nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10. Liitfunktsiooni osatuletise valem. Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. 13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide
(esitada vastav valem ilma tuletamata). 10.Sfäärkoordinaadid. Esitada ristkoordinaatide valemid sfäärkoordinaatide kaudu (tuletada ei ole vaja). Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 11.Joone kaare pikkuse diferentsiaal tasandil ja ruumis. Funktsiooni integraalsumma joonel. Esimest liiki joonintegraali definitsioon. 12.Esimest liiki joonintegraali arvutamine parameetrilise joone korral (esitada vastavad valemid ilma tuletamata). 13.Teist liiki joonintegraali definitsioonid tasandil ja ruumis. Integraal üle kinnise kontuuri. 14.Esimest liiki pindintegraali definitsioon.
Osaliselt täis nelinurkasid jagatakse veel omakorda Võimaldab Boole'i operatsiooni 20.Mis asi on hübriidmudel? CSG ja B-rep segu Modernsetes CAD süsteemides on arvuti siseselt kaks andmesüsteemi üheaegselt võimalikud Vastavalt nõutele valitakse sobiv struktuur Hübriid esitus ei dubleeri mudeli infot CSG esitus B-rep'st on palju lihtsam kui vastupidi 21.CAD mudelite iseloomustus (esitada tabeli kujul) 22.Mis on parameetriline modelleerimine ja milleks seda kasutatakse? Parameetrilise modelleerimise tehnoloogia, see on mitte koordinaatidega juhitav geomeetria nagu otsese modelleerimise puhul, vaid mõõtmetega kujundatav geomeetria. Parameetrilisel modelleerimisel registreerib süsteem, kuidas konstruktor ehitab mudelit ja jälgib antud elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Teiste sõnadega, see on tehnoloogia, mille käigus CAD süsteem registreerib projekteeritava detaili n.ö. parameetrilise ajaloo
Kui funktsioon on antud kujul y = f (x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutatud. Nt. y=x2+3x , y= sinx+cosx Kui funkts. on antud kujul F( x, y ) = 0, Kusjuures y=y(x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutamata ehk võrrandiga antud. Nt. x2 + y2 = 4 (ringjoon) ehk x2 + y2 – 4 = 0. Praegu saab siit y nö. „ilmutada“: y2 = 4 - x2 ehk y=± √ 4−x 2 Joonis 5. Nt. ey = x + y , siit y „ilmutada“ ei saa. Funktsiooni parameetriline esitlus. Funktsiooni parameetrilise esituse jaoks võetakse kasutusele mingi kolmas täht, tavaliselt t, mida nim. parameetriks. Igat funktsiooni, mis on kujul y = f(x), saab esitada parameetri abil. Vastupidi ei pruugi see nii olla. Parameetrilise esituse eeskuju on: Olgu y = x2+2, parameetriline kujul { y=tx=t+2 2 Tsükloid tekib, kui ringjoon, millel on märgitud nn kinnispunkt, veereb mööda sirget. Alguses kinnispunkt asub nullpunktis. Ringjoone veeremisel mööda sirget
05, loeme edaspidi alumist rida (näitab, et jaotuste ,,kujud" erinevad statistiliselt oluliselt). Mida teha siis, kui parameetriliste testide eeldused ei ole täidetud? Näiteks juhul, kui meie andmed on kogutud järjestusskaalal. Kahe sõltumatu grupi puhul saame kasutada mitteparameetrilist testi nimega Mann- Whitney U Test. Analyze Nonparametric Tests Legacy Dialogues 2 Independent Samples. 5. PRAKTIKUM 1) KAHE SÕLTUMATU GRUPI KESKMISTE VÕRDLEMITE PARAMEETRILISE TESTIGA Käskluserida: Analyze Compare Means Independent Samples T Test Independent Samples T-testi tulemused ja nende tõlgendamine: a) Esimeses tabelis tuuakse ära mõlema grupi valimi suurus, aritmeetiline keskmine, standardhälve ja aritmeetilise keskmise standardviga. Group Statistics Std. Error Sugu N Mean Std
