integreerimislõigul TÕKESTAMATA FUNKTSIOONIDEST: b b f(x)dx = lim f(x)dx, kui lim f(x) = . a 0 a+ xa Üldiselt b c- b f(x)dx = lim f(x)dx + lim f(x)dx, kui lim f(x) = . a 0 a 0 c+ xc 14 ESIMEST JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRRANDID ERALDUVATE MUUTUJATEGA DIFERENTSIAAL- VÕRRANDID (DV) 1. Normaalkujulist esimest järku DV-d y´ = f(x,y) nimetatakse ERALDUVATE MUUTUJATEGA DV-ks siis, kui funktsioon f(x,y) on vaadeldav kahe funktsiooni korrutisena, milles üks tegur on on ühe ja teine teise muutuja funktsioon, st y´ = f(x) g(y). Üldlahendi leidmiseks tuleb MUUTUJAD ERALDADA, arvestades, et y´= dy/ dx, g(y) 0. Muutujate eraldamiseks tuleb antud võrrand läbi korrutada sobivalt valitud teguriga dx/ g(y).
1) Ristküliku pindala: S (x,y) = xy U I (U , R ) = 2) Ohmi seadus: R 3) Õhurõhk maakera pinnal : P = P( , ), kus , o n geograafilised koordinaadid 4) Arvuti töötamiskiirus konkreetse rakendusprogrammi korral: v = v( p,m), p , m - protsessori taktsagedus ja operatiivmälu maht 5) Temperatuur küdeva pliidi raual konkreetsel ajahetkel: T = T(x, y), x,y tasapinnalised ristkoordinaadid 16. Kirjeldada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamist. Diferentsiaalvõrrandi F=(x,y,y') lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse. Näide Näidata, et funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahend (C1 ja C2 on suvalised konstandid). ja asendades lahendi y (x) ning 2. järku tuletise algvõrrandisse, saame samasuse: ( sin cos ) ( sin cos ) 0 1 2 1 2 - C x - C x + C x +C x 3 Lahendus: Leiame tuletised (POLE VAJA)
................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne................................................................................ 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand..................................................................................................6 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand.......................................................................... 7 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand...............................................................................................7 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid................................................ 7 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused.
M, N, , Є C(D) Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand , kus II liiki joonintegraal on võetud üle mingeid punkte ja ühendava joone. Kui C=0, siis saame algtingimusega Cauchy ülesande lahendi. 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand Eraldatud muutujatega võrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, mis on esitatav kujul M(x)dx + N(y)dy =0, kus M=M(x) ja N=N(y) on teadaolevad ühemuutuja funktisoonid. Vaatame võrrandit M(x)dx + N(y)dy =0, Seega My=Nx=0. Kui ühelisidusas piirkonnas D funktsioonid M,N ϵ C(D), siis on meil tegemist eksaktse DV-ga. Sellist võrrandit nimetame eralduvate muutujatega DV-ks. Kasutades eksaktse DV lahedi valemit saame eraldatud muutujatega DV üldlahendi kujul
olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas f ( x, y ) olemas pidev osatuletis y . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver. On tuntud DV lahendi ühesuse teoreemina. Kasvamine ja kahanemine tüüpiline võrrand kujul dx/dt=kx, kus otsitav on x=x(t), tema tuletis dx/dt, t sõltumatu muutuja(tavaliselt aeg) ja k võrdetegur. Eraldatud muutujatega DV M(x)dx+N(y)dy=0, kus M(x) ja N(y) on antusd funktsioonid (N: x+lny=0) Teoreem Olgu M(x) pidev vahemikus (a,b), N(y) pidev vahemikus ( , ) ning ( x, y) D korral M 2 ( x ) + N 2 ( y ) 0 ( D = { ( x, y ) x (a , b ), y ( , )} st vähemalt 1 kordaja on nullist erinev), siis sellisel juhul on võrrandi üldlahendiks x y
integraalkõvera puutuja tõus f(x,y). DV graafiline lahendamine: Võtamepiirkonnas D mingi punktide võrgu ja igas väljavalitud punktis (x,y) joonistame välja vastava joonelemendi, kriipsukese tõusuga f(x,y). Kui punktivõrk on küllalt tihe on nüüd võimalik ligikaudselt välja joonistada võrrandi y`=f(x,y) integraalkõveraid puutudes joonelemente. Isokliin- joon , mille kõikides punktides on DV y`=f(x,y) joonelementidel üks ja seesama tõus. F(x,y)=k 4.Eraldatud muutujatega DV M(x)dx+N(y)dy=0 (1), kus M(x) sõltub ainult x-st või on konstant; N(y)- sõltub ainust y või on konstant. Lahendamine: M(x)dx+N(y)dy=0(2) * Tõestame et esiteks: (1)(2)* Olgu y=y(x) võrrandi (1) lahend, seega peab kehtima M(x)dx+N(y(x))d(y(x))=0*[M(x)+N(y(x))y´(x)]dx=0 | *[M(x) +N(y(x))y´(x)]dx=C* M(x)dx+N(y(x))y´(x)dx=C* M(x)dx+N(y(x))d(y(x))=C (2).*(1)rahul.(2)Teiseks kasutame teoreemi ilmutamata kujul olevast funktsioonist. Tähistame (x,y)=(x0...x)M(s)ds+(y0...y)N(s)ds,*
y’’ – xy’ + y = 0 II järku lineaarne homogeenne y’ = y2 + 1 I järku mittelineaarne homogeenne Q ( x ) e∫ P ( x ) dx dx +C Eraldatud muutujatega DV: M(x)dx + N(y)dy ∫¿ ˇ ∫ M ( x ) dx +∫ N ( y ) dy =C y=v ( x ) u ( x )=e −∫ P ( x ) dx
