3A = - 6 0 21 . 15 -3 12 5. Maatriksite korrutamine. Olgu antud maatriksid A = ( aik )ml ja B = ( bik )ln. Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik leitakse järgmise eeskirja kohaselt: cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ailblk. Korrutise tulemusena saadakse mn tüüpi maatriks. Näide: 2 - 1 3 2 8 1 1 - 3 11 0 AB = 1 -4 0 × 3 0 1 = 7 14
- 6 0 21 15 - 3 12 3A = . 5. Maatriksite korrutamine. Olgu antud maatriksid A = ( aik )ml ja B = ( bik )ln. Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik leitakse järgmise eeskirja kohaselt: c ik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ailblk. Korrutise tulemusena saadakse mn tüüpi maatriks. Näide: 2 - 1 3 2 8 1 1 - 3 × 1 -4 0 3 0 1 11 0 3 1 7 14 AB = = .
Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m~ o~ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v~ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m~ o~ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p~ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
Need juured saadakse avaldisest z 1/n = r1/n(cos(( + 2k)/n) + isin(( + 2k)/n)) andes arvule k järjest väärtused 0, 1, ..., n-1 3. Korpuse defnitsioon. Skalaari mõiste. Korpuste näiteid. Korpuseks nimetatakse hulka K, kus on kaks tehet, + ja *, mis rahuldavad omadusi 1-9 Skalaariks nimetatakse mis tahes korpuse elemente. Korpuse näiteid: 1. Q, R, C 2. jäägiklassikorpus Zp (p - algarv); Zp {0, 1, ..., p-1} i, j Zp; ij = i+j, kui i+j <= p-1; i+j-p, kui i+j >= p 4. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega ja nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis. Kahte geomeetrilist vektorit loetakse võrdseiks, kui need vektorid on kollineaarsed ( || ), samasuunalised ( ) ja ühepikkused (|||| = ||||) Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||;
Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m˜ o˜ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m˜ o˜ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega, n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe indeksiga. Neist esimene u ¨tleb mitmendas reas ja teine mitmendas veerus see element maatriksis asub. N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1 peab rahuldama võrrandit A*A-1=A-1*A=E, kus E on vastavat järku ühikmaatriks. Lahendskeem: (A!E)- >Gaussi teisend->(E!A-1). N: 248 -2 0 2 468 2. Leontjevi staatiline mudel 1 2 lõpptoodang y kogutoodang x 1 100=x11 160=x12 240 500 2 275 40 85 400 sisemine tarbimine Leontjevi mudel aitab leida samasugust tabelit järgmise aasta jaoks, kui uus lõpptoodang y=(200, 100) Otsekulude maatriks A, aij=xij/xj (1) 100/500 160/400 A= 275/500 40/400 Ax+y=x (2) tasakaaluvõrrand sisemise tarbimise, lõpp- ja kogutoodangu vahel
Teostades ülalkirjeldatud teisendusi lvsi võrranditega, saame ka uuele süsteemile välaj kirjutada laiendatud maatriksi. Seejuures on ilmsed vastavused: kui korrutame süsteemi mingit võrrandit arvuga, siis tuleb korrutada selle arvuga maatriksi vastavat rida. Vahetades kaks võrrandit, tuleb maatriksis sama teha. Liites ühele võrrandile mingi arv kordse teise võrrandi, tuleb maatriksi sama teha. Gaussi meetod. 1) kirjutada välja lvsi laiendatud maatriks 2)teisendada see ridade elementaarteisendusi kasutades kujule, kus on võimalikult palju nulle 3)kirjutada välja saadud maatriksile vastav lvs 4)kirjutada välja lvsi lahend kasutades vajadusel tagasiasendust. Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
Lineaarvõrrandisüsteem maatriks-kujul Ax = d : 6 x1 + 3 x2 + x3 = 22 , 6 3 1 x1 22 x1 + 4 x2 - 2 x3 = 12 , A = 1 4 - 2 , x = x 2 , d = 12 . 4 x1 - x2 + 5 x3 = 10 . 4 - 1 5 x 3 10 Vektorid: Erilist tüüpi maatriksid (m*n maatriks e. ristkülik m-ks.; m=n ruutm-ks). Veerg veerumaatriks e. veeruvektor. xj reana kirjutades 1*n maatriks e. reamaatriks e. reavektor, mille tähis X'=[x1x2...xn]. Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Tehted vektoritega: Vektorite u'=(u1u2....un), v'=(v1v2...vn) sisekorrutiseks on avaldis: u*v=u1v1+u2v2+...+unvn. Veeruvektori ja reavektori korrutiseks tuleb ristkülikmaatriks:
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks.