9 Haapsalu Kutsehariduskeskus Taavi Metsvahi Arvutid ja arvutivõrgud 09 3. Parameetriline stabilisaator Nüüd kus on läbi võetud 4 erinevat viisi kuidas ehitada alaldit, mis muudab vahelduvvoolu alalisvooluks, võtsime ette pinge parameetrilise stabilisaatori. Õpetaja joonistas tahvlile uue skeemi ning võtsime lauale labori toiteplokki PS3005L, mis asendaks meie trafot. Skeem oli siis järgmine: 10 Haapsalu Kutsehariduskeskus Taavi Metsvahi Arvutid ja arvutivõrgud 09 Skeem koosneb siis:
naine 10 6 12 naine 13 15 11 Analüüs - Korduvmõõtmiste ANOVA NB! Sugu on katseisikute vaheline (between subject) faktor. Tegemist on seega segatüüpi disainiga faktor ,,sõnade tüüp" on kõikidel katseisikutel sama, faktor ,,sugu" jaotab katseisikud kahte gruppi. Normaaljaotuse kontroll - Enne parameetrilise testi tegemist tuleks kontrollida muutujate normaaljaotust - SPSS'is on selleks kaks testi: Shapiro Wilki test (väiksemate valimite puhul, kuni 2000) ja Kolmogorov Smirnov (n > 2000) - Analyze -> Descriptive Statistics - > Explore -> Plots - Kui p > .05 siis on normaaljaotusega (st nullhüpotees on normaaljaotusega) - NB! kui asümmeetriakordaja (ingl. k. skewness) ja ekstsess (ingl. k. kurtosis) on vahemikus -1 kuni
Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis piirväärtus eksisteerib. (tõestusega). Kasutame asendust tanx=t ; dx=1/1+t 2*dt 9. Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Määratud integraali omadused 10. Funktsiooni diferentsiaal ja selle geomeetriline
Kõik IP andmepaketid omavad välja TTL, mille väärtust vähendatakse ühe võrra igal paketi saatmise sammul allikast sihtpunktini. Juhul kui TTL omandab väärtuse null, või killustatud andmepaketi üks osa ei saabu sihtpunkti, saadetakse allikale sõnum "aeg on ületatud". Parameetriline probleem (inglise keeles Parameter problem) Vigaste andmepaketi päiseparameetrite korral ei õnnestu hostil alati paketti töödelda ja pakett tuleb kustutada. "Parameetrilise probleemi" sõnum saadetakse just nendel juhtudel, kui töötlemisel tekkinud vea tõttu paketist loobutakse. 3.2 Informatiivsed Informatiivseid sõnumeid ei genereerita vastuseks IP andmepakettides esinenud vigadele, vaid kasutatakse võrguühenduse diagnoosimiseks ja testimiseks. Need sõnumid võimaldavad võrguseadmetel vahetada olulist informatsiooni, mis on vajalik ühenduse stabiilseks toimimiseks.
eksperimenteerida. Samuti saab CAD süsteemides neid esitada elementidevahelisi geomeetrilisi suhteid. Parameetriline nii parameetrilisel kujul kui ka koonus lõigetena. Laialt on modelleermine on tehnoloogia, mille käigus CAD süsteem kasutusel auto- ja lennukitööstuses. 48. INTERPOLATSIOON registreerib projekteeritava detaili n.ö. parameetrilise ajaloo 60. : Nende kontrollpunktide abil saab pindasid defineerida.49. CAD süsteemis kasutatakse sidemeid -selleks, et teha seoseid SPLAIN: Vabakujuline kõver.Splaini kirjeldamiseks geomeetria ja mõõtude vahel. Sedasi geomeetria muutus kasutatakse kuup või kõrgemat järku võrrandit. See võrrand põhjustab mõõdu muutuse ning vastupidi. 61. Geomeetria ja
Näiteks vaatleme funktsiooni y= , kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu järgmiselt: x = a cos t. Siis saame y = =b . Eeldame, et parameeter t asub lõigul [0, ]. Sellel lõigul on funktsioon sin t mittenegatiivne. Seetõttu kehtib võrdus = sin t. Nüüd saame muutuja y jaoks järgmise võrrandi: y = b sin t. Võttes x ja y võrrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja järgmise parameetrilise esituse: , t [0, ] . Funktsiooni y = ba graafikuks on joonisel 1.16 toodud ellipsi ülemine (x- telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri väärtustele t [0, ]. Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt füüsikas. Parameeter t tähistab seal enamasti aega. Näiteks esitab parameetiline joon ajas liikuvat punkti tasandil. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid. Nendeks on:
