süsteemi jõudude sama punkti suhtes leitud momentide geomeetrilise summaga. 15. Süsteemi raskuskese 16. Kujundi staatiline moment: Integraali Sx= A ydA nimetame kujundi A staatiliseks momendiks telje x suhtes, ja integraali Sy= A xdA kujundi A staatiliseks momendiks telje y suhtes. 17. Inertsimoment: Telginertsimoment (edaspidi inertsimoment) on pinnakarakteristik mis näitab kujundi pinnaelementide laotust mingi telje suhtes. Kujundi inertsimoment x ja y telje suhtes väljendub integraalina I x= A y2dA Iy= A x2dA 18. Inertsiraadius: Vahel on otstarbekas inertsimomenti Ix või Iy väljendada pindala A kaudu, mis kujutletakse koondatuna ühte punkti. Selle punkti kaugust ix või iy vastavast teljest nimetatakse kujundi inertsiraadiuseks x- või y-telje suhtes. Et Ix= I2xA , Iy= I2yA siis ix=Ix/A, iy=Iy/A 19. Tsentrifugaalmoment: Tsentrifugaalmoment on pinnakarakteristik mis näitab kujundi pinnaelementide laotust kahe telje suhtes
udv = uv a - vdu b a a 6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid. f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub, kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus) 7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest. 1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a'st b-'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni ülemise raja ümbruses. 2) kui tegu on integraaliga f(x) rajades ]a;b]. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a+'st b'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni alumise raja ümbruses.
dt Järelikult võib määrata kiirust kui liikuva punkti tuletist aja järgi . Kiiruse mooduli jaoks saame järgmise s ds valemi: v = lim = t 0 t dt Kui on teada kiiruse sõltuvus ajast t, saab arvutada tee pikkuse, mille punkt on läbinud ajahetkedel t 1...t2. Sellest tuleneb . Teepikkus avaldub siis integraalina t1 n s = (t )dt s vi ti t2 i =1 Ühtlane liikumine on liikumine, mille kiiruse ei muutu, kuigi suund võib muutuda. Ühtlasel liikumisel on kõik vI valemis ühesugused ning võrdsed. Projektsioonid telgedel : ( r ) x = x ( r ) y = y
Staatiline moment- liitkujundi staatiline moment mingi telje suhtes võrdub teda moodustavate kujundite staatiliste momentide algebralise summaga sama telje suhtes.Sx=ycA, Sy=xcA Keskteljed- Teljed,mis läbivad kujundi pinnakeset. Staatiline moment iga kesktelje suhtes võrdub nulliga. Telginertsmoment-on pinnakaraketeristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotust mingi telje suhtes. Tegemist on positiivse suurusega. Tähis Ix või Iy , Ühiks cm 4 , väljendub integraalina Ix=y2dA ja vastupidi ka. Inertsiraadius- kui kujutame kujundi pindala nii , et see koondub ühte punkti , siis inertsiraadius on selle punkti kauguse vastavast teljest. Nt . ix on selle punkti kaugus x teljest. Tsentrifugaalmoment- pinnakarakteristik, mis näitab kujundi pinnaelementide laotust kahe telje suhtes. Tähis Ixy, arvutatakse integraali abil Ixy=xydA integraal üle A, ühik on cm 4. Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne, võib võrduda ka nulliga.
