Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Kombinatoorika Liitmislauset iseloomustab lause: ,,kas objekt A või objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi
12. klass Kombinatoorika 1. Liitmisreegel. Kui mingi elemendi A võib valida k erineval viisil, elemendi B aga r erineval viisil (sõltumata A valikust), siis elemendi "kas A või B" saab valida k + r erineval viisil. 2. Korrutamisreegel. Kui mingi elemendi A võib valida k erineval viisil, elemendi B aga r erineval viisil (sõltumata A valikust), siis elementide paari "A ja B" saab valida k*r erineval viisil. 3. a) Kassikülast Hiirekülla pole otseteed, kuid Rotiste kaudu läheb 2 teed ja Linnukese
Kontrolltöö kombinatoorikast. 1.Tiinal on 3 salli, 4 pluusi ja 6 seelikut. Mitu erinevat võimalust on Tiinal riietumiseks, kui ta iga kord kasutab kõiki kolme riietuseset? 2.Õpetaja jagab 5 õpilase vahel 5 erinevat sõnaraamatut. Mitmel erineval viisil saab ta seda teha? 3.Mitu erinevat parooli on võimalik koostada, kui parool koosneb 6-st erinevast arvust ja valida on numbrite 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 vahel? 4.Seltskonnas on 7 inimest. Iga neist kätleb kõiki teisi. Mitu käepigistust tehakse ühtekokku? 5.Klassis on 6 tüdrukut ja 14 poissi. Üheksa poissi ja neli tüdrukut on 16-aastased. Kõik ülejäänud on aga 15-aastased. Mitu erinevat võimalust on antud klassis sellise 4-liikmelise grupi moodustamiseks, kus on a)2 poissi ja 2 tüdrukut; b)2 16-aastast poissi ja 2 15-aastast tüdrukut; c)kõik ühevanused õpilased? 6)Mitu erinevat 4-kohalist arvu saab moodustada numbritest 0,1,2,3,4,5,6, kui need numbrid on erinevad?
KOMBINATOORIKA k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv Liitmislause – A või B, siis võimalusi n + m Korrutamislause – A ja B, siis võimalusi n m Permutatsioonid – ühe hulga erinevate järjestuste arv Faktoriaal – n! = n (n-1) (n-2) ... – 3 2 1 = n! nt 4! = 4 3 2 1 = 24 NB! 0! = 1, 1! = 1 3,7! – ei saa (-8)! – ei saa ÜLESANDED 1
Kombinatoorika kordamisülesanded. 1. Korvis on 4 punast ja 3 kollast õuna. Mitu erinevat võimalust on a) kahe õuna võtmiseks? b) kahe punase õuna võtmiseks? c) kolme kollase õuna võtmiseks? d) kahe erinevat värvi õuna võtmiseks? 2. Mitu erinevat lauset saab moodustada sõnadest TIHTI TÄHTI TAEVAS NÄHTI nende sõnade järjrstuse muutmise teel? 3. Neli musketäri hüppavad postitõllale, kus on 6 vaba kohta. Mitmel viisil võivad nad istuda vabadele kohtadele? 4. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal? 5. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Neist 4 mängivad finaalturniiril. Mitu erinevat finaalgruppi võib moodustada? 6. Hulgimüügifirma “Ratsa rikkaks” võtab tööle müügijuhi, reklaamijuhi ja pankrotihalduri. Korraldati ühine konkurss, millest võttis osa 10 töösoovijat. Mitu erinevat töömääramist ...
Kombinatoorika kordamisülesanded. 1. Korvis on 4 punast ja 3 kollast õuna. Mitu erinevat võimalust on a) kahe õuna võtmiseks? b) kahe punase õuna võtmiseks? c) kolme kollase õuna võtmiseks? d) kahe erinevat värvi õuna võtmiseks? 2. Mitu erinevat lauset saab moodustada sõnadest TIHTI TÄHTI TAEVAS NÄHTI nende sõnade järjestuse muutmise teel? 3. Neli musketäri hüppavad postitõllale, kus on 6 vaba kohta. Mitmel viisil võivad nad istuda vabadele kohtadele? 4. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal? 5. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Neist 4 mängivad finaalturniiril. Mitu erinevat finaalgruppi võib moodustada? 6. Hulgimüügifirma "Ratsa rikkaks" võtab tööle müügijuhi, reklaamijuhi ja pankrotihalduri. Korraldati ühine konkurss, millest võttis osa 10 töösoovijat. Mitu erinevat töömääramist ...
