1. Mehhaaniline töö näitab mõjuva jõu tulemuslikkust. Ta näitab kui palju liigub kehab mõjuva jõu toimel. Tööks nimetatakse mõjuva jõu ja tema mõjul läbitud teepikkuse korrutist. 2. Töö ühikuks on dzaul (J). Üks dzaul on töö, mida teeb ühe Njuutoni suurune jõud ühe meetri pikkusel teel. Kasutusel on ka KJ, MJ jne. 3. Töö tegemise kiirust iseloomustab võimsus. Võimsus näitab kui palju tööd tehakse ühes ajaühikus. Võimsuse saamiseks tuleb tehtud töö jagada töö tegemiseks kulunud ajaga. 4. Võimsuse ühikuks on vatt (W). Üks vatt on selline võimsus, kui keha teeb ühes sekundis ühe dzauli tööd. 5. Keha mehhaaniliseks energiaks nimetatakse keha võimet teha mehhaanilist tööd. Energia jaguneb kineetiliseks ja potensiaalseks energiaks. Energiat mõõdetakse samades ühikutes, kui tööd, dzaulides (J) 6. Keha kineetiliseks energiaks nimetetkse energiat, mida keha omab tema liikumise tõttu. Keha potensiaalseks energiaks nimet...
4)kirjutada teise sulgu varem ette toodud ühistegurid oma märgiga am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)= =a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) NB kontrollida, kas saadud kaksliikmete läbi korrutamisel saab esialgse avaldise 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis - võrdub nende üksliikmete ruutude vahega selgitus: ainult ruudud tulevad sellepärast, et neljast korrutisest teine ja kolmas koonduvad NB see on ka nn. ruutude vahe valem NB kasutada saab siis, kui sulud erinevad ainult märgi poolest 14.Kaksliikme ruut (summa) - esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teisi liikme ruut kui valemi kasutamine on raske, siis kasuta ruudu tähendust ja korruta kui kaksliikmeid 15.Kaksliikme ruut (vahe) - esimese liikme
ümbermõõdu ja püramiidi S k = Pm apoteemi poole korrutisega. 2 Põhja pindala Korrapärase püramiidi põhjaks on korrapärane hulknurk. Korrapärase 1 hulknurga pindala võrdub hulknurga S p = Pr ümbermõõdu (P) ja hulknurga apoteemi (r) poole 2 korrutisega. Püramiidi ruumala Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga põhja pindala ja kõrguse korrutisest. 1 V = SpH 3 Täispindala Korrapärase püramiidi täispindala võrdub põhja apoteemi ja 1 püramiidi apoteemi summa ning põhja S t = P ( r + m) ümbermõõdu poole 2 korrutisega.
Valemid Tehted harilike murdudega Võrde põhiomadus Täisarvulise astendajaga aste an = a · a · ... · a a1 = a a0 = 1 n tegurit Aritmeetiline ruutjuur Ruutjuur korrutisest: Ruutjuur jagatisest: Tehted astmetega Võrdsete alustega astmete Võrdsete alustega astmete Korrutise Jagatise Astme korrutis jagatis aste aste aste Korrutamise ja tegurdamise valemid (a + b)·(a - b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
RAUDVARA 3. peatükk Kujundite sarnasus 1. Võrdelised lõigud: Kui kahe lõikude hulga vahel saab korraldada sellise vastavuse, et kõik vastavate lõikude jagatised on võrdsed, siis nimetatakse ühe hulga lõike võrdelisteks teise hulga lõikudega. Geomeetriline keskmine on võrdne ruutjuurega nende arvude korrutisest( tähistame:k ) Näide: Kolmnurgad on võrdelised. Leia x. 2. Kiirteteoreem: Teoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis on nurga ühel haaral tekkinud lõigud võrdelised teisel haaral tekkinud lõikudega. Eeldus: Nurga O haarasid u ja v on lõigatud kahe paralleelse sirgega s ja t. s || t Väide: Kiirteteoreemi järeldus: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad.
