Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale : Igal relatsioonil peab relatsioonikriteerium olema alati olemas Vali üks: Tõene Väär Küsimus 12 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised relatsioonide omadused on olemas ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: antisümmeetria antidistributiivsus antirefleksiivsus antitransitiivsus kommutatiivsus sümmeetria antikommutatiivsus antiaktiivsus aktiivsus distributiivsus assotsiatiivsus refleksiivsus antiassotsiatiivsus transitiivsus Küsimus 13 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised omadused on olemas graafil näidatud relatsioonil ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: antikommutatiivsus transitiivsus assotsiatiivsus antiaktiivsus antiassotsiatiivsus antidistributiivsus sümmeetria distributiivsus kommutatiivsus antirefleksiivsus refleksiivsus antitransitiivsus
Valige üks: Tõene Väär Küsimus 12 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised relatsioonide omadused on olemas ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: refleksiivsus antiaktiivsus antitransitiivsus sümmeetria distributiivsus antirefleksiivsus antisümmeetria antikommutatiivsus transitiivsus antiassotsiatiivsus assotsiatiivsus kommutatiivsus aktiivsus antidistributiivsus Küsimus 13 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised omadused on olemas graafil näidatud relatsioonil ?
antiaktiivsus antiassotsiatiivsus transitiivsus assotsiatiivsus antikommutatiivsus distributiivsus Lehekülg 2/5 24.11.2012 19:39 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - vastavused ja relatsioonid file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... sümmeetria kommutatiivsus
Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektorist erinevat vektorit x nim lineaarteisenduse f omavektoriks kui on rahuldatud
korrutamine) 6) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral λ(μ a⃗ )=(λμ) ⃗a (korpuse elemendiga korrutamise assotsiatiivsus) 7) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral ( λ+ μ ) a⃗ =λ ⃗a + μ a⃗ (distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor.
Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes.
Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus kui igale arvule a järgneb arv a+1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu.
Matemaatika abivalemid Tehete p~ ohiomadused Kommutatiivsus (vahetuvus) Assotsiatiivsus (¨ uhenduvus) Distributiivsus (jaotuvus) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac ab = ba a(bc) = (ab)c a(b - c) = ab - ac Sulgude avamine a + (b + c) = a + b + c a - (b + c) = a - b - c a + (b - c) = a + b - c a - (b - c) = a - b + c Tehted harilike murdudega
Lineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0 Aksioom2 Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi.
Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud. 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. Kui maatriksil on rida veergu ning maatriksil on rida ja veergu, siis maatriksi korrutiseks maatriksiga (kirjutatakse ) nimetatakse niisugust maatriksit ,
b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N. b) Nimekirjast tõmmatakse maha need arvud, mis on mingi algarvu kordsed. 5. Algarvud. 1) Eukleidese teoreem. a) Teoreem : algarvude hulk on lõpmatu. b) Tõestus :
Kui aga leidub rida, milles süsteemi väited on korraga tõesed, siis oleme leidnud kontranäite väitele, et selle süsteemi kõik väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende tõeväärtused langevad kokku (tabeli kaks viimast veergu mõlema lause kohta on samade tõeväärtusnumbritega). Reeglid: õ 287 Kommutatiivsus (disjunktsiooni ja konjunktsiooni korral): (P v q) = (q v p) Assotsiatiivsus Distributiivsus Liiasus P=pvp p=p&p Kahekordne eitus p = - - p De Morgani teoreem –(p & q) = -p v –q -(p v q) = -p & -q Konjunktsiooni eitus on eituste disjunktsioon ja vastupidi Materiaalne implikatsioon p->q= -p v q Ümberpööramine p-> q = -q -> -p Materiaalne ekvivalents Täiendavad LA reeglid: Taandamise reeglid: P&1=p P&0=0 P & -p = 0 loogiline vastuolu (samaselt väär) Pv1=1 Pv0=p
1)liitmine-2le (on ) elemendile on pandud vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor. Lin.tehted 1. x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus); 2. x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus); 3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5. 1x = x (unitaarsus); 6. ( x) = ()x (assotsiatiivsus arvude korrutamise suhtes); 7. (x + y) = x + y (distributiivsus vektorite liitmise suhtes); 8. ( +)x = x + x (distributiivsus arvude liitmise suhtes). Vektorruumi näited-aritmeetilised-,geomeetrilised-,maatriksite-,polünoomide hulk. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui Vektorruumi X(ülekorpuse K) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv 17
Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a on suurem kui b või a võrdub b või a on väiksem kui b. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb a +1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve.