Iga lahendi integraaljoon läbib suunavälja nii, et igas punktis puudutab ta vektorvälja vektorit . erilahend, mis rahuldab algtingimust läbib punkti P( x0 , y0 ). Selline geomeetriline tõlgendus võimaldab dif.võr ligikaudselt lahendada. Algpunktis P( x0 , y0 ) leitakse tõus ja liigutatakse sirgjoont mööda punktini P1( x1 , y1 ), kus . Seejärel leitakse tõus ja jätkatakse mööda sirget kuni punktini P2( x2 , y2) . Saadud murdjoont nim Euleri murdjooneks. 3. Eralduvate muutujatega võrrand Esimest järku dif.võr (3.1) On eralduvate muutujatega võrrand, kui avaldised A(x,y) ja B(x,y) tegurduvad nii, et iga tegur sõltub vaid ühest muutujast. , Sel juhul saame üldlahend 4. Homogeenne esimest järgu võrrand Def 4.1 Funktsioon f(x,y) on s-järku homogeenne funktsioon, kui kehtib võrdus (4.1) Kui s=0, siis on see nulljärku homogeenne funktsioon ehk lihtsalt homogeenne funktsioon. (4.1)'
funktsioon on lahendiks). Üldlahend ja erilahend. Definitsioon: võrrandit, mis sisaldab sõltumatut muutujat x, tundmatut funktsiooni y=f(x) ja selle tuletisi nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks (DV- ks) Diferentsiaalvõrrandi järk: on differentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk DV lahendiks: nimetatakse iga funktsiooni y=f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse Liigitus: toimub - JÄRK; LINERAARSUS; HOMOGEENSUS 34. Eraldatud ja eralduvate muutujatega DV (definitsioon). Definitsioon: DV-t kujul M(x)dx + N(y)dy = 0 nimetatakse eraldatud muutujatega võrrandiks 35. Eralduvate muutujatega DV klass dy/dx=ky. Näited selle kasutamisest. NT: radioaktiivse lagunemise arvutamine; bakterite koloonia suurenemise arvutamine 36. Newtoni seadus kehade jahtumise kohta. dT =−λ( T− K) dt 37. Lineaarne esimest järku DV (definitsioon).
funktsiooni y = x2 kohta). 2. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = ex. 3. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x . 4. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 5. Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus ristkülikvalemi abil. 7. Leida antud mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. Vt üles 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 9. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. otsi ise vahelduseks:P 10. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks.
Range (nimi) Kui sinu poolt pakutud võitja osutubk ekraanile tüdruk ja päike. Tüdruk hak aga keerlema. Kui aga ei võida see, keda sina pakk ekraanile pilv koos piksenoolega. Pik alla liikuma. duurid otseduur jookse ja alamprotseduur Tee_samm. seob objektid (loomad) muutujatega, algväärtustab ad, kustutab lahtrid, fikseerib algaja. Juhib ja b loomade jooksmist, kasutades korduvalt uuri Tee_samm. amm- selle igal täitmisel fikseeritakse jooksev aeg, akse ühe looma asukohta sammu võrra, kui loom etteantud kauguse, viiakse loom vasakusse serva, datakse ringide arvu ühe võrra. Kordamine akse, kui kõik loomad on jooksnud antud arvu ringe. aeg1, aeg2, aeg3)- teeb kindlaks võitja u poolt pakutud võitja osutubki võitjaks, siis ilmuvad le tüdruk ja päike
Faktoranalüüsi ülesanne Andmefailis smartphone_addiction.sav on inimeste vastused 18-le nutitelefonide kasutamist puudutavale küsimusele. 1) Uurige kõigepealt, milliseid väiteid on inimestele esitatud. 2) Tehke faktoranalüüs 18 kõigi muutujatega. (Määrake maksimaalseks faktorite arvuks kõigepealt 6). 3) Millist faktorite eraldamise meetodit kasutasite? Maximum likehood meetodit. 4) Milline on esimese faktori omaväärtus ja seletusprotsent? Faktori omaväärtus 6,4 Seletusprotsent 33% 5) Kui suur on kõigi faktorite kumulatiivne seletusprotsent? 56% 6) Pöörake faktortelgi. Mis meetodit kasutasite? Varimax meetodit 7) Kas esimese faktori omaväärtus ja seletusprotsent muutusid? Jah, 3.26 ja 18.1%
Faktoranalüüsi ülesanne Andmefailis smartphone_addiction.sav on inimeste vastused 18-le nutitelefonide kasutamist puudutavale küsimusele. 1) Uurige kõigepealt, milliseid väiteid on inimestele esitatud. 2) Tehke faktoranalüüs 18 kõigi muutujatega. (Määrake maksimaalseks faktorite arvuks kõigepealt 6). 3) Millist faktorite eraldamise meetodit kasutasite? Maximum likehood meetodit. 4) Milline on esimese faktori omaväärtus ja seletusprotsent? Faktori omaväärtus 6,4 Seletusprotsent 33% 5) Kui suur on kõigi faktorite kumulatiivne seletusprotsent? 56% 6) Pöörake faktortelgi. Mis meetodit kasutasite? Varimax meetodit 7) Kas esimese faktori omaväärtus ja seletusprotsent muutusid? Jah, 3.26 ja 18.1%
Osatuletised xu,xv,yu ja yv on pidevad piirkonnas . Teisenduse jakobiaan : J(u,v) := |xu xv| <> 0, (u,v) c Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend. Erilahend. |yu yv| Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni tema tuletiste ja sõltumatute muutujatega. Harilik Kui funktsioon (x,y) on pidev piirkonnas D ja teisendus (u,v) (x,y) on regulaarne piirkonnas ning teisendab piirkonna diferentsiaalvõrrand otsitav on ühe muutuja funktsioon y'' + y = 2ex. Osatuletistega diferentsiaalvõrrand otsitav on mitme muutuja funktsioon zxx + zyy = 0.
silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem. III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33. . Diferentsiaalvõrrandi üldlahend, erilahend. Integraalkõver. Cauchy ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem 34. Esimest järku harilikud diferentsiaalvõrrandid. Eraldatud ja eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandite mõisted, lahendamine. 35. Homogeense diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine. 36. Murdlineaarset avaldist sisaldava diferentsiaalvõrrandi taandamine homogeenseks võrrandiks. 37. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine muutuja vahetusega ja konstantide varieerimise meetodil. Bernoulli diferentsiaalvõrrandi kuju, teisendamine lineaarseks võrrandiks. 38. Eksaktse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, eksaktsuse
......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend, üldlahend, erilahend, singulaarne lahend. ............................................................................................................................................28 46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega .................29 diferentsiaalvõrrandi lahendamist. .................................................................................................29 47. Homogeenne diferentsiaalvõrrand, kirjeldada homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamist. ........................................................................................................................................................ 30 1
saab iseloomustada pidevalt muutuvate suuruste abil, kusjuures nende suuruste muutumise kiiruse ja suuruse endi vahel kehtib teatud kindel seos. Sel viisil on kirjeldatavad ka paljud loodusseadused. Näiteks klassikalises mehaanikas võimaldavad Newtoni seadused siduda kehade kiiruse, asukoha ja erinevad kehale mõjuvad jõud ühtseks diferentsiaalvõrrandiks. 25.Esimest järku DV. Eralduvate muutujatega DV Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju f1(y)dy=f2(x)dx. Niisuguse võrrandi kumbki pool on ühest muutujast sõltuva avaldise korrutis selle muutuja diferentsiaaliga. Võrrandi teisendamist sellisele kujule nimetatakse muutujate eraldamiseks. Et lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit, on vaja eraldada muutujad ja pärast seda võtta võrrandi mõlemast poolest integraal. 26. Lineaarne esimest järku DV 27
erilahend. Seega, n-järku DV-il on lõpmata palju lahendeid ja need on esitatavad kujul y = φ(x, C1, C2, . . . , Cn), kus konstandid C1, C2, . . . , Cn omandavad väärtusi teatud vahemikus. Sellist avaldist nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks. Iga lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele arvulisi väärtusi andes, nimetatakse erilahendiks. 40. Eraldatud ja eralduvate muutujatega DV-i lahendamine. DV-t kujul M(x)dx + N(y)dy = 0 nim. eraldatud muutujatega võrrandiks. Sellise võrrandi üldintegraal on ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶 41. Eralduvate muutujatega DV klass dy/dx=ky. Näited selle kasutamisest. Sellisel kujul DV kirjeldab eksponentsiaalselt kasvavaid/kahanevaid protsesse N: populatsiooni kasv ajaperioodi vältel. 42. Newtoni seadus kehade jahtumise kohta. Näited selle kasutamisest. Newton töötas välja seaduse (Newtoni kehade jahtumise seadus), mille kohaselt kuuma keha jahtumise kiirus on
Kontrollib kas auto kontrollib, kas auto on ületanud finishijoone. Kui jah, siis hakkab autot pidurdama, mitte lubades seda mänguvälj kas auto saab veel kiirendada või ei. Parameeter Sõiduk on vajalik, et kindlaks teha antud sõduki makimum kiiru Paus(pp) - protseduur, mis aitab määrata pausi. Parameeter pp on pausi pikkus sekundites. Panustamine_Click() - protseduur, mis alustab mängu. Seab objektid vastavusse programmi muutujatega ning a UusSõit() - protseduur, kud leitakse sõdu alustamiseks vajaliku andmed. Leitakse uued autode omadused ja uus võidukoefitsendid. Selles protseduuris kontrollitakse, kas mängijal on veel raha, et mängu jätkata. ValiRada() - protseduur, milles leitakse juhuslikuse meetodiga sõidu toimumiskoht ning pannaks paika stardi- ja f AlustaSõitu_Click() - protseduur, mis käivitud vajutades nuppu "Alusta sõitu". Nupp reageerib ainult sobivatel het
Harilik diferentsiaalvõrrand võrrand, mis seob üht sõltumatut muutujat x funktsiooni y=f(x) ja selle funktsiooni tuletisi või diferentsiaali. Järk võrrandis sisalduvate tuletiste kõrgeim järk. Üldlahend iga niisugune y=f(x), mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit mistahes konstantide väärtuse korral. Erilahend üldlahendi konstantidele on antud kindlad väärtused. 41. Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eralduvate muutujatega, kõrgemat järku DV). Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit kujul nim eralduvate muutujatega võrrandiks. 42. Eksponentsiaalse kasvu valem. Eksponentsiaalne kasv on suuruse y suurenemine seose y=a x järgi, kus a>1.