kg m 2 [ A] = 1N m = 1 2 = 1J s . Töö üks dzaul tehakse siis, kui ühenjuutonilise jõu mõjul liigub keha edasi ühe meetri võrra. (Võrdub ligikaudu tööga, mis tehakse sajagrammise massiga keha tõstmisel maapinnast ühe meetri kõrgusele). Juhul, kui kehale mõjuv jõud ei ole konstantne, vaid sõltub keha asukohast, s.t. F = F ( x, y , z ) arvutatakse tehtud töö integraalina A = F ( x, y, z ) ds = Fx ( x, y, z )dx + Fy ( x, y, z )dy + Fz ( x, y , z )dz. (5.18a) Siin olema kasutanud skalaarkorrutise definitsiooni ja Newton-Leibnitzi valemit. Seadme võimsuseks nimetatakse tema töötegemise kiirust. dA N= dt . (5.19) Võimsuse ühik on 1 vatt (Watti järgi):
Kui materjali pajukordselt tsükliliselt koormata jõuga, mis kutsub esile materjalis pinged, mille suurus on suurem väsimustugevuset R 19. Staatiline pinnamoment. Valime koordinaatteljed, millega rööpsete joontega jaotame kujundi lõpmata väikesteks elementideks koordinaatidega x,y ja pindadega dA. Korrutist ydA nim pindelemendi staatiliseks momendiks Sx sama telje suhtes on pindmomentide staatiliste momentide summa, mis väljendab ühe pinna arvutatud integraalina S x = ydA A [m ]2 Olenevalt koordinaattelje asendist kujundi suhtes võib staatiline moment olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga Sx=yeA ehk kujundi staatiline moment mingi telje suhtes võrdub pindala ja raskuskeskme koordinaadi korrutisega. Liitkujundi staatiline moment leitakse osakujundite staatiliste momentide summana 20. Pinna inertsimomendid. Kujundi inertsimomendiks x-telje suhtes nim integraalina väljenduvat sellise summa
Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi. Igas trajektoori punktis on see trajektoori puutuja suunaline: Keskmine kiirus avaldub: nihke järgi: ; trajektoori järgi: Teepikkus arvutatakse üldjuhul integraalina: 17. Mis on liikumisvõrrand? Mis on liikumiste sõltumatuse printsiip? Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võr- randit. Need on üksteisest sõltumatud liikumisvõrrandid. Liikumiste sõltumatuse printsiipi kirjeldab valem: ( )
6.7a Homogeense varda inertsimoment varda keskpunkti suhtes. Olgu meil varras pikkusega l ja massiga m. Defineerime varda joontiheduse kui pikkusühiku kohta tuleva massi, mis arvutatakse m = . l Eraldame vardast lõpmata väikese joonelemendi pikkusega dx, mis asub varda masskeskmest O kaugusel x. Tema mass on dm = dx , inertsimoment punkti O läbiva telje suhtes dI = x 2 dm = x 2dx . Siis varda kui terviku inertsimoment avaldub integraalina l 2 x 3 ml 2 I = x 2 dx = = . l 12 12 - 2 dx C x dm = dx Iseseisvalt tõestada nii integreerimise kui Steineri lause abil, et varda inertsimoment tema otspunkti suhtes on ml 2
Kui pind asub xy-tasandil, siis I liiki pindintegraal kujutab endast kahekordset integraali. (sama yz- ja xz-tasandi korral). Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib sellel funktsioonil I liiki pindintegraal üle pinna Ω. OMADUSED: Omadused on kaekordse integraaliga samad - aditiivne, lineaarne ja monotoonne. ARVUTAMINE: Kui pind Ω on ilmutatud võrrandiga z=z(x,y), kus (x,y)ЄD, siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina ʃʃΩfdS=ʃʃDf[x,y,z(x,y)]sqrt(1+zx2+zy2)dxdy 16. I liiki pindintegraali rakendused: ruumilise pinnatüki pindala, mass, masskese ja inertsmomendid, näiteid 1)Pinnatüki pindala. Sileda pinna Ω pindala on arvutatav valemiga SΩ=ʃʃΩdS 2)Pinna mass. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ= γ(x,y,z). Pinna mass on sellisel juhul mΩ arvutatav mΩ=ʃʃΩγ(x,y,z)dS 3)Masskeskme koordinaadid. Materjaalse pinna pindtihedusega γ(x,y,z)
