1. 1. N n . , m k . N = 20, n = 5, m = 4, k = 2. . . C nk C Nm--nk C 52 C152 5!15!4!16! 5 4 3 15 14 4 P ( A) = = = = = 0,217 . CN m C 204 2!3!2!13!20! 2 20 19 18 17 2. n , k . , m . n = 10, k = 4, m = 2. . . C km C 42 4!2!8! 43 2 P ( A) = m = 2 = = = = 0,133 . Cn C10 2!2!10! 10 9 15 3. . 15% , 25%, 30%. , ( ) . . : A1 ; A2 ; A3 . , ( ) P ( A) = P ( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = = 0,85 0,75 0,3 +
valemit 2. x-Ax=y (E-A)x=y x=(E-A)-1y=By (3) B on täiskulude maatriks. Leiame E-A ning selle pöördmaatriksi ning same uue kogutoodangu maatriksi: Uusx=By a11=0,2=uusx11/uusx1=uusx11/440, uusx11=0,2*440=88 Esimese toote kogutoodang peab selle võrra suurenema, et saaks teist toodet müüa ühe ühiku võrra rohkem. Staatilise Leontjevi mudeli puuduseks on investeeringute arvestamine lõpptoodangu hulka. Dünaamilises Leontevi mudelis arvestatakse investeeringuid eraldi maatriksina. 3. Vähimruutude meetod Meetodit kasutatakse ligikaudse sõltuvuse leidmiseks. Näiteks süsteemi puhul: Süsteemi kordajatest ning vabaliikmetest tuleb välja kirjutada veerummatriksid A1, A2, ... , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused.
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
Graafika VBAs Kõiki töölehe pinnal asuvaid objekte käsitletakse kujunditena (põhiklassid Shape ja Shapes) Kujundite tüübid Graafikaobjektid - MS Drawing abil tehtud kujundid Diagrammid (ChartObjects) 60 23 56 50 40 29 32 30 27 13 Pildid (Picture) - imporditud pildid kask 20 45 35 kuusk 10 12 41
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv u u x
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv u u x
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus 3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk. Igal lõigukesel xi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame punkti i =[xi-1,xi] 4. Pi
27. Ositi int-mine
U=u(x), v=v(x); d(uv)=(uv)'dx=(u'v+v'u)dx=(u'dx)v+u(v'dx)=vdu+udv=> udv=
d(uv)-vdu; udv = d (uv) - vdu = uv - vdu *I Pn(x)sinx, Pn(x)cosx, Pn(x)ex=>
u=Pn(x) *II f(x) sisaldab arkusf-ni või logaritmf-ni. F-niks tuleb valida u=u(x)
*NT x sin xdx =>u=sinx, ülejäänd dv=xdx, arv du=(sinx)'dx=cosxdx ja v=
xdx =x2/2, läks raskemaks, seega valida u=x *Märkused 1)F-ni valik 2) ositi
int-misvalemit saab kasut korduvalt 3)teatud juhtudel toob ositi integ rakendus
meid otsitava int leidmisel võrrandini: nt sin xdx =lõpuks 1/2(x-sinxcosx+C)
2
28.Murdrats. f-ni omadusi
F(x)=Pn(x)/Qm(x); Pn(x)=a0xn+a1xn-1...+an-1x+an; Qm(x)=b0xm+b1xm-1...+bm-1x +bm
*Def. kui meil n m, siis me ütleme, et meil on mittekorrapärane murdrats f-n.
n
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon
Labor 8 Multikollineaarsuse kindlakstegemine - VIFj MS.0151 Ökonomeetria 2011 Sõltumatute muutujate vahel esineva multikollineaarsuse kindlasktegemiseks leitakse varieeruvusindeks ehk dispersiooni mõju faktor VIF j (Variance Inflationary Factor). Varieeruvusindeks näitab argumendi mõju regressiooniparameetri hajuvusele. 1 VIF j= 1- R 2 j kus Rj2 on determinatsioonikordaja, mis on leitud sõltumatu muutuja X j (R2 leidmiseks teostada regressioonanalüüs, kus sõltuvaks muutujaks Y on uuritav X j) ja ülejäänud sõltumatute muutujate Xj vahel. Kui VIFj > 10, siis tuleb selline sõltumatu muutuja Xj eemaldada. Ülesanne Sõltumatute muutujate vahel esineva multikollineaarsuse kindlakstegemiseks leida varieeruvusindeks VIFj. Andmed on esitatud töölehel nimega "and
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....