Kui suur on silindri kiirus kaldpinna lõpus? Hõõrdumist ja arvestata. a. 2,8 m/s b. 3,92 m/s c. 24,5 m/s d. Ei saa leida, on vaja teada silindri m e. Ei saa leida, on vaja teada kaldpinna pikkust (Energia jäävuse seadust arvestades on silindri kineetiline energia kaldpinna lõpus võrdne selle potentsiaalse energiaga kaldpinna alguses, so kõrgusel 0,3m. Järelikult mgh= (m v2)/2 Siit saab avaldada kiiruse, mis on ruutjuur korrutisest 2gh, kus g on raskuskiirendus.) 5. Ema mass on lapse massist 4x suurem. Et nad saaksid kiikuda, peab ema istuma kiige toetuspunktist 16/ 4/ 2x lähemale kui laps; 2/ 4/ 16x kaugemale kui laps 6. Kui keha kiirus väheneb 2x, siis kena kineetiline energia (kineetiline energia on võrdeline kiiruse ruuduga) a. väheneb 4x b. Väheneb 2x c. Jääb samaks d. Suureneb 2x e. Suureneb 4x 7. Kui keha mass on m ja kiirus v, siis keha kineetiline energia on a
mähise keerdude ühist telge. Sellest magnetväljas magneetub ka rauasüdamik, kusjuures mähise ning südamiku magnetväljad tugevdavad teinteist. Mõistagi määrab tekkiva magnetvälja suuna voolu suund mähises. ----KASUTAMINE: elektromootor, magnetkraana JÕUD VOOLUGA JUHTMETE VAHEL, ISELOOMUSTA -F= K*(I1I2l / d) ning õpik lk 120 joonis 4.13 -Sõltub kahe juhtme voolutugevuse ja pikkuse ( valdav osa, pikkust, mille vältel nad kokku puutuvad) korrutisest, mis on jagatud juhtmete vahelise kaugusega ja vastus korrutatud elektrijõud kirjeldava suurusega(K=2*10-7 N/A2 ) -kui vool läbib mõlemaid juhtmeid ühes suunas, siis juhtmed tõmbuvad, aga kui vool läbib juhtmeid erinevas suunas, siis nad tõukuvad. (ntx vedru voolu all tõmbab kokku) MIS ON MAGNETINDUKTSIOON? Magnetinduktsioon iesloomustab magnetvälja tugevust. Tähiseks on B ja ühikuks 1T (väga suur ühik, keskmised magnetid mõõdetakse millitselades). Vektoriaalne suurus e
Jõuimpulss on Vali üks: a. jõu ja impulsi korrutis b. jõu ja kiiruse korrutis c. jõu ja selle mõjumise aja korrutis Küsimus 4 Kaldpinnalt, mille kõrgus on 40cm, veereb alla silinder. Kui suur on silindri kiirus kaldpinna lõpus? Hõõrdumist ei arvestata. Energia jäävuse seadust arvestades on silindri kineetiline energia kaldpinna lõpus võrdne selle potentsiaalse energiaga kaldpinna alguses, so kõrgusel 0,3m. Järelikult mgh= (m v2)/2 Siit saab avaldada kiiruse, mis on ruutjuur korrutisest 2gh, kus g on raskuskiirendus. Küsimus 5 Ema mass on lapse massist 4 korda suurem. Et nad saaksid kiikuda, peab ema istuma kiige toetuspunktist Vali üks: 16 korda lähemale kui laps 4 korda lähemale kui laps 2 korda lähemale kui laps 2 korda kaugemale kui laps 4 korda kaugemale kui laps 16 korda kugemale kui laps Kang on taskaalus, kui F1 l1 = F2 l2. Kui F1 on 4 korda suurem kui F2, siis tasakaalu jaoks peab l1 olema 4 korda väiksem kui l2. Küsimus 6
..................................................................................................................................... ..................... KOLMNURGA PINDALA PRAKTILINE LEIDMINE Kolmnurga pindala saab alati, olenemata kolmnurga liigist, arvutada järgmise valemi järgi. Selles valemis tähistab a kolmnurga alust ja h kõrgust. Teisisõnu: Kolmnurga pindala võrdub poolega aluse ja kõrguse korrutisest. Joonisel on ristküliku üks külg võrdne kolmnurga ABC alusega a, teine külg aga võrdne kolmnurga kõrgusega h. Ristküliku pindala on teatavasti võrdne külgede korrutisega. Joonisel on näha, et kolmnurga pindala moodustab ristküliku pindalast poole. Täisnurkse kolmnurga puhul võib võtta ühe kaateti aluseks ja teise kõrguseks. Nõnda saame, et täisnurkse kolmnurga pindala võrdub poolega kaatetite korrutisest.