Tasandilise kujundi pindala Tasandilise kujundi D pindala SD= dxdy D Tasandilise kujundi Kui tasandilise kujundi pindtihedus on antud pideva funktsiooniga (x,y), kus mass (x,y) D, siis tasandilise kujundi D mass avaldub kahekordse integraalina üle piirkonna D: mD= ( x , y )dxdy D Tasandilise kujundi Kui tasandilise kujundi pindtihedus on antud pideva funktsiooniga (x,y), kus massikese (x,y) D, siis tasandilise kujundi massikeskme (xc, yc) koordinaadid saab
31) mgl kus I on pendli inertsimoment riputuspunkti läbiva pöörlemistelje suhtes, l vahemaa riputuspunkti ja pendli masskeskme vahel, m pendli mass. 7.3 Harmoonilise võnkumise energia. Kui süsteem viiakse püsiva tasakaalu asendist välja, siis tehakse selle käigus tööd tasakaaluasendisse suunatud jõu vastu, mille moodul oli F = kx . Siis töö, mis selleks tehakse, võrdub töö definitsioonvalemi (5.18a) põhjal integraalina kx 2 A = F ( x )dx = kxdx = . 2 See töö muundub süsteemi potentsiaalseks energiaks. Seega kui võnkuva süsteemi hälve on x, on tema potentsiaalne energia kx 2 Ep = , (7.32) 2 seega on ta võrdeline hälbe ruuduga. Et hälve muutub harmooniliselt seaduse (7.21) järgi, siis saame potentsiaalse energia väärtuseks
7. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Olgu antud funktsioon (x,y) 0. Vaatleme pinna z = (x,y) ja tasandi z=0 vahel paiknevat keha Q ruumalaga V. Üks võimalus on eelnevates teadmistest saadud valem V = (x,y)dxdy Järgnevalt käsitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme keha Q, mis on alt pinnaga z= 1(x,y) ja ülalt pinnaga z= 2(x,y). Olgu Q projektsioon xy-tasandil tähistatud D-ga. Meid huvitab Q ruumala. Näitame, et V saab esitada 1 ja 2 vahe integraalina, st V= [ 2(x,y) 2(x,y)] dxdy D 8. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordne integraal (x,y)dxdy ja kaks funktsiooni u= u(x,y) ja v=v(x,y), mis on määratud piirkonnas D. Eesmärgiks on sooritada muutuja vahetus, mille tulemusl asendatakse x ja y u ja v-ga. Kuna funktsioonid u ja v on ühesed kujutsied, siis seavad nad igale punktile P=(x,y) hulgastt D vastavusse ühe kindla punkti P'=(u,v) uv-tasandil. Kui P jookseb läbi kogu
kaudu. Kui jõud F on konstantne, liikumine on sirgjooneline, läbitud teepikkus on s ning jõu suuna ja liikumise suuna vaheline nurk on , siis töö A avaldub korrutisena F*s*cos(). Erijuhul, kui jõu ja liikumise suund langevad kokku avaldub töö A kujul F*s. Teiste sõnadega, töö avaldub jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kui jõud liikumise kestel muutub või liikumine ei ole sirgjooneline, siis avaldatakse jõud integraalina. Kui töö on positiivne, siis teeb jõud tööd. Kui töö on negatiivne, siis tehakse tööd jõu vastu. TÖÖ on keha liikumisoleku muutumise mõõt, mis on võrdne keha poolt läbitud tee pikkuse ning kehale mõjuva jõu liikumissuunalise komponendi korrutisega. Seega on ühe dzauli dimensiooniks . - Energia - skalaarne füüsikaline suurus, mis iseloomustab keha või jõu võimet teha tööd
mõjuva jõu ning selle jõu toimel läbitud teepikkuse kaudu. Kui jõud F on konstantne, liikumine on sirgjooneline, läbitud teepikkus on s ning jõu suuna ja liikumise suuna vaheline nurk on , siis töö A avaldub korrutisena F*s*cos(). Erijuhul, kui jõu ja liikumise suund langevad kokku avaldub töö A kujul F*s. Teiste sõnadega, töö avaldub jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kui jõud liikumise kestel muutub või liikumine ei ole sirgjooneline, siis avaldatakse jõud integraalina. Kui töö on positiivne, siis teeb jõud tööd. Kui töö on negatiivne, siis tehakse tööd jõu vastu. TÖÖ on keha liikumisoleku muutumise mõõt, mis on võrdne keha poolt läbitud tee pikkuse ning kehale mõjuva jõu liikumissuunalise komponendi korrutisega. Seega on ühe dzauli dimensiooniks . - Energia - skalaarne füüsikaline suurus, mis iseloomustab keha või jõu võimet teha tööd.
