4

docx

Matemaatika funktsioonide mõisted 11. klass

1. Mis on f­ni määramispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? (õpikus lk. 125) 2. Mis on f­ni muutumispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? 3. Mida nim. f­niks?(lk. 124) 4. Mida nim. f­ni nullkohtadeks? Tähis ja tingimus. 5. Mida nim. f­ni positiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 6. Mida nim. f­ni negatiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 7. Millal nim. f­ni vahemikus kasvavaks? 8. Millal nim. f­ni vahemikus kahanevaks) (lk. 134) 9. Missugust f­ni nim. kasvavaks? 10. Missugust f­ni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on f­nil kohal xe miinimum? 13. Missugust f­ni nim. paarisf­niks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisf­ni graafikut? 15. Missugust f­ni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu f­ni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonnaks X nimetatakse argumendi x kõigi väärtuste hulka mille korral saab f...

Matemaatika → Matemaatika

25 allalaadimist

1

docx

Algebra mõisted

harust, harud lähenevad telgedele, kusjuures kunagi ei puutu telge. 3. Funktsiooni: 4. Määramispiirkond ­ x-i väärtuste hulk ehk argumentide hulk, mille korral on võimalik arvutada funktsiooni (y) väärtust. 5. Muutumispiirkond ­ funktsiooni (y-i)väärtuste hulk. 6. Nullkohad ­ nim. neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni väärtus on 0. Xa=f(a)=0 jooniselt x-i väärtused, mille korral graafil puutub või lõikab x-telge. 7. Positiivsuspiirkond ­ argumentide väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. 8. Negatiivsuspiirkond ­ argumentide väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. 9. Kasvamine ­ funktsioon y=(f) on kasvav, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni väärtused (y) kasvavad. 10.Kahanemine ­ funktsioon y=(f) on kahanev, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni (y) väärtused kahanevad. 11

Matemaatika → Algebra I

14 allalaadimist

4

doc

Kursuse jooksul tehtud tööd-fun uurimine-eksponent-logaritm

X  Xe  X  X  2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X  Y  X0  X  X  Xe  X  X  3

Matemaatika → Matemaatika

29 allalaadimist

2

doc

Kursuse jooksul tehtud tööd-fun uurimine-eksponent-logaritm

X Xe X X 2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X Y X0 X X Xe X X 3

Matemaatika → Matemaatika

9 allalaadimist

1

doc

Funktsioonid ja nende uurimine

andmill2.planet.ee/gmat.html Funktsioonid · Võrdeline sõltuvus ­ y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus ­ y= x Funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk ­ X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond ­ X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond ­ X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud ­ X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud ­ X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht ­ Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht

Matemaatika → Matemaatika

427 allalaadimist

1

doc

Logaritm

LOGARITM Eksponetfunktsiooniks nim funktsiooni y=ax ,kus a>0 ja a=1 Eksponetfunktsiooni omadused: *Eksponentfunktsiooni y=ax määramispiirkond on reaalarvude hulk R *Muutumispiirkond on positiivsette reaalarvude hulk. * Funktsiooni y=ax positiivsuspiirkond ühtib määramispiirkonnaga, negatiivususp. Puudub. *Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0

Matemaatika → Matemaatika

127 allalaadimist

1

odt

Funktsioonid I

-f(x) = f(-x) Võrdeline sõltuvus (sirge) X määramis piirkond y=ax X0 nullkoht X+ positiivsuspiirkond Funktsi X- negatiivsuspiirkond Pöördvõrdeline sõltuvus (hüperbool) Y muutumispiirkond y=a /x Lineaarfunktsioon (sirge)

Matemaatika → Matemaatika

21 allalaadimist

1

doc

Funktsioonide uurimine

Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse hulga Y üks kindel element y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. Määramispiirkond koosneb nendest x väärtustes, mille korral saab välja arvutada y väärtuse. Arvestada tuleb: 1)nulliga ei saa jagada 1)paarisarvulise juuriga juurt saab võtta ainult positiivsetest arvudest või arvust 0. 1)määramispiirkond- leian jooniselt need x väärtused, mille korral on võimalik paralleelselt y teljega liikuda graafikuni. 2)muutumispiirkond-leian y teljelt. 3)nullkohad-selline x väärtus, mille korral funktsiooni graafik läbib või puudutab x telge. Y=0 4)positiivsuspiirkond-kui graafik asub ülevalpool x telge, on funktsiooni väärtused positiivsed. y>0 5)negatiivsuspiirkond-kui graafik asub allpool x telge, on funktsiooni väärtused negatiivsed. Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leia...