......a < 0 Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 1 a =a -n 1 a = n a m+ n a a = a m n m a a m : a n = n = a m-n a Astme mõiste ja omadused ( a b) n = a n bn n a an = n b b (a ) m n =a mn -n n a b bn = = n b a a m a = a n n m Juurte omadused. Tehted juurtega Juur korrutisest võrdub tegurite juurte korrutisega. n a1 a2 ... ak = n a1 n a2 ...n ak Juur murrust võrdub murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. a na n =n b b , kui b0 Juurte omadused. Tehted juurtega Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. np a mp = a n m Võrdus kehtib tingimusel, kui a>0
C D B D C D C B BDC BCA (NN tunnus) CDA BCA (NN tunnus) BDC CDA (NN tunnus) m.o.t.t. Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b geomeetriliseks keskmiseks, kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest x a b Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil C f kaateti a projektsioon g kaateti b projektsioon a h b f g B A
Tõkestatud funktsiooni definitsioon. Sõnastada y ühe kindla väärtuse. Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja Pöördfunktsioon x=arctany mistahes väikese positiivse arvu korral saab näidata Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid
13.5. Mis võib põhjustada stabiilse seisundi ülemineku indiferentseks või labiilseks? Koormuse kasv 13.6. Mis on nõtke? varda (lubamatult) suur läbipaine kriitilisest suurema telgkoormuse F3 > FCR toimel 13.7. Millises tasandis toimub nõtke? peatasandis 13.8. Defineerige surutud varda kriitiline koormus! Vardale mõjuv jõud, mille korral tekib nõtke 13.9. Millest sõltub surutud varda kriitiline koormus? Nõtkepikkusest, EI korrutisest. 13.10. Millise kujuga on surutud ühtlase sirge varda elastne joon? koosinusoidi osa (mille kuju määrab n väärtus) 13.11. Mis on varda nõtkepikkus (efektiivne pikkus)? nõtkunud varda elastse joone (sinusoidi) ühe poolperioodi pikkus 13.12. Kuidas sõltub nõtkepikkus varda kinnitamise viisist? Le=l korda müü, erinev kinntamis viis annab erineva müü teguri. 13.13. Milline on Euler'i lahendi kehtivustingimus stabiilsusanalüüsis? Euler'i lahendid kehtivad vaid selliste elastsete
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiiv...
,a+). a, lim=a. f. Koonduvad ja hajuvad jadad f.i. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvateks. f.ii. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem).Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva jada tõkestatud suuruse korrutisest. a. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid a.i. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim=0 a.ii. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. b. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos Suurus on lõpmatult kahanev ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. c. Tõkestatud suuruse definitsioon
S p arvutame selle valemiga, milline kujund on põhjaks. P*h S k on võrdne põhja ümbermõõdu P ja kolmnurga kõrguse h poolekorrutisega : S k = . 2 51.Püramiidi ruumala 1 Püramiidi ruumala võrdub põhja pindala ja püramiidi kõrguse korrutisest -ga :V 3 1 = Sp *h. 3
19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27. Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga kõige pikem külg, mis paikneb täisnurga vastas. 28. Irratsionaalarv reaalarv, mis pole ratsioonaalarv. 29. Jalg vana pikkuseühik, mis võrdub 12 tolliga. 1 jalg = 30,48cm. 30
4. Iga n N korral, kui n2 n 0 0 ja n 1 1. 5. Iga n N korral 2n a 2n a Tehted juurtega: 1. n a b n a n b Juur korrutisest = tegurite juurte korrutisega. n a a 2. n Juur murrust = murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. b n b np 3. a mp n a m Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. 4. m n a mn
Juurte omadused: 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on negatiivne. 4. Iga n N korral, kui n 2 n 0 0 ja n 1 1 . 5. Iga n N korral 2n a 2n a Tehted juurtega: 1. n a b n a n b Juur korrutisest = tegurite juurte korrutisega. n a a 2. n Juur murrust = murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. b n b np 3. a mp n a m Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. 4. m n
leida valemiga lx = v/2(f2 - f1) Eeltoodud valemis v - elektromagnetlaine levimiskiirus liinis f2 ja f1 - naabersagedused, mille korral voltmeetri näit oli maksimaalne (või minimaalne) Kuna takistus R on valitud R>>Zs siis vool trafo primaarahelas sõltub liini sisend-takistusest väga vähe (R=10kW , Zs muutub vahemikus 400 kuni 800W, so 2%) Pinge liini sisendil on aga leitav korrutisest I x Zs ja muutub samuti laineliselt kui Zs Seega on pinge suurimad ja väikseimad väärtused samadel sagedustel kui sisend-takistuse vastavad väärtused Sama valemit kasutades saab kauguse rikkekohani määrata kui indikaatorina kasutada voltmeetri asemel kahekanalilist ostsilloskoopi Liinide mõõtmine impulssmeetodil Impulssmeetodi puhul leitakse kaugus rikkekohani liinile saadetava nn sondeerimisimpulsi levimisaja järgi rikkekohani ja sealt tagasi
