1. Mis on fni määramispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? (õpikus lk. 125) 2. Mis on fni muutumispiirkond ja kuidas seda tähistatakse? 3. Mida nim. fniks?(lk. 124) 4. Mida nim. fni nullkohtadeks? Tähis ja tingimus. 5. Mida nim. fni positiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 6. Mida nim. fni negatiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 7. Millal nim. fni vahemikus kasvavaks? 8. Millal nim. fni vahemikus kahanevaks) (lk. 134) 9. Missugust fni nim. kasvavaks? 10. Missugust fni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on fnil kohal xe miinimum? 13. Missugust fni nim. paarisfniks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisfni graafikut? 15. Missugust fni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu fni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonnaks X nimetatakse argumendi x kõigi väärtuste hulka mille korral saab f...
Uurisin tuttavate peredes laste arvu. Küsitlesin 10 inimest. Antud uuringust sain teada, et kõige enam esineb kahe lapsega peresid ja palju on ka kolme lapsega. Töötlesin andmeid ja leidsin erinevaid karakteristikuid. Tulemused järgmistel lehtedel. Statistiline rida: 2, 4, 3, 5, 1, 2, 2, 3, 3, 2 Statistilise rea maht: n=10 Statistilise rea ulatus: xmax Xmin = 5-1= 4 Variatsioonrida: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5 Sagedus-jaotustabel: Laste arv 1 2 3 4 5 peres Absoluutne 1 4 3 1 1 sagedus Suhteline 10% 40% 30% 10% 10% sagedus Sektordiagramm: Statistilise rea karakteristikud: Me : 2,5 Mo : 2 Keskväärtus: = = 2,7
10 8 S a g e d u s 6 F( S agedus ) 4 2 0 3 4 5 6 7 8 T ä h te d e a r v Mediaan - variatsioonrea keskmine liige Me = 5 Mood - variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige Mo= 5 Aritmeetiline keskmine: 5,2 3+24+50+30+21+8= 5,2 2 xmin = 1 xmin = 10 xmax - xmin.= 3-8 = 2,4 = Väärtused lõigus 5,2-2,4= 2,8 5,2+2,4= 7,6 Väärtusi jääb vahemikku 2,6:7,6 25 tükki (3-7) Variatsioonikordaja - standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Tähis V. V= V= 2,4= 0,46 5,2 Korrelatsooni tabel Inimene 1 2 3 4 5 6 X (hinded) 5 5 4 4 4 4
0 03 3,1 6 6,1 9 9,1 12 12,1 15 15,1 18 18,1 21 21,1 24 x (km) 5) Aritmeetiline keskmine- tunnuse keskväärtus x + x 2 + ... + x n x= 1 n = (0,2+0,3+1*4+1,5*3+1,8+2+2,5+3*2+5+6+9*3+10*2+20*3+24)/26=6,6 6) Mediaan- variatsioonrea keskmine liige Me= (3+3)/2=3 7) Mood- variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige Mo= 1 8) xmin ja xmax variatsioonrea kahe äärmise liikme väärtused xmin = 0,2 xmax = 24 9) Variatsioonrea ulatuse määrab maksimaalse ja minimaalse elemendi väärtuse vahe R = x max - x min . R= xmax - xmin= 24- 0,2= 23,8 10) Standardhälve- ruutjuur dispersioonist ( x1 - x) 2 f 1 + ( x 2 - x) 2 f 2 + .. + ( x n - x) 2 f n = 2 = N =7 11) Väärtused lõigus Väärtused lõigus 6,6-7= -0,4 ja 6,6+7=13,6 [-0,4; 13,6]
) Kui mingid segus olevad molekulid on liiga suured mahtumaks geeli pooridesse, siis väljuvad nad kolonnist esimesena. Neil on minimaalne elueerimismaht (Vxmin = kolonni vaba maht). Ained, mille molekulmass on küllalt väike, et difundeerude täielikult geeli pooridesse, liiguvad kolonnis aeglaselt ja väljuvad maksimaalse elueerimismahuga (Vxmax = Vt- Vg). Kui aine molekulid mahuvad geeli pooridesse sisenema, siis iseloomustatakse nende liikumist kolonnis liikuvusteguriga Rf: V x - v xmin R f = max V x - V xmin Fraktsioonide arvutamine: r = 2,2/2=1,1 cm h = 31,5 cm Geeli maht: Vt = Sp*h = r2*h = *(1,1)2*31,5 =119,68 cm3 k = 0,1 Vg = k*Vt = 0,1*119,68 = 11,9 cm3 Vxmax = Vt Vg = 119,68 11,9 = 107,7 cm3 Fraktsioonide teoreetiline arv: n = Vxmax/2 =107,7/2 = 53 Kogusin kolonni väljavooluavast tilkuva eluaadi koonilisse kolvi ning hiljem mõõtsin ära vedeliku mahu: Vv = 34 ml Uuritav segu koosneb kolmest komponendist: dekstraansinine, müoglobiin ja DNA-