Matemaatika → Matemaatika

157 allalaadimist

2

docx

Matemaatika

1.Määramispiirkond = katkevuskohad 2.Nullkohad X 0 : y=0 murru korral mõlemad osad 0-ga võrduma -¿ <0 murru korral korrutiseks ¿ 3.Pos/neg piirkond +¿ : y >0 X + joonis X¿ 4.Ekstr.kohad X e : y ´ =0 , murru korral ülemine osa nulliga võrduma 5.Ekst.punktid- asendad ekstr. kohad alg v-sse 6.Kasvamine/kahanemine X : y ´ > 0 X : y ´ < 0 murru korral korrutiseks+ joonis ,max,min ekstr. 7. Käänukoht X K = y ´ ´ =0 murru korral ülemine osa 0-ga võrduma 8.Käänup. asendad käänukohad algv-sse 9.Kumerus/nõgusus X : y ´ ´ < 0 X : y ´ ´ > 0 murru korral korrutiseks + joonis pos-nõgus, neg- kumer 10.Asümptoodid: PA-katkevuskohad f (x ) b1,2 = lim [ f ( x )-kx ] KA- y=kx+b k =xlim ± x x ± Määramisp...

Matemaatika → Kõrgem matemaatika

6 allalaadimist

3

doc

Funktsioonid ja nende graafikud

pöördfunktsioon, selle määramis- ja muutumispiirkonna leidmine ning graafiku skitseerimine. Valemid Võrdeline sõltuvus ­ y = ax a Pöördvõrdeline sõltuvus ­ y x Diferentseeruva funktsiooni uurimine Nullkohtade hulk ­ X0 : f x 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine Positiivsuspiirkond ­ X : f x 0 Negatiivsuspiirkond ­ X : f x 0 Kasvamisvahemikud ­ X : f x 0 Kahanemisvahemikud ­ X : f x 0 Maksimumkoht ­ Kui f x 1 0 ja f x 1 0 , siis x1 on maksimumkoht Miinimumkoht ­ Kui f x 2 0 ja f x 2 0 , siis x2 on miinimumkoht

Matemaatika → Matemaatika

48 allalaadimist

12

doc

Funktsioonide lahendamine

miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 ­ x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 ­ 3x -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. 6. (1998) On antud funktsioon f(x) = x2 ­ 2 ln x + 3. 1 1) Leidke f e 2 .

Matemaatika → Matemaatika

62 allalaadimist

14

ppt

Funktsiooni uurimine skeemi järgi

· Kui f(x + T) = f(t), siis funktsioon on perioodiline perioodiga T · Kui f.-n y = f(x) on perioodiline perioodiga T, siis funktsiooni y = af(kx+b) periood onT k tavaliselt tunnuseks, et funktsiooni valemis leidub kas sin, cos või tan  Nullkohad on need x väärtused, mille puhul funktsiooni väärtus on 0 (graafik läbib x-telge või puutub seda) f(x) = 0 X0 = {x| f(x) = 0}  Positiivsuspiirkond - muutuja x väärtuste hulk, kus funktsiooni väärtused on positiivsed f(x)>0 Negatiivsuspiirkond - muutuja x väärtuste hulk, kus funktsiooni väärtused on negatiivsed f(x)<0 X + = {x| f(x) > 0} X - = {x| f(x) < 0}  Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine läheb x suurenedes kohal xe kahanemiseks või funktsiooni y = f(x) kahanemine läheb x suurenedes kohal xe kasvamiseks, siis on

Matemaatika → Matemaatika

28 allalaadimist

13

ppt

Eksponentvõrratused

Viimase ruutvõrratuse lahendamiseks leiame esmalt ruutvõrrandi x - x - 2 = 0 lahendid: 2 1 1 1 3 x= ± +2= ± x1 = - 1, x2 = 2. 2 4 2 2 Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb vastav ruutparabool üles. Võrratuse x - x - 2 > 0 2 y y = x2 - x - 2 lahendihulgaks on funktsiooni y = x2 - x - 2 positiivsuspiirkond: X = (- ; - 1) (2; ). 2 x -1  Ülesanne 2 (III) Sama arvuhulk on ka esialgse eksponentvõrratuse lahendiks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = (- ; - 1) (2; ).  Ülesanne 3 (I) Lahendada eksponentvõrratus 2 16 x + 5 2 2 x - 3 > 0. Lahendus Läheme eksponentliikmetes üle alusele 4: 16 x = ( 4 ) = ( 4 ) , 2 x x 2

Matemaatika → Matemaatika

34 allalaadimist

2

rtf

Mõisted suuliseks arvestuseks matemaatikas

hulk. *Näide: funktsiooni f (x) määramispiirkond on R {0}. Funktsiooni muutumispiirkond Y ­ sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11. Funktsiooni nullkohad ­ argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on 0, nimetatakse nullkohtadeks. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) = 0. Funktsiooni positiivsuspiirkond ­ funktsiooni positiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni positiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) > 0. Funktsiooni negatiivsuspiirkond ­ funktsiooni negatiivsuspiirkonna moodustavad argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb määrata need x väärtused, kus f (x) < 0. 12