KOMBINATOORIKA 2 Kombinatoorika tegeleb üldiste meetodite ja valemite loomisega niisuguste ülesannete lahendamiseks, kus tuleb leida erinevate võimaluste arv mingis mõttes eristatavate hulkade moodustamiseks. Näiteks kui meil on vaja numbritest 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 moodustada neljakohalisi naturaalarve, siis saame neid arve eristada selles esinevate kohtade arvu järgi, aga lisaks sellele veel selle järgi, kas selles neljakohalises arvus on korduvaid numbreid, kas selles võib esikohal olla number 0, kas numbrite erinev järjestus annab erineva arvu jne. Seega on ennekõike vaja ülesande teksti põhjal määrata ühendite arvu määramise eeskirjad. Ühendeiks nimetatakse mingeist esemeist ehk elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest. Niisugust üldist definitsiooni saab väga mitmel viisil täpsustada. Järgnevalt vaatleme kuut kõige olulisemat võimalust selleks ja esitame ...
Kombinatoorika kordamisülesanded. 1. Korvis on 4 punast ja 3 kollast õuna. Mitu erinevat võimalust on a) kahe õuna võtmiseks? b) kahe punase õuna võtmiseks? c) kolme kollase õuna võtmiseks? d) kahe erinevat värvi õuna võtmiseks? 2. Mitu erinevat lauset saab moodustada sõnadest TIHTI TÄHTI TAEVAS NÄHTI nende sõnade järjrstuse muutmise teel? 3. Neli musketäri hüppavad postitõllale, kus on 6 vaba kohta. Mitmel viisil võivad nad istuda vabadele kohtadele? 4. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal? 5. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Neist 4 mängivad finaalturniiril. Mitu erinevat finaalgruppi võib moodustada? 6. Hulgimüügifirma "Ratsa rikkaks" võtab tööle müügijuhi, reklaamijuhi ja pankrotihalduri. Korraldati ühine konkurss, millest võttis osa 10 töösoovijat. Mitu erinevat töömääramist ...
Tõenäosus Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Liitmise reegel – kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi “kas A või B” saab valida r + s erineval viisil. Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust.
On olemas n elementi. Nendest elementidest moodustatakse kogumeid, mis võivad erineda üksteisest elementide järjestuse poolest elementide endi poolest elementide endi ja nende järjestuse poolest. Kõiki selliseid kogumeid nimetatakse ühenditeks. Permutatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest. Kombinatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide endi poolest Variatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. Liitmisreegel: Kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elementi B aga s erineval viisil (mis erinevad elemendi A valimisviisidest), siis elemendi "kas A või B" saab valida r+s erineval viisil. Näide: Tüdrukul on peole minekuks valida kas ta paneb 3 miniseelikust ühe või 5 pikast seelikust ühe. Kokku on tal 3 + 5 = 8 erinevat v...
r sirge sihivektor s = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) . r r Kahe sirge, mille sihivektorid on s1 = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja s2 = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , paralleelsus või ühtimine: r r X 1 Y1 Z1 s1 Ps2 = = . X 2 Y2 Z 2 9. KOMBINATOORIKA JA TÕENÄOSUSTEOORIA 9.1 Kombinatoorika 47 Ühenditeks nimetatakse lõpliku hulga U n = { u1 ; u 2 ; K ; u n } elementidest moodustatud alamhulki, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse, arvu või kordsuse poolest. Variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on ühendid, mis erinevad üksteisest elementide eneste või nende järjestuse poolest (s.t. uus järjestus endiste
60o 0,5 90o 1 0 puudub VIETE'I TEOREEM ARITMEETILINE JADA kui a = 1, siis an = a1 + (n-1)d x1 + x2 = - b x1 * x2 = c TULETISED (u±v)'=u' ± v' GEOMEETRILINE n1 JADA (uv)' u'v + uv' an = a1q Hääbuv geomeetriline jada [u(v[x])]'=u'(v[x])v'[x] NEWTONI BINOOMVALEM VEKTORID KOMBINATOORIKA Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis Permutatsioonide arv Vektor =(x2-x1;y2-y1) Vektori pikkus: Kombinatsioonide arv . Skalaarkorrutis: . Kui kaks vektorid on risti, siis on Variatsioonide arv nende skalaarkorrutis 0. MATEMAATIKA PÕHIKOOLILE valemid
Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 1 Olga Dalton 104493 IAPB21 1. (a) Kuna A on positiivsete täisarvude hulk, mille viimane number on 3, siis sisaldab hulk A arve 1,2,3, nendest paarisarv on 2. Seega on hulkade A ja B ühisosa {2} VV { { (b) 5-ga jagub iga arv, mis lõpeb kas 5 või 0-ga. Nendest arvudest on 5-ga lõppevad paaritud ja 0-ga lõppevad paarisarvud. Seega kuuluvad hulkade A ja B ühisosasse 0-ga lõppevad ja 5-ga jaguvad täisarvud, st 10-ga jaguvad täisarvud(arvud, mis annavad 10-ga jagamisel jäägi 0): VV {YÉY X { 2. Kujutan Venni diagrammil C = A B Et A C = (AC) (CA), siis · (AC) kujutub järgmiselt: ...
Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise ni...
Ülesanne 1 (elementide järjestuse poolest) permutatsioonid Võistlustest võtab osa 6 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda võistkondade vahelised kohad? 6 ! = 720 Ülesanne 2 (elementide endi poolest) kombinatsioonid Poolfinaalis osaleb 6 võistkonda. Finaali pääseb neist vaid kolm. Mitu erinevat võimalust on finaalgrupi moodustamiseks? 6! 4 5 6 C 63 = = = 20 3! 3! 1 2 3 Ülesanne 3 (elementide endi kui ka järjestuse poolest) variatsioonid Finaalvõistlustel osaleb 6 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal nende võistkondade vahel? 6! Korrutise reegel 6 5 4 = 120 ehk V63 = 3!
MATEMAATIKA ARVESTUS 1. Kombinatoorika põhiprintsiibid-liitmis ja korrutamisprintsiip. Liitmisprintsiip- ,,kas üks või teine" . kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinats...
Kordamisülesanded 11 klass 1. Kombinatoorika ja tõenäosus a) Ühes klassis õpitakse 14 õppeainet. Mitmel erineval viisil saan nendest koostada ühe päeva tunniplaani, kui selles peab olema 7 erinevat õppeainet? Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised?
Loogikafunktsiooni normaalkujude minimeerimine. Kuna pidevate funktsioonide argumentideks on reaalarvud, siis on "pidev Loogikafunktsioonide süsteemid. Loogikaelemendid matemaatika" just reaalarvude matemaatika. digitaalskeemides (Meenutame, et reaalarvud on kõikvõimalikud murdosaga arvud: nn. "komaga arvud"). — Kombinatoorika Kombinatsioonid. Variatsioonid. Permutatsioonid. Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate Diskreetne tõenäosus funktsioonidega. Õpikus on käsitletud nendest kõiki peale tõestusmeetodite ja kombinatoorika.
(1) (5) (9) (2) (6) (10) (3) (7) (11) (4) (8) (12) KOMBINATOORIKA VALEMEID Variatsioonid n-elemendist k-kaupa Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa (järjekord pole oluline) Newtoni valem Funktsiooni keskmine Kahe funktsiooniga väärtus vahemikus [a ; b] piiratud kujundi pindala Lineaarne 1. järku DV DIFERENTSIAALVÕRRANDID Homogeensed 1. järku DV
Kujutamis- ja vormiõpetus v erinevas eas inimeste kujutamine v inimese, looduse ja tehisvormide suhe v visandamine natuurist v varju tekkimine v langev vari Värvi- kompositsiooni- ja perspektiiviõpetus v koloriit v dünaamiline ja staatiline kompositsioon v pildi dominant v piiratud ja piiramata pinnad v õhuperspektiiv v pöörd- ja kandiliste kehade kujutamine ruumiliselt Disain ja kirjaõpetus v tööd joonlaua ja sirkliga (pinnalaotus pakendi või maketi jaoks) v kirjaoptika v fantaasiakiri v tarbegraafiline kiri (pakend, etikett) v keskkonna kujundamine sise- ja välisruumis (mänguväljak, jne.) Vestlused kunstist v rahvakunst v kunstimõisted (originaal, koopia, reproduktsioon, autoritiraaz, jne.) v ainetevahelised seosed Tehnikad ja materjalid v skulptuur; reljeef v maal; maalimine kattevärvide ja akvarell...