nullpunktist. Absoluutväärtuse omadusi: · Arvu absoluutväärtus on mittenegatiivne, s.t. a 0. · Vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed, s.t. -a = a . · Arvu absoluutväärtus pole arvust väiksem, s.t. a a. · Arvu absoluutväärtus pole väiksem antud arvu vastandarvust, s.t. a -a. · a - b a+ b a + b · a - b a- b a + b · Absoluutväärtus korrutisest on võrdne tegurite absoluutväärtuste korrutisega, s. t. a × b = a × b . · Absoluutväärtus jagatisest on võrdne jagatava ja jagaja absoluutväärtuste jagatisega, s.t. a a , kui b 0. b b NÄIDE: 1) Leiame x, kui x = 5. Kui x < 0, siis kui x 0, siis x = -x x=x -x = -5 x=5 x = -5 vastus: võrrandi lahendid on -5 ja 5. ARVU KÜMME ASTET
mingi kaal ja korrutatakse iga väärtus talle antud kaaluga. Seejärel liidetakse kõik korrutised ja jagatakse kaalude summaga. geomeetriline keskmine, - Geomeetrilise keskmise leidmiseks korrutatakse kõik väärtused (n väärtust) omavahel ja võetakse saadud korrutisest n-juur. Näiteks saab geomeetrilise keskmise abil arvutada palkade keskmise kasvutempo kasvuindeks (kasvutempo). harmooniline keskmine, - pöördvõrdeline 18. Valimi dispersiooni hinnang, - standardhälbe hinnangud, - s = ruutjuur dispersiooni hinnangust standardviga - 19. Absoluutne sagedus - Absoluutset sagedust kutsutakse üldjuhul lihtsalt sageduseks. Absoluutne sagedus on vastava tunnuse väärtusega objektide arv ning see on alati täisarv
lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus x ei
kahanev. Logaritmfunktsioon Logaritmi definitsioon on järgmine: ab=c -> b=logac Logaritmi alus ei tohi olla kunagi negatiivne või 1! Kõige tavalisemad logaritmi alused on 10, 2 ja e, mis on Euleri arv. Logaritmi alusel Euleri arv nimetakse naturaallogaritmiks ja tähistatakse ln. Logaritmi omadused: Logaritm korrutisest ja jagatisest: Logaritm astmest: Logaritmi astme vahetamine: Eksponentvõrrand Eksponentvõrranditel on mitu erinevat lahendusvõtet: 1) Samale alusele viimine Tihti saab ülesannetes teisendada alused samaks, et seejärel panna eksponendid omavahel võrduma. Seejuures tuleb meeldes pidada tehteid astmetega. Näide: ->
mida läbib magnetvälja tekitanud vool. Pooli induktiivsus on füüsikaline suurus, mis võrdub arvuliselt voolukontuuris tekkiva eneseinduktsiooni elektromotoorjõuga, kui voolutugevus selles muutub ühe ühiku võrra ajaühikus. Võnkering Lihtsaim süsteem, milles võivad tekkida vabad elektromagnetvõnkumised, koosneb kondensaatorist ja selle katetega ühendatud poolist. Thompsoni valem Võnkeperiood on võrdeline ruutjuurega induktiivsuse ja mahtuvuse korrutisest. Vahelduvvool on elektrivool, mille tugevus ja suund ajas perioodiliselt muutub. OPTIKA: Laineoptika: Valgus kui elektromagnetlaine valgusel on kahesugune olemus. Kiirgamisel ja neeldumisel käitub valgus osakeste voona. Osakeste nimetus footon ehk valguskvant. Levimisel käitub valgus lainena. Elektromagnetlainete skaala lainepikkuse järgi kahanevas(sageduse järgi kasvavas) madalsagedusvõnkumised, raadiolained, infrapunane kiirgus, nähtav valgus,
nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem): Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Vaata lk 31 tõestust. Tõkestatud suuruse definitsioon: Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Vaata tõestust lk 32. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) l¨aheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on.............. või f(x) b kui x a
Kuna viimases lauses võib olla suvaline positiivne arv, saame me valida . Siis kehtivad kõigi -le järgnevate väärtuste korral järgmised seosed: . Seega defineerides näeme, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Seda oligi vaja tõestada. Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Tõestus: Olgu lõpmatult kahanev ja tõkestatud. Me peame näitama, et sellisel juhul on samuti lõpmatult kahanev, st . Vastavalt definitsioonile tuleb näidata, et suvalise kuitahes väikese positiivse arvu korral leidub selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Fikseerimegi mingi pos. arvu ja kasutame eeldusi ja kohta
Lauses toodud valemi põhjenduse ja selle rakenduse näiteid võib leida raamatutest [3], lk 162-165; [4], lk 218-219; [5], lk 363-365. Integreerimisel on sageli lihtsam leida sobivat asendust kujul t = h(x), nagu seda tegime ka näidetes 3.8-3.10. 3.5 Ositi integreerimine Vaatame kahte diferentseeruvat funktsiooni u = u(x) ja v = v(x). Nende funktsioonide korrutise tuletis leitakse valemiga (uv) = u v + v u, diferentsiaal korrutisest on seega d(uv) = vdu + udv. Avaldades viimasest võrdusest udv, saame udv = d(uv) - vdu. Kui nüüd eksisteerib integraal vdu, siis ilmselt eksisteerib ka integraal udv, sest integraali omaduste põhjal d(uv) = uv + C. Sellisel juhul saame nn ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu. Siin lisatakse konstant C pärast integraali vdu leidmist.
