füüsika praktikum (0)

Tallinna Tehnikaülikool

Tallinna Tehnikaülikool  Füüsikainstituut   Üliõpilane:   Teostatud:15.04.2020  Õpperühm:   Kaitstud:  Töö nr: 10  TO:    Töö eesmärk: Induktiivpoolist L, 
kondensaatorist C ja aktiivtakistist R 
koosnevas ahelas (võnkeringis) 
toimuvate võnkumiste  sumbuvuse  
logaritmilise   dekremendi  määramine  Töövahendid: Impulssgeneraator, indkutiivpool, 
mahtuvus - ja takistussalv ning ostsillograaf     Skeem         
 
 
 
   
 
  Töö  teoreetilised alused  Ainult võnkesüsteemi sisemiste jõ udude  mõjul toimuvaid  võ nkumisi   nimetatakse vabadeks 
võnkumisteks. V aatleme võnkesüsteemi, milleks on ideaalne võnkering. See on suletud ahel 
kondensaatorist C ja induktiivpoolist L . Kui  laadida   kondensaator  ja katkestada pärast seda 
ahela  mõjustamine  väljastpoolt,  hakkavad  võnkeringis  toimuma  vabad  nn  elektromagnetilised  võ nkumised ,  mis  tähendab  seda,  et  võnkeprotsessi  iseloomustavad 
elektrilised   ja   magnetilised   suurused  (q,  u,  i,  B,  E  jt)  muutuvad  ajas  perioodiliselt. 
Kondensaatori  tühjenemise  käigus  aja  T/4  jooksul  toimub  tema   elektriva ̈lja  energia 
muundumine   pooli  magnetvälja  energiaks.  Seejuures  tekkiv  omainduktsiooni  emj  takistab 
kondensaatori  tühjenemist  (Lenzi  reegel).  Järgmisel  veerandperioodil  tekib  pooli 
magnetvälja  kahanedes  aga  selline  omainduktsiooni  emj,  mis  põ hjustab   kondensaatori 
ümberlaadumise  (jällegi  kehtib  Lenzi  reegel).  Seega  pooli  magnetvälja  energia  muundub 
nüüd  kondensaatori  elektrivälja  energiaks.  Kolmandal  veerandperioodil  kondensaator 
tühjeneb  uuesti  ja  neljandal  veerandperioodil  laetakse  esialgsega  samamärgiliselt.  Kogu 
protsess hakkab edaspidi korduma – võnkeringis kujunevad välja vabavõnkumised.   Reaalses  võnkeringis  on  peale  kondensaatori  mahtuvuse  C  ja  pooli  induktiivsuse  L  veel 
aktiivtakistus  R  (pooli  ja  ühendusjuhtmete  materjali  takistus).  Kuna  võ nkumiste   käigus 
eraldub  aktiivtakistusel   soojus ,  siis  energia  väheneb  võnkeringis  pidevalt  ja  võnkumised 
sumbuvad.   Võnkumiste  sõltuvuse  uurimiseks  aktiivtakistusest  R,  induktiivsusest  L  ja  mahtuvusest  C 
vaatleme   joonisel  10.1  esitatud  võnkeringi.  Vastavalt   Kirchhoffi   II  seadusele  peab 
pingelangude  summa  kondensaatoril  ja  aktiivtakistusel  igal  ajahetkel  võ rduma   pooli 
omainduktsiooni emj-ga, st   i(t)R+uC (t)=ε(t). Siin on i(t) voolutugevuse hetkvää rtus , uC (t) kondensaatoril oleva pinge 