53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001. 3 5. G. N. Berman, Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva, 1977 (vene keeles)
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma
PRT PRT AASTA PUU RIN PL ASIM KAUG D1 1062 1118 2008 12 1 MA 1,0 18,9 18,2 1062 1118 2008 3 1 MA 2,0 7,3 17,8 1062 1118 2008 11 1 MA 2,0 18,0 13,8 1062 1118 2008 5 1 MA 3,0 11,7 17,4 1062 1118 2008 1 1 MA 4,0 3,4 10,9 1062 1118 2008 10 1 MA 7,0 17,2 17,0 1062 1118 2008 13 1 MA 10,0 19,0 18,1 1062 1118 2008 6 1 MA 13,0 7,9 11,5 1062 1118 2008 7 1 MA 15,0 9,8 13,2 1062 1118 2008 8 1 MA 19,0 13,7 8,9 1062 1118 2008 9 1
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tatu. Oppevahend pakub t¨ aiendavaid v~oimalusi u ¨li~opilaste iseseisvaks t¨o¨oks. T~oestuseta esitatud oluliste v¨ aidete korral on antud viide ~opikule, millest huviline v~oib leida kor- rektse t~ oestuse. ~ Oppevahendi eesm¨ argiks on tutvustada lugejat matemaatilise anal¨ uu ¨si p~ohit~odedega u ¨he muutuja funktsiooni korral. Matemaatiline anal¨ uu¨s on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende u ¨ldistusi uuritakse piirv¨a¨artuste meetodil. Piirv¨a¨artuse m~oiste on tihedalt seotud l~ opmata v¨ aikese suuruse m~oistega. V~oib ka v¨aita, et matemaatiline anal¨ uu¨s uurib funktsioone ja nende u ¨ldistusi l~opmata v¨aikeste meetodil. Nii tehnikas kui ka looduses uuritavate protsesside kirjeldamisel kasutatakse funktsionaalseid seoseid ja nende uurimiseks matemaatilist anal¨ uu ¨si
Kuna c paikneb vahemikus (a,b), on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega defineeritakse päratu integraal järgmiselt: = . 2. Olgu funktsioon f pidev poollõigul (a,b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c,b], kus c (a,b). Päratu integraal defineeritakse järgmise parempoolse piirväärtusega: = . 25.Üks määratud integraali rakendus omal valikul koos tõestusega Lause Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning f (x) g(x) (iga x [a; b]), siis joontega y = f (x); y = g(x); x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul Tõestus. Kui 0 f(x) g(x) (x [a, b]), siis uuritava kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub joontega y = g(x), y = 0, x = a ja x = b määratud kõverjoonelise trapetsi ning
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·
KTUD.RH. küllastatud rasvhapped Toitainete sisaldus tabelis tähendab... C16 palmitiinhape 0 C18 steariinhape MKTA.RH. monoküllastamata rasvhapped PKTA.RH. polüküllastamata rasvhapped C18:2 linoolhape C18:3 linoleenhape VL.KIUDAINED vees lahustuvad kiudained RET.EKV. retinooli ekvivalent NIATS.EKV. niatsiini ekvivalent PANT.HAPE pantoteenhape R% sisaldab x% rasva KLASS E tailiha sisaldus üle 55% KLASS O tailiha sisaldus 40-45% (0.9) söödav osa 90% Sul. sulatatud Rasvas. rasvasusega Toitainete sisaldus tabelis tähendab... vastava toitaine sisaldus antud toiduaines on 0 või minimaalne andmed toitaine sisalduse kohta antud toiduaines puuduvad ENERGIA (kcal) ENERGIA (kJ)
Fyf,k = s2afrn / s2jcn > s2jcn ] Sjcn / p (q-1), s2afrn ] Safrn / (p-1) 52. Regressioonanalüüs y = +x+; y a^1 b^1 x 53. Lineaarne korrelatsioon. Mittelineaarne korrelatsioon. Tasemeline korrelatsioon rxy xi x y i y n x y yx = Ax2 + Bx + C. Kaks taset andmeid. Spearman taseme korrelatsiooni koefitsient 6 d i2 B 1 n3 3 54. Paari regressiooni arvutamine vähimruutude meetodil. Meetodi hälbed x'i = xj - x; y'i = yj - y, b = x'i y'i / (x'i)2; x'i y'i = xi yi - n x y; (x'i)2 = (xi)2 - n x2. Dispersioon s2b= s2 / (x'i)2; s2a= xi2 s 2 ; n ( x' i ) 2 55. Regressioonijoone usaldusintervallid 1 x' 2 s p = s 1 2 2 p x '
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks.