) Kui mingid segus olevad molekulid on liiga suured mahtumaks geeli pooridesse, siis väljuvad nad kolonnist esimesena. Neil on minimaalne elueerimismaht (Vxmin = kolonni vaba maht). Ained, mille molekulmass on küllalt väike, et difundeerude täielikult geeli pooridesse, liiguvad kolonnis aeglaselt ja väljuvad maksimaalse elueerimismahuga (Vxmax = Vt-Vg). Kui aine molekulid mahuvad geeli pooridesse sisenema, siis iseloomustatakse nende liikumist kolonnis liikuvusteguriga Rf: V x - v xmin R f = max V x - V xmin TÖÖ KÄIK, ARVUTUSED, TABELID, GRAAFIKUD Fraktsioonide arvutamine: r = 2,3/2=1,15 cm h = 29,5 cm Geeli maht: Vt = Sp*h = r2*h = *(1,15)2*29,5 =122,56 cm3 k = 0,1 Vg = k*Vt = 0,1*122,56 = 12,256 cm3 Vxmax = Vt Vg = 122,56 12,256 = 110,30 cm3 Fraktsioonide teoreetiline arv: n = Vxmax/2 =110,3/2 = 55,15 Kogusin kolonni väljavooluavast tilkuva eluaadi koonilisse kolvi ning hiljem mõõtsin ära vedeliku mahu: Vv = 27 ml
· Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a , siis f x ( x ) = log a x
G 169 39 H 170 39 I 170 39 J 170 39 K 170 40 L 170 40 M 170 40 N 172 39 O 173 39 P 173 39 Q 174 38 R 174 40 S 178 41 Pikkus X 167 168 169 170 172 173 174 178 F 2 2 3 6 1 2 2 1 x 167 168 169 170 172 173 174 178 10,53 10,53 15,79 31,57 10,53 10,53 w % % % % 5,26% % % 5,26% Xmax= 178 Xmin = 167 F 36 38 39 40 41 X 1 3 9 5 1 F 36 38 39 40 41 W 5,26% 15,79% 47,37% 26,31% 5,26% Xmax =41 Xmin= 36 A B C D E F G H I X (cm) 167 167 168 168 169 169 169 170 170
Geomeetriline keskmine x geom. = n x1 x 2 ... x n , kusjuures x geom. x arit . Ruutkeskmine ruutjuur antud arvude ruutude aritmeetilisest keskmisest. x12 + x 22 + ... + x n2 x ruutk . = n Hajuvuse karakteristikud Hajuvusmõõdud on a) minimaalne element xmin ja maksimaalne element xmax; b) variatsioonrea ulatus xmax - xmin; c) alumine kvartiil ja ülemine kvartiil; d) dispersioon; e) standardhälve; f) variatsioonikordaja. Minimaalne element xmin - tunnuse väärtuste hulgast vähim väärtus. Maksimaalne element xmin - tunnuse väärtuste hulgast suurim väärtus. Variatsioonrea ulatus xmax xmin.
Kasvamisvahemikud X : f x 0 Kahanemisvahemikud X : f x 0 Maksimumkoht Kui f x 1 0 ja f x 1 0 , siis x1 on maksimumkoht Miinimumkoht Kui f x 2 0 ja f x 2 0 , siis x2 on miinimumkoht Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Periood f(x + T) = f(x), T periood Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee
mood, mediaan, keskmine, variatsiooni ulatus ja keskmine hälve. 1. Mood on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Mo = 3 raamatut aastas 2. Mediaan on tunnuse väärtus, millest väiksemaid ja suuremais väärtusi on võrdne arv. Me = ( 3 + 3 ) : 2 = 3 3. Keskimine on kõigi tunnuste aritmeetiline keskmine. _ _ X=(X1+X2+X3...Xn):n X=3,1 4.Variatsiooni ulatus on tunnuse suurim ja vähim väärtus Xmax-Xmin 7-0=7 5. Keskmine hälve on hälvete aritmeetiline keskmine. _ _ _ _ D=(|X1-X|f1+|X2-X|f2+...+|Xk-X|fk):n Tabel meeste kohta: _ _ X f X*f d= | x - x | |xx|*f 0 2 0 3,1 6,2 1 2 2 2,1 4,2
18-23 2 24-29 0 30-35 4 36-41 0 42-47 0 48-53 1 54-59 1 6. Vähim element: Xmin= 6 7.Suurim element: Xmax= 56 8.Variatsiooniamplituut: R = Xmax Xmin R= 56-6 = 50 9.Mood: f k (f - ) Mo = 30 + 5( 4 - 0 )
32 85,5 0,275 33 87,5 0,147 Kromatogramm Vxmin Vx Vxmax Vxmin on eluaadi maht, kuni dekstraansinise kõrgeima kontsentratsiooniga fraktsiooni väljumiseni. Vx on eluaadi maht kuni valgu kõrgeima kontsentratsiooniga fraktsiooni väljumiseni ja Vxmax on eluaadi kogumaht kuni DNA-aspartaadi kõrgeima kontsentratsiooniga fraktsiooni väljumiseni. Leian liikuvusteguri Rf . V x - v xmin R f = max V x - V xmin 45,5 - 27,5 Rf = = 0,36 77,5 - 27,5 Järeldus: Töö õnnestus enam vähem normaalselt. Käesolevas lahuses olevad komponendid eraldusid antud järjekorras kuna nende ainete molekulmassid liiguvad kolonni erineva kiirusega. See on tingitud ainete molekulide erinevast jaotumisest geeli pooridesse ja molekulide suurusest. Esimesena väljus kõrgmolekulaarne dekstraansinine, peale seda müoglobiin ja seejärel väikse Mr-