elementidest. AB={x:x A või x B} Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka AB, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A Universaalhulk: Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad. Sellisel juhul nimetatakse hulka X universaalseks. Hulga A täiendiks nimetatakse hulka A'=XA. (universaalhulga X suhtes) Täiendi omadused: 1. De Morgani seadused a
.. ; bn ) skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Teoreem 2. Skalaarkorrutis n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis V = n rahuldab omadusi 1° 0 iga V korral; = 0 parajasti siis, kui = (vt. selgitust peale teoreemi); 2° = iga , V korral (kommutatiivsus); 3° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 4° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 5° a ( ) = ( a ) = ( a ) iga a ja , V korral. 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Def. 1. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele
· on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1.4 Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused · Kommutatiivsus e vahetuvus: a+b=b+a, ab=ba · Assotsiatiivsus e ühenduvus: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c · Korrutamise distributiivsus e jaotuvus liitmise suhtes: a(b+c)=ab+ac Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet: P(A)= m/n 1.5 Reaalarvu absoluutväärtus |a|={a, kui a0 või {-a, kui a<0 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist 1.6 Arvusüsteemidest · Arvusüsteemi, milles iga tema numbri väärtus sõltub numbri asukohast (positsioonist) arvus, nimetatakse
:c = a : = a = b bc c b b 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a +b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 %) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill
konstant 1 universaalhulk ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) HULGAALGEBRA PÕHISEOSED distributiivsus: ( sulgude "lahtikorrutamine" ja "lahtiliitmine" ) loogikaalgebra põhiseosed muutuvad hulgaalgebra põhiseosteks, kui nendes teha eelnevalt näidatud asendused. A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Ka hulgaavaldiste korral kehtib duaalsusprintsiip. I I Ü
lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. Assotsiatiivsus 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ; 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) Kommutatiivsus 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ∧𝐴 ;𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨𝐴 Idempotentsus 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐴 ;𝐴 ∨𝐴 = 𝐴 Neeldumine 𝐴 ∧ (𝐴 ∨ 𝐵) = 𝐴 ; 𝐴 ∨ (𝐴 ∧ 𝐵) = 𝐴 Distributiivsus 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶) = (𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐴 ∧ 𝐶) ; 𝐴 ∨ (𝐵 ∧ 𝐶) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ 𝐶) Seadused konstantidega 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ; 𝐴 ∨ 1 = 1 ; 𝐴 ∧ 0 = 0 ; 𝐴 ∧ 1 = 𝐴 Topelteituse seadus 𝐴̿ = 𝐴 DeMorgani seadused ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐴̅ ∨ 𝐵̅ ; ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴̅ ∧ 𝐵̅ ̅
ruutvormi asemele uue ruutvormi. Otsitakse võimalikult Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud, nimetatakse distributiivsus vektorite liitmise suhtes lihtsat kuju. F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et
x w y Põhiseoste kehtivus tuleneb elementaarsete loogikatehete definitsioonidest: konjunktsioon disjunktsioon distributiivsus : (sulgude nn. "lahtikorrutamine" ja "lahtiliitmine) x( y w z) = x y w xz x ( y z) = (x w y)(x w z) w
1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga. Kui naturaalarvude hulka N täiendada arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; … vastandarvudega, siis saame täisarvude hulga Z . Z Z Z 0 , kus Z on positiivsete ja Z negatiivsete täisarvude hulk. Ehk Z 0;1;2;3... .