graafikuks. Näiteks vaatleme funktsiooni y= , kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu järgmiselt: x = a cos t. Siis saame y = = b . Eeldame, et parameeter t asub lõigul [0, π]. Sellel lõigul on funktsioon sin t mittenegatiivne. Seetõttu kehtib võrdus = sin t. Nüüd saame muutuja y jaoks järgmise võrrandi: y = b sin t. Võttes x ja y võrrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja järgmise parameetrilise esituse: , t ∈ [0, π] . Funktsiooni y = ba graafikuks on joonisel 1.16 toodud ellipsi ülemine (x-telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri väärtustele t ∈ [0, π]. Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt füüsikas. Parameeter t tähistab seal enamasti aega. Näiteks esitab parameetiline joon ajas liikuvat punkti tasandil. Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid. Nendeks on:
See aga tagab takistil Rb oleva pingelangu muutumatuse. Oluline: 1. Koormusvoolu suurenedes hakkab stabilitroni voolu Iz väärtus vähenema ning võib kergesti ületada stabiliseerimise reziimi tagamiseks lubatud väärtuse piiri 2. Koormusvoolu vähenedes aga võib stabilitroni vool suureneda ning ületada maksimaalse lubatud väärtuse ning viia stabilitroni riknemiseni 3. Mitte kasutada ilma koormuseta!!! Parameetrilise pinge stabilisaatori arvutus 1. Määrame kindlaks keskmise stabiliseerimise voolu väärtuse, kasutades kataloogi andmeid (Iz min ja Iz max kohta): Iz kesk = ( Iz max + Iz min) /2 2. Vastavalt vajalikule stabiliseerimis pingele Uz ja leitus keskmisele stabiliseerimise voolule Iz kesk, valime stabilitrone. 3. Arvutame takisti Rb väärtuse nii, et stabilitronile jääks pingelang, mis on võrdne
Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y- it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid, mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x). või Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine. Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine. Olgu funktsioon y=f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega:
lähteolekusse peale muutusi. T 2 . Hüvetegur Q= pii/ lambda. Parameetrilise Iga mootor on süsteem, mis teostab 2
a. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral a.i. a.ii. a.iii. a.iv. a.v. a.vi. b. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid c. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). a. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine y=f(x), antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0 Funktsiooni tuletamiseks tuleb lahendada võrrand F(x,y)=0 muutuja y suhtes. Antud funktsiooni saab diferentseerida ka nii, et teda pole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise võib võtta otseselt, lähtuded F(x,y)=0. Tuleb arvestata. Et kõik y-it
Graphs - Legacy Dialogs - Error Bar - Define - variable (ehk y-telg)=see millise testi tulemusi vaadata soovid nt matemaatika ja category axis=sugu ja OK Test et kindlaks teha kas andmed pärinevad normaaljaotusega populatsioonist. Analyze-> Descriptive Statistics-> Explore-> Plots-> Normality Plots with tests+histogram ;normaaljaotusega on tegemist siis kui tulpdiagramm näeb kelluka kujuline välja. KAHE SÕLTUMATU GRUPI KESKMISTE VÕRDLEMINE PARAMEETRILISE TESTIGA Analyze-Compare means - independent samples T test - Test variables'i kõik mille keskmisi tahan uurida ja Grouping variables'i Sugu (sest tahan sugude vahelisi erinevusi võrrelda) (defineerin soo 1 ja 2) - OK Saan tabeli, kust näen meeste naiste keskmiste erinevusi alatestide lõikes. Alumises tabelis on üks tulp nimega Sig (Olulisuse nivoo), kui sealne number jääb alla 0,05, siis on tegu statistiliselt oluliselt erinevate keskmistega. Kui Sig on väiksem kui 0