Maatriksit A nimetatakse s¨ummeetriliseks, kui AT = A, ning an- ummeetriliseks, kui AT = -A. tis¨ T¨ ahelepanek Nii s¨ ummeetrilised kui ka antis¨ ummeetrilised maatriksid on ruut- maatriksid. Antis¨ ummeetrilise maatriksi peadiagonaalil asetsevad nullid. N¨ aide Selles n¨aites on A s¨ ummeetriline ja B antis¨ ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0 Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Võrdeline ja lineaarne seos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Lineaarse mudeli parameetrite leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Sirge võrrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Eelarvejooned Sirge üldvõrrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7. ELEMENTAARFUNKTSIOONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Pöördvõrdeline sõltuvus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
. . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.7 Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.8 Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 14 Sirge ja tasand ruumis 127 14.1 Tasandi vektorvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 14.2 Tasandi üldvõrrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 14.3 Sirge vektorvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 14.4 Sirge võrrandid ruumis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 14.5 Punkti kaugus sirgeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14.6 Punkti kaugus tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste
püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -4 2 Näide 1: Antud maatriks A = . Siin A2x3 , a12 = - 4, a23 = -6,5 . 0 1 - 6,5 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m . Definitsioon 2
a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 - 4 2 A = Näide 1: Antud maatriks 0 1 - 6,5 . Siin A , a = - 4, a = -6,5 . 2x3 12 23 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m
Hooajalisuse indeks; Püsikulude muutumise indeks; Kasumi kasvu indeks; Võlakordaja indeks; Intressikulude indeks; ,,Ämbrite" indeks Hinnangud viimase 3a jooksul koostatud skaalaga; indekseid võib teha loominguliselt; vajalik on hindamisskaala 2.4. Maatriksanalüüs ja modelleerimine Võib kasutada eri tasanditel (ettevõte, regionaalne, riikide vahel). Efektiivsusmaatriksi iga element on intensiivsustegur. Terve maatriks aga kirjeldab tootmise majanduslikku efektiivsust, hõlmates efektiivsust kujundavaid komponente. Kirjeldamise adekvaatsust tagab lähteparameetrite piisavalt suur arv. Mida rohkem on näitajaid, seda suurem on tõenäosus, et tekivad sidususnäitajad (näitajad, millel otsene nimetus puudub). Tulpadesse ja ridadesse pannakse erinevad tegurid. Tekivad sisuga majandusnäitajad. Toodang Kasum Tööjõud Põhivara
turgu, kuhu realiseerida ülejäägid (eriti tähtis on see kiiresti riknevate taimekasvatussaaduste korral). Varakult sõlmitud lepingud võivad osutuda soodsamateks. Bioloogiline kogusaak ja saagikus määratakse kindlaks valikvaatluste teel vahetult enne koristamise algust. Nimetatud näitaja iseloomustab seda potentsiaalset kogusaagi ja saagikuse taset mida on võimalik saavutada kasutatud (olemasoleva seemnematerjali) seemnete ja tootmistehnoloogia ning ilmastiku korral. Bioloogiline kogusaak ja saagikus on kogusaagi ja saagikuse potentsiaalne maksimum. Kogusaak ja saagikus esialgses kaalus (punkrikaalus) määratakse kindlaks koristuse käigus. Neid näitajaid mujal maailmas ei tunta. See on nõukogude perioodi rudiment. Kuid neid näitajaid statistikaamet registreerib ning neid on kuni viimase ajani avaldatud statistika aastaraamatutes ja kogumikes. Põhjuseks on nimetatud