Staatiline moment kesktelje suhtes võrdub nulliga Milliste parameetritega iseloomustatakse jõudu? Jõud on detailide omavahelise mõju tulemus. Jõud F [N]. Jõu tüübid: aktiivne jõud (jõud, Pinna inertsimomendid. mis mõjub detailile väljastpoolt) ja sideme reaktsioon; punktjõud F [N] (koormus, mis on Kujundi inertsimomendiks x-telje (y-telje) suhtes nimetatakse integraalina väljenduvat rakendatud ühte punkti) ja lauskoormus q [N/m] (koormus, mis mõjub mingile pinnale). sellise summa piirväärtust, mille liikmed on pinnaelementide dA ja nende x-teljest (y- teljest) mõõdetud kauguste ruutude korrutised: Tasapinnaline jõusüsteem ja selle tasakaaluks vajalikud tingimused.
alla selle intervalli kohale.P(a
[ A] = 1N m = 1 kg 2m 2 = 1J . s Töö üks dzaul tehakse siis, kui ühenjuutonilise jõu mõjul liigub keha edasi ühe meetri võrra. (Võrdub ligikaudu tööga, mis tehakse sajagrammise massiga keha tõstmisel maapinnast ühe meetri kõrgusele). Juhul, kui kehale mõjuv jõud ei ole konstantne, vaid sõltub keha asukohast, s.t. F = F ( x, y , z ) arvutatakse tehtud töö integraalina A = F ( x, y , z ) ds = Fx ( x, y , z ) dx + F y ( x, y , z ) dy + Fz ( x, y , z ) dz. (5.18a) Siin olema kasutanud skalaarkorrutise definitsiooni ja Newton-Leibnitzi valemit. Seadme võimsuseks nimetatakse tema töötegemise kiirust. dA N = . (5.19) dt Võimsuse ühik on 1 vatt (Watti järgi): kg m 2 [N] =1 J =1 = 1W
osakujundiste staatiliste momentide summana. xc Staatiline moment kesktelje suhtes võrdub nulliga 20. Pinna inertsimomendid. x Kujundi inertsimomendiks x-telje (y- telje) suhtes nimetatakse integraalina väljenduvat sellise summa piirväärtust, mille liikmed on pinnaelementide dA ja nende x-teljest (y-teljest) mõõdetud kauguste ruutude korrutised: 2 Ix = ; mõõtühik on m4 y dA A 2 x dA Iy = A 21. Ristlõike peateljed ja peainertsimomendid.
y-telg läbivad kujundi raskuskeset, siis staatiline moment nende suhtes on null. Selliseid telgi nimetatakse kujundi kesktelgedeks. Kui kujundil on sümmeetriatelg, siis see läbib alati kujundi raskuskeset. Kui kujundid saab jaotada lihtsateks osakujunditeks (ruudud, kolmnurgad jne.), mille raskuskeskme asukohad on teada, siis kogu kujundi staatiline moment arvutatakse lihtkujundite staatiliste momentide summana. 20. Pinna inertsimomendid. Kujundi inertsimomendiks x telje suhtes nimetatakse integraalina väljenduvat summat mille liikmeteks on pinnaelementide pindala ja nende x-teljest mõõdetud kauguste ruutude korrutised. Põikpinna telginertsimomendiks x-telje suhtes nimetatakse põikpinna geomeetrilist karakteristikut, mis on määratud integraaliga Põikpinna polaarinertsimomendiks nimetatakse geomeetrilist karakteristikut, mis on määratud integraaliga
kus . Seda defineerime järgmise parempoolse piirväärtusega Kui päratu integraal katkevast funktsioonist eksisteerib ja on lõplik siis ta koondub, vastasel juhul hajub. 21. Tuletada joonte y=f1(x) ja fz(x) vahel asuva kujundi pindala valem. a. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega ja ülalt joonega , kusjuutes . Näitame, et S (D pindala) saame esitada ja vahe integraalina Tõestuseks nihutame D ülespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib võrratus ning Olgu joonte ja vahel paiknev kujund. Tänu C sobivale valikule asetseb kujund x- telje peal st ja . Järelikult tuleb S-i leidmiseks arvutada pindala. Kuna jooned ja asetsevad ülalpool x-telge võib kujundi pindala arvutada selliselt, et lahutame
