2.Milliste parameetritega iseloomustatakse jõudu? Jõud on vektoriaalne suurus, teda iseloomustatakse arvväärtuse, rakenduspunkti ja suunaga. 3. Tasapinnaline jõusüsteem ja selle tasakaaluks vajalikud tingimused.Tasapinnaliseks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõud asetsevad ühes tasapinnas. Ühes punktis lõikuvate mõjusirgetega jõudude süsteemi nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks. Kui kehale mõjub mitu jõudu siis võib alati leida nende jõudude resultandi. 1.Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude projektsioonide algebralised summad kahel koordinaatteljel ja kõikide jõudude momentide algebraline summa suvalise punkti suhtes võrduksid nulliga. 2. Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude
Valguse levimine. Valgus levib sirgjooneliselt. Valguse levimise suuna kujutamiseks on kasutusele võetud valguskiire mõiste. Valgusvihu abil näidatakse ruumipiirkondi, milles valgu levib, mõnikord ka levimise suunda. Valguvihku, mis moodustub teineteistest eemalduvatest valguskiirtest, nimetatakse hajuvaks valgusvihuks. Valgusvihku, mis moodustub paralleelsetest valguskiirtest, nimetatakse paralleelseks valgusvihuks. Valgusvihku, mis moodustub teneteisele lähenevatest kiirtest, nimetatakse koonduvaks valgusvihuks. Valguse peegeldumine. Valguskiiri saab liigitada langevaks ja peegeldunud kiireks. Langemisnurgaks nimetatakse nurka langeva kiire ja peegelpinna ristsirge vahel. Peegeldumisnurgaks nimetatakse nurka peegeldunud kiire ja pinna ristsirge vahel. Langemisnurk= Peegeldumisnurk. = Valguse suund on pööratav. Mattpind peegedab valgust kõikvõimslikes suundades. Nt: paber. Valgus mis levib kõikvõimalikes sundades nimetatakse hajusaks valguseks. Peegelpind peegeldab valgust sirgelt
Sõrestike varrastes tekib ainsa võimaliku sisejõuna varda telje sihiline sisejõud, mida nim. normaaljõuks. Sõlmede eraldamise võte võimaldab teha mõningaid järeldusi, mille abil on arvutusteta võimalik määrata nullvardaid. Nullvardaks nim. sellist varrast, milles antud koormuskombinatsiooni korral sisejõud puudub, neid märgitakse ringikestega. Nullvarrastest koosneb kahevardaline koormata sõlm. 7. Ruumiliseks koonduvaks jõusüsteemiks nim. kehale rakendatud jõudude kogumit, mille kandesirged lõikuvad ühes punktis, kuid ei asu ühes tasapinnas. Jõusüsteemi moodustab vähemalt kolm ühes punktis lõikuvate kandesirgete jõudu. Ruumilise sõrestiku kolmevardaline koormata sõlm mille vardad ei asu ühes tasapinnas, sisaldab ainult nullvardaid . Tasakaalustatud koonduvaks ruumiliseks jõusüsteemiks on vaja vähemalt nelja jõudu
Valguse levimise suuna kujutamiseks on kasutusele võetud valguskiire mõiste. Valgusvihku mis moodustab teineteisest eemalduvatest valguskiirtest, nimetatakse hajuvaks valgusvihuks. Valgusvihku mis moodustub paralleelsetest valguskiirtest nimetatakse paralleelseks valgusvihuks. Valgusvihku mis moodustub teineteisele lähenevatest valguskiirtest, nimetatakse koonduvaks valgusvihuks. Valguskiir. Hajuv valgusvihk. Paraleelne valgusvihk. Koonduv valgusvihk. *VALGUSE PEEGELDUMINE Peeglile langeva ja peeglilt peegelduva valgusvihu asemel kasutame valguskiiri neid nimetatakse vastaval langevaks kiireks ja peegelduvaks kiireks. Langemisnurgaks nimetatakse nurka langeva kiire ja peegelpinna ristsirge vahel. Langemis
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
..... 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
..... 15 16. Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) ja koosinusteisendus (DCT). Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
Sõnastada staatika VI aksioom (sidemete aksioom). Iga seotud keha võib vaadata vaba kehana, kui jätta ära kõik sidemed ja asendada nende mõju ekvivalentselt sidemete reaktsioonijõududega. Mis on jõuhulknurk ja kuidas see konstrueeritakse? Jõuhulknurk on jõuvektoritest koostatud hulknurk, mis moodustub kui vektorid panna järjest üksteise otsa. Peavektor (resultant) on hulknurga sulgeja. Tegemist on jõuvektorite liitmisega. Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant Kuidas leida koonduva jõusüsteemi resultanti? Koonduva jõusüsteemi resultant rakendub koondumispunktis ja võrdub jõudude geomeetrilise summaga. Sõnastada koonduva jõusüsteemi tasakaalu geomeetriline ja analüütiline tingimus.