Huvitavad punktid kolmnurgas Huvitavad punktid kolmnurgas I seeria • Külgede keskristsirgete lõikepunkt • Nurgapoolitajate lõikepunkt • Mediaanide lõikepunkt • Kolmnurga kõrguste või nende pikenduste lõikepunkt Neid huvitavaid punkte käsitletakse koolis Kolmnurga külje keskristsirge Keskristsirge (ehk mediatriss) – antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt - R Kolmnurga keskristsirgete lõikepunkt võib asetseda ka väljaspool kolmnurka või kolmnurga küljel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks. Kolmnurga nurgapoolitaja Nurgapoolitaja (ehk bisektor) – kiir, mis lähtub nurga tipust ja poolitab nurga, s.t. jaotab selle kaheks võrdseks nurgaks. Nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kagu...
sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 sin2 cos = sin /tan cos2 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos ...
suvalist elementi. Tavaliselt fikseeritakse F0 = 0 ja F1 = 1. Fibonacci arve on uuritud juba 13. sajandist peale. Nimelt saab nende abil üpris hästi kirjeldada paljusid looduslikult kulgevaid protsesse. Samuti on kahe järjestikuse lõpmatusele laheneva indeksiga Fibonacci arvu jagamisel saadav suhe = 1+521, 618034 juba antiigist saati olnud kasutuses kunstis, kus seda peetakse koige harmoonilisemaks suhteks kahe pikkuse vahel (nn. kuldloige). Lisaks on arvud ise seotud mõningate kombinatoorika ja paljude tõenäosusteooria probleemidega (ka praktilise tõenäosusteooria, nt ruletiteooria, börsi liikumise teooriatega), samuti on nad leidnud kasutust informaatikas (nt. Fibonacci otsing, kui parandatud versioon kahendotsingust, mõnede algoritmide keerukuse hindamine). -Nimetatud Leonardo Pisano Fibonacci, 13. saj. itaalia matemaatiku auks. 4 1.2 Üldistused
Immunoloogia Jüri P. 1.Mis on humoraalne immuunreaktsioon? 2.Defensiinide funktsioon. 3.Edward Jenner...vaktsineerimise teerajaja Euroopas. 4.Paul Erlich ja Elie Metchnikoff-nende roll immunoloogia arengus 5.Klonaalse selektsiooni hüpotees 6.Ohu (danger) paradigma immunoloogias 7. TLR id raku pinnal 8.Endosomaalsed TLR id 9.Scavenger ja NLR tüüpi retseptorid 10.N-formüülmetioniini roll immuunreaktsioonides. 11.Deamineerimine ja kaasasündinud immuunsus. 12.Omandatud ja kaasasündinud immuunsuse olulisemad erinevused. 13.Lümfoidse diferentseerumis suuna rakud. 14.Müeloidse diferentseerumis suuna rakud. 15.Monotsüüdid ja nende diferentseerumine. 16.NK rakud 17.B lümfotsüüdid 18.T lümfotsüüdid 19.Aktiivsed hapniku ühendid makrofaagides ja neutrofiilides. 20.Lümfi tsirkulatsiooni eripära. 21. Tüümuse roll. 22.Hapteenid ning nende immunogeensuse mehanism 23.Immuunoglobuliin domään . 24. Võrrelge antikehade Ch2 ja Vh domääni. 25.Konformatsiooni...
Sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet, st m P( A ) = . n Iga sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on 1, st P ( A ) + P (A ) = 1 . Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Liitmise reegel kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi "kas A või B" saab valida r + s erineval viisil. Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust.
Teadus peaks küll kasutama matemaatilist meetodit, kuid see ei haara absoluutsust. Teadus viib välja skeptitsismile, mille ületamine on võimalik vaid usu ja kaemuse abil. Religioon ja selle vaated ei põhine ratsionaalsetel argumentidel ning neid ei ole võimalik ratsionaalsete argumentidega ümber lükata. Jumala defineerimine inimlike mõistetega ei ole võimalik, Jumalat võib mõista otsese üleratsionaalse kindlustundega. Pascal on tuntud oma neljase uskumise ja jumala olemasolu kombinatoorika poolest. Neli varianti on (1) uskuda, kui jumal on olemas, (2) uskuda, kui jumalat pole olemas ja (3) mitte uskuda, kui jumal on olemas, (4) mitte uskuda, kui jumalat pole olemas. Pascali järgi annavad kaks viimast, st mitte-uskumise valikud inimese elu jaoks kas neutraalse (4: ei avalda mõju) või negatiivse tulemuse (3: põrgu), seevastu mõlemad uskumise valikud annavad positiivse tulemuse, kui uskuda ja jumal