2 2 2 püramiide; kui püramiid pole korrapärane, siis 60m :0,95=63,157...m ~63m 2 leida pindala üksikute tahkude kaupa Vastus. Torni katmiseks kulub 63m plekki. 36.Püramiidi ruumala - üks kolmandik selle Ül.1242 püramiidi põhja pindala ja kõrguse Nelinurkne korrapärane püramiid, põhiserv 8 korrutisest, valem V= SpH, kus Sp=Pr:2, H cm, kõrgus võrdne põhja apoteemiga, arvutada ruumala V= SpH on püramiidi tipu kaugus põhjast 2 1)põhi on ruut, Sp=a 2 2 Sp=8 =64(cm )
2. Energia iseloomustab keha võimet teha tööd. 3. Jõuimpulss on jõu ja selle mõjumise aja korrutis. 4. Kaldpinnalt, mille kõrgus on 40 cm, veereb alla silinder. Kui suur on silindri kiirus ei kaldpinna lõpus? Hõõrdumist ei avestata. 2,8 m/s Energia jäävuse seadust arvestades on silinder kineetiline energia kaldpina lõpus võrdne selle potentsiaalse energiaga kaldpinnaalguses, so kõrgusel 0,3 m. Järelikult mgh=(mv2)/2 siit saab avaldada kiiruse, mis on ruutjuur korrutisest 2gh, kus g on raskuskiirendus. 5. Ema mass on lapse massist 4x suurem. Et nad saaksid kiikuda, peaks ema istuma kiige toetuspunktist: 4x lähemal, kui laps. 6. Kui keha kiirus väheneb 2x siis keha kineetiline energia väheneb 4 korda - kineetiline energia on võrdeline kiiruse suurusega. 7. Kui keha mass on M ja kiirus V, siis keha kineetiline energia on (mv2)/2 8. Ühtlaselt pöörleval kettal on putukas. Kui putukas roomab pöörlemistsentrist ketta ääre
kuid elektromagnetvälja energia on jääv. Reaalne võnkering on sumbuv. Cu 2 Li 2 u vahelduvpinge hetkväärtus, E = Ee + Em = + = const i voolutugevuse hetkväärtus 2 2 Thompsoni valem Võnkeperiood on võrdeline ruutjuurega induktiivsuse ja mahtuvuse korrutisest. T = 2 LC Vahelduvvool on elektrivool, mille tugevus ja suund ajas perioodiliselt muutub. u = U m cos t U 1 I = Mahtuvustakistus: Rc = i = I m cos(t + ) Z C
Kehtivad ka x->a , x->a , x-> ja x->- korral. Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest. Funktsioon (x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x->a siis ja ainult siis, kui 1/(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis. Def. Funktsiooni (x) nimetatakse tõkestatuks, kui selle funktsiooni väärtuste hulk on tõkestatud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a ja (x) on tõkestatud siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) kahanevad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks.