Kui valgus langeb peeglile peegelpinna raadiuse sihis (langemisnurk on 0°), siis on sama suur ka peegeldumisnurk ning valgus pöördub tuldud teed pidi tagasi langev kiir ja peegeldunud kiir kattuvad. Kumerpeegel Kumerpeegel Kumerpeegel Kiirte käik nõguspeeglis Ka nõguspeegli korral nimetatakse raadiuse sihilist joont, mis ühendab peegelpinna keskpunkti peegli kumeruse keskpunktiga peegli peateljeks. Kõik peegli peateljega paralleelselt peeglile langevad kiired peegelduvad koonduvaks valgusvihuks selliselt, et peale peegeldumist läbivad nad kõik ühte punkti peegli fookust. Kui valgus langeb peeglile suvalise nurga all, tuleb toimida samuti nagu tasapeegli puhul. Pea meeles, et ka nõguspeeglile on ristsirgeks langemispunkti ja peegli nõgususe keskpunkti ühendav sirge. Nõguspeegel nõguspeegel nõguspeegel Kasutatud allikad 1. https://opik.kirsman.ee/pohikool/8klass/peegeldumine/ 2. https://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/20917/valguse_peegeldumine.ht
suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse , st rahuldavad võrratust Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. Piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks ning piirväärtust mitteomavat jada hajuvaks. (Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduvaks jadaks.) 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim ||= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos
naturaalarvude hulk N.
{x0,x1,x2,...}{xn}n2N {xn}
Definitsioon 2
Arvu a nimetatakse jada {xn}(l˜oplikuks) piirv¨a¨artuseks, kui iga
_>0 korral leidub N 2N, et iga n >N korral kehtib v˜orratus
|xn −a|
Valgus levib nii läbipaistvas aines kui ka tühjuses.Valguse levimine on füüsikaline nähtus. Valgus levib sirgjooneliselt. Füüsikas on kindel tähendus sõnadel valguskiir ja valgusvihk. Valgusvihu, mis moodustab teineteise eemalduvatest valguskiirtest, nimetatakse hajuvaks valgusvihuks. Valgusvihu, mis moodusub paralleelsetest valguskiirtest nimetatakse paralleelseks valgusvihuks. Valgusvihku, mis moodustab teineteisele lähenevatest valguskiirtest, nimetatakse koonduvaks valgusvihuks. Valgusvihk: Esemele langev valgusvihk: Hajuv valgusvihk: Paraleelne valgusvihk: Koonduv valgusvihk: Valguse peeldumine Peegelpinna tähistame joonega. Peeglile langeva ja peeglilt peegelduva valgusvihu asemel kasutame valguskiiri- neid nimetatakse vastavalt langevaks kiireks ja peegeldunud kiireks. Kohta kus valguskiir langeb peegelpinnale, joonistame punktiirjoonega peegelpinnale ristsirge
siis vaadeldava joone parempoolseks kaldasümptoodiks on sirge y=x. Analoogiliselt saame, et sirge y= x on ka antud joone vasakpoolne kaldasümptoot. §5 JADAD JA READ 1. Arvjadad Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x(n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Definitsioon 13. Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks. n Jada piirväärtuse leidmisel võib kasutada funktsiooni piirväärtuse leidmise reegleid. Näide. Leiame 2 n 2 (3 + )
). Järeldus: jäiga keha tasakaal ei muutu, kui kanda jõu rakenduspunkt piki mõjusirget üle keha mistahes teise punkti. 4. Jõurööpküliku aksioom: Kui keha mingis punktis on rakendatud kaks jõudu, siis neid saab keha seisundit muutmata asendada resultandiga, mis võrdub nende geomeetrilise summaga. Aksioom kehtib ka deformeeruva keha juhul. 5. Mõju ja vastumõju aksioom: Kaks keha mõjutavad teineteist võrdvastupidiste jõududega, millel on ühine mõjusirge. 6. Koonduv jõusüsteem: Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Koonduva jõusüsteemi korral on võimalik leida jõud, mis on samaväärne jõusüsteemiga. Saadud resultantjõud on rakendatud vaadeldava süsteemi jõudude mõjusirgete lõikepunkti. 7. Koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus: koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres= 0. See on tasakaalutingimus vektorkujul. 8
Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. Teooriaküsimused nr. 13 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib), st: U= limn->Un 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdisväärtuse leidmist lõppsumma järgi. Teooriaküsimused nr. 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi.
Kui rida ∑ un on koonduv ja c on konstant siis rida ∑ cu n on n=1 n=1 ∞ koonduv ja c ∑ un on koonduv. n=1 Koonduv rida jääb pärast lõpliku arvu liikmete ärajätmist või juurde võtmist koonduvaks Koonduva rea liikmed moodustavad nulljada 27.Rea koonduvuseks tarvilik tingimus on lim un=0 n →∞ 28.Geomeetriline ja harmooniline rida ∞ Geomeetriline rida- ∑ a qn kui q on suurem või võrdne 1ga siis n →0 hajub ja kui on väiksem 1st siis koondub ∞
Valguse levimine on füüsikaline nähtus, valgus levib sirgjooneliselt, valguse levimise suuna kujutamiseks on kasutusele võetud valguskiire mõiste. Valgusvihku, mis moodustub teineteisest eemalduvatest valguskiirtest, nimetatakse hajuvaks valgusvihuks. Valguvihku, mis moodustub paralleelsetest valguskiirtest, nimetatakse paralleelseks valgusvihuks. Valgusvihku, mis moodustub teineteisele lähenevatest valguskiirtest nimetatakse koonduvaks valgusvihuks. Valguse peegeldumine Peeglile langeva ja peeglilt peegelduva valgusvihu asemel kasutame valguskiiri neid nimetatakse vastavalt langevaks kiireks ja peegeldunud kiireks. Kohta, kus valguskiir langeb peegelpinnale, joonistame punktiirjoonega peegelpinnale ristsirge. Langemisnurgaks nimetatakse nurka langeva kiire ja peegelpinna ristsirge vahel. Langemisnurka tähistatakse kreeka tähestiku
võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel. Lagrange´i kordaja näitab kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. TEOORIAKÜSIMUSED nr 14 1. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib), st: U= 2. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. TEOORIAKÜSIMUSED nr 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus:
kuidas muutub sihtfunktsiooni optimaalne väärtus kitsenduse vabaliikme ühikulisel kasvamisel. on koguse x (seisundimuutuja) varihind. Ressursi varihind on täiendav (varjatud) kasum, mida oleks võimalik saada vastava ressursi ühe lisaühiku kasutamisel 57. Selgitada, kuidas on defineeritud rea summa. Rea summaks nimetatakse tema osasummade jada (Un) piirväärtust U (juhul kui see eksisteerib). 58. Koonduva ja hajuva rea mõiste. Kui piirväärtus U on lõplik siis nimetatakse rida koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb
Koonduv jõusüsteem, Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Ülesannete lahendamiseks tuleb süsteem taandad lihtsamale kujule ja leida tasakaalutingimused. Taandamise aluseks on teoreem: koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga, mis läbib jõudude mõjusirgete lõikepunkti. Superpositsiooniaksioomi järeldusena võib jõusüsteemis olevad jõud üle kanda nenede mõjusirgete lõikepunkti ja seejärel jõurööpküliku abil asendada nendega ekvivalentse resultandiga Fres. Võib ka joonestada jõukolmnurga (joon2), kus liidetavad jõud kujutatakse teineteise järel, resultant on suunatud esimese vektori algusest teise lõppu. Üldjuhul koosneb koonduv jõusüsteem rohkematest jõududest. Need võib üle kanda mõjusirgete lõikepunkti ja järjekorras liita jõukolmnurkade abil. Resultant on suunatud esimese jõu algusest viimase lõppu.(joon3). Tasandilise jõusüsteemi korral on resultanti võimalik leida graafiliselt, kuju...