Teema 1 Hindelised testid 1. Deflatsioon ilmneb kui: üldine hinnatase alaneb 2. Kui firma müüb oma kaubavarusid (ladustatud tooteid), siis SKP: ei muutu 3. Vältimaks korduvat arvestust võetakse SKP arvutamisel arvesse ainult: lõpptoodang 4. Kui nominaalne SKP kasvab 5 protsenti ja SKP deflaator kasvab 3 protsenti, siis reaalene SKP deflaator suureneb liigikaudu 2 protsenti. 5. Sisemajanduse puhasprodukt SPP võrdub SKP: miinus amortisatsioon 6. Vastavalt ILO määratlusele ei kuulu tööjõu hulka: õppimas või täiendõppel olevad isikud, heitunud, koduperenaised 7. RKP arvestamise aluseks on tootmistegurite omanduse põhimõte,lähtutakse
Millised tingimused on liigsed täieliku konkurentsi turu olemasoluks (s.t ülejäänud on vajalikud)? Alati peab leiduma vähemalt üks loll, kes sellisele turule tule! Normaalkasum: Kindlustab firma kaudsete kulude katmise Oletame, et harus on 1000 firmat. Kõigis neis on piirkulu 2 krooni, kui igaüks neist toodab 5 ühikut; piirkulu on 3 krooni, kui iga firma toodang on 6 ühikut ja piirkulu on 5 krooni, kui iga firma toodab 7 ühikut. Kui tooteühiku hind on 3 krooni, siis on haru kogutoodang? 6000 ühikut(Õige, kuna just selle koguse korral MR = MC) Pika perioodi tasakaal TKT-l on saavutatud, kui Ei toimu enam uute firmade juurdetulekut harusse või olema olevate firmade harust lahkumist Pika perioodi tasakaal TKT-l on saavutatud, kui Ei toimu enam uute firmade juurdetulekut harusse või olema olevate firmade harust lahkumist Täieliku konkurentsi turul (TKT): On firmad hinnavõtjad ja maksimeerivad oma kasumi toodang mahu muutmise teel
12. Sisemajanduse koguprodukti SKP saab väljendada voomuutujana, hinnates valmistatud hiiviste hulka kindlal aiamomend. VALE, voomuutuja hindab hüviste hulka kindlal ajaperioodil, nn varumuutuja aga kindlal ajamomendil 13. Lõpptoodanguks võime lugeda mingi perioodi tooteid ja teenuseid, mida kasutatakse kas lõpptarbimiseks, akumulatsiooniks või ekspordiks, mitte aga edasiseks töötlemiseks või edasimüügiks. Õige 14. Potentsiaalne koguprodukt on selline arvestuslik kogutoodang, mida oleks võimalik toota, kui ühiskond suudaks täielikult ja efektiivselt ära kasutada kõiki olemasolevaid ning kättesaadavaid tootmistegureid. Õige 15. Netoinvesteeringud väljendavad kapitalikaupade lisandumist, olles uued investeeringud, mis jäävad üle asendusinvesteeringu. 16. Rahvamajanduse arvepidamises peame selgelt eristama nominaalset ehk jooksevhindades ja reaalset ehk püsivhindades arvutatud sisemajanduse koguprodukt. Õige 17
o Kalapüügi piirkond Läänemeres maa o Müüja tegevus toidupoes töö · Kapitali kui tootmisteguri alla kuulub: Telekomi aktsia (investeering), T-särk, veoauto, hoiuarve · Normatiivne on järgmine seisukoht: o Kui rahapakkumine väheneb, siis intressimäärad tõusevad o Kui kauba hind langeb, ostavad tarbijad seda kaupa rohkem o Riigieelarve peaks alati tasakaalus olema o Hüviste kogutoodang on piiratud, kuna inim-ja kapitaliressurside hulk on piiratud. · Mikroökonoomika uurimisobjektiks on: Eesti majanduse kogutoodang, piima hind Eestis, Eesti töötajate koguarv, hindade üldine tase Eestis. II loeng Majandussüsteemid · Kuna ressursid on piiratud, igas ühiskonnas tuleb valida mida toota, kuidas toota, mis tootmistegureid kasutada, kellele toota ja kuidas toodetud hüviseid jaotada. See, kuidas