Puhtalt induktiivse või mahtuvusliku takistuse korral on see /2 radiaani (90 kraadi). Faasinihe on sama suur osa täispöördest, kui suur on pinge ja voolu ajaline nihe võrreldes võnkeperioodiga. Näiteks faasinihkele 90 kraadi, vastab ajaline nihe ¼ perioodi. Ohmi seadus vahelduvvooluringis- J=U/Z, kus Z-näiv takistus,vooluringi kogutakistus, ehk Z=R²+(Rl-Rc)². Vahelduvvoolu võimsus-N=UIcos, kus cos-võimsustegur-see näitab kui suurt osa voolutugevuse ja pinge korrutisest ehk näivvõimsusest tarviti reaalselt arendab.võimsus on maksimaalne, kui pinge ja voolutugevus on samas faasis (=0 ja cos=1).Pingeresonants-See on nähtus, mille korral pinge või voolutugevuse võnkumise amplituud kasvab järsult, ehk väline pinge toimib omavõnkumisega samas taktis. Resonantsi korral muutub voolutugevuse ja pinge faaside vahe nulliks.pingelangud induktiivpoolil ja kondekal on amplituudilt võrdsed, kuid vastasfaasides Elektromagnetvõnkumine ja laine
taandunud sirglõiguks. Vooluringi takistus on ahela aktiivtakistus. Võib tekkida väga suur vool. Tekib kindlal sagedusel. Vooluresonants- on olukord kus IL=IC mis tekib kui xL=xC siis võivad haruvoolud olla suuremad kui koguvool. Tekib kindlal sagedusel. Tekib suur kogutakistus. 5. Vahelduvvoolu võimsus - N=UIcos, kus cos-võimsustegur-see näitab kui suurt osa voolutugevuse ja pinge korrutisest ehk näivvõimsusest tarviti reaalselt arendab.võimsus on maksimaalne, kui pinge ja voolutugevus on samas faasis (=0 ja cos=1). 6. Magnetväli - Magnetväljaga on tegemist püsimagneteid ja vooluga juhet ümbritsevas keskkonnas- mida kujutatakse magnetvälja jõujoontega mis on alati kinnised. Püsimagnetite ja ka elektromagnetite puhul on magnetvälja jõujooned suunatud väljaspool magnetit põhjast lõunasse ja sees vastupidi. Magnetväli täidab
Kehtivad ka x->a , x->a , x-> ja x->- korral. Teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest. Funktsioon (x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x->a siis ja ainult siis, kui 1/(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis. Def. Funktsiooni (x) nimetatakse tõkestatuks, kui selle funktsiooni väärtuste hulk on tõkestatud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest. Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a ja (x) on tõkestatud siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x->a. 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) kahanevad suurused protsessis x->a. · Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus lim , siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks.
kuid elektromagnetvälja energia on jääv. Reaalne võnkering on sumbuv. Cu 2 Li 2 u vahelduvpinge hetkväärtus, E = Ee + Em = + = const i voolutugevuse hetkväärtus 2 2 Thompsoni valem Võnkeperiood on võrdeline ruutjuurega induktiivsuse ja mahtuvuse korrutisest. T = 2 LC Vahelduvvool on elektrivool, mille tugevus ja suund ajas perioodiliselt muutub. u = U m cos t U 1 I = Mahtuvustakistus: Rc = i = I m cos(t + ) Z C
Energia iseloomustab keha võimet teha tööd Jõuimpulss on c. jõu ja selle mõjumise aja korrutis Kaldpinnalt, mille kõrgus on 40cm, veereb alla silinder. Kui suur on silindri kiirus kaldpinna lõpus? Hõõrdumist ei arvestata. a. 2,8 m/s Energia jäävuse seadust arvestades on silindri kineetiline energia kaldpinna lõpus võrdne selle potentsiaalse energiaga kaldpinna alguses, so kõrgusel 0,3m. Järelikult mgh= (m v2)/2 Siit saab avaldada kiiruse, mis on ruutjuur korrutisest 2gh, kus g on raskuskiirendus. Ema mass on lapse massist 4 korda suurem. Et nad saaksid kiikuda, peab ema istuma kiige toetuspunktist 4 korda lähemale kui laps Kui keha kiirus väheneb 2 korda, siis keha kineetiline energia a. väheneb 4 korda Kui keha mass on m ja kiirus v, siis keha kineetiline energia on (m v 2)/2 Ühtlaselt pöörleval kettal on putukas. Kui putukas roomab pöörlemistsentrist ketta ääre poole, siis b. putuka joonkiirus suureneb
, (3.35) a ( 1 + jR3C ) -1 U B -m = U B + U N = U f 1 + jR3C a( 1 + jR3C ) -1 U C -m = U C +U N = U f 1 + jR3C Võrranditest (3.34) ja (3.35) selgub, et nii neutraali nihe kui ka faaside pinged maa suhtes sõltuvad korrutisest R3 C . Jn 3.12 on kujutatud võrrandite (3.34) ja (3.35) alusel koostatud pingete vektordiagramm ühefaasilise maalühise korral faasis A. Kui lühis on metalne (R = 0), siis U A- m = 0 ja U N = - U A . Pingete U B-m ja U C- m absoluutväärtus on 3 U f . ja nende vektorid moodustavad omavahel nurga 600. Rikkekoha takistuse suurenemisel libiseb neutraali nihkepinge vektori ots piki poolringi,
Töö 11
Katse b sademete tekkimine ja lahustuvuskorrutis
Töö eesmärk: Sademete tekke ja lahustuvuskorrutise seos.