DX = ni ( xi - x) 2 kontroll= 750,79 n S = = D S=27,40 n Scor=27,68 S cor = D n -1 Me= 55 x + x26 Me = 25 Haare 2-95 2 R = xmax - xmin Mo={18} 2. Usaldusvahemikud: Tõene keskväärtus on µ=0,05, P=95% korral t=1,96 : x -t < µ < x +t n n 27,40 27,40 52,12 -1,96 < µ < 52,12 +1,96 50 50 44,52 < µ < 59,72 Tõene standardhälve P=95% q=0,21 : S cor (1 - q ) < < S cor (1 + q ) 27,68(1 -0,21) < < 27,68(1 + 0,21) 21,87 < < 33, 49
95 1 95 9025 2383,3924
97 1 97 9409 2582,6724
98 1 98 9604 2685,3124
99 1 99 9801 2789,9524
∑ 50 2309 152315 45685,38
1
1. X=(∑nixi)/n= 46,18
Dx=(∑ni(xi-X)2)/n= 913,71
S=σ=√Dx= 30,23
Scor=√(n/(n-1))*S= 30,54
Me= 45; 49
Mo= 13; 66; 73
R=xmax-xmin= 99
2. Tõene keskväärtus on μ=0,05, P=95% korral t=1,96 ,seega:
X-t(σ/√n)<μ
väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad: kui x1
... x n 1. X = 1 N 2. Mediaan (Me) nimetatakse tunnuse väärtust, millest suuremaid (või võrdseid) ja väiksemaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonreas ühepalju. 3. Mood (Mo) nimetatakse tunnuse kõige sagedamini esinevat väärtust. Hajuvuse karakteristikud 1. Variatsiooni ulatus on tunnuse suurima ja väiksema väärtuse vahe xmax – xmin. 2. Alumiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas 25% ( Q ). 3. Ülemiseks kvartiiliks nimetatakse tunnuse väärtust, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas 25% ( Q ). 4. Hälve on tunnuse üksiku väärtuse ja keskmise vahe absoluutväärtus d = |xi – X | 5. Dispersioon on hälvete ruutude aritmeetiline keskväärtus (δ2). Erinevate valimite
n kontroll= 913,71 DX = ni ( xi - x) S=30,23 n S = = D Scor=30,53 n Me= 49 S cor = D n -1 Haare 0-99 Me = x27 R = xmax - xmin Mo={13;66;73} x = 46,18 2. Usaldusvahemikud: Tõene keskväärtus on µ=0,05, P=95% korral t=1,96 : x -t < µ < x +t n n 30,53 30,53 46,18 -1,96 < µ < 46,18 +1,96 50 50 37,80 < µ < 54,56 Tõene standardhälve P=95% q=0,21 : S cor (1 -q ) < < S cor (1 +q ) 30,53(1 -0,21) < <30,53(1 +0,21) 24,12 < < 36,95
Seega saan, et X min = 6475551 ja Y min = 657538. Seejärel paigutan paberile kuus risti, millest kõige alumisem vasakul paiknev ristike saab endale väärtuseks koordinaadid X min ja Y min. Ristikeste suurus on 1*1cm. Arvutan mõõtkava, kus klassi pikkuseks oleks ~10 meetrit. Saan, et mõõtkava on 1:50. Seejärel leian baaspunktid PP-3 ja SM-6 väärtused, lahutades vastavalt y-koordinaadist Y min ja x- koordinaadist Xmin: PP-3: X = 6475557,035 6475551 = 6,035 (m) Y= 657537,628 657538 = -0,372 (m) SM-6: X = 6475550,609 - 6475551 = -0,782 (m) Y= 6575475,200 657538 = 7,2 (m) Arvutan saadud baaspunktide väärtused cm-sse vastavalt mõõtkavale 1:50 kasutades ristkorrutist: PP-3: X= , Y= SM-6:X=, Y= Joonestan baaspunktid joonisele, võttes joonestamisel arvesse, et X ja Y väärtust cm-s mõõdetakse kõige alumisest vasakpoolsest ristikesest. Samas tuleb meeles pidada, et x-i loetakse
Leiame joonisel kujutatud funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Ekstreemumkohad Argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks, või vastupidi, nimetatakse ekstreemumkohtadeks. Ekstreemumkohtade hulka tähistatakse Xe Võib tähistada ka eraldi maksimum- ja miinimumkohta (ekstreemumi liigi määramine): xmax : kasvamine läheb üle kahanemiseks xmin : kahanemine läheb üle kasvamiseks Näide jätkub Leiame joonisel kujutatud funktsiooni ekstreemumkohad. Ülesanded Tunnis: Õpikust ÜL 212 (c), 214 (1), 215 (2) Kodus: Õpikust ÜL 212 (a, b, d), 213 (2, 6, 9), 214 (2, 10) Tunni eesmärkide ülevaade Kas Sa... ... tead mõistete "ekstreemumkoht", "kasvamisvahemik" ja "kahanemisvahemik" sisu ning graafilist tähendust. ..
