MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D ...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut BORIS GORDON, EDUARD PETLENKOV ISS0010 SÜSTEEMITEOORIA ÜLESANNETE KOGU 2007 Parandatud 2009 Kaane kujundanud Ann Gornischeff Autoriõigus: B. Gordon, E. Petlenkov, 2007 ISBN 978-9985-59-688-3 2 EESSÕNA Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks abimaterjalina õppeaines ISS0010 Süsteemiteooria. Kogu täiendab Hanno Sillamaa õpikut "Süsteemiteooria", millel on olnud juba neli trükki. Iga peatüki alguses on toodud viide selle õpiku (Hanno Sillamaa. Süsteemiteooria, TTÜ kirjastus) vastavatele teoreetilistele peatükkidele. Kui selles õpikus vastavat materjali ei ole, siis on antud viide teisele raamatule (K. Ogata. Modern control engineering, 2002). Ülesannete kogu on kasutamiseks nii harjutustundides, kontrolltöödeks ja eksamiteks etteval- mistamisel kui ka kursuse iseseisval läbimisel. See sisaldab ülesandeid põhiliste teor...
! """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""# """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""$ %"%" & '' """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""$ %" " """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""( %")" * """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""%+ %")"%" * """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""% %")" " , - * , ...
Simpleksmeetod Graafiline lahendus Lahendamine käsitsi Simpleksmeetod on lineaarsete planeerimis-ülesannete universaalne lahend Meetodi autor on ameerika matemaatik G. B. Dantzing aastast 1947. Nimetus t nimetatakse n-dimensionaalses ruumis kumerat hulktahukat, millel on n+1 tipp Selleks, et lahendada ülesannet simpleks-meetodiga, peab ülesanne vastama j 1. Kõik kitsenduste süsteemi vabaliikmed peavad olema mittenegatiiv (negatiivse vabaliikme korral korrutada võrratuse mõlemaid pooli -1-ga). 2. Sihifunktsioon peab olema esitatud maksimumfunktsioonina (max f(x) = - min f(x)). 3. Ülesanne peab olema esitatud kanooniliselkujul Kanoonilise kuju saamiseks viiakse sihifunktsioonis kõik tundmatud vasakule Kõik kitsendused ning samuti sihifunktsioon peavad olema võrrandite kujul, m kordajaga 1 ja esineb ainult ühes võrrandis. universaalne lahendusmeetod. ast 1947. Nimetus tuleneb geomeetrilisest tõlgendusest. Simpleksi...
Mitme muutuja funktsiooni mõiste
Def: Kui igale x-I ja y-I väärtuste paarile mingis piirk D on vastavusse seatud muutuja z teatud kindel väärtus, siis öeldakse et z
on kahe muutuja y ja x funktsioon. z=(x; y) või z=z(x; y) või z=(x; y) või z=F(x; y). (joon) D-x, y tasandi punktide hulk; -
piirk D rajajoon e raja. Def1: Piirk D nim lahtiseks kui ta ei sisalda ühtegi oma rajajoone punkti; Def2: Piirk D nim kinniseks kui
ta sisaldab kõiki oma rajajoone punkte. Näiteks on kaks hulka: A={(x; y)x2+y2
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüü...
4) - . . . . -.: 2, N . 4) . (x,y)S - .1: D . . - Rn . . . - . . . r ×r f(x,y)g(x,y), - . . . . . . . - yR 1)D - N= 1 2 . f ( x, y )dxdy g ( x, y ...
MathCad-i eksami kordamiskonspekt · Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Näiteülesanne ORIGIN := 1 <--TÄHTIS !!! 3 -1 0 5 A := - 2 1 1 b := 0 2 -1 4 15 Süsteemi laiendatud maatriks on: Ab := augment ( A , b ) 3 -1 0 5 Ab = -2 1 1 0 2 -1 4 15 1 0 0 2 Ag = 0 1 0 1 ...
1) : x + 2 y - 3 z -1, (6) 10 = = ;1, (6) = 3 0 -1 6 10 z- x + 2 y -3 6 = = 3 0 -1 10 n1 (3;0;-1). M 1 (-2;3; ) 6 : x -1 t = x = t + 1 1 t = x - 1 1 t = x - 1 1 y +1 y = 2t - 1; 2t = y + 1 ; 2t = y + 1 ; t = z = 4 z = 4 + 0 t 0 t = z - 4 2 t = z-4 0 ...