Teadus peaks küll kasutama matemaatilist meetodit, kuid see ei haara absoluutsust. Teadus viib välja skeptitsismile, mille ületamine on võimalik vaid usu ja kaemuse abil. Religioon ja selle vaated ei põhine ratsionaalsetel argumentidel ning neid ei ole võimalik ratsionaalsete argumentidega ümber lükata. Jumala defineerimine inimlike mõistetega ei ole võimalik, Jumalat võib mõista otsese üleratsionaalse kindlustundega. Pascal on tuntud ka oma neljase uskumise ja jumala olemasolu kombinatoorika poolest. Usulise poole pealt oli Blaise seotud eelkõige jansenismiga, mis seletas ortodokssest katoliiklusest erineval moel lahti Augustinuse predestinatsiooniõpetuse ja oli äärmiselt kriitiline jesuiitluse suhtes. Pascali öeldut tsiteeritakse tänapäevalgi, kuna need on meeldejäävad ja sügavamõttelised. Näiteks: "Mida vaimsem keegi on, seda rohkem omapäraseid inimesi ta enda ümber märkab. Tavalised inimesed ei märka teiste vahel erinevusi" või "Inimene pole ei
r sirge sihivektor s x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 . r r Kahe sirge, mille sihivektorid on s1 X 1 ; Y1 ; Z1 ja s2 X 2 ; Y2 ; Z 2 , paralleelsus või ühtimine: r r X 1 Y1 Z1 s1 Ps2 . X 2 Y2 Z 2 9. KOMBINATOORIKA JA TÕENÄOSUSTEOORIA 9.1 Kombinatoorika 47 Ühenditeks nimetatakse lõpliku hulga U n u1 ; u 2 ; ; u n elementidest moodustatud alamhulki, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse, arvu või kordsuse poolest. Variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on ühendid, mis erinevad üksteisest elementide eneste või nende järjestuse poolest (s.t. uus järjestus endiste
Pascali kolmnurga omadusi: *Ta on sümmeetriline vertikaaltelje suhtes. *Iga arv Pascali kolmnurgas võrdub tema kohal olevate arvude summaga. (Seetõttu on mõningatel juhtudel teda väga mugav ülesannete lahendamisel kasutada). *Ehkki binoomkordajate kolmnurkset asetust kirjeldas ametlikult esimesena Pascal, arvatakse, et ka paljud varasemad matemaatikud teadsid selle olemasolust. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. Liitmisreegel- üks kahest kombinatoorika põhipostulaadist. Ta ütleb, et kui ühte objekti saab valida m erinval viisi ja teist objekti saab valida n erinval viisil, kusjuures esimese ja teise objekti valikud on teineteist välistavad, siis kas esimese või teise objekti valmiseks leidub täpselt m + n erinevat võimaust. Korrutamisreegel- teine kombinatoorika põhipostulaat. Ta väidab, et kui ühte objekti saab valida m erineval viisil ja teist objekti saab valida n erineval esimesest valikust sõltumatul
Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Ajaloost Tekkinud 17. saj. seoses hasartmängudes (kaardid, täringud) tekkinud probleemidega kuidas jaotada panuseid, kui mäng juhtuks mingil põhjusel pooleli jääma, milliste kaartide korral on mõtet edasi mängida jms Tuntumad teadlased, kellel on suuri teeneid tõenäosusteooria arendamisel: De Fermat, Pascal, Huygens, Bernoulli, Gauss, Laplace, Kolmogorov jt Tänapäeval on tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika paljude ülikoolide mitmete erialade õppekavas. Põhimõisted katse põhimõtteliselt lõpmatult palju kordi teostatav toiming, mille korraldamise protseduur on fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud sündmused toimuvad või mitte sündmus katse tulemus või erinevate tulemuste ühendamisel saadav tulemus Näit. Katseks on täringu viskamine, sündmusteks võivad olla järgmised: - saadakse 4 silma - saadakse 5 silma - saadakse 3 või 6 silma - saadakse ...