Aritmeetiline keskmine x on tunnuse kõigi väärtuste summa ja väärtuste (objektide) arvu jagatis. Mood Mo on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Moode võib olla ka rohkem kui üks. Kui kõik väärtused on võrdsed, siis mood puudub. Mediaan Me on tunnuse väärtus, millest variatsioonireas jääb vasakule ja paremale võrdne arv liikmeid. Tunnuse muutumispiirkond on piirkond minimaalsest väärtusest maksimaalse väärtuseni (xmax - xmin). Alumine kvartiil Q (Kv ) on tunnuse väärtus, millest väiksemaid või võrdseid väärtusi on 25%. Ülemine kvartiil Q (Kv ) on tunnuse väärtus, millest suuremaid või võrdseid väärtusi on 25%. Mida suurem on kvartiilide vahe, seda suurem on hajuvus. Hälve on tunnuse väärtuse ja keskmise vahe ( x i -x ) . Dispersiooniks 2 nimetatakse hälvete ruutude keskmist. Variatsioonikordaja V näitab standardhälbe suhet keskmisse. Valemid: f W = 100% N
Mo=38 Mediaan Me Tunnuse väärtus, millest väiksemaid ja suuremaid väärtusi on võrdne arv Me=38 Aritmeetiline keskmine Tunnuse keskväärtus x + + xn x= 1 n =38,375 6. Hajuvuse karakteristikud Maksimaalne väärtus Tunnuse suurim väärtus x max = 41 Minimaalne väärtus Tunnuse vähim väärtus x min = 36 Variatsioonirea ulatus Tunnuse suurima ja vähima väärtuse vahe xmax - xmin = 41 - 36 = 5 Jalanumber (x) Sagedus (f) Hälve d x-x f x-x 2 x-x f 2 36 2 2,375 4,75 5,64 11,28
44, 45, 46, 48, 52, 52, 55, 56, 56, 62, 62, 65, 69, 71, 71, 71, 74, 74, 75, 75, 79, 79, 80, 82, 85, 86, 87, 91, 91, 95, 96, 98 Dixon-test Rlow=(x3-x1)/(xn-2-x1), n=60 -> Rlow=(4-0)/(95-0)=4/95=0,042 < Dkr=0,35 Rhigh=(xn-xn-2)/(xn-x3) = (98-95)/(98-4)=3/94=0,0319 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statilised hüpoteesid ja jaotused Tabel 1. Valim xi-juhuslik arv, ni xi kordumiste arv n=60 xmin=0 , xmax=98 xi ni ni*xi ni*xi2 ni(xi-x)2 2282,92 0 1 0 0 84 2188,36 1 1 1 1 84 1916,68 4 1 4 16 84 1830,12 5 1 5 25 84
0, 1, 1, 4, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 17, 20, 22, 23, 24, 25, 25, 25, 27, 33, 38, 38, 39, 39, 40, 43, 44, 44, 46, 52, 62, 62, 69, 69, 71, 71, 74, 74, 75, 75, 78, 78, 79, 79, 80, 82, 82, 85, 86, 87, 91, 91, 96, 96, 96, 98 Dixon-test Rlow=(x3-x1)/(xn-2-x1), n=60 -> Rlow=(1-0)/(96-0)=1/96=0,01 -> x1 ekse, sest et Rlow =0,01> Dkr=0,35 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statilised h üpoteesid ja jaotused Tabel 1. Valim xi-juhuslik arv, ni xi kordumiste arv xmin=0, xmax=98 xi ni ni*xi ni*xi² ni(xi-x)² 0 1 0 0 2254.35 4320.78 1 2 2 2 1 4 1 4 16 1890.51 3609.10 5 2 10 50 1 6 1 6 36 1720.59 7 1 7 49 1638.63
Negatiivsuspiirkond - muutuja x väärtuste hulk, kus funktsiooni väärtused on negatiivsed f(x)<0 X + = {x| f(x) > 0} X - = {x| f(x) < 0} Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine läheb x suurenedes kohal xe kahanemiseks või funktsiooni y = f(x) kahanemine läheb x suurenedes kohal xe kasvamiseks, siis on koht xe selle funktsiooni ekstreemumkoht f '(x) = 0 Xmax maksimumkoht, kui f ''(x)<0 Xmin miinimumkoht, kui f ''(x)>0 Xe = {x| f '(x) = 0} Funktsioon kasvab, kui x1 < x2 f(x1) < f(x2) f '(x)>0 Funktsioon kahaneb, kui x1 < x2 f(x1) > f(x2) f '(x)<0 X = {x| f '(x)>0} X = {x| f '(x)<0} Kohad, kus joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks f "(x) = 0 Xk = {x| f "(x) = 0} f "(x)<0 f "(x)>0 X