1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga. Kui naturaalarvude hulka N täiendada arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; … vastandarvudega, . Z Z Z 0 , kus siis saame täisarvude hulga Z Z on positiivsete ja Z negatiivsete täisarvude hulk
väärtus. Kaks predikaati on võrdväärsed kui nad omavad sama tõeväärtust. Loogikaseadused on lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid. Assotsiatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene tehete järjekorrast“. Kommutatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene operandide järjekorrast“. Kommutatiivne pole ainult implikatsiooni tehe. Distributiivsus esitab lahtiliitmist ja lahtikorrutamist. DeMorgani seadused kehtivad ükskõik mitme muutuja korral. Loogika seadusi rakendatakse, et saada lausest uut, samaväärset lauset. Hulgad: Hulk kooseb hulgaelementidest. Hulka saab esitada täieliku hulgaelementide loeteluna, osalise loeteluna, nähtava seaduspärasusega ning valemina, mis kehtib iga hulgalemendi korral. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad täpselt samadest
1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a. 3 VEKTORITE SÜSTEEMI BAAS DEFINITSIOON 1. Kui elementide hulgas V = {a, b, c, . . .} on defineeritud nende liitmine ja arvuga korrutamine, mis rahuldavad eelpool sõnastatud omadusi, siis nimetatakse seda hulka VEKTOR- RUUMIKS ja tema elemente vastavalt VEKTORITEKS. DEFINITSIOON 2
1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a. 3 VEKTORITE SÜSTEEMI BAAS DEFINITSIOON 1. Kui elementide hulgas V = {a, b, c, . . .} on defineeritud nende liitmine ja arvuga korrutamine, mis rahuldavad eelpool sõnastatud omadusi, siis nimetatakse seda hulka VEKTOR- RUUMIKS ja tema elemente vastavalt VEKTORITEKS. DEFINITSIOON 2
2.1 Elementaarsed omadused Maatrikstehete lihtsamaid omadusi kirjeldame j¨argmiselt. Teoreem 3. Olgu A, B, C u ¨hesuguste j¨ arkudega maatriksid ning , R. Siis 1) A + B = B + A (liitmise kommutatiivsus), 2) (A + B) + C = A + (B + C) (liitmise assotsiatiivsus), 3) A + 0 = A = 0 + A (nullmaatriksi neutraalsus), 4) A + (-A) = 0 = -A + A (vastandmaatriksi olemasolu), 5) (A + B) = A + B (distributiivsus), 6) ( + )A = A + A (distributiivsus), 7) (A) = ()A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus), 8) 1A = A (unitaalsus). T~oestus. Me juba t~oestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4) lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2