hetkväärtus ja ε (t ) pooli omainduktsiooni elektromotoorjõu hetkväärtus.   Asendades  ,  saame  võrrandi    kus  q(t)  on  kondensaatoril oleva laengu hetkväärtus .  Jagades   viimase  läbi  L-iga  ja  tehes  asendused  i(t)=q(t)  ning  ,  saame  võrrandi  kondensaatori laengu jaoks:    Tähistades   anname valemile (1) kuju       
    See on konstantsete kordajatega teist järku lineaarne  homogeenne  diferentsiaalvõ rrand , mis 
kirjeldab  võnkumisi  nii  mehaanilistes  kui  elektrilistes  võnkesü steemides .  Vastavalt 
diferentsiaalvõ rrandite    teooriale   sõltub  võ rrandi   (2)   lahend   β  märgist  ning  β  ja  ω0  omavahelisest seosest. Kuna meie juhul  siis on võimalikud kolm  varianti : 1) β 0 ,  2) β = ω 0  3) ) β  > ω0  1)Juhul kui β lahendiks   kus qm (0) ja  on  määratud algtingimustega (võnkumiste tekitamise   viisiga ahelas) ja    Kuigi  funktsioon  (3)  ei  ole  perioodiline,  korduvad  nii  tema  maksimumid  kui  miinimumid  võrdsete  ajavahemike   järel. Seetõttu nim suurust T  tinglikult   perioodiks  ja suurust   tinglikult ringsageduseks. Arvestades  ja  avaldisi, võime T avaldada:     Valem (3) kirjeldab perioodiga T (ringsagedusega ω) toimuvaid vabu sumbuvaid võnkumisi,   kusjuures suurus q (t)= q (0) ⋅e−β t iseloomustab laengu võnkeamplituudi vähenemist ajas.  Kuna laeng ja pinge kondensaatoril on omavahel seotud [q(t)=Cu(t)], siis võngub pinge   kondensaatoril lahendile (3) vastava jä rgmise valemi järgi: uC (t) =UC (0)e −β t cos(ωt +α)   kus pingeamplituudi vähenemist ajas kirjeldab suurus U  (t)=U (0)⋅e−βt CC   (joonis 10.2b). Pingevõnkumisi saab uurida ostsillograafi abil.  Vaatleme  nüüd  võrrandi  (2)  lahendit  (3)  juhul,  kui  β  =  0  (R  =  0)  .  Sel  korral  toimuvad  võnkumised   maksimaalse  ringsagedusega  ω  =  ω0  ja  tegemist  on  vabade  sumbumatute  e  omavõnkumistega (  ω0 on omavõnkeringsagedus).     
  2) Kui  β = ω0 , siis on diferentsiaalvõrrandil (2) järgmine üldlahend: q(t) = e − β t ( A + B t )   kus  A  ja  B  on  ü lesande   algtingimustest  (võnkumiste  esilekutsumise  viisist)  leitavad 
konstandid.  Funktsioon  (6)  ei  kirjelda  võnkumisi.   Temale   vastavat  rež iimi   nimetatakse  kriitiliseks ja tingimustest =0 , s.o   leitud takistust kriitiliseks takituseks. Seega  kriitiline takistus avaldub:   Niipea  kui  R=Rkr,  asenduvad   võnkumised   aperioodilise  protsessiga.  Funktsiooni  (6) 
konkreetne   avaldi   ja  seefa  ka  tema  graafiku  kuju  sõltub  konstantide  A  ja  B  väärtusest  s.o 
võnkumiste esilekutsumise viisist. 