sellega võrdseid väärtusi on võrdne arv. Mood tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus, kui kõikide tunnuse väärtuste arv on sama, siis mood puudub. Statistilisel real võib olla ka mitu moodi. Hajuvuse karakteristikud näitavad, mil määral erinevad tunnuse väärtused üksteisest, hajuvad keskmise ümber. Variatsioonrea ulatus tunnuse suurima ja väikseima väärtuse vahe, xmax-xmin. Hälve tunnuse väärtuse ja aritmeetilise keskmise vahe (d=) Keskmine hälve hälvete aritmeetiline keskmine. Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Standardhälve ruutjuur dispersioonist, iseloomustab tunnuse hajuvust. Mida suurem on standardhälve, seda suurem on hajuvus. Üldkogum ehk populatsioon, selle all mõeldakse kõiki juhtumeid või situatsioone, mille kohta meie poolt püstitatud järeldused, oletused või prognoosid kehtivad.
mõtet leida nominaaltunnuse korral. Keskväärtust kasutatakse sageli, sest ta on aluseks teiste statistiliste näitajate määramiseks. Puudus-Arvutamise tulemusena saadud väärtus ei pruugi ise olla üks tunnuse väärtustest. Hajuvusmõõdu vajalikkus- tunnuste iseloomustamiseks ainult keskimiste abil annab liiga vähe informatsiooni. Hajuvusmõõdud:* min/max element*variatsioonrea ulatus*alumine/ülemine kvartiil*disepersioon/standarhälve*variatsioonikordaja. Variatsioonirea ulatus=Xmax-Xmin. Alumine kvartiil - tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas 25% Kv . Ülemine kvartiil - tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsoonnreas 25% Kv . Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida kümneks osaks. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus ( ) . Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. = ( ) = ( )
) 20. Mediaanvahemik – vahemikes esitatud sagedus- või jaotustabelit kasutades saadakse mediaanvahemik (kuhu kuulub mediaan) 21. Mood – tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus 22. Bimodaalne – kui moode on kaks, öeldakse, et tunnus (vaadeldav jaotus) on bimodaalne Ül. 158, 162,164,165, 170, 171, 173 23. Variatsioonirea ulatus – tunnuse muutumispiirkonna pikkus (valem: xmax - xmin; maksimumväärtus miinus miinimumväärtus reas) 24. Hälve – tunnuse üksiku väärtuse kõrvalekalle keskmisest, tunnuseväärtuse ja aritmeetilise keskmise vahe xi-x (hälvete summa 0) 25. Dispersioon – hälvete ruutude (saame positiivsed arvud) 2 x x 1 2
Lineaarteisendus on ülalkirjeldatud juhusliku suuruse teisendamise olulisim erijuht,
kus teisendusfunktsioon saab kuju g(x)=a+bx
Mediaani hinnang: kasvavalt järjestatud valimi keskelement, kasvavalt järjestatud
valimi keskelementide poolsumma.
Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe.
Variatsioonirida- kasvavasse järjekorda reastatud valim
Järkstatistik: variantsioonirea liige järjekorranumbriga i.