Matemaatika → Matemaatika

5 allalaadimist

17

pdf

Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused

Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga ­1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1 Kanname need lahendid x-teljele ning tõmbame läbi punktide ­2 ja 3 parabooli, mis avaneb ülespoole. -2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna (x ­ teljest ülalpool oleva piirkonna). Jooniselt leitud abivõrratuse positiivsuspiirkond ongi lähtevõrratuse lahend. Antud võrratuse lahendihulk on X (;2) (3; ) Intervallimeetod Võrratusi kujul ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 kus x1 x2 x3 on võrratuse nullkohad, saab lahendada intervallimeetodil. Praktiliselt kujuneb võrratuse lahendamine intervallmeetodil järgmiseks: kanname võrratuse nullkohad (antud juhul x1, x2, x3 ) x ­ teljele, eeldades, et a > 0 (vastasel juhul korrutame lähtevõrratust ­1-ga), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ülalt,

Matemaatika → Matemaatika

88 allalaadimist

3

pdf

Funktsiooni uurimine

o Ruutjuur o Logaritm o Nulliga jagamine X = ... 2. Nullkohad f(x) = 0, leian x väärtused, kui nimetaja ei võrdu nulliga. X0 = ... 3. Paaris või paaritu Paaris, kui f(-x) = f(x). Paaritu, kui f(-x) = -f(x) f(-x) leidmiseks asendada funktsiooni avaldises kõik x --> -x. -f(x) jaoks panna avaldise ette märk ­ paaris / paaritu 4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad Positiivsuspiirkond on, kui f(x) > 0. Kui murd, siis lugeja/nimetaja>0 lugeja*nimetaja>0. Leian nullkohad, kannan x-teljele. Kui f(x) ees kordaja on positiivne, alustame abijoone tõmbamist ülevalt paremalt, kui negatiivne kordaja, siis korrutada miinusega. Abijoon läbib punkti, kui seda nullkohta on paaritu arv kordi, ja ,,põrkab", kui seda nullkohta on paaris arv kordi. Kui ,,põrkab", siis ei ole piirkonda kaasa arvatud.

Matemaatika → Matemaatiline analüüs

105 allalaadimist

3

doc

Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor)

Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 ­ 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt ...

Matemaatika → Matemaatika

47 allalaadimist

3

doc

Matemaatika valemid

sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 ­ cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 ­ sin2 cos = sin /tan cos2 ­ 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 ­ 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ­ ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ­ ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ­ ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ­ ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ­ ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos ...

Matemaatika → Matemaatika

1763 allalaadimist

27

ppt

Funktsioonid ja nende graafikud

Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk.  Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} .  Ülesanded 1. Leidke funktsiooni määramispiirkond x 2x

Matemaatika → Matemaatika

139 allalaadimist

6

doc

11. klassi materjal matemaatikas

Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) ...

Matemaatika → Matemaatika

505 allalaadimist

1

docx

Funktsioon - terooria

Matemaatika ,,Funktsioon" test Võrdeline seos ­ muutujad x ja y on seotud valemiga y=ax, kus (a0) Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib 0-punkti. a>0 ­ I & III a<0 ­ II & IV Suurust y nimetatakse sõltuvaks suurusest x, kui erinevatele x väärtustele vastavad kindlad y väärtused. · X-sõltumata muutuja · Y-sõltuv muutuja Funktsioon ­ vastavus, mille järgi sõltumatu muutuja igale kindlale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni posit...

Matemaatika → Matemaatika

77 allalaadimist

8

doc

12. klass matemaatika kordamine

Leia see arv. 78. Püstprisma põhjaks on romb. Prisma üks diagonaal on d, mis moodustab põhjaga nurga . Prisma külgpindala on 3 korda suurem põhja pindalast. Leia prisma ruumala. 79. On antud punkt A(2;-1) ja sirge a võrrandiga 4x-7y+12=0. Koosta võrrand sirgetele b ja c, mis läbivad punkti A, kusjuures sirge b on paralleelne ja sirge c risti sirgega a.  Tee joonis. x +4 80. Leia funktsiooni y = käänupunktid , positiivsuspiirkond jab 3x + 6 kahanemisvahemik. 81. Silindri külgpindala on S ja külgpinnalaotuse diagonaalide vaheline nurk, mis asetseb moodustaja vastas on . Avalda silindri ruumala. log b2 a + 5 log b a + 6 82. Leia b , kui x = x log b a + 3 83. Lahenda ja kontrolli võrrand sin 2 x + sin 2 2 x = 1 2 x x +1 84. Lahenda võrrand x +1 = 1+ x +1