ristlõike arvutuslikkude =V/A V põikjõud A uurimisel vaadeldakse tihti suuruste ristlõike pindala. Tegelik ka nn määramine:raskuskese, leidmine toimub materjali piirolukorda.Piirolukorra momendid: staatiline katsetamisel. Elementide võib defineerida mitmeti,nt moment x-telje suhtes on purunemisel vaadeldakse liigsete deform-de alusel või integraalina väljenduv piirolukorda, mida võib voolupiiri saabumisega summa Sx =aydA. defineerida naiteks pingetes.Materjali voolama Pinnamomendi dA staatiline deformatsioonide alusel või hakkamisel pinge moment x telje suhtes voolupiiri saabumisega stabiliseerub ja saavutab nim.elemendi pindala pingetes. Materjali voolama
Siis on f pidev kõigil lõikudel [c,b], kus . Seda defineerime järgmise parempoolse piirväärtusega Kui päratu integraal katkevast funktsioonist eksisteerib ja on lõplik siis ta koondub, vastasel juhul hajub. 43. Tuletada joonte ja vahel asuva kujundi pindala valem Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega ja ülalt joonega , kusjuutes . Näitame, et S (D pindala) saame esitada ja vahe integraalina Tõestuseks nihutame D ülespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib võrratus ning Olgu joonte ja vahel paiknev kujund. Tänu C sobivale valikule asetseb kujund x-telje peal st ja . Järelikult tuleb S-i leidmiseks arvutada pindala. Kuna jooned ja asetsevad ülalpool x-telge võib kujundi pindala arvutada selliselt, et lahutame joone ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindalast joone ja x telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala
integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Hindamisteoreemid Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest 43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem. Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja ülalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b. Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st Valemi tõestamiseks nihutame D ülespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib võrratus f1(x) + C 0 ja defineerime funktsioonid ning +C Olgu joonte y = g1(x) ja y = g2(x) vahel paiknev kujund. Tänu C sobivale valikule asetseb kujund x-telje peal. Märgime, et juhul kui D asetseb juba x-telje peal, siis ei ole taolist nihutamise operatsiooni vaja teha, st võtame C = 0 ja = D. Kujundite D ja pindalad on võrdsed
2. ba Cf(x)dx = C ba f(x)dx, C - konstant. 3. aa f(x)dx = 0, Põhjendus: kui a = b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on 43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem. Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja ülalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b. Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st Valemi tõestamiseks nihutame D ülespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib võrratus f1(x) + C 0 ja defineerime funktsioonid ning +C Olgu joonte y = g1(x) ja y = g2(x) vahel paiknev kujund. Tänu C sobivale valikule asetseb kujund x-telje peal. Märgime, et juhul kui D asetseb juba x-telje peal, siis ei
2 [A] = 1N ⋅ m = 1 kg ⋅ 2m = 1J . s Töö üks džaul tehakse siis, kui ühenjuutonilise jõu mõjul liigub keha edasi ühe meetri võrra. (Võrdub ligikaudu tööga, mis tehakse sajagrammise massiga keha tõstmisel maapinnast ühe meetri kõrgusele). Juhul, kui kehale mõjuv jõud ei ole konstantne, vaid sõltub keha asukohast, s.t. r r F = F ( x, y , z ) arvutatakse tehtud töö integraalina r r A = ∫ F ( x, y, z ) ⋅ ds = ∫ Fx ( x, y, z )dx + ∫ Fy ( x, y, z )dy + ∫ Fz ( x, y, z )dz. (5.18a) Selles valemis oleme kasutanud skalaarkorrutise definitsiooni ja Newton-Leibnitzi valemit. Seadme võimsuseks nimetatakse tema töötegemise kiirust. dA N= . (5.19) dt Võimsuse ühik on 1 vatt (Watti järgi): 2 [N ] = 1 J = 1 kg ⋅3m = 1W .
