Eksponentvõrratused (0)

Eksponentvõrratused
© T. Lepikult, 2003
Eksponentvõrratuste lahendamine
Eksponentvõrratuses esineb otsitav muutuja üksenes
eksponentfunktsiooni astendajas.
Lahendamisel y
y = (1/2) x 8 y = 2x
kasutatakse
eksponentfunktsiooni
monotonsuse omadust:
ühest suurema aluse 5
korral on
eksponentfunktsioon
kasvav ja ühest 2
väiksema aluse korral 1
kahanev.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
Lihtsaimad eksponentvõrratused
Lihtsaimad eksponentvõrratused on
ax > b (1)
ja
ax
Juhul kui
b 0,
siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral,
võrratusel (2) aga lahendid puuduvad.
Lihtsaimate eksponentvõrratuste
lahendamine
Kui b > 0, siis sõltub lahendihulk sellest, kas alus a on ühest
suurem või väiksem: y = ax ,
y
a) juhul kui b a>
a > 1, 1
siis on võrratus ax > b täidetud kui
x > logab, 1
võrratus ax x b) juhul kui y
b
0 siis on võrratus ax > b täidetud kui
x võrratus ax logab 0
x > logab.
Järeldus eksponentfunktsiooni
monotoonsusest
Eksponentvõrratus
a f ( x) > a g ( x)
on a > 1 korral samaväärne võrratusega
f ( x) > g ( x),
0 f ( x) Ülesanne 1 (I)
6 x2
Lahendada võrratus 3 729.
Lahendus
Kirjutame paremal pool võrratusmärki oleva arvu 729 arvu 3
astmena:
729 = 3 3 3 3 3 3 = 36.
Lahendatava võrratuse saame nüüd ümber kirjutada nii:
6 x2
3 36.
Kuna 3 > 1, siis eelmisel slaidil oleva järelduse tõttu saame
lahendatava eksponentvõrratusega samaväärse ruutvõrratuse:
6x2 6 x 2 1.
Ülesanne 1 (II)
Ruutvõrratuse x 2 1 lahendihulgaks on lõik - 1 x 1.
See on ka ülesandeks oleva eksponentvõrratuse
lahendihulgaks.
VASTUS Võ.
Ülesanne 2 (I)
Lahendada eksponentvõrratus 0,252 x > 4 0,5 x ( x +3).
Lahendus
Kirjutame kummalgi pool võrratusmärki olevad
eksponentavaldised arvu 2 astmena:
2 2x
2x 1
2x
1
vasak pool: 0,25 = = = [ 2 ] = 2 - 4 x
-2 2x
4 2
x ( x + 3)
= 2 2
x ( x + 3) 1 = 2 2 ( 2 -1 ) x ( x + 3 ) = 2 2 - x ( x + 3 )
parem pool: 4 0,5
2
Esialgne võrratus on seega samaväärne järgnevaga:
2 - 4 x > 2 2- x ( x + 3).
Ülesanne 2 (II)
Astme alus (2) on ühest suurem, ja
eksponentfunktsiooni omaduse tõttu on see võrratus
samaväärne võrratusega
- 4 x > 2 - x( x + 3) x 2 - x - 2 > 0
Viimase ruutvõrratuse lahendamiseks leiame esmalt
ruutvõrrandi x - x - 2 = 0 lahendid:
2
1 1 1 3
x= ± +2= ± x1 = - 1, x2 = 2.
2 4 2 2
Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb vastav
ruutparabool üles.
Võrratuse x - x - 2 > 0
2
y
y = x2 - x - 2 lahendihulgaks on funktsiooni
y = x2 - x - 2 positiivsuspiirkond:
X = (- ; - 1) (2; ).
2 x
-1
Ülesanne 2 (III)
Sama arvuhulk on ka esialgse eksponentvõrratuse lahendiks.
VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = (- ; - 1) (2; ).
Ülesanne 3 (I)
Lahendada eksponentvõrratus 2 16 x + 5 2 2 x - 3 > 0.
Lahendus
Läheme eksponentliikmetes üle alusele 4:
16 x = ( 4 ) = ( 4 ) ,
2 x x 2
2 2x
= ( 2 2 ) x = 4 x.
Esialgne võrratus osutub samaväärseks järgnevaga:
2 ( 4 x ) 2 + 5 4 x - 3 > 0.
Kui teha asendus t = 4 ( t > 0), saame viimasest
x
eksponentvõrratusest ruutvõrratuse:
2 t 2 + 5t - 3 > 0.
Ülesanne 3 (II)
2 t 2 + 5t - 3 > 0 (1)
Vastava ruutvõrrandi
2 t 2 + 5t - 3 = 0
lahendid on
1
t1 = -3, t2 = .
2
Võrratus (1) on teisiti esitatav kujul
2(t - 1 / 2)(t + 3) > 0. (2)
Kuna t = 4x > 0, siis ka t + 3 > 0 ja võrratus (2) on täidetud kui
ka tegur t ­ ½ on positiivne:
t -1 / 2 > 0 t > 1/ 2
Ülesanne 3 (III)
t > 1/ 2
Asendades tagasi t = 4x , saame lihtsaima eksponentvõrratuse
4 x > 1 / 2,
mille lahendiks saame vastava valemi abil
x > log 4 (1 / 2) = -1 / 2.
VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = (- 1 / 2; ).