Seminar 2 Tarbijate käitumine 1. Kas väide on õige: a) kui piirkasulikkus väheneb (MU>0) , väheneb ka kogukasulikkus; - vale b) ratsionaalselt käituv tarbija lõpetab kauba ostmise, kui kauba piirkasulikkus hakkab vähenema; - vale c) kui tarbija maksimeerib oma kogukasulikkuse, siis on kõigi ostetud kaupade viimaste ühikute piirkasulikkused võrdsed. - vale 2. Üldise e. kogukasulikkuse all mõistetakse: a) viimase tarbitud ühiku piirkasulikkuse ja tarbitud ühiku arvu korrutist; b) kõigi tarbitud ühikute piirkasulikkuse summat; c) viimase tarbitud ühiku piirkasulikkuse ja kauba hinna korrutist; d) esimesena tarbitud ühiku piirkasulikkuse ja tarbitud ühikute arvu korrutist. 3. Piirkasulikkuse all mõistetakse: a) tarbija reageerimistundlikkust kaupade ostmisel, kui kauba hind muutub; b) muutust kogukasulikkuses, kui tarbija tarbib täiendava kaubaühiku; c) muutust kogukasulikkuses, mis on jagatud kauba hinna muutustega, kui tarbija tarbib täiendava kaubaühiku; d) kaub
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
EESTI MEREAKADEEMIA RAKENDUSMEHAANIKA ÕPPETOOL MTA 5298 RAKENDUSMEHAANIKA LOENGUMATERJAL Koostanud: dotsent I. Penkov TALLINN 2010 EESSÕNA Selleks, et aru saada kuidas see või teine masin töötab, peab teadma millistest osadest see koosneb ning kuidas need osad mõjutavad teineteist. Selleks aga, et taolist masinat konstrueerida tuleb arvutada ka iga seesolevat detaili. Masinaelementide arvutusmeetodid põhinevad tugevusõpetuse printsiipides, kus vaadeldakse konstruktsioonide jäikust, tugevust ja stabiilsust. Tuuakse esile arvutamise põhihüpoteesid ning detailide deformatsioonide sõltuvuse väliskoormustest ja elastsusparameetritest. Detailide pinguse analüüs lubab optimeerida konstruktsiooni massi, mõõdu ja ökonoomsuse parameetrite kaudu. Masinate projekteerimisel omab suurt tähtsust detailide materjali õige valik. Masinaehitusel kasutatavate materjalide nomenklatuur täieneb pidevalt, rakendatakse efekti
Küsimuse tekst Mis alljärgnevast põhjustab nahktagide pakkumise vähenemist: Vali üks: nahktagide hinna tõus tarbijate sissetuleku vähenemine tõmblukkude hinna langus naha hinna tõus mootorrataste arvu kasv Küsimus 19 Valmis Hinne -0,3 / 1,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Mis alljärgnevast ei pea samaks jääma, kui liikuda piki antud kauba pakkumiskõverat? Vali üks: Hinnaootused Kaupa tootvate firmade arv Antud kauba hind Kauba tootmistehnoloogia Alternatiivkauba hind Küsimus 20 Valmis Hinne 1,0 / 1,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Mis alljärgnevast on vale? Vali üks: Kui kauba pakkumine väheneb ja nõudlus jääb samaks, siis kauba tasakaaluhind tõuseb Kui kauba pakkumine suureneb ja nõudlus väheneb, siis kauba tasakaaluhind langeb Kui kauba nõudlus suureneb ja pakkumine väheneb, siis kauba tasakaaluhind tõuseb
Geomeetriline hälve. Pinnakaredus. Vahetatavus. Mõõteahel. Lähted, baaspinnad. Seosed teiste aladega - metroloogia; - standardimine; - kvaliteedi juhtimine; - tootmistehnoloogiad; - tehniline joonestamine; - tõenäosusteooria. 2 2. GPS STANDARDITE MAATRIKS MUDEL GPS standardid on jagatud 4 gruppi: - alus (põhi) GPS standardid; - globaalsed GPS standardid; - üld GPS standardid; - täiendavad GPS standardid. Alus GPS standardid käsitlevad põhimõtteid ja üldreegleid ja praegu on ainult 2 standardit - ISO 8015 ja ISO/TR 14638. Globaalsed GPS standardid annavad nõudeid, mis on olulised paljudes muudes GPS standardites. Näiteks ISO 1 esitab referentstemperatuuri, ISO 14660/1 esitab geomeetriliste omaduste määratlused. VIM ja GUM annavad
