mx S Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const S Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 S Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades S ' ( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = S ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )
mx P Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const P Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 P Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades P( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = P ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )
1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust.
Tallinna Tehnikaülikool Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused..........................
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C .
Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)?
Ida-Virumaa kutsehariduskeskus Kõvertrapetsi pindala • Meile seni tuntud pindala valemid on rakendatavad ainult teatud erikujuliste pinnatükkide, nagu ristkülik, romb, kolmnurk, trapets jne puhul. Kõverjoonega piiratud pinnatükkidest oskame leida ainult ringi pindala. Meie järgmiseks ülesandeks on õppida leidma kõverjoonega piiratud pinnatüki suurust integreerimise teel. 1) Esmalt tuleta meelde olulisemad integreerimisvalemid ja reeglid. 2) Summa (vahe) integraal võrdub liidetvate integraalide summaga(vahega) 3) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi alt integraali ette. Newton-Leibnizi valem 4) Newton-Leibnizi valem määratud integraali arvutamiseks. 5) Määratud integraali arvutamiseks • leitakse integreeritava funktsiooni algfunktsioon; • leitakse algfunktsiooni väärtused ülemise ja alumise raja kohal; • lahutatakse algfunktsiooni väärtusest ülemise raja kohal algfunktsiooni väärtus alumise raja kohal. 6)
1) un > un+1 > 0 lim u ( n )=0 2) n , siis vahelduvate märkidega rida koondub Integraaltunnus Kui f on pidev monotoonselt kahanev funktsioon piirkonnas [a, ¿ ja un=f(n), siis positiivne rida u ( n) ja päratu integraal f ( x ) dx n=0 a koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0
b ba 1 1 Rn f ( x)dx y 0 2( y1 y 3 ... y 2 n 1 ) ( y 2 y 4 ... y 2 n 2 ) y 2 n a 3n 2 2 Oletame, et funktsioonil f on lõigus [a, b] olemas pidev neljas tuletis f IV ja näitame, et siis M (b a ) 5 Rn 4 , max f IV ( x) . 180(2n) 4 a xb kehtib hinnang kus Simpsoni valemi maksimaalset viga M 4 (b a ) 5 180(2n) 4 kujutab suurus . Nähtub, et Simpsoni valemi maksimaalne viga Suurus n
funktsiooni piirväärtus x1, x2, ..., xn funktsiooni argumentide jada f(x1), f(x2), ..., f(xn) funktsiooni väärtuste jada arv A on funktsiooni piirväärtuseks, kui arvuks a koonduva argumentide jada korral vastav funktsiooni väärtuste jada koondub arvuks A funktsioon on pidev, kui 27. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. funktsiooni tuletis kui funktsioonil leidub lõplik piirväärtus: siis seda nimetatakse funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonist vaadeldavas piirkonnas.
..;xn) |Rn. w=f(x1;x2; ...;xn). Elementaarfunktsioonid funktsioonid, mida saab moodustada pôhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y = x2 + 2x + 2, y = log(2x-3). Pôhielementaarfunktsioonid: f(x) = c; xa;ax;logax; sinx;...;...arccotx. Liitfunktsioonid: y=f(t) ja t = g(x) y = f[g(x)] y on argumendi x liitfunktsioon. 29. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub y=f(x) piirväärtus limx0(y/x) = limx0[f(x0+x) f(x0)]/ x, siis seda piirväärtust nim. funkts. tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f'(x0). Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. 30. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooni tuletis kui on antud y=f(t) ja t=g(x) ja y=f[g(x)]. Eeldusel, et leidub g'(x0) ja f'(t0), siis leidub ka f'(x0) = f'(t0)*g'(x0). 31
kuitahes lähedale, kui aga argumendi x väärtused on arvule a küllalt lähedal. Kirjutatakse lim f ( x ) = b ehk ka f ( x ) b, kui x a . x a Funktsiooni pidevusest lühidalt: pideva funktsiooni graafikut saab joonistada pliiatsit paberilt eemaldamata. Iga elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonnas. Kui funktsioon on pidev kohal a, siis lim f ( x ) = f ( a ) . x a 9.Funktsiooni tuletis. Tema füüsiline ja geomeetriline tõlgendus. Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. 10.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised, liitfunktsiooni tuletis. tuletiste tabel:
I ja reaalharu II. Tegutsesid ka kutsekoolid. 1924. a toimus Eesti matemaatika kongress, kus loodi Matemaatika Õpetamise Komisjon (MÕK). Seda komisjoni asus juhtima Gerhard Rägo. Komisjonis valmisid algkooli ja gümnaasiumi matemaatika õppekavad (vastavalt aastatel 1928 ja 1930), mis arvestasid igati sajandi alguse rahvusvahelise koolimatemaatika reformi ideid. See oligi matemaatika programmi kujunemise ajajärk. Olulisele kohale tõusis funktsiooniga seotud temaatika (ka tuletis ja integraal). Õpetati ka kombina- toorikat, tõenäosusteooriat ning analüütilise geomeetria algeid. Näiteks olid gümnaasiumi humanitaarharus ka kindlustusmatemaatika alged: suremustabel, kindlustusettevõtja fiktiivühing, kohustusliku tasakaalu nõue; reaalharus käsitleti aga sfäärilise trigonomeetria teemasid. Matemaatika nädalatundide arv koolis 1939. a. Klas I II III IV V VI VII VII IX X X XII Summa
MÄÄRAMATA INTEGRAAL a) funktsioonid ja algfunktsioonid · Kui meil on teada funktsiooni tuletis, kuid peame leidma funktsiooni, millest selline tuletis saadud on, siis peame kasutama toimingut, mida nimetatakse INTEGREERIMISEKS · INTEGREERIMINE on tuletise võtmise pöördtehe: meil on ette antud tuletis ja me peame leidma selle kaudu funktsiooni, millest selline tuletis on saadud. Funktsiooni, millest tuletis on võetud, nimetatakse ALGFUNKTSIOONIKS. LÄHENEME NÜÜD ASJALE MATEMAATILISELT Def: Funktsioon F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon hulgal X , kui iga xX korral kehtib võrdus: dF ( x) = f ( x) dxfunktsioon saab olla mingile Definitsioon ütleb, et mingi ehk teisele F'(x) =funktsioonile
Meil on funktsioon y = f(t). See tähendab, et suurus t on suuruse igrek funktsioon, y sõltub suurusest t. ÄRME UNUSTA, ET FUNKTSIOON POLE MIDAGI MUUD KUI MUUTUV SUURUS, MIS SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja
.., f(xn). Kui vaadeldaval funktsioonil on selline omadus, et arvuks a koonduva mis tahes argumentide jada x1, x2, ..., xn korral vastav funktsiooni väärtuste jada f(x1), f(x2), ..., f(xn) koondub alati arvuks A, siis öeldakse, et see arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks ja kirjutatakse kujul: 30. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub lõplik piirväärtus: siis seda nim funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx.
avaldubki külgede korrutisega... Ametlikult öeldes: Kui f(x) 0 , siis integraalne alamsumma võrdub arvuliselt kõvera all oleva murdjoonega piiratud seesmise treppkujundi AC0N1C1N2Cn-1NnB pindalaga. MIDA TÄHELDAME, KUI VAATAME INTEGRAALSET ÜLEMSUMMAT? Kui f(x) 0, siis integraalne ÜLEMsumma võrdub arvuliselt kõvera peal oleva murdjoonega piiratud ,,välimise treppkujundi" (viirutatud kujundi) pindalaga. Nii hakkabki väljenduma vaikselt integraal kui pindala , kkdw jms arvutamise vahend b) Integraalse alam ja ülemsumma omadusi Olgu funktsioon f(x) pidev lõigul [a, b] ja x n vastava lõigu alamlõigu pikkust iseloomustavad argumendi muudud 1) Kuna igal alamlõigul on funktsiooni vähim väärtus alati kas väiksem funktsiooni suurimast väärtusest või sellega võrdne, siis ka integraalne alamsumma on alati kas väiksem ülemsummast või siis sellega võrdne: ehk:
Tallinna Tehnikaülikool Referaat Määratud integraali ligikaudne arvugtamine trapetsi valemiga. Veahinnangud. Näited. Tatjana Kruglova 142442IAPB Sisukord Määratud integraal.................................................................................................................................3 Pindfunktsioon ning selle tuletis........................................................................................................3 Kõverjoonelise trapetsi pindala..........................................................................................................4 Määratud integraali mõiste................................................................................................................5 Definitsioon 1..................................................................................