A5 4 0 1 0 0 x1 x2 x 4 A6 2 0 0 1 0 x1 x3 x 4 MDNK - f(x1,x2,x3,x4) = x1x2x3Vx1 x 2 x3 V x1 x2 x 4 V x1 x3 x 4 ÜLESANNE 3 Teisendada ülesandes 2 leitud MKNK loogikaalgebra põhiseaduste abil DNK-kujule. Võrrelda saadud DNK-d ülesandes 2 leitud MDNK-ga 1 2 3 (x1V x 4 )&(x1Vx2Vx3)&( x 1 V x 2 Vx3)&( x 1 V x2V x 3 ) = x1 x 2 x3 Vx1x2x3V x1 x3 x 4 Vx2x3 x 4 V x1 x2 x 4 distributiivsus neeldumine 1. (x1V x 4 )&(x1Vx2Vx3) = x1Vx1x2Vx1 x3Vx1 x 4 Vx2 x 4 Vx3 x 4 = x1V x1 x 4 Vx1x3Vx2 x 4 Vx3 x 4 = x1Vx2 x 4 Vx3 x 4 vastuolu seadus 2. (x1Vx2 x 4 Vx3 x 4 )&( x 1 V x 2 Vx3) = x1 x 1 Vx1 x 2 Vx1x3V x 1 x2 x 4 V x2 x3 x 4 V x 1 x3 x 4 V x 2 x3 x 4 = x1 x 2 Vx1x3V x 1 x2 x 4 Vx3 x 4 3. (x1 x 2 Vx1x3V x 1 x2 x 4 Vx3 x 4 )( x 1 V x2V x 3 ) = x1 x 2 x 3 V x1x2x3V x 1 x3 x 4 Vx2x3 x 4
1 Skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu Skalaarkorrutamise omadused 1. Skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. Skalaarkorrutis on kommutatiivne: a · b = b · a. 3. Skalaarkorrutis on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k(a · b) = (ka) · b. 4. (a +b) · c = a · c +b, c distributiivsus. Arvutamise valem koordinaatides ristreeperis Parema käe kolmik Kolmevektorilist vektorsüsteemi {x, y, z} nimetatakse parema käe kolmikuks, kui vaadelduna vektori z lõppp-punktist toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed pidi kellaosuti liikumise suunale vastupidises suunas. Vektorkorrutis Vektorite x, y vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit x×y, mis on määratud järgmiste tingimustega: 1. |x×y| = |x||y| sin ∠(x, y), kus ∠(x, y) on nurk vektorite x ja y vahel
4 5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b=b+a ab = ba a(b + c) = (b + c)a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus a + (b + c) = ( a + b) + c a(bc) = (ab) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ac Sulgude avamine: a + (b + c) = a +b + c a - (b + c) = a - b - c a + (b - c) = a +b - c a - (b - c) = a - b + c 12
MDNK/MKNK on konkreetse F-ni väikseima keerukusega DNK/KNK. Keerukus 𝑳(𝒇) on tema koosseisus olevate algtermide arv. Loogikaalgebra põhiseosed Seosed konstantidega 0̅=1 1̅=0 0∗1=0 0∨1=1 𝑥∗0=0 𝑥∗1=𝑥 𝑥∗𝑥̅=0 𝑥∨0=𝑥 𝑥∨1=1 𝑥∨𝑥̅=1 Idempotentsus 𝑥∗𝑥=𝑥 𝑥∨𝑥=𝑥 DeMorgani seadused 𝑥∨𝑦̅̅=𝑥̅∧𝑦̅ 𝑥𝑦̅̅=𝑥̅∨𝑦̅ Neeldumine 𝑥∨𝑥𝑦=𝑥 𝑥∨𝑥̅𝑦=𝑥∨𝑦 Distributiivsus 𝑥(𝑦∨𝑧)=𝑥𝑦∨𝑥𝑧 𝑥∨(𝑦𝑧)=(𝑥∨𝑦)(𝑥∨𝑧) Kleepimine 𝑥=𝑥𝑦∨𝑥𝑦̅ 𝑥=(𝑥∨𝑦)(𝑥∨𝑦̅) Asendusseosed 𝑥→𝑦=𝑥̅∨𝑦 𝑥↔𝑦=(𝑥→𝑦)(𝑦→𝑥)=𝑥̅𝑦∨ ̅ 𝑥𝑦 𝑥⊕𝑦=𝑥̅𝑦∨𝑥𝑦̅ 0↔0=1 1↔1=1 0↔1=0 𝑥⊕𝑥=0 𝑥⊕1=𝑥̅ 𝑥⊕0=𝑥 𝑥⊕𝑥̅=1 0⊕1=1 1⊕1=0 1⊕1⊕1=1 0⊕0=0 1→0=0 1→1=1 0→1=1 0→0=1 LOOGIKAFUNKTSIOONID
3 Skalaarkorrutise omadused: kommutatiivsus: ab b a ab a pra b ab b prb a b a b a cos 2 a b cos distributiivsus: a b c a b a c 2 a a a a cos 0 a a a a x12 y12 z12 i i j j k k 1 Et i , j , k on paarikaupa risti, siis i j i k j k 0.