Töö käik: Kate TAP pesse mõõta 4 tilka 0,1 M Plii(II)nitraadi lahust. Ühte pessa lisada 4
tilka 1M naatriumkloriidi lahust ja teise 1 tilk 1M naatriumkloriidi lahust ning 3 tilka
destilleeritud vet. Kummas pesas tekib sade? Võrdleme katsetulemusi arvutuslike
tulemustega, votes arvesse, et aine sadeneb, kui ioonkorrutis jääb väiksemaks
lahustuvus korrutisest , siis sadet ei teki. Arvutame kui suur on Pb2+-ja Cl--inoodine
konsentratsioon lahustes enne ja pärast naatriumkloriidi lisamist, arvestades
lahjendamist reaktiivide segamisel, ning leiame ioonide konsentratsioonide korrutised
vastavalt lahustuvuskorrutise avaldise paremale poolele:
Arvutused
Ks- ioonide konsentratsioon lahustes Kui Pb (NO3)2 > Ks siis sade, kui Pb(NO3)2
3) Töötaja teab oma pingutuste tulemust · Tunnitöö korral a. Töötaja vähendab oma panus, jõupingutusi b. Alaneb töö kvaliteet c. Väheneb töö kvantiteet · Tükitöö korral d. Et kompenseerida alatasustatust töötaja toodab küll tükiliselt enam, kuid madalama kvaliteediga. 11. Motivatsioon. V. Vroomi ootuste teooria. Millist rolli mängib taju ootuste teooria puhul? Motivatsioon kujuneb kolme teguri korrutisest: 1) Valents( Tulemuse väärtus) 3) Toimetuleku tõenäosus (ootus) 4) Hüvituse tõenäosus Inimesed teevad meelsasti tegevusi, mis on nende jaoks kerged ning mille eest saadakse võimalikku suurt tasu - mis on kõige kergem teha kõige suurema tasu eest. Töötajad, kes tõrksad tegutsema on valdavalt seisukohal, et neil puuduvad oskused, valmidus tegutseda või nad ei tööta nii madala tasu eest. Juht üldiselt kontrollib sellist situatsiooni.
Siis võrdub jõu töö A = Fs. Ühtlaselt kiireneva liikumise korral väljendatakse nihet s valemiga Siit järeldub, et . Avaldis näitab, et jõu (või kõigi jõudude resultantjõu) töö on seotud kiiruse ruudu (mitte kiiruse enese) muutumisega. Füüsikalist suurust, mis võrdub poolega keha massi ja selle kiiruse ruudu korrutisest, nimetatakse keha kineetiliseks energiaks . Resultantjõu töö on võrdne keha kineetilise energia muuduga A = Ek2 - Ek1. Seda väidet nimetatakse kineetilise energia teoreemiks. Kineetilise energia teoreem kehtib ka üldjuhul, kui keha liigub muutuva jõu mõjul, mille suund ei lange kokku nihke suunaga. Kineetiline energia on liikumise energia
a b 0. Saadud valemeid saab muuta kergemini meeldejäävaks, kui murdude lugejates c d ja nimetajates olevad korrutiste vahed esitada tabelina: Võrduse vasakul pool olevat tabelit tuleb mõista avaldisena, mis saadakse, kui arvude a ja d korrutisest lahutatakse arvude c ja b korrutis. a1 b1 a1 c1 c1 b1 a1b2 a2 b1 , a1c2 a2 c1 ja c1b2 c2 b1 . Näide 2: Kolmnurga OAB tipud on O(0; 0), A(x1; y1) ja B(x2; y2)
f(x) dx = F(x) = F(b) F(a) F[()] F[()] = F(b) F(a) a f(x) dx = f[(t)]'(t)dt 3) Ositi integreerimine Ositi integreerimine määratud integraalis sarnaneb põhimõtteliselt ositi integreerimisele määramata integraalis. Meil on kaks funktsiooni u ja v ning mõlemad on diferentseeruvad argumendil x. Kui on taas vaja leida nende korrutise integraal, siis alustame sama ideega: võtame tuletise korrutisest: (uv)' = u' v + uv' Nüüd teeme pöördtehte ja integreerime neid rajades a-st b-ni: b b b (uv)' dx = u ' v dx + uv'dx a a a b b Kuna (uv)' dx =
19 Ümbermõõdu leidmine arvuti poolt üksikute mõõtmete summana Kuid ülemise noole otsa pindala valikuga O (Object) leida ei õnnestunud, arvuti vastab: Väljapääs on olemas – joonestame kolmnurga, mille suurus vastab suurele nooleotsale ja selle tipupunkte ükshaaval sisestades saime pindalaks 64 mm2 ja ümbermõõduks 41 mm. (aga koolis V klass: kolmnurga pindala on pool kõrguse ja aluse korrutisest: 8 x 8 = 64). Näide 4 20 Abikolmnurga kujundus – sama suur kui suur nool Vastus (arvuti ei lisa ühikuid mõõtarvu lõpu): a) väliskontuuride sisse jääva ala pindala = 7774 mm2; b) väliskontuuri pikkus a = 388 mm; c) ülemiste kolmnurkade pindalad kumbalgi = 64 mm2; d) abiringjoone raadius R.= 25.55 mm (kuigi ISO nõuab koma, aga AutoCAD – punkt )