Muusikateaduse osakond GRETE KELLAMÄE Intonatsiooni varieeruvus diatoonilise helirea mängimisel viiulil I Proseminaritöö Juhendaja: Vanemteadur Allan Vurma Tallinn 2015 Sisukord ABSTRAKT................................................................................................................................2 1. SISSEJUHATUS.....................................................................................................................3 1.1 Helikõrgus........................................................................................................................3 1.2 Helirida.............................................................................................................................4 1.3 Intonatsioon.....................................................................................................
En. Valk Rasv. C18:3 KOLESTER. mg Lakt. Kiuda Ret.ekv Vit.D Vit.E Vit.B1 Vit.B2 NIATS.EKV Vit.B6 Vit.B PANT.HAPE Vit.C TUHK Na K Ca Mg P RÄNI Fe kcal g g G mg g g g g g mg mg mg Mg mg 12 g Mg mg G mg mg mg mg mg Mg mg Teraviljatooted. Nisujahu 328 9,9 1,7 0,07 0 67,1 0 3,5 0 0 0,32 0,43 0,05 5 0,08 0 0,5 0 0,44 0,4 150 13 21 100 2 5,2 Rukkijahu 328 10 2,3 0,14 0 65,6 0 13,6 1,1 0 1,63 0,3 0,13 2,7 0,35 0 1,34 0 1,7 1 500 30 110 360 8 4,9 Odrajahu
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
15 12 33 95 10 87 25 1 62 52 98 94 62 46 11 71 79 75 24 91 40 71 96 12 82 4 6 96 38 27 7 74 20 96 69 86 10 80 25 91 74 85 22 5 39 0 38 75 95 79 xi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-xk)2 0 0 1 0 0 2132,59 1 1 1 1 1 2041,23 3 3 1 3 9 1864,51 4 4 1 4 16 1779,15 7 7 1 7 49 1535,07 8 8 1 8 64 1457,71 10 10 2 20 200 2617,98 10 13 3 39 507 3302,74 13 15 1 15 225 972,19 13 20 2 40 800 1370,78 13 22 2 44 968 1169,34 15 24 1
15 12 33 95 10 87 25 1 62 52 98 94 62 46 11 71 79 75 24 91 40 71 96 12 82 4 6 96 38 27 7 74 20 96 69 86 10 80 25 91 74 85 22 5 39 0 38 75 95 79 xi ni xi*ni ni*xi2 ni*(xi-xk)2 0 0 1 0 0 2132,59 1 1 1 1 1 2041,23 3 3 1 3 9 1864,51 4 4 1 4 16 1779,15 7 7 1 7 49 1535,07 8 8 1 8 64 1457,71 10 10 2 20 200 2617,98 10 13 3 39 507 3302,74 13 15 1 15 225 972,19 13 20 2 40 800 1370,78 13 22 2 44 968 1169,34 15 24 1
Tunnuse X2 väärtused: x21, x22,...x2n ... yn b1 b2 x2 n b3 x3n ... bk xkn un Tunnuse X3 väärtused: x31, x32,...x3n Üldiselt tunnuse Xj väärtused: xj1, xj2, xjn Kasutame maatrikseid · Parameetrite hinnangud leitakse vähimruutude meetodil y1 1 x21 x31 xk1 b1 u1 1 u (OLS) y x22 x31 xk 2 b
MAATRIKSALGEBRA 1. Maatriksi mõiste ja liigitus Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse a ik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n A= . . . . . a am2 ... a mn m1 Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elem
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