A → B = B → A neeldumine: Süllogismi seadus : A ∧ (A ∨ B) = A [ (A → B) ∧ (B → C) ] → (A → C) A ∨ (A ∧ B) = A distributiivsus: __ A→B = A ∨ B A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) __ A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 1→A = A A→0 = A
Tavaline üldisuse kvantoriga väite tõestamise esimene samm on selline: Tähistagu muutuja suvalist universaalse hulga elementi. Formaalselt tähendab suvalisus seda, et peame valima uue tähise, et eeldustes ei oleks elemendi kohta midagi väidetud. Sealhulgas võib tähisena kasutada ka sedasama muutujat , kui ta ei esine eeldustes (vaba muutujana). 11. **Kvantorite distributeerumine konjunktsiooni ja disjunktsiooniga. **Kvantorite ettetoomine. [3] o Kvantorite distributiivsus: 8x(F(x) & G(x)) = 8xF(x) &8xG(x), 9x(F(x) v G(x)) = 9xF(x) v9xG(x). o vajaduse korral konjunktsiooni ja disjunktsiooni kommutatiivsust, toome kvantorid osavalemite eest valemi ette. HULGAD, FUNKTSIOONID 10 12. Hulgateooria alusmõisted: hulk, element, hulkade võrdsus, tühi hulk. [3, 4, 5] Hulk o üksteisest erinevate objektide kohumit, mida vaadeldakse ühe tervikuna ja kus iga objekti
Lemma 2.2.2 tõestus Tähistagu suvalist naturaalarvu. Peame tõestama ( + = + ) ( + = + ). Implikatsiooni tõestamisel eeldame, et + = + (***) ja tõestame + = + . Teisendame viimase võrduse vasakut poolt: + = ( +) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = ( + ) = + . Teisenduse sammudel on kasutatud: P4, implik eeldus (***), P4, kommuteerumise eedus b kohta (**), P4, implik eeldus (***). Sellega on lemma 2.2.2 tõestatud ja ka lemma 2.2 ning teoreem 2. Liitmise distributiivsus Kehtib järgmine naturaalarvude liitmise ja korrutamise distributiivsuse seadus: [ ( + ) = + ] Tõestus: Rakendame kahe välimise üldisuse kvantori suhtes otsest taktikat. Tähistagu ja suvalisi naturaalarve. On piisav, kui tõestame [ ( + ) = + ]. Muutuja jaoks kasutame induktsiooni. Siis tuleb tõestada kaks lemmat: Lemma 3.1 (baaslemma). ( + 0) = + 0. Lemma 3.2 (sammulemma). [ ( ( + ) = + ) ( ( + ) = + Lemma 3
ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1° 0 iga V korral; 2° = 0 parajasti siis, kui = (nullvektor) 3° = iga , V korral (kommutatiivsus); 4° c ( ) = ( c ) = ( c ) iga c ja , V korral (homogeensus); 5° ( + ) = ( ) + ( ) , ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus). Näide 1. Aritmeetilises vektorruumis V = Rn vaadeldakse tavaliselt II peatükis § 2 määratud skalaarkorrutist: = ( a1; a2 ; ... ; an ) ( b1; b2 ; ... ; bn ) = n . (1) = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1
) 20_fl_i-v TABEL 1. Liitotsustuse struktuuri teisendamine 1. ¬¬p = p Kahekordne eitus 2. p & q = q & p Kommutatiivsus 3. p & (q & r) = (p & q) & r = p & q & r Assotsiatiivsus 4. p q = q p Kommutatiivsus 5. p (q r) = (p q) V r = p q r Assotsiatiivsus 6. p & (q r) = (p & q) (p & r) Distributiivsus 7. p (q & r) = (p q) & (p r) Distributiivsus 8. ¬(p & q) = ¬p ¬q De Morgani reegel 9. ¬(p q) = ¬p & ¬q De Morgani reegel 10. p q = ¬p q Implikatsioon normaalkujul 11. ¬(p q) = p & ¬q Tuleneb reeglitest 10 ja 9 12. p q = (p & q) (¬p &¬q) Ekvivalents normaalkujul 13. p q = (p ¬q) & (¬p q) Ekvivalents normaalkujul 14