Parameetriliselt antud joone mõiste. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞ 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. (Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral
Valguse levimine on füüsikaline nähtus. Valgus levib sirgjooneliselt. Valguse levimise suuna kujutamiseks on kasutusele võetud valguskiirte mõiste. Valguskiired moodustavad valgusvihu. Valgusvihku, mis moodustub teineteisest eemalduvatest valguskiirtest, nimetatakse hajuvaks valgusvihuks. Vlagusvihku, mis koosneb paralleelsetest valguskiirtest, nimetatakse paralleelseks valgusvihuks. Valgusvihku, mis moodustub teineteisele lähenevatest valguskiirtest, nimetatakse koonduvaks valgusvihuks.Valgusel on energiat. Hajuvas VV-s olev ese saab seda vähem valgust, mida kaugemal ta on VA-st. paralleelses VV-s olev ese saab ühepalju energiat sõltumata eseme ja valgusallika vahelisest kaugusest. Koonduvas VV-s olev ese saab seda rohkem energiat, mida lähemal ta on valguskiirte lõikumiskohale ehk fookusele. Langemisnurgaks nimetatakse nurka langeva kiire ja pinna ristsirge vahel. Langemisnurka tähistatakse kreeka tähestiku väiketähega alfaga.
· Sõnastada staatika VI aksioom (sidemete aksioom). Iga seotud keha võib vaadata vabana, kui eemaldada kõik sidemed ja asendada nende mõju ekvivalentsete sidemetega/jõududega. · Mis on jõuhulknurk ja kuidas see konstrueeritakse? Jõuhulknurk on jõuvektoritest koostatud hulknurk, mis moodustub kui vektorid panna järjest üksteise otsa. Peavektor (resultant) on hulknurga sulgeja, mis on teiste vektoritega vastassuunaline. · Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse süsteemi, milles kõikide jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. · Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant. · Kuidas leida koonduva jõusüsteemi resultanti? Koonduva jõusüsteemi resultant rakendub koondumispunktis ja võrdub jõudude geomeetrilise summaga
koonduvus Harmooniline rida n1a =1+ 21a + 31a +... koondub parajasti siis, kui a>1 n=0 Arvrea absoluutne ¿ u(n)¿ koonduvus u (n) Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida ¿ n=0 n=0 koondub Arvrea tingimisi Kui rida koondub, aga ei koondu absoluutselt, siis nimetatakse seda rida koonduvus tingimisi koonduvaks D'Alambert'i |u ( n+1 )| {
reaalarvuks, liidetavaid aga nim rea liikmeteks, liidetavat un nim rea üldliikmeks. Rea esimese n n liikme summat nim selle rea n-ndaks osasummaks: S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . Kui k =1 osasummade jadal S1, S2,..., Sn, ...eksisteerib protsessis n lõplik piirväärtus, siis nim rida koonduvaks ja vastavat piirväärtust selle rea summaks: lim S n = S . Kui S = või lim S n ei n n eksisteeri, siis nim rida hajuvaks. 1 1 1 1 Nt Harmooniline rida: u n = = 1 + + + ... - see rida on hajuv n n =1 n 2 3 Geom
Absoluutne koonduvus ja tingimisi koonduvus: vastavate mõistete selgitused ning teoreemi 39.1 tõestus. Rida nim. muutuvate märkidega reaks, kui tema liikmete hulgas leidub nii positiivseid kui ka negatiivseid liikmeid. Teoreem 39.1. Kui muutuvate märkidega rea u1+ u2+...+un+... liikmete absoluutväärtustest koosnev rida u1+ u2+...+un+... koondub, siis koondub ka antud muutuvate märkidega rida. Muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... nim. absoluutselt koonduvaks, kui koondub tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida u1+ u2+...+un+... . Kui aga muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... koondub, kuid tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida u1+ u2+ ...+un+... hajub, siis nim. antud muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... tingimisi ehk mitteabsoluutselt koonduvaks. Absoluutse koonduvuse mõiste abil formuleeritakse teoreem 39.1. sageli järgmiselt: iga absoluutselt koonduv rida on koonduv rida. 17