49.Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile. 50.Joone puutuja mõiste Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M 0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 51.Funktsiooni tuletise mõiste Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. 52.Diferentseeruva funktsiooni mõiste Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. 53.Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel 54.Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletis Konstandi tuletis on null C =0 55.Liitfunktsiooni tuletis 56.Pöördfunktsiooni tuletis 57
. . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal 47 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Tuletise definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . .
u)=R(-u,-v)=R(u,v)=R1(u,v/u). Muutuja R1(u,v) sisaldab ainult muutuja x paaris astmeid. III t=sinx Kui R(-u,v)=-R(u,v) , siis R(u,v)=uR1(u2,v) ja on otstarbekas kasutada muutuja vahetust t=sinx: N TAGASIASENDUS! 2.9 Hüperpoolsete funktsioonide integreerimine I Üldine 2.10 Algebraliste funktsioonide integreerimine +TAGASIASENDUS! III Diferentsiaalbinoom Avaldist , kus , , on ratsionaalarvud(Q) ning a, bR, nim diferentsiaalbinoomiks. Lause:Diferentsiaalbinoomi integraal osutub elementaarfunkiooniks juhul, kui , või on täisarv. 1)Kui on täisarv, siis olgu n murdude ja ühine nimetaja, siis muudab avaldise ratsionaalseks muutujate vahetus . 2)Kui on täisarv, siis asendades , saame ,et , ja . Olgu m murru nimetaja; siis selle integraali alune avaldis on ratsionaalne suhtes, s.t . Seega muudab asendus selle avaldise ratsionaalseks ja asendades sinna tagasi t saame, et binoomi sobiks asendus .
LIHTSUSTAMINE TÕENÄOSUSE ÜLESANDED: TÕENÄOSU FUNKTSIOON FUNKTSIOON FUNKTSIOON VÕRRANDID Geomeetria PROTSENT VEKTOR, VÕRRANDITE KOOSTAMINE Integraal, pindala arvutamine JADA
lim - . x1 x - 1 ln x 7. Leida funktsiooni f (x) = 6 + 8x3 - x4 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 8. Leida funktsiooni 3 f (x) = (x3 + 8)2 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 9. Avaldada m¨aa¨ramata integraal cos(5 - 6x)dx . 10. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . 2 + 9x2 11. Avaldada m¨aa¨ramata integraal x3 dx 5 . x4 + 1 12. Avaldada m¨aa¨ramata integraal
eraldi. Kui lõigu [a,c] üheks jaotuspunktiks on b, siis saame jagada integraalsumma kaheks osaks. Tõestus. Kui valida integraalsumma jaoks sama tükelduse ja samad punktid i, siis saame: Tõestus. Olgu f(x) integreeruv lõigul [a,b]. Et f(x)I[a,b]|f(x)|I[a,b] ja lause 2 põhjal |f(x)|I[a,b]-|f(x)|I[a,b] ning -|f(x)|f(x)|f(x)|, x[a,b] ning lausete 2 ja 4 abil saame selle välja kirjutada nii . 2.13 Integraal ülemise raja funktsioonina f(x)I[a,b]f(x)I[a,c], cb. Võtan kasutusle abifunktsiooni G(x)[a,b]. DEF1. x[a,b] Tõestus. G=G(x+x)+G(x). joonis! G=f(x+x)x, kui minna piirile x0 siis ka |G|0 ja siis ka G0ja s.t DEF2. Enne tõestasin, et G'(x) on f(x) algfunktsioon. F(x)=G(x)+C s.t, et suvaline algfunktsioon 2.14. Newton-Leibnizi valem Lause. Funktsiooni f(x) suvaline algfunktsioon on kirja pandav sellisel kujul: x=a: Näide. 2.15 Muutuja vahetus ja ositi integreerimine
4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on tasuvuspunkt. müügimaht, mille puhul tulu ja kulu on võrdsed. 6. Nõudlusfunktsioon Nõutav kogus QD on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse QD=Q (p) Pakkumisfunktsioon Pakutav kogus QS on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse kujul QS=Q (p) 7. Defineerida tuletis. Mis on marginaalsuurus? Mida tähendab, et marginaalkulu on 15 krooni? Mida tähendab, et marginaaltulu on 10 eurot? Mida tähendab, et marginaalkasum on 30? tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Marginaalsuurus majandusnäitajatega funktsiooni tuletis Mkulu 15kr tähendab ligikaudu täiendava tooteühiku tootmiseks vajalikku kogukulu muutu
TEOORIAKÜSIMUSED nr 2 1. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a kui on täidetud kolm tingimust: 1) eksisteerib f(a) 2)eksisteerib 3) <- kui viimane võrdus kehtib iga määramispiirkonna punkti korral on funktsioon pidev Tähistatakse f(x) e C(a) Mittepidev funktsioon: f(x) = katkeb punktis x=1, sest 0-ga jagamine. 2. Defineerida tuletis Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muutu y=(x+x)-f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. f´(x) = 3. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku tõusu antud punktis. = tan 4. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse korrutist f´(x)x