Matemaatika → Matemaatika

331 allalaadimist

28

pdf

Kõrgema matemaatika üldkursus

Samamoodi, kui funktsioon on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni kolmandat järku tuletis jne. Üldiselt, funktsiooni -ndat järku tuletist kohal , kus , tähistatakse . 12.Funktsiooni diferentsiaal  13. L`Hospitali reegel. 14, Funktsiooni uurimine Funktsiooni y=f(x) uurimine järgmise skeemi järgi: 1. leida funktsiooni määramispiirkond X 2. leida funktsiooni nullkohad X0 3. leida funktsiooni negatiivsuspiirkond X- ja positiivsuspiirkond X+ 4. leida funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid 5. leida kasvamispiirkond X ja kahanemispiirkond X 6. leida funktsiooni käänukohad Xk 7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik 15. Algfunktsioon ja määramata integraal 16. Määramata integraali omadused 17. Asendusvõte määramata integrali puhul. 18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton-Leibnizi valem

Matemaatika → Kõrgem matemaatika

327 allalaadimist

19

doc

Matemaatika valemid.

Kui a > 0 ja D > 0, siis parabool avaneb ülespoole.  4. Funktsioonid ja nende graafikud Valemid · Võrdeline sõltuvus ­ y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus ­ y= x Diferentseeruva funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk ­ X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond ­ X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond ­ X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud ­ X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud ­ X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht ­ Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht ­ Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht

Matemaatika → Matemaatika

811 allalaadimist

8

doc

Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I"

Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon ­ Kui hulga x igale elemendile on mingi eeskirjaga seatud vastavusse hulga y kindel elementi ,siis öeldaks, et hulgale x on defineeritud funktsioon. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x . Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y Funktsiooni määramispiirkond- Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda, see on nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav. Funktsioonide liigid- Funktsioone võime jagada: 1. Paaris ja paaritu funktsioonid · Paarisfunktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= f(-x)(sümmeetriline y-telje suhtes). · Paaritu funktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= - f (x) ( muutuma peavad kõik märgid) (sümmeetriline 0 punkti suhtes). 2. Perioodiline funktsioonid ...

Matemaatika → Matemaatika analüüs i

161 allalaadimist

10

doc

Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon

"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4.Ilmutatud funktsioon- funktsioon, kus esitatava võrdsuse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal muutujast x sõltuv avaldis. 5. Ilmutamata funktsioon- funktsioon, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist. 6.Ühesed funktsioonid- nimetakse sellist fuktsooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastav...

Matemaatika → Matemaatiline analüüs

261 allalaadimist

8

doc

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused ja vastused

Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ­ ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk ­ tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liit...

Matemaatika → Matemaatika

246 allalaadimist

33

doc

Matemaatika riigieksam

1) X= ( 5; ) 2) X= ( - ;3 ) U ( 3 ; ) 3) X=( - ;3 ) 4) X=( 3 ; ) 6. Leia antud funktsiooni väärtuste hulk y = 8 - log 1 ( x + 8 ) . 2 2 1) [ 8; ) 2) (- ;8] 3) [ 11; ) 4) (- ;11] 7. On antud funktsiooni y = f ( x ) graafik. Leia positiivsuspiirkond 1) ( -1; 3 ) 2) ( 1; 3 ) 3) ( -2; -1) 4) ( -1; 5 ) 8. Leia võrrandi 2 - log 3 ( 4 + 6 x - x 2 ) = 0 lahend või lahendite summa. 1) 1 2) 2 3) 5 4) 6 9. Lahenda võrratus 52 + x > 2 - 3x . 1) (- ; ) 2) ( 1; ) 3) (- ; -1) 4) ( -1; ) t3 10

Matemaatika → Matemaatika

532 allalaadimist

43

pdf

Keskkooli lõpueksam (2008)

 14 y y = 2sin x - // . . x , y = -1 a) Funktsiooni y 2 sin x graafikult näeme, et funktsiooni y 2 sin x positiivsuspiirkond on X 0; ja negatiivsuspiirkond on X ;2 . b) Täiendame joonist sirgega y 1 . Jooniselt näeme, et funktsiooni y 2 sin x graafik on allpool 7 11 sirget y 1 , kui x ; . 6 6 #y 2 sin x Tõepoolest, leides võrrandisüsteemist " joonte y 2 sin x ja y 1 lõikepunktide

Matemaatika → Algebra ja analüütiline...

786 allalaadimist

100

pdf

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. Kui b 2 − 4ac > 0 , siis on ruutvõrrandil kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkond ehk võrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendid järgmised: a>0 a<0 x x x1 x2 x1 x2 Võrratuse lahendid x < x1 või x > x2 . Võrratuse lahendid x1 < x < x 2 . II

Matemaatika → Matemaatika

78 allalaadimist