Kasutame vastandsündmuse tõenäosuse leidmise valemit P( ) = 1 P(A) = 1 0,9 = 0,1. Näide 12. Vaatame näites 10 kirjeldatud ülesannet. Leiame tõenäosuse, et nelja huupi üksteise järel valitud detaili hulgas on vähemalt üks defektiga. Paneme tähele, et meid huvitav sündmus on sündmuse A1 A2 A3 A4 vastandsündmuseks, st ( ) . Kasutame teoreemis tõestatud valemit, P( ) = 1 P(A1 A2 A3 A4) = 1 0,647 = 0,353. 2 KOMBINATOORIKA 2.1.1.1 Valemid ja näited katsetulemuste arvu loendamiseks Permutatsioonid Katses osaleb k elementi, katse tulemuseks on nende elementide teatav järjestus. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on n elemendi kõikvõimalike erinevate järjestuste arv. Erinevaid järjestusi etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks. Kõikvõimalike permutatsioonide arv k elemendist Pk määratakse valemiga Pk = k! =1 × 2 × 3 × 4 × (k1) × k Näide 1
ta püüdis oma heategevuses anonüümseks jääda, ,,Parimad heateod on salajased heateod" oli ta üks lemmikütelustest. Ta korraldas 1662 aastal Pariisis ,,viie-souliste tõldade" liikluse, mis sai ühiskondliku transpordi aluseks. Teiste linnade vaestele saatis ta raha. Pascal elas oma õest kauem vaid 10 kuud, arvatavasti tuberkuloosi ja maovähi koosmõjul suri ta 19.augustil 1662, olles vaid 39 aasta vanune. Pascal on tuntud oma neljase uskumise ja jumala olemasolu kombinatoorika poolest. Need neli varianti on 1. uskuda kui jumal on olemas 2, uskuda, kui jumalat pole olemas 3. mitte uskuda kui jumal on olemas 4. mitte uskuda kui jumalat pole olemas Pascali järgi annavad kaks viimast, st mitteuskumise varianti inimese jaoks kas neutraalse või negatiivse tulemuse, seevastu kaks esimest uskumise varianti positiivse tulemuse. Seega on inimese jaoks mõistlik igal juhul uskuda.
Igasugune mudel kuulub mingisse ümberkujunduste gruppi, ja need omakorda mingisse suuremasse gruppi. Ülalpool loetletud omadused võimaldavad ette ennustada, mil moel reageerib mudel ühe oma koostiselemendi muutmisele. Mudel peab olema ehitatud nii, et tema kasutamine hõlmaks kõiki vaadeldavaid nähtusi. 9)Kood: Levi-Strauss: Koodid on müüdi skeemid. Skeem on müüdi formaalne struktuur ja selle moodustab piiratud hulk tähenduslikke kategooriaid. Kategooriate vaheline kombinatoorika arvestab antud müüdisiseseid universumi parameetreid. Müüdi koodid jagunevad: Geograafiline: ida-lääs-ida. On seotud müüdis toimuva horisontaalse liikumisega . Kosmogooniline: mägi-org; taevas-maa. Seondub vertikaalse liikumisega müüdis. Nende kahe vahel toimub integratsioon, mis näitab ära nende erinevad amplituudid: kõrge-madal; maa-vesi; jaht mägedes-jaht merel; mäetipp-org. Vormiliselt kosmogooniline (vertikaalis), kuid sisult geograafiline (horisontaalne) liikumine.
Tõenäosus näitab arvulist karakteristikut, mis lubab võrrelda eri sündmusi nende toimumise võimalikkuse seisukohalt. Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust. 11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga). 12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid). Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. k n! Cn = k ! ( n−k ) ! Järjekord ei ole oluline, erinevad vaid siis kui elementide hulgad on erinevad. Variatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad. k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla.
Õppekavad ja õpikud koolimatemaatikas 1. Matemaatikaõpetuse areng eesti koolis 1.1. Eestikeelse hariduse algus Esimesed katsed eesti soost lastele haridust anda emakeeles tehti 17. sajandi keskel. Talurahva haridusele alusepanijaks loetakse Bengt Gottfried Forseliust (1660 - 1688). Ta oli soome päritoluga, tema isa oli Tallinna toomkooli õpetaja. B.G. Forselius õppis juba lapsepõlves selgeks eesti keele. 1684. a sai ta enda käsutusse tühjalt seisvad Papimõisa hooned (nende asukohta märgib praegu mälestuskivi Tartus Tähe tänavas Forseliuse Gümnaasiumi vastas). Seal otsustas ta eesti poistest koolitada köstreid ja talupoegade lastele õpetajaid. Forselius oli ainus õpetaja selles koolis - Forseliuse seminaris. Õpilased olid enamuses pärit Tartumaalt. Õppeaeg - 2 aastat. Seminaris õpiti lugemist, kirjutamist, usuõpe- tust, kirikulaulu, raamatuköitmist, natuke rehkendamist ja saksa keelt. Forselius kirjutas ise ka aabitsa, ...