1. Olgu meil kasutada predikaadid ISA(x,y), EMA(x,y) ja MEES(x) mis tähendavad vastavalt, et x on y isa, x on y ema ja x on meessoost. Predikaatmuutujate määramispiirkonnaks on kõigi inimeste hulk. Väljendada predikaatarvutuse abil sugulussidemed: a) õed - x ja y on õed kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬(MEES(x) MEES(y))). või x on y-i õde kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬MEES(x)) lugesin õigeks ka nö. kasuõdede variandi. (25% õigeid vastuseid) b) vanatädi - x on y-i vanatädi kui xy (VANATÄDI(x,y) zuvw((EMA(z,y) ISA(z,y)) & (EMA(u,z) ISA(u,z)) & EMA(v,u) & EMA(v,x) & ISA(w,u) & ISA(w,x) & ¬mees(x)) siin seega z on y-i ema või isa, u on vanaema või vanaisa ja x on viimase õde. (7% õigeid vastuseid) 2. Kui mu abikaasa mind petab, siis jätan ta maha või hakkan ka ise teda petma. Kui ma oma abik...
MITME MUUTUJ A FUNKTSIOON. PIIRV ÄÄRTUS. DIFERENTSEERIMINE Mitme muutuja funktsioon Mitme muutuja funktsiooni üldkuju: w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D Kahe puntki vaheline kaugus: Puntkide P1 = ( x1 , y1 , z1 ,...) ja P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ,...) vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu d ( P1 , P2 ) = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 + ( z1 - z 2 ) 2 + ... . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 ni...
Punktmassi kinemaatika. 1.1 Kulgliikumine Taustkeha keha, mille suhtes liikumist vaadeldakse. Taustsüsteem kella ja koordinaadistikuga varustatud taustkeha. Punktmass keha, mille mõõtmed võib kasutatavas lähenduses arvestamata jätta (kahe linna vahel liikuv auto, mille mõõtmed on kaduvväikesed linnadevahelise kaugusega; ümber päikese tiirlev planeet, mille mõõtmed on kaduvväikesed tema orbiidi mõõtmetega jne.). z punktmass v r O taustkeha y x taustsüsteem r - punktmassi kohavektor vaadeldavas taustsüsteemis. v - punktmassi kiirusvektor vaa...
Loogikatehe "SUMMA MOODULIGA 2" ("välistav VÕI") ? Millest tuleb nimetus "VÄLISTAV VÕI" ? Ü x1 x2 Võrreldes tehteid VÕI ja "välistav VÕI" ( OR ja XOR ) ilmneb T nende sarnasus. Erinevus on ainult argumendiväärtuste kombinatsiooni T Loogikatehe (ehk 2-he muutuja funktsioon) "summa mooduliga 2" on x1 x2 : 1 1 korral. ekvivalentsi inversioon: Tehe XOR väärtustub 1-ks siis, kui kas esimene või teine operand ________ _______ (kuid mitte mõlemad korraga) on 1...
ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID VEKTORI MÕISTE, MOODUL JA SUUND Neid suurusi, mida on võimalik iseloomustada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks (temperatuur, mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõp...
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1...
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises...
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z...
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z...
Tallinna Tehnikaülikool Elektrotehnika aluste ja elektrimasinate instituut Elektrotehnika II Kodutöö II Homogeenne liin Variant:46 Õpilane: Rühm: AAA Juhendaja: A.Kilk 2004 Tallinn Algandmed: 9 f 1500 Co 12 10 U2 12 3 l 80 I2 50 10 ...
Matemaatilise analüüsi (II) I osaeksami teooriaküsimused 2013 1. Kahe muutuja funktsiooni väärtuspaaride (x; y) hulka, mille puhul definitsioon. Määramispiirkond. funktsioon z = f (x; y) on määratud, Kahe muutuja funktsiooni nimetatakse selle funktsiooni geomeetriline kujutamine. määramispiirkonnaks. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x; y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Argumentide x ja y 2. Kahe muutuja funktsiooni , saame z uue muudu z, mida osamuudu ja täismuudu mõisted nimetatakse funktsiooni z (kujutada ka joonisel). täismuuduks ja mis on määratud Et y väärtus sellel tasa...