ühendit (-;-M) U (M;+) ja tähistatakse UM() DEF 6. Arvu a nim. jada xn (lõplikuks) piirväärtuseks, kui suvalise pos.arvu koraal leidub selline naturaalarv n0, mis üldjuhul sõltub arvust , st n0(), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n0, korral on rahuldatud võrratus Ixn-aI< DEF 7. Kui suvalise M R korral leidub selline n0 N, et iga n N ja n>n0 korral xn>M, siis öeldakse, et jada xn piirväärtus on + DEF 8. Jada, millel on(ei ole) lõplik piirväärtus nim. koonduvaks jadaks(hajuvaks jadaks) DEF 9. Öeldakse, et jada xn on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et IxnIM (n N) DEF 10. Öeldakse, et jada xn on ülalt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnM (n N) DEF 11. Öeldakse, et jada xn on alt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnm (n N) DEF 12. Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks.
Peegeldumine Langemisnurk on nurk pinna ristsirge ja langeva kiire vahel. Peegeldumisnurk on nurk pinna ristsirge ja peegelduva kiire vahel. Langemisnurk ja peegeldumisnurk on samad. Peegeldumisseadus: Langemisnurk = Peegeldumisnurk. Paralleelne valgusvihk jääb peale peegeldumist paralleelseks, hajuv hajuvaks ja koonduv koonduvaks (kuni muutub ühtseks). = Kumerpeegel Kumerpeegel on mingi ringi osa. Kumerpeegel hajutab valgust. Nõguspeegel koondab valgust. Peegeldumist, kus peegeldunud valgus levib erinevates suundades nim. hajusaks peegeldumiseks. Pindu, millel toimub hajus peegeldumine nim. matt pindadeks. Pindu, kus toimub kindlasuunaline peegeldumine nim. Peegelpindadeks. Valgust millel puudub kindel suund nim. hajusaks valguseks. Nägemine
Peegeldumine Langemisnurk on nurk pinna ristsirge ja langeva kiire vahel. Peegeldumisnurk on nurk pinna ristsirge ja peegelduva kiire vahel. Langemisnurk ja peegeldumisnurk on samad. Peegeldumisseadus: Langemisnurk = Peegeldumisnurk. Paralleelne valgusvihk jääb peale peegeldumist paralleelseks, hajuv hajuvaks ja koonduv koonduvaks (kuni muutub ühtseks). = Kumerpeegel Kumerpeegel on mingi ringi osa. Kumerpeegel hajutab valgust. Nõguspeegel koondab valgust. Peegeldumist, kus peegeldunud valgus levib erinevates suundades nim. hajusaks peegeldumiseks. Pindu, millel toimub hajus peegeldumine nim. matt pindadeks. Pindu, kus toimub kindlasuunaline peegeldumine nim. Peegelpindadeks. Valgust millel puudub kindel suund nim. hajusaks valguseks. Nägemine
Lause: Arvrida ∑∞ ∞ 𝑘=1 𝑎 k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida ∑𝑘=1 |𝑎 k| koondub. (1-liiki) Tšebõtšovi polünoomid {Tk}∞k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [-1, 1] kaalufunktsiooniga 𝑤(𝑥) ≔
kasvavaks suuruseks ja kirjutatakse: x . Muutuv suurus "läheneb pluss lõpmatusele", x + , kui mistahes M > 0 korral muutuja kõik järgnevad väärtused, alates mingist väärtusest, rahuldavad võrratust M < x . Muutuv suurus "läheneb miinus lõpmatusele", x - , kui mistahes M > 0 korral muutuja kõik järgnevad väärtused, alates mingist väärtusest, rahuldavad võrratust x < - M . Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada
Sidemereaktsiooniks (toereaktsiooniks) nimetatakse jõudu, millega side takistab keha liikumist. 2. Milliste parameetritega iseloomustatakse jõudu? Jõud on vektoriaalne suurus, teda iseloomustatakse arvväärtuse, rakenduspunkti ja suunaga. 3. Tasapinnaline jõusüsteem ja selle tasakaalustamiseks vajalikud tingimused. Tasapinnaliseks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõud asetsevad ühes tasapinnas. Ühes punktis lõikuvate mõjusirgetega jõudude süsteemi nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks. Kui kehale mõjub mitu jõudu siis võib alati leida nende jõudude resultandi. 1.Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude projektsioonide algebralised summad kahel koordinaatteljel ja kõikide jõudude momentide algebraline summa suvalise punkti suhtes võrduksid nulliga. 2. Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude
või xlim f ( x) = b. Rõhtasümptoodid on kaldasümptootide erijuhud, mille korral tõus k = 0. - 21. Arvjadad. Arvjada koonduvus ja hajuvus. Arvjadaks nimetatakse naturaalarvulise argumendiga funktsiooni x = x( n), n =1,2,.... Tähistame x ( n) = x n . Arvu x n nimetatakse jada x=(xn) üldliikmeks ( ka elemendiks). Kirjutame ka x=(xn) = (x1, x2,...,xn,...). Jada x=(xn) nimetatakse koonduvaks, kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim x n = a. n Jada, mis ei koondu ( nlim x n = ± või lim x n ), , nimetatakse hajuvaks. n 22. Arvread. Arvrea osasumma. Arvrea koonduvus ja hajuvus, arvrea absoluutne koonduvus. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus*. Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist:
· Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-;-M), st rahuldavad võrratust x < - M. Tähistusviis on : x - või lim x = - . · Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon - Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on . Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid · Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x
väärtused kuuluvad poollõiku , + . Sellisel juhul kirjutatakse U . Arvu nimetatakse reaalarvude jada ) , * , V , ... piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi I , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu ümbrusesse - , + . Jada piirväärtuse kujutusviis on I või lim I = . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada kahjuvaks. LIISI KINK 6 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 8) Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid.
Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x või lim x = . Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrratust x < -M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x - või lim x = -. Koonduvad ja hajuvad jadad - Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused - Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suurused on teineteise pöördarvud. Funktsiooni piirväärtuse denfitsioon - Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises
korral saab näitata sellist x väärtust millele kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse · Jada piirväärtus Arvu a nimetame jada piirväärtuseks, kui kuitahes väikese positiivse arvu korral saame näidata sellist jada elementi millele kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks, vastasel juhul hajuvaks. 8. · Lõpmatult kasvav suurus kui · Lõpmatult kahanev suurus kui Lõpmatult kasvavad ja kahanevad suurused on üksteise pöördarvud. Teoreem Suurus a on lõpmatult kahanev ainult siis, kul 1/a on lõpmatult kasvav · Tõkestatud suurus - Suurust nimetame tõkestatuks, kui tema määramispiirkond on tõkestatud Teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus b on tõkestatud siis nende korrutis ab on lõpmatult kahanev 9.