Epiiriline jaotusfunktsioon avaldub variatsioonirea põhjal kujul: FN(x)=0, kui
x
Vt täidise maht Vv kolonni vaba maht (graanulitevahelise vedeliku maht) Vs graanulitesisese vedeliku maht Vg geelimaatriksi maht Vt=Vv+Vs+Vg Ainet iseloomustab elueerimismaht ehk väljumismaht V x. See on eluaadi maht, mis on kogutud kuni aine maksimaalse kontsentratsiooniga fraktsiooni kolonnist väljumiseni. Kui mingid segus olevad molekulid on liiga suured mahtumaks geeli pooridesse, siis väljuvad nad kolonnist esimesena, st neil on minimaalne elueerimismaht V xmin, mis võrdub kolonni vaba mahuga. Vxmin = Vv Ained, mille molekulid on piisavalt väiksed, et mahtuda täielikult geeli pooridesse väljumad maksimaalse elueerimismahuga Vxmax, mis on ligilähedane kolonni kogumahule Vxmax Vt . Kromatografeerimise võib lugeda lõpetatuks, kui kolonni läbinud vedelikku maht ületab kolonni kogumahtu. Töö käik. Kolonni tätmine ja iseloomustamine Geel: Sefadex 6-50 Täidetud kolonnile arvutatakse geelisamba kõrguse ja diameetri alusel täidise
Statistikas kasutatakse erinevaid väljavõtu meetodeid. 1. Juhuväljavõtt 2. Tüüpväljavõte 3. Mehaaniline väljavõte 4. Seeria väljavõte Uuringu etappid I etapp :Uuringute ettevalmistamine nõuab nõuab uuringu koguarvust 20 30 % II etapp :Uuringu läbiviimine võtab 40 60 % III etapp: Analüüsimine 20 30% Algandmed 5 10 5 7 5 9 20 16 7 17 12 9 8 11 7 VAHEMIKU LAIUS(d): d= (Xmax-Xmin)/k VAHEMIKU KESE(um): Suhtarv on absoluutarvude jagatis. Esmane vaatlus(Kronometaaz) Esimene Teine Kolmas Keskmine A: 13,9 14,5 12,4 13,6 B: 11,9 11,3 10,3 11,2 C: 14,5 12,0 11,1 12,4 D: 11,7 14,3 10,7 12,2 Keskmine: 12,4
geelimaterjali ehk maatriksi maht (Vg), täidise kogumaht ehk üldmaht (Vt). Seega: Vt = Vv + Vs + Vg Selleks, et uuritavat ainete segu läbi kolonni transportida ja et erineva molekulmassiga ained saaksid üksteisest eralduda, voolutatakse kolonni sobiva vesilahusega. Kolonnist väljuvat lahust ehk eluaati kogutakse kindla mahuga fraktsioonide kaupa. Molekulid, mis ei mahu geeli pooridesse väjuvad kõige esimesena, st minimaalse elueerimismahuga Vxmin, mis on võrdne kolonni vaba mahuga. V xmin = Vv Ained, mis mahuvad geeli pooridesse, liigavad kõige aeglasemalt ja väjuvad maksimaalse elueerimismahuga V xmax, milline on arvväärtuselt lähedane kasutatava kolonni kogumahule. Et täidis väja ei voolaks, on kolonni alumine ots täidetud klaasvillaga. Eluendi lisamine kolonni ja eluaadi fraktsioonide kogumine toimub käsitsi. Ainehulkade kindlakstegemiseks kogutud fraktsioonides kasutatakse spektrofotomeetrit. Töö käik Kolonni iseloomustamine ja ettevalmistamine
Eluaseme kulude haare = 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 25896,552 Kvartiilid X Keskmine kvartiil Q= 9899,71287 Alumine kvartiil Q₁= 6687,011055 Ülemine kvartiil Q₃= 13973,20753 Kvartiilid Y Keskmine kvartiil Q= 5779,0024 Alumine kvartiil Q₁= 4623,659 Ülemine kvartiil Q₃= 7681,409 xmin= 2514,24023 xmax= 19533,53844 ymin= 468,048 ymax= 26364,6 Valimistandardhälve: 𝑠𝑥2 = 𝐷𝑋 = 25214411,49 𝑠𝑥 = 𝑠𝑥2 = 5021,395372 𝑥2 = 132343844,4 x̅²= 107942801,1 𝑠𝑦2 = 𝐷𝑌 = 41207276,62 𝑠𝑦 = 𝑠𝑦2 = 6419,289417
teisendusfunktsioon saab kuju g(x)=a+bx
2. RAKENDUSSTATISTIKA ALUSED
Mediaani hinnang: kasvavalt järjestatud valimi keskelement, kasvavalt järjestatud valimi
keskelementide poolsumma.
Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe.
Variatsioonirida- kasvavasse järjekorda reastatud valim
Järkstatistik: variantsioonirea liige järjekorranumbriga i.