) A=B=C; v(AA) + v(AA) = v(AA) |-v(AA) => v(AA) = 2. A,BP => v(AB) = -v(BA). Tõestus: C=A, siis v(AB) + v(BA) = v(AA) = |- v(BA) => v(AB) = -v(BA) 24. Skalaarkorrutise defnitsioon üldjuhul. Skalaarkorrutise näiteid. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile ja paneb vastavusse reaalarvu * nii, et on täidetud järgmised tingimused: 1. * >= 0 V 2. * = 0 <=> = 3. * = * ,V (kommutatiivsus) 4. *(+) = * + *; (+)* = * + * ,,V (distributiivsus) 5. c(*) = (c)* = *(c) cR, ,V (homogeensus) Näiteid: 1. * = ||||*||||*cos 2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; * = aibi 5. V = C[a;b]; f,gV; f(x), g(x); f*g = ab f(x)g(x)dx 25. Eukleidilise vektorruumi ja eukleidilise ruumi defnitsioon. Eukleidilises
Igale nullist erinevale elemendile leidub korrutamise suhtes pöörelement a-1 . See võimaldab defineerida lisaks liitmisele ja korrutamisele ka lahutamise ja jagamise nullist erineva elemendiga: a-b= a+ (-b) ja a/b=a*b-1 . Niisiis võib väita, et lõplik korpus on selline elementide kogu, mis on kinnine nelja peamise aritmeetilise tehte suhtes, v.a. jagamine nulliga. Aritmeetiliste tehete suhtes kehtib assotsiatiivsus [a+ (b+ c)= (a+ b)+ c] , distributiivsus [a* (b +c )= a *b + a *c], kommutatiivsus a+ b= b +a ja a *b =b *a. Nii korrutamine kui liitmine toimub modulo 2 järgi. 41. Hulkliikmete liitmine, kui kordajad kuuluvad lõplikku korpusesse GF (2m ). (raamat lk.14-16 ja loengumaterjalid 13- (10.märts)) See ei ole tavaline liitmine ja korrutamine, vaid selline mille tulemuseks loetakse jääki: nt. 3*mod74=5 (3*4=12 ja 12-7=5). Liitmine toimub positsiooniliselt, kordajad liituvad modulo 2 järgi.
57 Loogikafunktsioonid, loogikavõrrandid Nr. Teisendusvalemid Teisenduse alus 1. x+y=y+x x·y=y·x Kommutatiivsus 2. x+0=x x·1=x Identsus 3. x + (y · z) = (x + y) · (x + z) Distributiivsus x · (y + z) = (x · y)+ (x · z) 4. x + x =1 x x=0 Komplementaarsus 5. x+x=x x·x=x Idempotentsus 6. 1+x=1 0·x=0 Domineerimine 7. x + xy = x x(x+y)=x Absorbtsioon 8. x + (y + z) = (x + y) + z Assotsiatiivsus
Joonis: http://www.cmsoft.com.br/opencl-tutorial/case-study-matrix-multiplication/ Märkus 1.1 Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne ehk üldjuhul (ka ruut- maatriksite korral) A · B = B · A. Olgu maatriksid A, B ja C sellist järku, et allpool toodud iga üksik tehe on teostatav. Siis maatriksite korrutamisel on järgmised omadused: (A + B) · C = A · C + B · C, (distributiivsus) (A · B) · C = A · (B · C), (korrutamise assotsiatiivsus) · (A · B) = (A) · B = A · (B), iga R korral T T T (A · B) = B ·A . 10 1.5. Kõrgemat järku determinant 1
järjekorrast. · B6 ={ f0 , f13 } Kasulikud on järgmised abivalemid: x = x 0 x1 x2 = ( x1 0) x2 ( x1 & x2 = x1 ( x2 0) 0 ) (x1 0) ( x2 0) = x2 x1 Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 0) ( ( x3 x2 ) 0) = ( x3 x2 ) x1 · B7 ={ f6 , f13 } Teisendus sellesse baassüsteemi on eelneva põhjal iseseisvaks tööks. · B8 ={ f1 , f6 , f15 } Read-Mülleri ehk Zhegalkini baasile vastab algebra, kus kehtivad järgnevad seosed: Kommutatiivsus: x1 x2 = x2 x1 Distributiivsus: x1 & (x2 x3 )= x1 x2 x1 x3 x1 (x2 x2 ) = x1 Teisendusel kasulikud abivalemid: x = x 1 x1 x2 = x1 x2 x1 x2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x1 x3 Kui vaadeldavas algebras analoogiliselt eelmise näitega avada sulud, saame normaalkuju sarnase avaldise, kus disjunktsiooni asemel kasutatakse funktsiooni ja puuduvad argumentide inversioonid. See on loogikafunktsiooni Read-Mülleri polünoom.