Nõudlus on kaupade ja teenuste hulk, mida tarbija on valmis ja võimeline kindla hinnaga ostma. Pakkumisfunktsioon pakutav kogus Q on toote ühikuhinna p funktsioon Q=f(p) või QS=f(p) Pakkumine on kaupade ja teenuste hulk, mida tootjad on valmis ja võimelised kindla hinnaga müüma. Teooriaküsimused nr. 2 1. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. 2. Defineerida tuletis. 4. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Teooriaküsimused nr.3 1. Selgitada tuletise majanduslikku tähendust. Tuletise asemel kasutatakse majanduses mõistet: lisand ehk piirsuurus ehk marginaal. Tuletis väljendab teatud majanduslikku objekti või majandusliku protsessi muutumise kiirust, mis võib sõltuvuses olla mõnest majanduslikust muutujast. Näitab argumendi väikese muutusena selle
10. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Kui lim f(x) = f(a), siis nimetatakse funktsiooni y=f(x) pidevaks kohal a. Kui viimane võrdus kehtib iga x korral hulgast X, siis nimetatakse funktsiooni f pidevaks hulgal X. (pidevat funktsiooni võib piltlikult kirjeldada kui funktsiooni, mille graafikut saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata). Pidev funktsioon: f(x)=1+x ,Mittepidev funktsioon: f(x)=1/x-1 11. Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y= f(x+ x) - f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile ja tähistatakse f'(x) või y'. f'(x) = lim Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni, millel on olemas tuletis punktis x (piirkonnas X), nimetatakse diferenseeruvaks punktis x (piirkonnas X). 12. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis
Weierstrass teoreem: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus Weierstrass teoreem: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus Bolzano-Cauchy teoreem: lõigus pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuse vahel Teoreem: Lõigus {a,b} pideva ja rangelt monotoonse funktsiooni f(x) pöördufunktsioon on pidev lõigus otspunktidega f(a) ja f(b). 13. Funktsiooni tuletis (definitsioon). Selle füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus. Näiteid. Tähistused. Millal funktsiooni tuletis puudub? Definitsioon: kui argumendi muudu lähenemisel nullile funktsiooni f(x) muudu ja argumendi muudu suhte korral x on olemas poorväärtus, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f(x) tuletiseks kohal x Füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus: füüsikaline tõlgendus – KIIRENDUS;
funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Üldavaldus. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx. omadused. · TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga: On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx .
F-n omandab iga väärtuse, mis paikneb minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel. F-nil on olemas pidev pöördfunktsioon lõigus [a,b]. OSA 6 1. Punkt M liigub seaduse järgi. Milline on punkti M kiirus hetkel t = 3? 2. Mis on funktsiooni graafiku lõikaja ja puutuja? Graafiku lõikaja on sirge, mis läbib (lõikab) teise f-ni graafikut. Graafiku puutuja on sirge, mis puutub mingis punktis vastu f-ni graafikut. 3. Defineerida funktsiooni tuletis! Leida konkreetse funktsiooni tuletis definitsiooni põhjal ja Mathcadi sisseprogrammeeritud algoritmiga! F-ni tuletis on piirväärtus f-ni juurdekasvu ( ) ja argumendi juurdekasvu ( ) jagatisest. 4. Milline on funktsiooni tuletise geomeetriline tõlgendus? Illustreerida seda tõlgendust konkreetse näite baasil tehtud animatsiooniga. F-ni f(x) tuletis kohal x = a tähendab geomeetriliselt f-ni f(x) graafiku puutuja tõusu kohal x = a. 5
1 lim 1 + = e = 2, 7182... , x x sin x lim = 1 sin x : x , kui x 0 . x0 x Funktsiooni nimetatakse pidevaks kohal a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . x a Funktsiooni nimetatakse pidevaks mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. 32 4.5 Funktsiooni tuletis Funktsiooni y = f ( x ) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. dy Funktsiooni tuletise tähised on y , f ( x ) , , yx . Seega dx y y = lim .