ARVUTAMINE JA ALGEBRALINE TEISENDAMINE (0)

ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE  TEISENDAMINE  
 
Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: 
Tähega  N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame  loendamise  teel 
(1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. 
Tähega  Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) 
Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. 
Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised 
lõpmatud kümnendmurrud). 
Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka.  R  Q  I  
 
1)  Arvu aste. 
a)  a n  a  a  a 

......... a, kui n  N
 
  
 
   
n
tegurit
b) 
m
n
mn
a  a  a
      
Näide:  8
5
13
x  x  x  
c) 
m
n
mn
a : a  a
     
Näide:  9
3
6
y : y  y  
d) 
n
n
a  b  a  bn    
Näide:  5
5
x  y  xy5  
e) 
n
n
a : b  a : bn    
Näide:  3
3
x : y  x : y3  
f) 
m
n
mn
(a )  a
   
Näide:
7
   3
x 
21
 x  
g)   a2n  a2n , kui a  ,
0 n  Z , st. paarisarvulise astendaja korral saame 
positiivse tulemuse.  
2 
h)   a n 1  a2n1, kui a  ,
0 n  Z , st. paaritu arvulise astendaja korral saame 
negatiivse tulemuse. 
i)  a0 =1, kui a  0. NB! 0n = 0, kui n  0 
j) 
0
0  sellel avaldisel väärtus puudub! 

1
k) 
n
a

, kui  a  0 ja n  Z   
n
a
Näide: 
1
 
5
x

 
5
x
1
l) 
n
 a      
n
a
Näide: 1
 
3
 x  
3
x
2n
m)  2n
1
1 a 
 a  

a, kui a 
2n

0
2n a 
n) 
 a , st.  
 
 a, kui a  0
 
1 
o)  n
n
n
a  b 
a  b      
Näide: 
3
3
3
x  y 
x 
y  
n
a
a
p)  n

     
n
b
b
5
Näide:
x
x
  5

 
5
y
y
q)  mn
pn
m
p
a
 a    
Näide: 12 9
4
3
x 
x  
r)  m n
mn
a 
a      
Näide:  3 4
12
x 
x  
n am
s) 
n
m
 a       
Näide: 3 x 2
 
3
2
 x  
m
t)  a
n
 am
n
, kui a  ,
0 m  Z , n  N     
3
Näide: 
4
3
4
x 
x  
 
2)  Korrutamise abivalemid  
a)  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
b)  (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 
c)  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
d)  (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
3)  Hulkliikme lahutamine  teguriteks  
a)  Ühise teguri sulgude ette toomine 
Näide: 
2
3
4
4
3
2
a b 
a b 
a b  a b 
3
2
2
6
12
18
6
1 2ab  3a b   
b)  Valemite kasutamine 
(1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) 
Näide: 
2
4x  9  2x  32x  3  
(2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) 
(3) a3 –  b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) 
Näide: 
3
3
a  b   a  b 
2
2
125
8
5
2
25a 10ab  4b    

 a  b a  b
a 2   b 2
(4) a – b = 
= 
 
 
c)  Ruutkolmliikme  lahutamine teguriteks 
ax2 + bx + c = a(x - x
on ruutvõrrandi ax2
1) (x - x2), milles x1 ja x2 
 + bx + c = 0 
lahendid . 
 
2 
 
Näide:  Tegurdame ruutkolmliikme 4x² - 17x + 4. 
Lahendame   ruutvõrrandi  4x²  -  17x  +  4  =  0,  milleks  kasutame  ruutvõrrandi 
lahendivalemit  
 b  b2  4ac
x1,2 =
. 
2a
17  172  4  4  4
17  225
17  15
x



1 2
2  4
8
8
x  4
 
1
x  ,
0 25
2
Võime  leida  lahendid  ka  nii,  et  esmalt  kontrollime  kas  võrrandil  on  üldse 
lahendeid ,  st.  leiame  ruutvõrrandi  diskriminandi  D.   Avaldist   b2-4ac  nimetatakse 
ruutvõrrandi diskriminandiks ning ruutvõrrandil  
(1) on kaks erinevat lahendit, kui D > 0 
(2) on kaks võrdset lahendit, kui D = 0 
(3) lahendid puuduvad, kui D  0, st. on 2 erinevat lahendit ja nüüd leiame 
17  225
17  15
need  x


 ning  x  4 ja x  ,
0 25 . 
1 2
1
2
8
8
 
Saame  
4x² - 17x + 4 = 4(x – 4) (x-0,25)=(x–4)(4x-1). 
 
 
KASULIKUD LINGID 
 
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=2QCJUT1SVKQ 
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=-SHBRNLQIWQ 
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=LQSRWZZTNH4 
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=CNTKKPR23C0 
 
 
 
3