26.Kuidas liita kolme mitte ühes tasapinnas asetsevat jõudu, mille mõjusirged on kiivsirged? Rööptahuka reegli abil. F 1 + F 2 + F 3 = F 12 + F 3 = F 27.Mis on jõuhulknurk ja kuidas see konstrueeritakse? Hulknurga reegli abil. F1+ F2+ F3+...+ Fn= = F 12 + F 3 + ... + F n = ...= F 28.Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduv jõusüsteem on jõusüsteem, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 29.Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on resultant, mis võrdub nende jõudude geomeetrilise summaga ja läbib koondumispunkti. Kui süsteem on tasakaalus on resultant võrdne nulliga. 30.Kuidas leida koonduva jõusüsteemi resultanti?
ε, a]. Sellisel juhul kirjutatakse x → a . Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a +¿¿ + ε). Siis kirjutatakse x → a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim α = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu.
kui integraalsummade piirväärtusest, sest f(x) ei ole pidev lõigul [a, b ] ja see piirväärtus võib puududa. Punktis b katkeva funktsiooni f(x) integraal defineeritakse järgnevalt: b c f ( x ) dx = lim- f ( x ) dx cb a a Kui piirväärtus eksisteerib, siis nimetatakse antud integaali koonduvaks päratuks integraaliks. Kui piirväärtust ei eksisteeri, siis nimetatakse antud integaali hajuvaks päratuks integraaliks. Kui funktsioon on katkev lõigu vasakpoolses otspunktis x = a, siis definitsiooni kohaselt b b f ( x ) dx = lim f ( x ) dx a ca + c Kui funktsioon on katkev lõigu mingis seesmises punktis x = x0, siis loetakse, et b x0 b
Fx2 + Fy2 Ristkomponentide kaudu jõud avaldub kujul: F= Fi+Fj = Fxi+Fyj ja jõu moodul F= 7. Jõu komponendid ja projektsioonid ruumis Fx =Fcos a Fy =Fcos b Fz =Fcos g Jõu ristkomponendid: Fi =Fx i, Fj =Fy j, Fk =Fz k. Siin i, j, k on telgede ühikvektorid. Fx2 + Fy2 + Fz2 Jõud avaldub kujul: F= Fi+Fj+ Fk = Fxi+Fyj+ Fzk ja jõu moodul F= 8. Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis Teoreem: resultandi projektsioon koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga Fres,x= F1x+F2x + ...=SFx ; Fres,y= F1y+F2y + ...=SFy ; Fres,z= F1z+F2z + ...=SFz Fres = Fres 2 , x + Fres, y + Fres , z , 2 2 9. Resultandi moodul 10. resultandi suunakoosinused
a kui integraalsummade piirväärtusest, sest f(x) ei ole pidev lõigul [a, b ] ja see piirväärtus võib puududa. Punktis b katkeva funktsiooni f(x) integraal defineeritakse järgnevalt: b c f ( x ) dx = lim f ( x ) dx a cb - a Kui piirväärtus eksisteerib, siis nimetatakse antud integaali koonduvaks päratuks integraaliks. Kui piirväärtust ei eksisteeri, siis nimetatakse antud integaali hajuvaks päratuks integraaliks. Kui funktsioon on katkev lõigu vasakpoolses otspunktis x = a, siis definitsiooni kohaselt b b f ( x ) dx = lim+ f ( x ) dx ca a c Kui funktsioon on katkev lõigu mingis seesmises punktis x = x0, siis loetakse, et b x0 b f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx
Taolist piirprotsessi tÄhistatakse jÄrgmiselt: x või lim x = . Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes vÄikese positiivse arvu korral saab nÄidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik jÄrgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a Ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on jÄrgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult vaikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pÖÖrdarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Niisiis olgu lõpmatult kahanev, st 0. Me peame tõestama, et suurus