3)  Viimasena  peatume  võrrandi  (2)  juures  juhul,  kui 

β  >  ω0  (  R  >  Rkr  ).  Sel  korral  on  võrrandi  (2)  lahendil  kuju:    kus  C1  ja  C2    on  ülesande  tingimustest  määratud  konstandid  ning    ja    ( λ  ja  λ  osutuvad  negatiivseteks).  Ka  siin  pole  tegemist  võnkumistega,  vaid  nüüd  juba  superaperioodilise 
(ülesummutatud)  režiimiga,  mille  korral  laeng  ja  seega  ka  pinge  kondensaatoril  lä henevad  
nullile   aeglasemalt  kui  juhul  2.  Graafiku  kuju  sõltub  algtingimustest.  Selles  töös 
ülesummutatud režiimi põhjalikumalt ei käsitleta.   Võ tame   ülalesitatu  lühidalt  kokku.  Võnkeringis  toimuvad  võnkumised  ainult  juhul,  kui 
0=Rkr, on tegemist aperioodilise režiimiga.  Tutvume  nüüd  sumbuvaid  võnkumisi   iseloomustavate   suurustega.  Konkreetsuse  mõttes 
kasutame nende defineerimisel pingevõnkumisi. Analüüsime lahendi (5) amplituudosa:     Siit on näha, et pinge  amplituudväärtus kahaneb seda kiiremini, mida suurem on tegur   .   Seepa ̈rast  nimetatakse  suurust  β  võ nkumise   sumbuvusteguriks.   Valemist   (3a)  on  näha,  et  suurema  sumbuvusteguri  korral  (suurema  aktiivtakistuse  korral)  on  võnkumise 
sagedus  vä iksem   (võ nkumine    aeglasem ).  Ilmne  on   analoogia   pendli  mehaanilise 
võnkumisega  keskkonnas.  Mida  suurem  on  keskkonna   takistustegur ,  seda  kiiremini  pendli 
võnkumine   sumbub   ja  seda  aeglasemalt   pendel   võngub.  Naturaallogaritmides  valemit  (9),  saame sumbuvusteguri jaoks järgmise avaldise :     Siit näeme, et  iseloomustab amplituudi vähenemist ajaühikus.     
  Võtte t=T, saame valemist (10):    Tähistades nüüd =T, leiame, et    Suurust =T nim sumbuvuse logaritmiliseks dekremendiks. Ta võrdub naturaallogaritmiga  kahe järjestikuse samasuunalise  amplituudi suhtes. Teades , et  , saame:    Teiselt poolt, teades, et =T ja arvestades valemit (4), leiame:    Aega  ,  mille  jooksul   võnkeamplituud   väheneb  e  korda  ,  nim  süsteemi  ajakonstandiks  e  relaktsatsiooniajaks.  Asendades  valemis  (10)  t=,  saame:    Logaritmilise  dekremendi   pöördväärtus   näitab,  kui  palju  täisvõnkeid  Ne  teeb  süsteem    jooksul:   Võnkeringi eneriakadusid iseloomustatakse hüveteguriga Q:   Kus W(t)=W on hetkel t  kontuuris salvestatud energia, W(t)-W(t+T)=W aga „ energiakadu “ 
ühe võnkeperioodi jooksul.  Kuna  hetkel  t  on  kontuuris  salvestatud  energia  võrdeline  pingeamplituudi   ruuduga   kondensaatoril siis võime kirjutada:   Arvestades võrdust (9) saame:       
    Juhul kui 2sumbuvus ), lihtsustub ülaltoodud valem järgnevaks:   Arvestades võrdust (12), saame: Q  = π ⋅ Ne    Kus  Ne  on  aja    jooksul   sooritatud   võnkumiste  arv.  Näeme,  et   hüvetegur   on  seda  suurem, 
mida rohkem võnkeid jõuab süsteem teha, enne kui amplituud kahaneb e korda.  Tutvusime  kolme  sumbuvaid  võnkumisi  iseloomustava  karakteristikuga.  Need  on 
sumbuvustegur   β  ,  sumbuvuse  logaritmiline  dekrement  Λ  ja  hüvetegur  Q  ,  mis  on  kõik 
omavahel seotud. Kui β ja Λ iseloomustavad võnkumiste sumbuvust amplituudi kahanemise 
seisukohast , siis Q iseloomustab   sumbuvust energeetilisest, “kaotsiläinud” energia seisukohast (mida vä iksemad   energiakaod , 
seda suurem hüvetegur).   Antud  katseseadmes  tekitatakse  võnkeringis  võnkumisi  lühiajaliste  pingeimpulssidega. 
Selleks kasutatakse generaatorit, mis tekitab impulsse sagedusega  50Hz . Iga impulsi korral 
toimub kondensaatori  laadumine , kahe impulsi vaheajal (0,020s) aga toimuvad võnkeringis 
vabad  võnkumised.  Nende  võnkumiste  jälgimiseks  antakse  pinge  kondensaatorilt  C 
ostsillograafi  Y   sisendile   (joonis  10.4).  Ostsillograafi  laotusgeneraatori  sagedus 
reguleeritakse  võrdseks  impulsside  kordumise  sagedusega  (50  Hz).  Sel  juhul  kattuvad 
sumbuvate võnkumiste üksikud seeriad ekraanil  pidevalt ja me näeme seisvat graafikut .                        
   
Töö käik 
 
 
Jrk 
nr      Ω      mm      mm     
mm     ,   mm                  __     
       

1  0  40  25  16  12  1,6  1,3  0,47  0,26  0,37  0,04  2  40  40  23  14  10  1,7  1,4 

0,53 

0,34  0,44  0,14  3  100  40  21  12  8  1,9  1,5  0,64  0,41  0,53  0,29 

L = 0,1H                                
C = 0,063μF= 6,6 * 10 -8 F  R0 =16Ω  Arvutage  eksperimentaalne    ja   = ln  ja nende aritmeetiline keskmine iga  takistuse    korral. Tulemused kandke  tabelisse. 
Arvutage   (valem 11b), arvestades, et  R = R0 + Rs    
Järeldus:  Mõõtetulemuste  saamiseks   kasutasin   impulssgeneraatorit,  indkutiivpooli, 
mahtuvus-  ja  takistussalvi  ning  ostsillograafi.  Saadud  tulemustega  sain  arvutada 
Induktiivpoolist  L,  kondensaatorist  C  ja  aktiivtakistist  R  koosnevas  ahelas  (võnkeringis) 
toimuvate võnkumiste sumbuvuse logaritmilise dekremendi  kolme  erineva  takistuse korral. 
Eksperimentaalse  arvutamiseks  tuli  kasutada Rs  aga  teoreetilise  arvutamiseks kogutakistust 
R= Ro + Rs.