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrand...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Energeetikateaduskond Elektrotehnika aluste ja elektrimasinate instituut ELEKTROTEHNIKA II Kodutöö nr. 2 Homogeenne liin Skeem nr 14 Tudeng: Juku Matrikli nr: 0000000 Rühm: AAAB Juhendaja: A. Kilk Tallinn 2016 Elektrotehnika II kodutöö nr 2 Algandmed: f 6500 f 6500 Hz L 21 L 21km R0 102 R0 102 / km C 0 2.8 10 9 C 0 2,8nF / km L0 4.27 10 3 2 15.37 deg ...
66 Tugevusanalüüsi alused 5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED 5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED 5.1. Ristlõige kui varda tugevuse mõõt Tugevusanalüüsi oluline küsimus: Kas detaili ristlõike kuju ja "Jäme" varras on tugevam, kui "peenike" ehk mõõtmed on optimaalsed? varras milline "jämedus" on piisav? Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist Ristlõike vastupanuvõime koormuste toimele on erinevate sisejõudude mõjudes erinev (Joon. 5.1) ning sõltub: · tõmbel, survel ja lõikel pindalast A, [m2]; · väändel polaar-inertsimome...
66 Tugevusanalüüsi alused 5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED 5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED 5.1. Ristlõige kui varda tugevuse mõõt Tugevusanalüüsi oluline küsimus: Kas detaili ristlõike kuju ja "Jäme" varras on tugevam, kui "peenike" ehk mõõtmed on optimaalsed? varras milline "jämedus" on piisav? Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist Ristlõike vastupanuvõime koormuste toimele on erinevate sisejõudude mõjudes erinev (Joon. 5.1) ning sõltub: · tõmbel, survel ja lõikel pindalast A, [m2]; · väändel polaar-inertsimome...
MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken Kursuses vajalik matemaatika Lineaarne algebraliste võrrandite süsteem Olgu n tundmatuga m võrrandist koosnev süsteem a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = f 1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = f 2 ................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = f m maatrikskujul AX = F , a11 a12 ... a1n a a 22 ... a 2 n kus A = 21 , ... ... ... ... a am2 ... a mn m1 x1 f1 x ...
7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A ( x1 ; y1 ; z1 ) ja B ( x2 ; y2 ; z2 ) , siis uuur uuur AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) ehk AB = ( X ; Y ; Z ) , kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: ...
Teist ja kolmandat j¨arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud Tartu 2016 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Sarruse (kolmnurga) reegel 3. j¨arku determinantide arvutamiseks Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Arvutage determinandid 1 2 4 2 4 0 −1 3 3 1 3 −2 5 −6 4 2 1 0 2 5 6 −4 −3 4 1 2 5 1 3 2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valem...
Tallinna Tehnikaülikool Elektroenergeetika aluste ja elektrimasinate instituut Elektrotehnika II Kodutöö nr 5 (Var 11) Homogeene liin Tallinn 2017 Algandmed f =600 Hz l=200 km Ω R0=5.5 km nF C0 =10 km mH L0=3 km μS G0=0.65 km U 2=60 V I 2 =52.1mA 0 ψ 2=12.42 1. Arvutada pinge U1 ja vool I1 liini alguses aktiivvōimsus P ja näivvōimsus S liini alguses ja lōpus ning liini kasutegur η ω=2∗f∗π =2∗600∗3.14=3768 I ' 2 =I 2∗eiψ 2=52,1∗10−3∗e 12,42 j=52,1∗10−3∗( cos 12.42+ jsin 12.42 )=0.051+ j 0.011=0.052∠ 12.17 −3 0 Z 0 =R 0 +ω∗L0∗ j=5.5+3768∗3∗10 j=5.5+ j 11.3=12,57 ∠ 64,05 −6 −9 ...
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuse...
Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut Kodutöö D-2 D'Alembert'i printsiip Variant 19 Õppejõud: Jüri Kirs Üliõpilane: Matrikli number: Rühm: Kuupäev: 02.12.09 Tallinn 2009 1. Ülesande püstitus Leida sidemete A ja B reaktsioonikomponendid ja jõud vedrus. z B E O y m = 40 kg A 60° l = 60 cm ...
Lineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0 Aksioom2 Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi. Lineaarkujutuste f ja g korral lepitakse kokku rääkida ka nende summast f + g ja kujutuste korrutamisest reaalarvuga f. Lineaarkujutiste liitmisel ja korrutamis...