millest saame diferentsiaalvõrrandi k x + =0 x3 Kuidas seda lahendada? Kas selle diferentsiaalvõrrandi lahend on lahendite tabelis (4.12) olemas? Kontrollimisel selgub, et ei ole. Seega on tegemist hoopis kolman- dasse gruppi kuuluva ülesandega ja siin on omakorda 3 võimalust. Kõigepealt -- kas (4.29) on eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand? Kontrollime seda. dx Kuna x = , siis võrrand (4.29) annaks dt k dx = - dt x3 Selle alusel võiks küll kirjutada, et dt x = -k +C x3
2. Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. 𝐴 ≔ 𝜕𝑥 2 , 𝐵 ≔ 𝜕𝑦 2 , b] , nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes). Analoogiliselt defineeritakse normaalne seob otsitavat funktsiooni tema tuletise ja sõltumatute muutujatega. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav 𝜕2 𝑧 piirkond D = {(x, y) |(a ≤ y ≤ b) ∧ (ϕ (y) ≤ x ≤ ψ (y))} y-telje suhtes. Piirkonda D xy-tasandil nimetatakse onb ühe muutuja funktsioon. y'' + y = 2ex.Osatuletisega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja
aspekti kirjeldavad summamuutujad e faktorid. Sotsiaalteadustes on uuritav näitaja sageli sõltuv paljudest argumentidest, mille omavahelise sõltuvuse kohta on raske teha järeldusi. Faktoranalüüsi abil asendatakse mõõdetud argumendid (tunnused) vähema arvu üksteisest sõltumatute üldistatud tunnustega (faktoritega), mille puhul multikollineaarsus on välistatud. Faktorid on tavaliselt kvalitatiivsed suurused. Kuna tunnuste arv väheneb ja seos esialgsete muutujatega on ligikaudne, siis osa infot läheb paratamatult kaduma. 23. Mida näitab esialgse muutuja kommunaliteet? Mingi tunnuse (muutuja) kommunaliteediks nimetatakse faktormaatriksi vastava rea elementide ruutude summat, see näitab sellist osa selle tunnuse koguhajuvusest, mida faktorid suudavad kirjeldada. Kui faktorite arv on väiksem mõõdetud tunnuste arvust, siis tunnuse kommunaliteet (faktorite poolt seletatav hajuvus) on
Mis on 0-de piirkond? Kuidas neid tähistatakse? Funktsioonide 1-de piirkonna moodustavad need argumentvektorid, mille korral funktsioon omandab väärtuse 1, 0-de piirkonna puhul omandab 0-i. Tähist vaata lk 162 kõige ülemine osa. Mis on funktsiooni mitteoluline muutuja? N-muutuja loogikafunktsiooni mingi muutuja on funktsiooni mitteoluline muutuja, kui sellele omistatav loogikaväärtus ei mõjuta kuidagi funktsiooni väärtust. Millisele kujule on mitteoluliste muutujatega loogikaavaldis alati teisendatav? On alaati teisendatav kujule, kus mitteolulised muutujad puuduvad. Milline loogikafunktsioon on osaliselt määratud? Osaliselt määratud funktsioon on funktsioon, mille määramispiirkonnaks on ainult osa lähtehulga elementidest. Lähtehulgaks olev Boole Ruumis leidub selliseid argumentvektoreid, mille jaoks pole rangelt määratud, kumba loogikaväärtue 0 või 1 funktsioon nende korral omandama peab. Mis on funktsiooni määramatuspiirkond
". JavaScript on vähetüpiseeritud keel, kuid vahet tehakse muutujate järgmiste väärtuste puhul Numbrid 7, 24, 0x3F, 012, 7.12, 2E3 Stringid "tekstijupp" Tõeväärtus (Boolean) true, false NULL See väärtus näitab väärtuse puudumist NaN o NaN antakse tagasi parseInt()/parseFloat() poolt kui etteantud argument polnud arvuline väärtus MUUTUJAD JA TÜÜBID. Muutuja deklaratsioon. - Kui programmis töödeldavate andmete väärtus muutub, on tegemist muutujatega (variables). Muutujate nimed peavad algama tähe, $-märgiga või allkriipsuga. Muutujate nimes ei tohi olla. Muutuja deklaratsioon var example var example = "Näide"; Muutuja nimeks võib olla tähtede ja numbrite jada, kus esimene märk peab olema täht või alakriips Muutuja nimi ei tohi sisaldada täpitähti Muutuja tüüpi otseselt ette ei anta; selle teeb interpretaator kindlaks esimest korda omistatava väärtuse järgi
Üks- ja hulkliikmed © T. Lepikult, 2010 Matemaatiline avaldis Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1)
muutujate X ja Y tõenäolisemad väärtused. Maatriksite korrutamisel tuleb järgida valemis ette nähtud järjekorda. Excel’is maatriksite korrutamiseks kasutame MMULT funktsiooni, mille tarbeks tuleb esmalt ära märkida tulemusmaatriksi suurus. See kujuneb algmaatriksite kaudu- ridade arv on võrdne esimese maatriksi ridade arvuga ning veergude arv teise maatriksi veergude arvuga. Tulemuseks saame maatriksi X (Tabel 3) otsitavate muutujatega X ja Y. Tabel 3. Maatriks X muutujate X ja Y väärtustega 6.1 2.2 2) Leidke hälbed vi ehk parandid mõõtmistulemustele, et mõõtmistulemused rahuldaksid geomeetrilisi tingimusi. Parandite leidmiseks on meil vajalikud maatriksid A, X ja L. Vastavalt valemile V= AX- L leiame hälvete maatriksi V (Tabel 4). Näeme, et parandid on suhteliselt väikesed. Tabel 4. Hälvete maatriks V 0.02 0.03 -0.04