= 2 = cos y cos y cos 2 y sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul
= 2 = cos y cos y cos 2 y sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul
partnerite kanda. · Tuleb rõhutada, et antud probleemi juures on keskne koht ootustel teiste käitumise suhtes. Piisab ainult arvamusest või kartusest, et teised võivad sinu arvel elama hakata, ning inimene võtab niiöelda abinõud tarvitusele asub ennetavalt oma panust ,,ühiskatlasse" vähendama. Seda võiks nimetada ennetavaks vastukurnamiseks. · Parameetrilise käitumise tunnuseks on just see, et ei arvestata kaasinimeste reaktsioone (vihmavarju näide) · Strateegilise käitumise korral reageerib kaasmängija teie tegevusele, nii et lõpptulemus tekib kõigi asjaosaliste jaoks vastastikuses sõltuvuses. · Selektiivsed stiimulid: Stiimulid, mis otseselt seostuvad asjaosalise panusega ja loovad sellega tagasiside tegevustulemuste ja tegutseja (heaolu) vahel
segu reaktoris ei ole -ideaalselt läbi segatud ega voola ideaalse -väljatõrje reziimis.VAJ annab info.,kui kaua -erinevad reakt.segu elemendid viibivad -reaktoris, kuid ei näita üldse, kuidas need -elemendid vahetavad materjali üksteisega,-s.o. kuidas toimub segumine.Ainult esimest -järku reaktsioonide korral segunemise iseloom -ei oma tähtsust, sest nende reaktsioonidel -konversioon teatavasti ei sõltu -kontsentratsioonist.Sellepärast mitteideaalsete -reaktorite modelleerimisel 0- parameetrilise -mudeliga on üldiselt vaja info.lisaks -makrosegamisele ka mikrosegamist,s.o. -kuidas erineva viibimisajaga molekulide -grupid puutuvad kokku reaktoris.-Et leida segregatsioonimudeli abil keskm.-konversiooniaste reakt.segu väljumisel -reaktorist tuleb ta diferentsiaal esitada -erinevate gruppide konversiooniastmete -väärtuste ja vastava viibimisaja jaotuse kaudu:- d X = X ( t ) E ( t ) dt - ja integraalsel kujul:- X = X (t ) E (t ) dt . -Kuna 0
Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu u¨ksu¨hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem g'[f(x)] = 1/f'(x) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult g'(y) = dx /dy. Kasutades neid valemeid arvutame: g'[f(x)] = g'(y) = dx/dy = 1/dy/dx = 1/f'(x) . Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul v~orranditega x = (t) y = (t). Siis kehtib valem F'(x) = '(t)/ '(t) . T~oestus. Funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y. Seega f'(x) = dy /dx. Funktsiooni x = (t) argument on t ja s~oltuv muutuja x. J¨arelikult '(t) = dx /dt . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja s~oltuv muutuja y, tuletise jaoks seose '(t) = dy /dt
7.3. BIM-i ajalugu ja BIM Eestis Kuni 20. sajandi teise pooleni oli tavaline, et projekteeritud hoonetest tehti käsitsi ruumilisi visandeid kui ka papist makette ideede paremaks visualiseerimiseks. BIM-i kontseptuaalsed alused ulatuvad tagasi arvutite algusaega. 1962. aastal esitles Douglas C. Englebart oma visiooni tuleviku arhitektist oma töös 1 „Augmenting Human Intellect“. Engelbert pakkus välja objektipõhise disaini, parameetrilise elemendid ja seotud andmebaasid, unistused, mis täitusid alles aastaid hiljem. 1963. aastal esitleti esimest CAD tarkvara koos graafilise liidesega „Sketchpad“, mille arendas välja Ivan Sutherland MIT Lincoln Labs-ist. Graafiline liides oli aga tollal täiesti mõeldamatu seni, kuni 1983. aastal tõi Apple turule esimese graafilise liidesega operatsioonisüsteemiga tavatarbijatele mõeldud arvuti „Apple Lisa Computer“. Kuigi