Kui jõud F on konstantne, liikumine on sirgjooneline, läbitud teepikkus on s ning jõu suuna ja liikumise suuna vaheline nurk on , siis töö A avaldub korrutisena F·s·cos(). Erijuhul, kui jõu ja liikumise suund langevad kokku avaldub töö A kujul F · s. Teiste sõnadega, töö avaldub jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kui jõud liikumise kestel muutub või liikumine ei ole sirgjooneline, siis avaldatakse jõud integraalina. Kui töö on positiivne, siis teeb jõud tööd. Kui töö on negatiivne, siis tehakse tööd jõu vastu. energia skalaarne füüsikaline suurus, mis iseloomustab keha või jõu võimet teha tööd. Energiat tähistatakse üldjuhul suure ladina tähega E ja ühik SI-süsteemis on 1 dzaul (J). · Kineetilise energia valem: rakendused. Kineetiline energia on energia, mis on tingitud keha liikumisest teiste kehade suhtes
Vaatleme jälle ideaalset gaasi kui termodünaamilist süsteemi. Gaasi paisumise töö ruumala 18 lõpmata väikese muudu dV korral avaldus: A = p dV . (5.24) Paisumisel algruumalalt V1 lõppruumalani V2 võib rõhk muutuda suvalisel viisil, vastavalt välistingimustele, seepärast tuleb töö arvutada integraalina: V2 A = p dV . (5.25) V1 Määratud integraal kujutub graafiliselt pindalana funktsiooni graafiku ja argumendi telje vahel. Tööd termodünaamikas ongi
Vastasel juhul nimetatakse päratut integraali hajuvaks Sonastada paratute integraalide hindamisteoreemid. Defineerida paratud integraalid katkevatest funktsioonidest. 43. Tuletada joonte y = f1( x) ja y = f2( x) vahel asuva kujundi pindala valem.133 Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja .ulalt joonega y = f2(x), kusjuures a x b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st 44. Toestada keha ruumala valem ristloigete pindalade kaudu ja tuletada sellest poordkeha ruumala valem.(Vaatame konspekt paberises 134-136, voi 138-140) 45. Tuletada joone pikkuse valem. Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v~orrandiga y = f(x), kus a x b. T.ahistame selle joone pikkuse l- ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f(x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punktidega a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (joonis 5.8). T.ahistame
Kui pind on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerib sellel funktsioonil I liiki pindinegraal üle pinna . 3.1.1 Esimest liiki pindintegraali omadused I liiki pindintegraalil on samad omadusd kui kahekordsel integraalil, s.t. I liiki pindintegraal on aditiive, lineaarne, monotoonne. 3.1.2 Esimest liiki pindintegraali arvutamine 3.1.2.1 Kui pind on antud ilmutatud võrrandiga z z x, y , kus x, y D, siis pindintegraal avaldub kahekordse integraalina fdS f x, y, z x, y 1 z 2x z 2y dxdy 21 D Selle valemiga analoogsed valemid saame, kui pind avaldub ilmutatud kujul võrranditega x x y, z või y y x, z Näide 54
) mõnevõrra lihtsamateks. Matemaatiliselt on see lihtsus aga petlik, kuna nüüd on meil tegu mitte joon-, vaid ruumintegraalidega. Arvuti jaoks on see muidugi ükspuha. Soojusmasinate poolt tehtav töö saadakse gaaside paisumisest. Kolvi liikumisel tehtav töö on võrdeline gaasi rõhuga ning kolvialuse ruumala juurdekasvuga. Nagu mehaanikas tahkete kehade liikumisel, arvutatakse ka gaasi paisumisel tehtav töö integraalina, süsteemi alg- ja lõppolekust lähtudes. Neid olekuid seob olekuvõrrand. Kõige lihtsam on rehkendada nn. isoprotsesse, kus üks parameetritest on konstantne: 50 1. Isohoorilise protsessi korral on ruumala konstantne, gaas ei paisu ja järelikult tööd ei tee; 2. Isobaarilisel protsessil, kus rõhk konstantne, kehtib lihtne valem: 3
Neid kettaid aina väiksema paksuse korral kokku liites saame nagu kera pindala ümbermõõt, pindala, ruumala leidmiselgi integraali [lk 340], seejuures vasemalt äärelt paremale välja jõudmiseks muutub horisontaalne kaugus vahemikus . Seega võime ruumala kirjutada järgmise integraalina: . Seda oskame kooliõpiku abil juba arvutada: Tulemuseks saamegi kera ruumala valemi . Huvitav on see, et sellest kera ruumala valemist saame tegelikult nüüd tuletada ka