Valikulaused Pikema lause jagamiseks mitmele reale pannakse o avaldised (operatsioonid konstantide ja Kordused poolituskohta _ (tühik ja alakriips). muutujatega, sh. pöördumine Üleminekud funktsiooni(de) poole) Lõpulause Protseduuri alguslause ja lõpulause Sub-protseduur Funktsioon Sub nimi1 ( [parameetrite kirjeldus (nimi as tüüp)] ) Function nimi2 ( [parameetrite kirjeldus] ) [As tüüp]
tingimuste põhjal; f2) kui ei ole: siis on tegemist hoopis kolmanda klassi ülesandega, kus diferentsiaalvõrrand tuleb ise lahendada. 3. grupp Siia kuuluvad ülesanded, kus jõud oleneb asukohast või (ja) kiirusest ning lahen- damisel me saame diferentsiaalvõrrandi, kuid selle diferentsiaalvõrrandi lahendit lahendite tabelis ette antud ei ole. Siin on omakorda 3 võimalust: 3A) Tekkinud diferentsiaalvõrrand on eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand; 3B) Tekkinud diferentsiaalvõrrandi saab kergesti teisendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks, kui kasutada asendust dv x x = v x dx (4.13) Kuidas see on saadud? Vaatame kiiruse projektsiooni x kui liitfunktsiooni x = x ( t ) = x [ x( t ) ] ja kasutame liitfunktsiooni tuletise reeglit, siis saamegi
funkts. tuletisi vôi diferentsiaali. Hariliku dif. vôrrandi järk vôrrandis sisalduvate tuletiste kôrgeim järk. Hariliku dif. vôrrandi üldlahend iga niisugune y=f(x0), mis rahuldab antud diferentsiaalvôrrandit mistahes konstantide C1...Cn väärtuste korral. Hariliku dif. vôrrandi erilahendid üldlahendi konstantidele C1...Cn on antud kindlad väärtused. 39. Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eraldunud muutajatega, eralduvate muutujatega, 1. järku lineaarne homogeenne ja mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand). Lihtsamate dif. vôrrandite lahendusvôtted: 1) Eraldunud muutujatega dif. vôrrand P(y)dy + Q(x)dx = 0 integreeri môlemad pooled 2) Eralduvate muutujatega dif. vôrrand N(x)M(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0 jaga läbi, et eralduksid ning integreeri 3) Homogeenne 1. järku dif. vôrrand ( M(x;y)dx + N(x;y)dy = 0 ) tekib situatsioon y/x y tx ja y' t'x + x
analüüsis. Mitu artiklit tuli sealjuures kustutada analüüsist, kuna need ei vastanud kriteeriumitele. Uuringuid kodeeriti nelja võimaliku sõltuva hoiaku ja/ või käitumusliku kavatsuse järgi: a) suhtumine positsiooni, b) suhtumine edastatud informatsiooni sihtmärki, c) suhtumine valmisaktiivsusesse ja valimissoov ning d) suhtumine negatiivse info edastaja sponsorisse. Sealjuures sisaldas esimene muutuja nelja erinevat uuringut ja teine sõltuvate muutujatega klaster kirjeldas, kuidas poliitiline kandidaat oli positsioonist mõjutatud. Kolmas sõltub muutuja oli kombinatsioon sellest, kuidas positiivne ja negatiivne informatsioon mõjutavad valimistahet ning viimane arvestas seda, kuidas negatiivse reklaami kasutamine mõjutab sponsorit. Analüüsitehnika sisaldas kolme osa: a) tavalist statistilist mõõtesüsteemi, b) erinevate efektide keskmist ja c) ning originaalandmete muutlikkuse uurimist. Tulemused
(uurimuse/analüüsi tulemus) ning teatud sotsiaalse fenomeni uurimine ühe konkreetse üksuse kaudu, milles uuritav fenomen ilmneb (näiteks kogukonna toimimise uurimine ühes naabruskonnas, koolikiusamise uurimine ühes klassis jne). Kõige olulisem erinevus traditsioonilises meetodis on see, et uurimisüksuseks on sotsiaalne nähtus selle terviklikkuses ja loomulikus kontekstis, mitte kategooriatesse jaotatuna ja muutujatega. Juhtumiuurimust kasutatakse nii näiteks psühholoogias, meditsiinis ja juuras ning veel mitmes valdkonnas. Iga distsipliin lisab juhtumiuurimusele omapära. Kvalitatiivse juhtumiuurimuse eesmärk on objekti tundmaõppimine ja esitlemine selle terviklikkuses ja ainulaadsuses. Konteksti kirjeldamiseks kasutatakse enamasti statistilisi andmeid ning andmekogumise meetodi valik on juhitud eesmärgist koguda võimalikult palju ja mitmekesist informatsiooni
keha E mass võrdub mE= (x , y , z )dxdydz E Diferentsiaalvõrrand Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles on otsitavaks ühe või mitme muutuja funktsioon ning võrrand seob otsitavat funktsiooni ja tema tuletisi sõltumatute muutujatega Difirentsiaalvõrrandite Vastavalt sõltumatute muutujate arvule liigitatakse diferentsiaalvõrrandeid liigitus harilikeks ja osatuletistega diferentsiaalvõrranditeks Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate otsitava järk funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit,