Epiiriline jaotusfunktsioon avaldub variatsioonirea põhjal kujul: FN(x)=0, kui x
X = ... Kui kahanemine ei lähe üle kasvamiseks, siis toimub jätkuvalt kahanemine. X = ... Kui kasvamine läheb üle kahanemiseks, siis on selles punktis lokaalne maksimum, kui see punkt pole määramispiirkonnast välja arvatud. Xmax = (leitud punkt; esimese funktsiooni tulemus, kasutades seda punkti x asemel) Kui kahanemine läheb üle kasvamiseks, siis on selles punktis lokaalne miinimum, kui see punkt pole määramispiirkonnast välja arvatud. Xmin = (leitud punkt; esimese funktsiooni tulemus, kasutades seda punkti x asemel) 6. Käänupunktid, kumerus- ja nõgususpiirkonnad Võtame teise tuletise f''(x). Diferentseerimise reeglid, log.dif võte! Leiame f'(x) kriitilised punktid: o f''(x) nullkohad. f''(x) = 0, leian x väärtused, kui nimetaja ei võrdu nulliga. o f''(x) puudub (määramata). Leian x väärtused, kui nimetaja võrdub nulliga. Kannan kriitilised punktid x-teljele
Standardhälve: = Sc = DX = 954,71 = 30,90 Mediaan: 54 + 56 Me = = 55 2 Haare: R = xmax - xmin = 99 - 0 = 99 Mo = {94} Mood: 2. Leida keskväärtuse, dispersiooni ja standardhälbe usaldusvahemikud eeldusel, et põhikogumi jaotuseks on normaaljaotus ja olulisuse nivooks P = 95 %. Tõene keskväärtus on µ=0,05, P=95% korral t=1,96 : X -t < µ < X +t n n 30,90 30,90 53,92 -1,96 < µ < 53,92 +1,96
, ; , . , , , 2 , . : , , , . k ( f mo - f mo-1 ) Mo = xmo + ( f mo - f mo-1 ) + ( f mo - f mo+1 ) 16. . . . -. ( , . . . . . . , , . R = xmax - xmin d= x-x f f
MHT0030 RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ Osa A 1. Keskväärtus =46,20 Dispersioon =867,91 Standardhäve =29,46 Mediaan Me=46 Haare R = xmax xmin = 99 0 = 99 2. Keskväärtuse usaldusvahemik eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo = 0,10: t, N-1 on arvutatav Exceli TINV funktsiooniga: 1,711 Dispersiooni usaldusvahemik eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo = 0,10 ning põhikogumit moodustavate mõõdiste arv n = 25: ja on arvutatav Exceli CHIINV funktsiooniga, ning on vastavalt: 36,415 ja 13,843 3
trüptofaan Trp) Aine 3 DNP - aspartaat C. aine 1 = Vxmin = 24,75 ml aine 2 = Vx = 28,75 ml aine 3 = Vxmax = 66,75 ml. Kõige esimesena väljus dekstraansinine, mille molekulid ei mahtunud geelipooridesse ning seetõttu oli minimaalse elueerimismahuga. Järgmisena väljus aromaatne valk ning viimasena, geeli pooridesse mahuvana, maksimaalse elueerimismahuga DNP - aspartaat. · Eluaadi maht kuni dekstraansinise kõrgeima kontsentratsioonini (V xmin = Vv) oli 24,75 ml · Eluaadi maht valgu kõrgeima kontsentratsiooni fraktsiooni väljumiseni oli 28,75 ml. · Eluaadi maht viimasena väljunud komponendil oli 66,75 ml. D. Viimasena väljunud komponendi elueerumismahtu võrdlus arvutusliku V xmax väärtusega. Arvutuslik Vxmax = 67,86 ml Katset läbiviides sain viimasena väljunud komponendi elueerumismahuks 66,75 ml. Minu saadud tulemus erineb arvutuslikust 1,11 ml võrra. Suhteline viga seejuures on
000
· Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood · Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) · Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid
=46,20 2)Dispersioon =867,92 3)Standardhäve =29,46 4)Mediaan Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Me=46 5)Haare R = xmax xmin = 99 0 = 99 2. Leian keskväärtuse usaldusvahemiku eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo = 0,10: t, N-1 arvutasin Exceli TINV funktsiooniga ( on ka leitav Studenti tabelist): 1,711 Leian dispersiooni usaldusvahemiku eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo = 0,10 ning põhikogumit moodustavate mõõdiste arv n = 25: ja arvutasin Exceli CHIINV funktsiooniga, vastavalt: 36,415 ja 13,848 3
Normaaljaotuse Jaotustihedus histogramm Normaaljaotuse jaotustihedus 0.01 0.01 0 Ühtlase jaotuse jaotustihedus 0 0 Valimi vahemikud 7 6. 6.1 Empiiriline jaotusfunktsioon xmin=1 xmax=98 { 0, x < x min F N ( x )= i , x i x < x i+1 N 1, x x max 6.2 Ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon a=0 b=100 { 0, x b 8 Joonis 3. Jaotusfunktsioonid 1
Mõisted Aritmeetiline keskmine ehk keskväärtus tunnuse kõigi väärtuste summa ja objektide arvu x1 + x 2 + .... + x n x= jagatis. n Mediaan Me arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju. Mood Mo tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Minimaalne element xmin tunnuste väärtuste hulgas vähim. Maksimaalne element xmax tunnuste väärtuste hulgas maksimaalne. Variatsioonirida järjestatud kasvavate või kahanevate väärtuste jada. Variatsioonikordaja Variatsioonirea ulatus u maksimaalse ja minimaalse elemendi vahe. Sagedustabel näitab, mitmel korral saab antud tunnus antud väärtuse. Korrelatsioon kasutatakse statistikas võrdlemisel. Näitab, kas uuritavate objektide puhul on tegemist mingite sarnaste ilmingutega või mitte.
