fni f(x) suvalise punkti x=xo(ümbruses),st kõigepealt teisendatakse antud fn polünoomi kujule,kus kordajateks on antud fni tuletised kohal X0,st tuletiste väärtused andtud punktis:f´(xo),f´´(xo)...kaudu. ***Taylori rea valem n-astme polün.korral ( n) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x0 ) (9.13) f ( x) = + ( x - x0 ) + ( x - x 0 ) 2 + ... + ( x - x0 ) n 0! 1
Liigmurru, st (m ≥ n) korral , siis m≤ b ≤ M ja C= b tuleb esiteks eraldada täisosa. Selleks tuleb polünoomi Qm (x) jagada polünoomiga Pn (x) . Saame ∫ g(x) dx ∫ g( x ) dx a a
f = [x3 V x4 V (1 ×x1x2 V 0 × x1 x2 V 0 ×x1 x 2 V 0 ×1 × x1 )]& &[x3 V x 4 V (1 ×x1x2 V 0 ×x1 x 2 V 1 × x1 x2 V 1 ×1 × x1 )]&[ x3 V x4 V (0×x1x2 V 1 ×x1 x 2 V 0 × x1 x2 V 0 ×0 × x1 )] & [ x3 V x 4 V (0×x1x2 V 1 ×x1 x 2 V 1 × x1 x2 V 0 ×1 × x1 )] = (x3V x4V x1x2) &(x3V x 4 V x1x2 V x1 x2 V x1 )&( x3 V x4 V x1 x 2 )&( x3 V x 4 V x1 x 2 V x1 x2) ÜLESANNE 9 Leida ja esitatada punktis 2 saadud MDNK-ga loogiliselt võrdne Reed-Mulleri polünoom. Reed-Mulleri polünoomi leidmiseks kasutan Karnaugh' kaarti. Karnaugh' kaardi täitmiseks kasutan samasid andmeid, kui MDNK leidmiseks. (määran määramatused võrdselt). x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 0 0 0 1 01 1 0 0 1 11 0 0 1 1 10 1 1 0 0 Leian konstandid. 1) Intervall 100- konstandid x1=1 x2=0 x3=0 x1 x 2 x3 2) Intervall 111- konstandid x1=1 x2=1 x3=1 x1x2x3 3) Intervall 01-0 konstadid x1=0 x2=1 x4=0 x1 x2 x 4
annaabi.ee 