· Puhkeoleku fMRT roll tulevikus on diagnostilise ja prognostilise teabe kogumine neuroloogiliste ja psühhiaatriliste haiguste korral · Kirurgiline planeerimine patsientidel, kellel on epilepsia · Alzheimeri tõve identifitseerimine patsientidel Tarkvara Kaks põhimudelit · GLM general linear model Matemaatiliselt sama mis mitmene regressioonanalüüs (mitmete kvalitatiivsete ja mitmete kvantitatiivsete muutujatega) · ICA independent components analysis Koosneb ruumiliselt kattuvatest komponenditest, kus iga komponent sõltumatu ruumilise mustriga ja erineva aja käiguga · Etapid: eeltöötlus (preprocessing) Ruumiline ja ajaline eeltöötlus Ruumiline normimine Statistiline andmeanalüüs Funktsionaalsete ja anatoomiliste andmete integreerimine
TEEMA V: SEOSTE UURINGUD *Seoste uuringud püüavad kindlaks teha seoseid muutujate vahel *Seoseid võib uurida Kooslustabelite alusel; korrelatsioonidega *Seoste uuringud tavaliselt ei võimalda teha põhjuslikke järeldusi muutujatevaheliste seoste kohta (ei kindlusta tugevat sisemist valiidsust) Seoste uuringud püüavad kindlaks määrata, kuidas kaks või rohkem muutujat on omavahel seotud. Tavaliselt seoste uuringute puhul uurija ei manipuleeri muutujatega, vaid registreerib mingeid loomulikult toimuvaid sündmusi (ex post facto andmed), kategoriseerib või hindab andmeid ja selgitab nende vahelisi seoseid. Kooslustabelid Suur osa psühholoogilistest uuringutest otsib vastust küsimusele, kas tulemus ühe muutuja osas on kuidagi seotud teise muutuja väärtustega. Üks võimalus seda uurida on esitada andmed kooslustabelina, mille puhul esitatakse kahe muutuja väärtuste kõigi kombinatsioonide sagedused e. koosesinemissagedused
0. Sisukord 8 Diferentsiaalvõrrandid 77 8.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.2 Diferentsiaalvõrranditest üldiselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.3 Esimest järku diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.4 Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.5 Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9 Pindala ja Riemann'i integraal 83 9.1 Pindala leidmine lõplike summade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.2 Riemann'i summad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ei tehta sageli ning viiakse läbi nii tippjuhtimise kui ka keskjuhtimise tasandil. ,,Kas meil on piisavalt rahalisi ressursse, et antud kohustust täita?". 3. Teadmusotsused on seotud toodete või teenuste uute ideede ja arendustega. ,,Kas on vaja välja töötada uus automaatikaseade vastavalt klientide nõudmistele?". 4. Operatsioonilised otsused on seotud ülesannete täitmisega ning nende mõju on lühiajaline, korduva iseloomuga ja väheste muutujatega otsused, mida teevad põhiliselt esmajuhid. Otsuseid tuleb teha palju ja nende tagajärjed avalduvad kiiresti. ,,Kui palju on vaja nädalas toota, et kinni pidada planeeritust?". 2.2 Struktureeritud ja mittestruktureeritud otsused Otsuseid võib jagada veel struktureeritud ja mittestruktureeritud otsusteks. Struktureeritud otsused on suhteliselt lihtsad ja rutiinsed samuti sisaldavad lõpliku arvu lõplikke protseduure.
1. Mis on operatsioonianalüüs? Teadusharu, mis uurib matemaatiliste meetodite kasutamise võimalusi majanduselu juhtimise 2. Mis on matemaatiline mudel? Matemaatilise mudeli alla mõistame muutujate ja seoste kogumit, mis kirjeldavad vadeldava probleemi kõige olulisemaid komponente. 3. Mis on matemaatilise mudeli koostamise olulisemad etapid? a. Tuleb valida otsustusmuutujad. b. Tuleb arvestada nn süsteemiväliste muutujatega. c. Kirja panna kitsendused, mis võivad olla esitatud võrduste või võrratustena. d. Koostada sihifunksioon 4. Mis on endogeensed ja eksogeensed muutujad? a. Eksogeenseteks muutujateks nimetatakse otsustusmuutujaid ehk süsteemiväliseid muutujaid ehk parameetriteks. Need on muutujad, mille väärtuste üle saab vaadeldava protsessi teostaja otsustada (näiteks firma
- värava laius võrdne platsi laiusega - pall asukoha muutmine juhuarvudega terve platsi lööke < n ulatuses - teha peaprotseduuri kolm varianti Mäng_1 - lõpmatu kordus, DoEvents, Mäng_2 - lõpmatu kordus, paus Mäng_3 - juhitav kordus ... Variant 2 - plats ja värav suvalises kohas - värava laius suvaline - pall asukoha muutmine Jukust vasemale (värav suunas) - teha funktsioon On_Sees - siduda objelktid muutujatega .... d elemente Põhitegevused loe n Juku palli juurde pall uude kohta lööke = lööke +1 on sees ei ole sees +1 mööda = mööda +1 prots = sees/lööke*100 lööke = n J lööke mööda pihta täpsus 6 5 1 20% lööke mööda pihta täpsus 10 8 2 20% J a_b b-a+a