hästi. KOOSTEGEVUSTEOORIA: Strateegiline sõltuvus: Koostegevusteooria puudutab vähemalt kahe isiku tegevuse kooskõlastamist koostöökasu saamiseks. Kellegi heaolu ei sõltu ainult temast endast! Isegi ori võib olla üsna erinevalt motiveeritud töötama. Orjapidaja isiklik kasu sõltub orja panusest. Selle suurendamine ei tule aga orjapidajale kindlasti tasuta kätte, nõuab mingit koostegevusteooriat Parameetrilise käitumise korral ei arvestata kaasinimeste reaktsioone (vihmavarju näide) Strateegilise käitumise puhul reageerib kaasmängija teie tegevusele, nii et lõpptulemus tekib kõigi asjaosaliste jaoks vastastikuses sõltuvuses kujuneb mäng. Siit tuleneb võimalus üksteise arvel kasu saada, tekib strateegiline ebakindlus, teravnevad jaotusprobleemid. Kolm astet: 1. ühepoolne sõltuvus tegutsetakse vastavalt teise järgi 2. ühepoolne mõjutamine mõjutan teist käituma nagu mina tahan
kaudselt: 2 võimalus lk 63 Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem): Teoreem Olgu üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem: Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = ? Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g(y) = ? . Kasutades neid valemeid arvutame: Olemegi tõestanud valemi. Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem): Teoreem 3.3. Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega Siis kehtib valem Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) =?. Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult (t) =?. Analoogiliselt saame funktsiooni y =(t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = ?. Kasutades neid valemeid arvutame: See tõestabki valemi
Tulemus on sama. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem) Teoreem: Olgu üksühese pöördfunktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem: g'[f(x)] = . Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f'(x) = . Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g'(x) = . Kasutades neid valemeid arvutame: g'[f(x)] = g'(y) = . Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem) Teoreem: Olgu funktsiooni y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega: Siis kehtib valem: Tõestus: Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f'(x) = . Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult '(t) = . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose '(t)=. Kasutades valemeid arvutame: 22
Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks on vektor e , nimetame koordinaatteljeks. Punkti O ja i ei poolt määratud koordinaattelge nimetame O e -teljeks ehk xi -teljeks. i Sirge parameetriline vektorvõrrand - Sirge s võrrandit kujul s :AX = ts, t R nimetame sirge s parameetriliseks vektorvõrrandiks. Suurust t selles võrrandis nimetame parameetriks. Sirge parameetrilise vektorvõrrandi võime üles kirjutada ka kujul s = {X| AX = ts, t R}. Sirge parameetriline vektorvõrrand punktide kohavektorite kaudu - Sirge s võrrandit kujul s : = a + ts, t R nimetatakse sirge parameetriliseks vektorvõrrandiks punktide kohavektorite kaudu. Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides - Sirge s võrrandeid kujul s : x1 = a1 + ts1 x2 = a2 + ts2, t R, x3 = a3 + ts3
Näeme, et diferentsiaali avaldise struktuur ei sõltu sellest, kas see on kirjutatud sõltumatute muutjate x ja y suhtes või sõltuvate muutujate u ja v suhtes. Seda omadust nimetatakse diferentsiaali invariantsuseks. Märkus. Liikmete arv diferentsiaali avaldises võrduses (7.7) võib olla erinev. z = f ( u , v, w ) u = ( x, y ) v = ( x, y ) w = ( x, y ) z z z z z dz = dx + dy = du + dv + dw x y u v w 8. Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni osatuletised. Vaatleme esmalt ühe muutuja ilmutamata funktsiooni. F ( x, y ) = 0 (8.1) Teoreem 8.1. F Olgu funktsioon F ( x, y ) diferentseeruv kusjuures 0 vaadeldavas punktis. Siis y F x eksisteerib tuletis y , mis avaldub kujul y = - F (8.2)