Statistiline uurimistöö Nõo reaalgümnaasiumi õpilaste tervislikud harjumused. Autor: Karl Kuus Juhendajad: Sirje Sild Kaja Kasak 2012 Mõisted Mediaan Me arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju. Mood Mo tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Minimaalne element Xmin - tunnuste väärtuste hulgas vähim. Maksimaalne element Xmax - tunnuste väärtuste hulgas maksimaalne. Variatsioonirida järjestatud kasvavate või kahanevate väärtuste jada. Variatsioonikordaja - on hajuvusmõõt, mis seisneb kogumi standardhälbe ja keskväärtuse suhtes. Variatsioonirea ulatus u maksimaalse ja minimaalse elemendi vahe. Sagedustabel näitab, mitmel korral saab antud tunnus antud väärtuse. Korrelatsioon kasutatakse statistikas võrdlemisel
Mõisted Valim mõõtmiseks võetud üldkogumi osa. Valimi maht N - uuritavate objektide koguarv. Aritmeetiline keskmine - tunnuse kõigi väärtuste summa ja objektide arvu jagatis. Keskväärtus - tunnuste väärtuste aritmeetiline keskmine. Mood - tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus Mediaan - arv, millest on suuremaid ja väiksemaid väärtusi variatsioonireas on ühepalju. Maksimaalne element, Xmax - tunnuse väärtuste hulgas suurim element. Minimaalne element, Xmin - tunnuse väärtuste hulgas väikseim väärtus. Ülemine kvartiil - tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonireas ¼ ehk 25%. Alumine kvartiil - tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonireas ¼ ehk 25%. Dispersioon 2 andmetele vastav hälvete keskväärtus. Standardhälve dispersiooni ruutjuur. Andmed ühesugused dispersioon=0.
Funktsiooni vahemikuks f(x)
nimetatakse argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsioon kasvab kasvamisvahemikuks.
Kasvamispiirkond X
Kui x1
Tugevalt ebasümmeetrilise rea korral on ta tüüpilisem kui aritmeetiline keskmine. Kui reas on paaritu arv liikmeid, siis võrdub mediaan järjestatud rea asendilt keskmise liikmega, mistõttu moodi nimetatakse ka rea keskliikmeks. Kui reas on paarisarv liikmeid, siis leitakse ta järjestuses kahe keskmise liikme aritmeetilise keskmisena, mistõttu mediaan ei pruugi võrduda ühegi rea liikmega. · Kvartiil 4 võrdset osa (xmin, q1, q2 ehk mediaan, q3 ja xmax), pentiil 5 võrdset osa, sekstiil 6 võrdset osa, detsiil 10 võrdset osa, protsentiil 100 võrdset osa. · Momentideks nimetatakse rea liikmete väärtuste ja mingi arvu vaheliste hälvete astendamisel saadud arvude aritmeetilisi keskmisi. Arvu, millega momendi leidmisel hälbeid astendatakse, nimetatakse momendi järguks. VARIATSIOONINÄITARVUD · Variatsiooniamplituud (R= Xmax-Xmin)näitab äärmuste vahet
x 4. y log 1 x 4 3 g) Joonestada funktsioonide graafikud: 5.Funktsiooni uurimine tuletise abil. a) Leidke funktsiooni y = x3 - 4x2 -3x -2 kasvamis- ja kahenemisvahemikud, maksimum- ja miinimunkoht. Vastus: X1=( ; 1/3 ), X2=(3 ; ); X=( 1/3 ; 3); xmax = - 1/3 ; xmin = 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus: 1) X1=( ; 1/3 ), X2=(3 ; ); X=( 1/3 ; 3); 2) y = 20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - x lnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond
saadud tulemuste lähedus. Mõõtetäpsus - suuruse tõelise väärtuse ja mõõtetulemuse lähedusaste. Mõiste "mõõtetäpsus" ei kuulu suuruste hulka ja sellel puudub arvväärtus. Öeldakse, et mõõtmine on seda täpsem, mida väiksem on mõõtemääramatus. Ristkülikjaotus - pideva juhusliku muutuja x tõenäosusjaotus, kus x on mistahes tegelik arv, mille tõenäosustihedus on f(x) = 1/ (xmax-xmin). Kasutatakse mõõtmistel halvima juhuna üksikväärtuse hindamiseks, kui puuduvad tõendatud andmed. Normaaljaotus - pideva juhusliku muutuja x tõenäosusjaotus, kus x on mistahes tegelik arv, mille tõenäosustihedus on Juhuslike suuruste summeerumisel, sh mõõtmistel, kõige eeldatum jaotusviis. Tulemus - katse/mõõtemeetodi täieliku kogumi juhendite järgimisel saadud lõplik väärtus. See võib olla saadud üksikmääramisega või mitme määramisega sõltuvalt meetodi juhendist
annaabi.ee 