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL ELEKTRIAJAMITE JA JÕUELEKTROONIKA INSTITUUT ROBOTITEHNIKA ÕPPETOOL MIKROPROTSESSORTEHNIKA TÕNU LEHTLA LEMBIT KULMAR Tallinn 1995 2 T Lehtla, L Kulmar. Mikroprotsessortehnika TTÜ Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut. Tallinn, 1995. 141 lk Toimetanud Juhan Nurme Kujundanud Ann Gornischeff Autorid tänavad TTÜ arvutitehnika instituudi lektorit Toomas Konti ja sama instituudi dotsenti Vladimir Viiest raamatu käsikirjas tehtud paranduste ja täienduste eest. T Lehtla, L Kulmar, 1995 TTÜ elektriajamite ja jõuelektroonika instituut, 1995 Kopli 82, 10412 Tallinn Tel 620 3704, 620 3700. Faks 620 3701 ISBN 9985-69-006-0 TTÜ trükikoda. Koskla 2/9, Tallinn EE0109 Tel 552 106 3 Sisukord Saateks
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatika-loodusteaduskond Analüütilise keemia õppetool RASKEMETALLIDE MÄÄRAMINE AHVENAS Magistritöö Kristiina Fuchs Juhendaja: teadur Ph.D Anu Viitak Konsultandid: MSc Leili Järv Bioloogiakandidaat Mart Simm Tartu Ülikool Eesti Mereinstituut Tallinn 2009 Sisukord Sisukord..........................................................................................................................2 1. SISSEJUHATUS........................................................................................................3 2. Kirjanduse ülevaade...................................................................................................4 2.1 Raskemetallid..............................................................................................
erinevaid kombinatsioone, eeldusel, et rakendatakse kõiki olemasolevaid (kättesaadavaid) tootlikke ressursse ja kasutatakse parimat võimalikku tehnoloogiat. Graafiliselt näitab tootmisvõimaluste kõver ühiskonna majandusliku valiku võimalusi e ühe toote maksimaalkogust, mida konkreetne majandus on võimeline tootma teiste toodete teatud kindlate koguste valmistamisel, kui kasutatakse täielikult ära kõik olemasolevad tootmistegurid ja parim olemasolev tootmistehnoloogia. Tootmisvõimaluste raja kuju ja asendi muutumise põhjuseks võib olla majanduse ressursivaru või tehnoloogia taseme muutumine. Liikudes kõverat mööda vasakult paremale saame me rida erinevaid hüviste tootmisvõimaluste kombinatsioone olemasolevate ressursside ja antud tehnoloogia korral. Nagu jooniselt näha saab tootmissisendeid suunata ümber ühelt tootmisalalt teisele, kuid seda teatud piirini, sest edasine ümbersuunamine muutub üha ebaotstarbekamaks
koolkonnale: a) arenenud kapitalistliku majanduse tüüpiliseks seisundiks on alakoormatus ja tööpuuduse esinemine; b) täishõive saavutatakse tänu konkurentsile turumajanduses, mille käigus g hinnad,, palgad p g jja intressid kohanevad,, tasakaalustades sellega majanduse; c) majanduse kriisist väljatoomiseks tuleb stimuleerida kogunõudlust; d) täishõive tasemel on garanteeritud potentsiaalne kogutoodang kogutoodang, seega kogupakkumiskõver on peaaegu vertikaalne; e) majanduse makrotasakaal võib saabuda situatsioonis situatsioonis, kus on tegemist kõrge töötusega ja SKP on allpool potentsiaalset väärtust. Lembit Viilup PhD IT Kolledz 15. Makroökonoomika eesmärk on: Vastused:
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