suhtes ja hindab kartmatust, dominantsust, interpersonaalse, psühholoogilise ja füüsilise ärevuse puudumist. Faktor II koosneb makiavellilikust enesekesksusest, süü äralükkamisest, muretust plaanitusest, impulsiivsest mittevastavusest ja hindab enesekeskset impulsiivsust koos kalduvusele teistega manipuleerida ja teisi süüdistada. Lisaks on faktor I positiivselt seotud hariduse ja sõnavara meetmetega, samal ajal kui faktor II kaldub nende muutujatega negatiivses seoses olema. 2.3 Isiksuse hindamise nimestik ja antisotsiaalsete omaduste skaala Antisotsiaalsete omaduste skaala on osa Morey Isiksuse hindamise nimestikust. See on võetud kasutusele, et jõuda mõjutatava, interpersonaalse ja käitumuslike omaduste tuumani, mida on traditsionaalselt seostatud psühhopaatia ja antisotsiaalse isiksusega. See koosneb kolmest kontseptuaalsest alaskaalast et mõista psühhopaatia ja antisotsiaalse sümptomantoloogia kitsamaid külgi
Eksperiment ehk katse on kvantitatiivne uurimismeetod, mille käigus kontrollitakse püstitatud hüpoteesi, luues ise vajalikud tingimused muude muutujate kontrolli all hoidmiseks. Eksperimendi käigus kontrollitakse, kuidas sõltuv muutuja muutub vastavalt sellele, kuidas manipuleeritakse sõltumatu muutujaga. Eksperimendi käigus võidakse korraldada mitmeid katseid. Kui eksperiment peaks olema eesmärgistatud, siis katsed ei vaja alati eesmärki. Ehk tihti katsetatakse erinevate muutujatega, et vaadata "mis välja tuleb". Siinjuures on loodusteaduslikud ja sotsiaalteaduslikud katsetused üsnagi erinevad. Sestap tuleb selle õnnestumiseks seda korralikult ette planeerida ja kavandada. 10 Allikad: Eksperiment [15 apr 2010] http://et.wikipedia.org/wiki/Eksperiment Eksperiment [23 apr 2010] http://www.htk.tlu.ee/kasve/Projektid/materjalid/uurimismeetodid/Eksperiment Laherand, M.-L
Suur võidusõit Protseduurid Peaprotseduur Soida ja Kolm autot sõidavad võidu etteantud arvu ringe. Programm Tee_samm fikseerib ajad. Kasutaja saab pakkuda võitja Peaprotseduur seob objek Objektid töölehel muutujatega , 3 autod: auto_1, auto_2, auto_3, Juku ja Kraps - algväärtustab muutujad, pealtvaatajad fikseerib lahtrid: ringe, aeg_1, aeg_2, aeg_3, p_voitja (pakutud võitja), algaja. Juhib ja kotrollib au voitja kasutades Objektid programmis korduvalt protseduuri Te
z=(u; v) ja u=u(x; y) ning v=v(x; y) ja on antud ka nende osatuletised.(vt. ise) xu=u(x+x; y)-u(x; y); xv=v(x+x; y)-v(x; y) [ peab teadame et z on täismuut x-i muutumisel] xz=(u+xu; v+xv)-(u; v) xz=z/uxu+z/vxv+1xu+2xv /:x . [lim0; x0xu ja xv0] seega z/x=z/uu/x+z/vv/x ja sama ka y korral. Liitf-ni osatuletised: u=u(x; y); v=v(x; y) ja w=w(x; y) z/x=z/uu/x+z/vv/x+z/ww/x (sama y-ga). z=(x; y;t) x=x(t); y=y(t) dz/dt=z/xdx/dt+z/ydy/dt+z/t1 Täisdif kuju ei muutu ka siis kui on sõltumatute muutujatega või täisdiferentsiaal. Mistahes järku osatuletised z=(x; y) ja osatuletised on vastavalt z/x ja z/y 2z/x2=/x(z/x); 2z/xy=/y(z/x); 2z/yx=/x(z/y); 2z/y2=/y(z/y); nz/xn=/x(n-1z/xn-1) Teoreem: Kui 2-muutuja f-n z=(x; y) on olemas z/x; z/y; 2z/x2; 2z/yx pidevad siis 2z/xy=2z/yx Tuletis antud suunas z=(x; y) (joon) z=z/xx+z/yy+1x+2y /:s (s on pikkus s=x2+y2 ja x/s=cos ning y/s=cos (joon). Asendades valemisse saab: z/s=z/xx/s+z/yy/s+1x/s+2y/s [cos, cos-vektori s suunakoosinused s°-
x Tehted: korrutis z1 z 2 = z1 z 2 e i ( 1 + 2 ) , z1 z1 i ( 1 -2 ) jagatis = e . z2 z2 Harilikud diferentsiaalvõrrandid Esimest järku diferentsiaalvõrrand dy = f ( x, y ) dx ( x) on eralduvate muutujatega, kui f ( x, y ) = . Siis ( x ) dx =( y ) dy ning ( y) üldlahend on määratud avaldisega ( x ) dx = ( y ) dy +C . 4 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken dy y
Lineaarne tõenäosusmudel Probleemid LTM kasutamisel • Jääkliikmed ei ole normaalselt jaotunud. Nii nagu Y omavad ka jääkliikmed sisuliselt ainult kahte võimalikku väärtust. • Jääkliikmed on heteroskedastiivsed. • Tõenäosus võib olla negatiivne või suurem kui 1. • Determinatsioonikordaja on küsitava väärtusega ja jääb tavaliselt üsna madalaks. • Tõenäosused ei ole tegelikkuses lineaarses sõltuvuses selgitavate muutujatega. Logitmudel • Põhineb logistilisel funktsioonil. • Kui z jääb vahemikku miinus lõpmatus kuni pluss lõpmatus, siis tõenäosused on nullist üheni. • Logit on lineaarne selgitava muutuja suhtes, kuid tõenäosused ise mitte. • Probitmudel • Kasutatakse kumulatiivset normaaljaotusfunktsiooni. • Probitiga paralleelselt nimetatakse mõnikord ka normit-mudeliks. • Sisuliselt võrdlemisi sarnane logitmudelile ning praktikas puuduvad kindlad reeglid selle kohta,