Geoinformaatika kordamine Loeng 1 sissejuhatus, erinevad vaatenurgad, GIS tootjad, arengutendentsid, informatsioon ja andmed. GIS geograafiline infosüsteem. · Riistvara, tarkvara, andmete, inimeste, organisatsioonide ja institutsionaalsete sätestuste kogum maakera piirkondade kohta teabe kogumiseks, hoidmiseks, analüüsiks ja levitamiseks. GIS = tööriist, vahend. Riistvara Suur, kõrge resolutsiooniga kuvar, kiire arvuti, koordinaatide ja teksti sisetamise seade, arhiiv jne Tarkvara ArcGIS, Mapinfo, GeoMedia, Autocad Map, MGE, IDRISI, ERDAS Mõisted · Geoinfo e. kohateave hõlmab Maa maastikusfääri, so maapindmikuga seonduvat ruumi kõigi seal paiknevate nähtustega · Geoinfosüsteem automatiseeritud süsteem ruumiliste andmete kogumiseks, haldamiseks, säilitamiseks, päringute teostamiseks (otsinguteks), analüüsiks ja esituseks. Infosüsteem ei saa olla...
Omandatud immuunsus - Rakuvahendatud immuunvastus - Humoraalne ehk antikehavahendatud immuunvastus - Immunoloogiline mälu 59.Antikehad, immunoglobuliinid (lg) Antikehad (tetrameerne valk) - Antikeha kerged ahelad – kapa ahelad, lambda ahelad - Antikeha rasked ahelad Ig ahelad (nii kerged kui rasked) - N-terminaalsed otsad hüpervarieeruvad - C-terminaalsed otsad konstantsed 60.Geeni splaissing ja kombinatoorika - Splaissing ehk kokkupõime – protsess, mille käigus RNAst eliminiteeritakse eksonite vahele jäävad nitronite järjestused ja eksonite järjestused seotakse kovalentselt - Alternatiivne splaissing – samalt geenilt kodeeritud pre-mRNA eriviisiline splaissing mille tulemusel saadakse ühe geeni alusel valgu paljusid isovorme Antikehade geneetiline determinatsioon Antikeha geenide assambleerimine
võõrsõna parh `riidesort' Reeglina järgnevad klusiilid nasaalidele, kuid ei eelne neile, v.a nt kn: nt akna, võõrs. akne; võõrsõnas nt tm: rütm Järjend *ji ei saa olla silbi alguses: nt kuri : *kurji > kurje, vari : *varji > varje Välditakse morfoloogiliste vormide puhul ebamugavaid konsonantühendeid: leem : *leemt > leent, lumi : *lumd > lund, laps : *lapst > last, uks : *ukst > ust Konsonantide kombinatoorika seaduspärasused kehtivad hästi sõna alguses ja lõpus. Keeruline on kirjeldada ühendeid mitmesilbiliste sõnade sees silbi piiril, kuna vokaal võib kaduda muutevormis (tekib uus ühend) eelnevale konsonantainesele võivad liituda konsonandiga algavad tuletussufiksid või grammatilised muutevormid Viie konsonandi järgnevusi esineb 4 sõnas: vintsklema, gangstri, ongström `füüsikas: süsteemiväline pikkusühik', postskriptum. 27. Mis on koartikulatsioon ehk kaasahääldus?
tistilise otsustuse usaldatavuse tähendust, väidete tõestamise vajalikkust; oskab arvutada, ra- kendada loogilise arutelu meetodeid, väljendada suhet ning suurenemist ja vähenemist prot- sentides, lahendada praktilise sisuga protsentülesandeid, lugeda empiirilisi graafikuid, koguda andmeid, korrastada ja töödelda statistilisi andmestikke, arvutada statistilisi karakteristikuid ning tõlgendada neid, leida sündmuse tõenäosust, kasutada kombinatoorika mõisteid ja vale- meid sündmuse tõenäosuse arvutamiseks, lahendada tekstülesandeid võrrandite abil, koostada lihtsaimate, kergesti modelleeritavate reaalsuse nähtuste matemaatilisi mudeleid ning kasuta- da neid tegelikkuse uurimiseks, koostada ja analüüsida tabeleid ning diagramme, kasutada ar- vutusvahendeid, käsiraamatuid, teatmeteoseid, tabeleid, kaasaegseid infotehnoloogiavahen- deid, klassifitseerida esemeid ja nähtusi ühe või mitme tunnuse põhjal, liikuda mõttekäikudes