.. (ti ) ... (tn ) kus ti = + ih (i = 0; 1; . . . ; n) ja h = ( - ) /n. J¨argmise sammuna kantakse punktid ((ti ), (ti )) (i = 0; 1; . . . ; n) xy -tasandile ja u ¨hendatakse seej¨arel sujuva joonega. V~orrandeid (1.1.2) nimetatakse joone parameetrilisteks v~orranditeks. Sageli kasu- tatakse parameetrilist esitusviisi punkti liikumise kirjeldamiseks. Funktsiooni esitust kujul y = f (x) (x X) v~oib vaadelda kui parameetrilise esituse erijuhtu, valides parameetriks x, st x = x y = f (x) (x X) ehk x=x (x X). y = f (x) Kui esituses (1.1.2) m¨a¨ arab funktsioon u ¨ks¨ uhese vastavuse hulkade T ja X vahel, st parameetri t erinevatele v¨
saame f(x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Saame g (y) = dz/dy. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]} = dz/dx . {g[f(x)]}=dz/dx=dzdy/dydx=dz/dydy/dx= g(y)f (x) = g[f(x)] f (x) . 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Sageli on see väga raske ülesanne. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu,et kõik y-it sisaldavad
. . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3
. . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3
tame funktsiooni esitust ilmutatud kujul, ilmutamata kujul ja funktsiooni parameetrilist esitusviisi. Funktsioon esitatakse ilmutatud kujul v~ordusena y = f (x), kus vasakul pool v~ordusm¨arki on y ja paremal mingisugune anal¨ uu¨tiline avaldis muutuja x suhtes. Ilmutatud kujul on k~oik p~ohilised elementaarfunktsioonid: ruut- funktsioon y = x2 - 2x + 3, trigonomeetrilised funktsioonid, eksponent- ja logaritmfunktsioonid jne. Enne kui asuda funktsiooni ilmutatud kuju ja parameetrilise esitusviisi juurde, peab funktsiooni m~oistet laiendama. Edaspidi loeme muutuja y muu- tuja x funktsiooniks ka juhul, kui igale x v¨a¨artusele vastab kaks y v¨a¨artust, kolm y v¨a¨artust, ... , l~opmatult palju muutuja y v¨a¨artusi. Esimesel juhul ¨oeldakse, et funktsioon on kahene, teisel juhul - funktsioon on kolmene, ... , funktsioon on l~opmatult mitmene. 2 N¨ aide 1.3. Ilmutamata kujul on funktsioon x2 + y 2 = r2 , kus r on
Tekib ilus ühtlane ringliikumine. kuulsad arvud Näiteks on enamik satelliite Maa ümber ringliikumises. Täpselt ringikujulise orbiidi tekitamiseks tuleb siiski kiirus hoolega valida. Füüsikud tulevad sellega hästi toime. Näiteks komeedid seda aga ei oska ja tiirlevad ümber Päikese väga väljaveninud ellipsit mööda. Parameetrilise võrrandi kaudu Ülikoolis matemaatikaga kokku puutudes võib aga kohtuda veel hoopis uutmoodi ringjoone definitsiooniga. Nimelt saab iga kõverjoont tasandil vaadelda kui ühe funktsiooni väärtuseid. Õigesti valitud funktsioon kirjeldab täpselt ringjoone kuju ning funktsiooni argument tähistab siis intuitiivselt lihtsalt meie asupaika ringjoo- nel
ootamatu, eelnevatest tunduvalt suurem, kreen mõnede laineharjade möödumise ajal miidlist; kõikumisperioodi tunduv suurenemine, laeva püsimine pikemat aega maksimaalse kreeni asendis ja aeglane "vastutahtmist" tõus püstasendisse. Lasti ebaõigest paigutusest, tuule rõhust või muudel põhjustel esineva püsikreeni tagajärjel võivad sellised kalded olla ebasümmeetrilised. halb juhitavus laeva paiknemisel laine eesmises osas. Külgõõtsumise põhi- või parameetrilise resonantsi korral kasvab külgkallete amplituud juhul kui laeva omakõikumise periood on ligikaudu sama või kaks korda suurem lainete näivast perioodist. 3. Laeva juhtimine tormis. Ohtlikud nähtused: resonantsne õõtsumine, lamming, tagantlainetus ja broatching. RESONANTSNE ÕÕTSUMINE: Õõtsumine tekkib väliste jõudude, tormis peamiselt lainete, välise mõju tulemusena. Laeva vaba õõtsumise, mis toimub kustuvalt vaikses vees,
annaabi.ee 
