Lausearvutuse tehted (0)

Lausearvutuse tehted , 3. KT
Eitus ¬p
Konjunktsioon p & q. (korrutustehe)
Loomulikus keeles on konjunktsiooni indikaatoriteks ja, ning, ent, kuid, aga, nii...kui ka...; vahel võib konjunktsiooni tähistada ka punkt või koma .
Disjunktsioon p ∨q. Või
(liitlause)
Lause on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. Lause on väär vaid siis, kui mõlemad p ja q on väärad (0).
Implikatsioon p →q. Lause on väär ainult siis, kui p on tõene ja q on väär.
Implikatsioon on tõene parajasti siis, kui tehte esimeselt komponendilt teisele liikudes ei teki tõekadu. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär.
Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja ainult siis, kui … ; … parajasti siis, kui … ; tarvilik ja piisav tingimus; ühekorraga.
Lause on tõene siis, kui oponendid on korraga tõesed või väärad.
Antiekvivalents p ⊕q (välistav disjunktsioon)
Emb- kumb , kas...või...
p ⊕q on tõene parajasti siis, kui p ja q tõeväärtused on erinevad.
Lausearvutuse tehete järjekord :
1) tehted sulgudes
2) tehted eitusega
3) konjunktsioon
4) disjunktsioon
5) implikatsioon
6) ekvivalents
7) antiekvivalents
Võrdse prioriteediga tehted sooritatakse vasakult paremale.
Väidete süsteem on vastuoluline siis, kui tõesustabelis pole ühtegi rida, kus väited oleksid kõik korraga tõesed. Kui aga leidub rida, milles süsteemi väited on korraga tõesed, siis oleme leidnud kontranäite väitele, et selle süsteemi kõik väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende tõeväärtused langevad kokku (tabeli kaks viimast veergu mõlema lause kohta on samade tõeväärtusnumbritega).
Reeglid: õ 287

• Kommutatiivsus (disjunktsiooni ja konjunktsiooni korral):
  

(P v q) = (q v p)

• Assotsiatiivsus
  
• Distributiivsus
  
• Liiasus
  

P = p v p
p = p & p

• Kahekordne eitus p = - - p
  
• De Morgani teoreem –(p & q) = -p v –q
  

-(p v q) = -p & -q
Konjunktsiooni eitus on eituste disjunktsioon ja vastupidi

• Materiaalne implikatsioon p->q= -p v q
  
• Ümberpööramine p-> q = -q -> -p
  
• Materiaalne ekvivalents
  

Täiendavad LA reeglid:
Taandamise reeglid:
P & 1 = p
P & 0 = 0
P & -p = 0 loogiline vastuolu ( samaselt väär)
P v 1 = 1
P v 0 = p
P v –p = 1 loogiline tautoloogia (samaselt tõene)
P -> p = 1
Implikatsiooni eitus:
-(p -> q) = p & -q
Predikaatarvutus
Objekt, mille kohta midagi väidetakse – subjekt e indiviid
See, mida indiviidide kohta väidetakse – predikaat
Predikaat ise ei oma tõeväärtust, aga ta muutub kas tõeseks või vääraks kui talle omastada mingisugune hulk/väärtus.
Kvantori rakendamine vabale muutujale (predikaadis) – hulga v kogusemääraja

A – üldisuskvantor – kõik, iga, suvaline , mistahes, alati, kõikjal, mitte ükski, mitte midagi

E – olemasolukvantor – mõni, mõned, leidub vähemalt üks, on olemas keegi/miski, millalgi, kusagil
Valem on kinnine (lause on lõpetatud ), kui kõik tema muutujad on seotud. Vastasel juhul on valem lahtine (pole tõeväärtust, lõpetamata lause).
Predikaat on samaselt tõene, kui ta muutub tõeseks lauseks iga indiviidi xeX korral. (kõik indiviidid mis kuuluvad baashulka). Tautoloogia
Predikaat on samaselt väär, kui ta muutub vääraks lauseks iga indiviidi korral. Kontradiktsioon
Predikaat on kehtestatav, kui ta muutub tõeseks lauseks väh. ühe indiviidi korral
Predikaadid Ax ja Bx(samal baashulgal) on samaväärsed, kui nende indiviidide hulgad ja tõehulgad on samaväärsed.
Sattumuslik - kontingentne
Predikaatide Px ja Qx disjunktsioon on predikaat Px v Qx, mis muutub tõeseks lauseks nende ja ainult nende indiviidide korral, mille korral muutub tõeseks lauseks vähemalt üks predikaatidest Px v Qx.
Predikaatide konjunktsioon – predikaat, mis muutub tõeseks lauseks nende indiviidide korral, mille korral muutuvad tõeseks lauseks nii Px kui ka Qx.
Implikatsioon Px -> Qx, predikaat mis muutub vääraks lauseks nende indiviidide korral, mille korral muutub predikaat Px tõeseks lauseks ja Qx vääraks.
Ekvivalents Px Qx, mis muutub tõeseks lauseks nende indiviidide korral, mille korral Px ja Qx omandavad samu tõeväärtusi.
Predikaadist Px järeldub predikaat Qx kui predikaat Qx muutub tõeseks vähemalt kõigi nende indiviidide korral ,mille korral muutub tõeseks predikaat Px.
Üldisest väitest osalist järeldades me postuleerime objekti või objektide olemasolu ning sellega võime teostada vea – olemasolu impordi viga. Nt kõik marslased on rohelised -> leidub objekte, mis on marslased ja rohelised.
Valemid p ja q on vasturääkivad, kui p = -q (kontradiktoorsus)
Valemid p ja q on vastandid ehk vastupidised, kui p -> -q ja q -> -p (kontraarsus)
Valemid p ja q on osavastandid,kui –p = q ja –q = p (subkontraarsus)