tuli. müüdi armatuur on eripärasuste kogum, mis säilinud rohkem kui kahes müüdis. Määrab ära narratiivi ja müüdi struktuurse staatuse. Eripärasused ilmnevad müüdi skeemide(koodide) kaudu. müüdi skeemid(koodid), mis eri tasanditel organiseerivad müüdi ahelaid. Skeem on müüdi formaalne struktuur ja selle moodustab piiratud hulk tähenduslikke kategooriaid. Kategooriate vaheline kombinatoorika arvestab seemide tootmisel erinevate sisude kogumit müütilise universumi valitud parameetris. Levi-Strauss toob ära mõned skeemid : a) geograafiline skeem(kood): ida-lääs-ida . On seotud müüdis toimuva horisontaalse liikumisega b) kosmogooniline kood: mägi-org ; taevas-maa. Seondub vertikaalse liikumisega müüdis. Nende kahe vahel toimub integratsioon, mis näitab ära nende erinevad
. . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused — Vastavused ja Relatsioonid MATEMAATILINE LOOGIKA — Graafid LAUSEARVUTUS — Kombinatoorika: Kombinatsioonid, Variatsioonid, Permutatsioonid Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne (ehk lingvistilises keeles väljendatud) väide, millele saame omistada tõeväärtuse — tõene või
Armatuuri moodustavad tavaliselt kindlad sotsiaal-sugulussuhted. Narratiivne mudel, teatud invariant. Eripärasused ilmnevad müüdi skeemide(koodide) kaudu. Kahe struktuuri -- armatuuri ja koodi -- kokkupõrge tekitab müüdi teate. müüdi skeemid(koodid), mis eri tasanditel organiseerivad müüdi ahelaid Skeem on müüdi formaalne struktuur ja selle moodustab piiratud hulk tähenduslikke kategooriaid. Kategooriate vaheline kombinatoorika arvestab antud müüdisiseseid universumi parameetreid. Müüdi koodid geograafiline: ida-lääs-ida. On seotud müüdis toimuva horisontaalse liikumisega kosmogooniline: mägi-org; taevas-maa. Seondub vertikaalse liikumisega müüdis. Nende kahe vahel toimub integratsioon, mis näitab ära nende erinevad amplituudid: kõrge-madal; maa-vesi; jaht mägedes-jaht merel; mäetipp-org. Vormiliselt kosmogooniline (vertikaalis), kuid sisult geograafiline (horisontaalne) liikumine.
1. Sissejuhatus Metaboolne ja geneetiline regulatsioon bakterites Bakterirakkude efektiivseks kasvuks on vaja, et kõiki raku põhilisi ehitusblokke ja nendeks vajalikke makromolekule produtseeritaks õiges vahekorras. Selleks, et sünteesi lõpp-produktide kontsentratsioon rakus liiga kõrgele ei tõuseks, on rakus välja kujunenud kaks kontrollmehhanismi: 1. Ensüümiaktiivsuse tagasisidestuslik inhibitsioon (feedback inhibition) metaboolne regulatsioon 2. Ensüümi sünteesi repressioon geneetiline regulatsioon Tagasisidestusliku inhibitsiooni tulemusena inhibeeritakse rakus juba olemasoleva ensüümi aktiivsus reaktsiooni lõpp-produkti poolt. Inhibitsiooni võib esile kutsuda ka teatav metabolismiraja vaheprodukt. Geneetilise repressiooni korral inhibeerib tavaliselt lõpp-produkt metabolismiraja esimese ensüümi sünteesi vastava geeni avaldumise pärssimise kaudu. Metaboolne regulatsioon tagasisidestusliku inhibitsiooni kaudu ja geneetilin...
Hulkraksete eukarüootide geenide kombinatoorne regulatsioon 62 Iga geeni avaldumiseks on vaja mitut hulka erinevaid transkriptsioonifaktoreid. Neil peavad ka omad geenid olema. Vajalik transkriptsioonifaktorite õige kombinatsioon. Transkriptsioonifaktoritel peab olema kooperatiivne toime – kõik peavad samal ajal õiges kohas olema. Kasutatakse aktivatsioonikompleksi. Igale aktivaatorile kindel DNA järjestus. Aktivaatori kombinatoorika kaudu on väheste aktivaatoritega võimalik reguleerida rohkem geene Eukarüootide repressorid Repressorid töötavad erinevatel viisidel ja reguleerivad geene erineval moel. Ühed konkureerivad sama seostumiskohaga. Teine võimalus on inhibitsioon – mõlemad seostuvad, kuid repressor seostub aktivaatoriga (aktivatsioonidomääniga) nii, et mediaator ei saa enam seostuda. Prokarüoodis repressor asetus enne promootorpiirkonda. Eukarüoodis repressor seondub RNA polümeraasi seondumis- või
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