30. Mis on jõuhulknurk ja kuidas see konstrueeritakse? Jõuhulknurga puhul kujutab mitme jõu geomeetrilist summat ehk peavektorit nendest jõududest koostatud hulknurga sulgeja. Vektorhulknurka ehitades tuleb silmas pidada, et kõigi liidetavate vektorite nooled peavad suunduma ühele poole (mööda hulknurga äärejoont), peavektori nool aga vastassuunas. Jõuvektorite liitmise järjekorrast peavektori moodul ega suund ei sõltu. 31. Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduvaks jõusüsteemiks nim sellist jõusüsteemi, mille kõikide jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 32. Kuidas liita kahte jõudu, mille mõjusirged ei lõiku? Kas tulemus on resultant? Üks jõuvektor liigutada teise jõuvektori algpunkti ja siis nad rööpküliku põhimõttel liita. Tulemus ei ole resultant. 33. Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant. 34
30. Mis on jõuhulknurk ja kuidas see konstrueeritakse? Jõuhulknurga puhul kujutab mitme jõu geomeetrilist summat ehk peavektorit nendest jõududest koostatud hulknurga sulgeja. Vektorhulknurka ehitades tuleb silmas pidada, et kõigi liidetavate vektorite nooled peavad suunduma ühele poole (mööda hulknurga äärejoont), peavektori nool aga vastassuunas. Jõuvektorite liitmise järjekorrast peavektori moodul ega suund ei sõltu. 31. Mida nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks? Koonduvaks jõusüsteemiks nim sellist jõusüsteemi, mille kõikide jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 32. Kuidas liita kahte jõudu, mille mõjusirged ei lõiku? Kas tulemus on resultant? Üks jõuvektor liigutada teise jõuvektori algpunkti ja siis nad rööpküliku põhimõttel liita. Tulemus ei ole resultant. 33. Kas koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant? Koonduval jõusüsteemil on alati olemas resultant. 34
teineteisest kaugusel l. F1 = - F2 F1 IIF2 Jõupaar ei moodusta tasakaalustatud süsteemi ning jõupaarimõjul keha teostab pöörlemisliikumised. 7. Jõupaari moment (skeem, arvutamine). Jõupaari momendiks nim tema ühe jõu mooduli ja jõupaaariõla korrutist. Jõupaari õlg on minimaalne kaugus paari moodustavate jõudude vahel M = ±F l 8. Mis on koonduv jõusüsteem? Ühes punktis lõikuvate jõudude süsteemi nim koonduvaks jõusüsteemiks 9. Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks vajalikud tingimused. Resultantjõud peab tulema 0. Koonduva jõusüsteemi tasakaalustamiseks peab viimase jõuvektori lõpp jõudma esimese jõuvektori alguspunkti n F = Fi = 0 i =1 n n n F x = Fix = 0; F y = Fiy = 0; F z = Fiz = 0 i =1 i =1 i =1 F = Fx2 + Fy2 + Fz2 Arvutuslikult:
ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrratust x < -M. Jada piirväärtuse definitsioon. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1,x2,x3,... piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - ,a + ). Koonduvad ja hajuvad jadad. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon.
Kuna siis Newton-Leibnitzi tõttu b.v. Avaldades võrduse vasaku poole b.vi. Viies võrduse teisele poolele tuletame ositi integreerimise valemi määratud integraali jaoks 20. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. a. Lõpmatute rajadega päratud integraalid Integraali nimetatakse koonduvaks, kui ta eksisteerib ja on lõplik, vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks. b. Päratu integraal poollõigul Olgu antud funktsioon f, mis on pidev poolõigul , mistõttu on ta pidev ka lõplikel lõikudel, kus , mistõttu eksisteerib iga korral. Vaatleme seda funktsiooni piirprotsessis Päratu integraal poollõigul Päratu integraal tervel arvteljel c
tähistusviis on x või lim x= ) · Jada piirväärtus Arvu a nim. reaalarvude x1;x2;x3;... piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a ; a+) (Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xna v õi lim xn=a ) Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud
tähistusviis on x või lim x= ) · Jada piirväärtus Arvu a nim. reaalarvude x1;x2;x3;... piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a ; a+) (Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xna v õi lim xn=a ) Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud
annaabi.ee 