dx = 2 = 2 dt = - dt x 2 sin t sin t sin2 t 1 - sin2 t 1 - x2 = - cot t - t + C = - -t+C =- - arcsin x + C. sin t x 9.3.3 Kolmandaks olgu a > 0 ja k < 0. Siis on (9.19) esitatav integraalina R(x, a2 x2 - k 2 )dx. 25 Selles kasutatakse irratsionaalsusest vabanemiseks muutuja vahetust k x= , (9.22) a sin t mille korral
S = f (x)dx . (5.35) a J¨argnevalt k¨asitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1 (x) ja u ¨lalt joonega y = f2 (x), kusjuures 132 a x b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. N¨aitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st b S = [f2 (x) - f1 (x)] dx . (5.36) a Valemi (5.36) t~oestamiseks nihutame D u¨lespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib v~orratus f1 (x) + C 0 ja defineerime funktsioonid g1 (x) = f1 (x) + C ning g2 (x) = f2 (x) + C. Olgu D joonte y = g1 (x) ja y = g2 (x) vahel paiknev kujund
S = f (x)dx . (5.35) a J¨argnevalt k¨asitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1 (x) ja u ¨lalt joonega y = f2 (x), kusjuures 132 a x b (joonis 5.4). Meid huvitab D pindala S. N¨aitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st b S = [f2 (x) - f1 (x)] dx . (5.36) a Valemi (5.36) t~oestamiseks nihutame D u¨lespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib v~orratus f1 (x) + C 0 ja defineerime funktsioonid g1 (x) = f1 (x) + C ning g2 (x) = f2 (x) + C. Olgu D joonte y = g1 (x) ja y = g2 (x) vahel paiknev kujund. T¨anu C sobivale
mootori tasakaalustatud juhtimise, nagu näitab joonis 5.12. Nõutav on kolmefaasiline vooluallikas, mille voolu amplituud ja faasinurgad on juhitavad sõltumatult. Servomootor. Servomootori staatori toiteahel on sarnane asünkroonmootori omaga, seega on ka jõupooljuhtmuundurite tüübid mõlema mootori jaoks sarnased. Peamiseks erinevuseks on siin koormusnurga 1 määramise meetod juhtimissüsteemis. Asünkroonmootori korral arvutatakse see nurk integraalina magnetvälja pöörlemiskiirusest 1, mis on määratud võrgu ja mootori tegelike sagedustega, kuid servomootori koormusnurka 1 tuleb mõõta q M 1= 12 Mmax I1R1 s1 I1 E1
f (ϕ(x)) · ϕ (x) dx = f (x2 ) · 2x dx a −1 nõutakse funktsiooni f väärtuste arvutamist väljaspool tema lähtehulka (kuna ϕ([−1, 2]) = Rb R2 [0, 4] * [1, 4] = [ϕ(−1), ϕ(2)]). Seda määratud integraali a f (ϕ(x)) · ϕ′ (x) dx = −1 x23 dx ei eksisteeri (isegi mitte päratu integraalina). 126 5 Integreeruvad funktsioonid 5.6 Päratud integraalid 5.6.1 Lõpmatute rajadega integraal Olgu funktsioon f määratud intervallis [a, ∞) . Olgu f integreeruv igas lõigus [a, l], kus l > a. Piirväärtust Z l lim f (x) dx, (5.20) l→∞ a
g(k) funktsioon on f(x) funktsiooni Fourier´i pööre, mida on võimalik f(x) funktsiooni kaudu välja arvutada järgmiselt: Praeguses näites vaatame aga teatud kindlal ajahetkel olevat lainepaketti. Lainepaketi kuju on võimalik esitada Gaussi jaotusena: nimetatakse dispersiooniks, mis iseloomustab jaotuse laiust. Antud näites saab osakest kirjeldada lainepaketina. Järelikult dispersioon kirjeldab siin osakese asukoha määramatust x . Kui me f(x) funktsiooni esitame fourier´i integraalina, siis avaldub f(x) siinuseliste lainete eikx superpositsioonina. k on lainearv ja on lainepikkus Lainepaketi lainearvu ja amplituudi komponente näitabki eespool väljatoodud g(k) funktsioon. Kui me g(k) funktsioonis asendame f(x) funktsiooniga saame järgmise integraali Arvestades kompleksmuutuja funktsioonide teooriat saame integraali arvutada niimoodi: 92 kus ja .
( = ( Praeguses näites vaatame aga teatud kindlal ajahetkel olevat lainepaketti. Lainepaketi kuju on võimalik esitada Gaussi jaotusena: ( = σ nimetatakse dispersiooniks, mis iseloomustab jaotuse laiust. Antud näites saab osakest kirjeldada lainepaketina. Järelikult dispersioon kirjeldab siin osakese asukoha määramatust △x = σ. Kui me f(x) funktsiooni esitame fourier´i integraalina, siis avaldub f(x) siinuseliste lainete eikx superpositsioonina. k on lainearv ja λ on lainepikkus = Lainepaketi lainearvu ja amplituudi komponente näitabki eespool väljatoodud g(k) funktsioon. Kui me g(k) funktsioonis asendame f(x) funktsiooniga ( = saame järgmise integraali ( = =
annaabi.ee 