x1 0 x2 0 x2 x1 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 0 x3 x2 0 x3 x2 x1 B7 ={ f6 , f13 } Teisendus sellesse baassüsteemi on eelneva põhjal iseseisvaks tööks. B8 ={ f1 , f6 , f15 } 27 Read-Mülleri ehk Zhegalkini baasile vastab algebra, kus kehtivad järgnevad seosed: Kommutatiivsus: x1 x2 = x2 x1 Distributiivsus: x1 & (x2 x3 )= x1 x2 x1 x3 x1 (x2 x2 ) = x1 Teisendusel kasulikud abivalemid: x x 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 x1 x3 x2 x3 x1 x3 Kui vaadeldavas algebras analoogiliselt eelmise näitega avada sulud, saame normaalkuju sarnase avaldise, kus disjunktsiooni asemel kasutatakse funktsiooni ja puuduvad argumentide inversioonid. See on loogikafunktsiooni Read-Mülleri polünoom.
2. [0, 1) (0, 1] = (0, 1); 3. = . Kui kahel hulgal A ja B ei ole ühiseid elemente, siis A B = ning hulki A ja B nimetatakse lõikumatuteks. Näiteks, ratsionaalarvude ja irratsionaalarvude hulgad on lõikumatud. Hulkade ühendi ja ühisosa omadused Teoreem Hulkade ühendil ja ühisosal on järgmised omadused: 1. Idempotentsus: A A = A, A A = A; 2. Kommutatiivsus: A B = B A, A B = B A; 3. Assotsiatiivsus: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); 4. Distributiivsus: (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). TÕESTUS 4. Tõestame teise distributiivsuse võrduse ehk (A B) C = (A C) (B C). (i) Olgu x (A B) C. Siis x A B või x C. Kui x C, siis x A C ja x B C, mistõttu x (A C) (B C). Kui aga x C, siis x A B ehk x A ja x B. Siis aga x A C ja x B C, s.t x (A C) (B C). Sellega on näidatud, et (A B) C (A C) (B C). (ii) Olgu nüüd x (A C) (B C). Siis x (A C) ja x (B C). Kui x C,
Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac * Rooma numbrid I =1; X=10; C=100; M=1000; V=5; L=50; D=500 Rooma numbrid moodustavad mittepositsioonilise arvusüsteemi. Kasutatakse seitset numbrit. Enam kui kolm korda üht märki ei kirjutata. Kui väiksema väärtusega number asub suurema järel, siis numbrite väärtused liidetakse, nt VIII=8. Vastupidisel juhul lahutatakse, nt. IX=9, MIM=1999 Reaalarvu absoluutväärtus
b bc c b b 5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 % ) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 ) on üks tuhandik osa tervikust (arvust).
4 2.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b =b+a ab = ba a (b + c ) = (b + c ) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + (b + c ) = ( a + b ) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b − c ) = ab − ac Sulgude avamine: a + (b + c ) = a + b + c a + (b − c ) = a + b − c a − (b + c ) = a − b − c a − (b − c ) = a − b + c Viimased kaks valemit ütlevad, et miinusmärk sulgude ees muudab märgid sulgude sees. Näiteks 9 − ( 3 + 4 ) = 9 − 3 − 4 ja 8 − ( 2 − 3) = 8 − 2 + 3 .
5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: ab ba ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac a b c ab ac Sulgude avamine: a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent 1 % on üks sajandik osa tervikust (arvust).
(A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b) c= ac +ab kõikide a,b,c € R korral (distributiivsus) Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega <, mis rahuldab järgmisi tingimusi: (Q1) suvaliste a,b,c € R puhul kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal
annaabi.ee 