(3) Selles korrutises esinevad lugejas teguritena kõikvõimalikud vahed t - s , kus s < t ja s , t = 1, 2, ... , n . Korrutise (3) nimetajas esinevad iga s < t ja s , t = 1, 2, ... , n jaoks aga tegurid kujul ± ( t - s ) . Siin märk " - " tekib vaid juhul, kui paar t, s moodustab inversiooni substitutsioonis i1 , i2 , ... , in . Seega tekib korrutisest (3) pärast taandamisi korrutis, kus teguritena esinevad arvud 1 ja 1 teatav arv kordi. Seejuures ülalöeldu põhjal on arvu 1 tegurina esinemiste arv võrdne inversioonide arvuga substitutsioonis i1 , i2 , ... , in . Siit järeldubki võrdus (1). Kuna l-k k -l = ,
kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 / on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suurused
Aritmeetilise keskmise leidmisel liidetakse kõikide objektide tunnuse väärtused ning jagatakse objektide arvuga. Aritmeetiline keskmine on väga tundlik üksikute erandlike väärtuste suhtes, seetõttu peab alati kommenteerima lisaks vähemalt standardhälbe (variatsioonkordaja). Praktikas vähemlevinud kuid aritmeetilisest keskmisest täpsem on geomeetrilise keskmine, mille leidmiseks korrutatakse kõik väärtused (n väärtust) omavahel ja võetakse saadud korrutisest n-juur. Aritmeetilise keskmine on üldisema kaalutud keskmise erijuht, mille puhul iga korrutame talle antud kaaluga, liidame kõik korrutised ning jagame kaalude summaga. Valemid vastavate keskmiste leidmiseks on järgmised: Aritmeetiline keskmine Geomeetriline keskmine Kaalutud keskmine 1 n x = n x1 x n n fx
2 2 2 püramiide; kui püramiid pole korrapärane, siis 60m :0,95=63,157...m ~63m 2 leida pindala üksikute tahkude kaupa Vastus. Torni katmiseks kulub 63m plekki. 36.Püramiidi ruumala - üks kolmandik selle Ül.1242 püramiidi põhja pindala ja kõrguse Nelinurkne korrapärane püramiid, põhiserv 8 korrutisest, valem V= SpH, kus Sp=Pr:2, H cm, kõrgus võrdne põhja apoteemiga, arvutada ruumala V= SpH on püramiidi tipu kaugus põhjast 2 1)põhi on ruut, Sp=a 2 2 Sp=8 =64(cm )
3) Töötaja teab oma pingutuste tulemust · Tunnitöö korral a. Töötaja vähendab oma panus, jõupingutusi b. Alaneb töö kvaliteet c. Väheneb töö kvantiteet · Tükitöö korral d. Et kompenseerida alatasustatust töötaja toodab küll tükiliselt enam, kuid madalama kvaliteediga. 11.Motivatsioon. V. Vroomi ootuste teooria. Millist rolli mängib taju ootuste teooria puhul? Motivatsioon kujuneb kolme teguri korrutisest: 1) Valents Tulemuse väärtus 2) Toimetuleku tõenäosus (ootus) 3) Hüvituse tõenäosus Ootus kindel arvamus, et tööalase jõupingutuse korral saab ülesanne täidetud. Ootuse määrab ära tõenäosus, mil määral oleneb tegutsemise edukus tehtavad jõupingutusest. Ootus on jõupingutuse ja saavutuse vahelise seose tõenäosus, siis see on 0 kuni +1. Kui alluva meelest ei anna jõupingutus soovitavaid tulemusi, siis
3. Töötaja teab oma pingutuste tulemust Tunnitöö korral 1. Töötaja vähendab oma panus, jõupingutusi 2. Alaneb töö kvaliteet 3. Väheneb töö kvantiteet Tükitöö korral 4. Et kompenseerida alatasustatust töötaja toodab küll tükiliselt enam, kuid madalama kvaliteediga. 11. Motivatsioon. V. Vroomi ootuste teooria. Millist rolli mängib taju ootuste teooria puhul? Motivatsioon kujuneb kolme teguri korrutisest: 1. Valents Tulemuse väärtus 2. Toimetuleku tõenäosus (ootus) 3. Hüvituse tõenäosus Ootus kindel arvamus, et tööalase jõupingutuse korral saab ülesanne täidetud. Ootuse määrab ära tõenäosus, mil määral oleneb tegutsemise edukus tehtavad jõupingutusest. Ootus on jõupingutuse ja saavutuse vahelise seose tõenäosus, siis see on 0 kuni +1. Kui alluva
annaabi.ee 