( y ´=3x-5) b. DV-i lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y= f(x), mille asetamisel võrrandisse saama samasuguse c. Näited: d. e. f. Liigitus: 1. Harilikud diferentsiaalvõrrandid- Lineaarsed või mittelineaarsed- Homogeensed või mittehomogeensed 2. Osatuletistega diferentsiaalvõrrandid- Lineaarsed või mittelineaarsed- Homogeensed või mittehomogeensed 32. DV-t kujul M(x)dx+N(y)dy =0 nimetatakse eraldatud muutujatega võrrandiks dy dy 33. dx =ky . Korrutan dx ja jagan y läbi saan y =kdx . Võtan integraali. Vastus: lny= kx+C ⟹ y= Cekx . Y- populatsiooni suurus. Populatsiooni kasvamise kiirus on proportsionaalne populatsiooni suurusega. dT 34
arusaamadest valust; q Peale ravimite manustamist valu hindamise puudumine. Valu tugevuse hindamine Valu hindamine koosneb kahest osast: § enne operatsiooni valutustamise plaani koostamisest ja § pärastpoole vaatlemises, kas see plaan töötab. Valu hindamine ja uuesti hindamine peab toimuma regulaarselt ja olema kasutatud ravi valikul. Preoperatiivses hindamises on oluline arvestada selliste muutujatega nagu vanus, sugu, kehakaal, praegune ravimite tarvitamine või eelnevad ravimitega seotud probleemid. Samuti hinnatakse raskusi, mis on põhjustatud keelest või kultuurist. Probleemid võivad olla seotud vanusega. Valu hindamise skaalad Valu hindamise skaalad on kõige sagedamini kasutatavateks meetoditeks, hindamaks ägedat valu ja selle leevendamist. Praktikas on nendeks kas sõnad või numbrid. Visuaalne analoogskaala (VAS)
asetamisel võrrandisse koos tema tuletisega on tulemuseks samasus. lahend pole ühene, n-järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju lahendeid (konstandid). konstante on vastavalt nii palju kui suur on DV järk. üldlahend - iga niisugune y=f(x), mis rahuldab antud diferentsiaalvõrrandit mistahes konstantide väärtuse korral. erilahend üldlahendi konstantidele on antud kindlad väärtused. 38. Mõningaid diferentsiaalvõrrandite lahendusvõtteid (eralduvate muutujatega, kõrgemat järku DV). eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand lahendamisel saab muutujad eraldada, st viia kummagile poole võrdusmärki. kus on teadaolevad ühemuutuja funktsioonid, pidevad vastavalt vahemikes ja . Eksamitöö koosneb neljast punktist: 1) Mõistete ja põhiseoste tundmine. (16p) Esitatakse 8 küsimust kogu kursuse ulatuses, millele oodatakse täpset lühivastust. Näiteks: Mis on maatriks?
otsustada, milliseid muutujaid analüüsis kajastada. Mitme muutujaga regressioonianalüüs viidi läbi samm-sammult, kasutades seda raamistikku. Igale sammule järgnes muutujate eemaldamine, kui neil oli minimaalne mõju rasedusaegse depressiooni ja arengupeetuse vahelisele suhtele (väiksem kui 5% muutus riskisuhtes). Muutujad, mis jäid alles, viidi edasi 5 järgmisele tasemel ning vaadati järgmisel tasemel olevate muutujate vahelist seost eelnevalt alles jäänud muutujatega. Lõpus toodi iga muutuja uuesti sisse. Negatiivseid tõendeid selle kohta, kas noore ema vanusel on efekt arengupeetusele, ei leitud, seega naise vanus jäeti välja. See võib tuleneda ka mõnest teisest faktorist, mida ei lisatud või ei olnud võimalik mõõta. l2.2 Uuringu tulemused ja analüüs Kokku saadi tulemused 11 098 naiselt, kellest 44% ootas oma esimest last. Naised, kellelt ei saadud andmeid kõigil uuringuetappidel, arvati uuringutest välja. Neid oli kokku 3370. On välja
Näiteid: mgu(P(a,X), P(Y,b)) = {Y/a, X/b} mgu(P(X, f(X)), P(f(Y), U)) = {X/f(Y), U/f(f(Y))} mgu(L(g(X,X)), L(g(f(a), f(a)))) = {X/f(a)} mgu(R(a,b), R(a,b)) = {} Reegel: Disjunktsioonides, millele rakendatakse üldistatud RR reeglit, tuleb eelnevalt asendada samanimelised muutujad. 7.1. Listid Esitavad järjestatud elementide korteeže List unifitseerub • ühe muutujaga List = [a, d, f, [s, f, [],d]] • Listi erinevaid osi adresseerivate muutujatega, kui on mitte-tühi list [Head|Tail] Head (listi pea) - listi ilmutatult viidatavad esimesed elemendid Tail (listi saba) – ülejäänud listi elemendid | - eraldussümbol. 1. Termi konverteerimine listiks ja vastupidi ”= ..”. Tulemuseks list, mille peaks on predikaadi nimi ja sabaks predikaadi argumendid. Sorteerimispredikaadi defineerimine: - Ordering := < , kui aritmeetiline järjestamine - Ordering := aless , kui alfabeetiline järjestamine, kus 7
annaabi.ee 