Tallinna Tehnikaülikool Automaatikainstituut Kodutöö 3 Pöördpendli mudel, järgimissüsteem Rain Jõearu 040737 IASB Tallinn 2008 1. Mudeli lähteandmed - pendli nurk [rad] 0.2 rad x käru asend M käru mass [kg] m pendli mass [kg] kaugus pendli raskuskeskmeni [m] g raskuskiirendus [m/s2] F liikumise jõud (mudeli sisend) B= G X0 A olekumaatriks, B sisendmaatriks, G häiringu ülekandemaatriks, X0 olekuvektor 2. Vormistatud eksperimendi lühiselgitus Eksperimendi eesmärk on tasakaalustada käru peal asetsevat pöördpendlit, samal ajal käru mingist asendist teise liigutades. Maksimaalne lubatud pendli kõrvalekalle ei tohi ületada 0,2rad; maksimaalne juhttoime 40V. Lubatud viga ei tohi ületada 5% Xs valitud seadesuurus, XS Seekord kasutatakse süs...
Trigonomeetrilised võrrandid © T. Lepikult, 2010 Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb vaid trigonomeetriliste funktsioonide argumentides Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus Kuna arctan 3 = , 3 ...
Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon Kui hulga x igale elemendile on mingi eeskirjaga seatud vastavusse hulga y kindel elementi ,siis öeldaks, et hulgale x on defineeritud funktsioon. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x . Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y Funktsiooni määramispiirkond- Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda, see on nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav. Funktsioonide liigid- Funktsioone võime jagada: 1. Paaris ja paaritu funktsioonid · Paarisfunktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= f(-x)(sümmeetriline y-telje suhtes). · Paaritu funktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= - f (x) ( muutuma peavad kõik märgid) (sümmeetriline 0 punkti suhtes). 2. Perioodiline funktsioonid ...
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv ...
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv ...
Posti stabiilsus kontroll survele 2 ETAPP h= 150 b= 50 Nd = 28 Ly = 2000 Lz = 2000 Ristlõike inertsiraadius i y= A Iy bh3 = 12bh 12 h = 43,30 mm ...
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud ...
Determinandid, lineaarsed võrrandisüsteemid Ülesanne 1 Lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. x + y + z = 26 3x - y + z = 20 - x + 7 y - 2 z = 15 1 1 1 1 1 D = 3 - 1 1 3 - 1 = 2 - 1 + 21 - 1 - 7 + 6 = 20 -1 7 - 2 -1 7 26 1 1 26 1 Dx = 20 - 1 1 20 - 1 = 52 + 15 + 140 + 15 - 182 + 40 = 80 15 7 - 2 15 7 1 26 1 1 26 Dy = 3 20 1 3 20 = - 40 - 26 + 45 + 20 - 15 + 156 = 140 - 1 15 - 2 - 1 15 1 1 26 1 1 Dz = 3 - 1 20 3 - 1 = - 15 - 20 + 546 - 26 - 140 - 45 = 300 - 1 7 15 - 1 7 Dx 80 x = D = 20 = 4 Dy 140 y= = = 7 D 20 Dz 300 z = D = 20 = 15 Kontroll: I vp1 = 4 + 7 + 15 = 26 pp1 = 26 vp1 = pp1 II vp 2 = 3 4 - 7 + 15 = 20 pp 2 = 20 vp 2 = pp 2 III vp 3 = -4 + 7 7 - 2 15 = 15 pp 3 = 15 vp 3 = pp 3 x= 4 Vastus: y = 7 z = 15 Ülesanne 2 Lahend...
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x...
___.___ .. Mathcad 6.0 Plus 2001 2 621.391.2(07) .. : - Mathcad 6.0 Plus. , - , 2001. 189. : , , - - . Mathcad 6.0 Plus. . " - " , . . 2. . 155. .: 14 . .. , . . , . 3 1. 1.1. 1.1.1. -- x(t) = x(t+mT), T -- , m - - , m= 1, 2, .... x(t) - x(t ) = a 0 + (a k cos k1 t + b k sin k1 t ) =a 0 + A k cos(k1t + k ) (1.1) k =1 k =1 1 = 2 -- 1- ; a 0 , a k b k -- T , : t +T t +T t +T 1 ...
Ettevõte kavandab 4 erinevat reisikoti tootmist. Kottide valmistamiseks kasutatakse 5 materjali: pärisnahk; kangas nr 1; kunstnahk; kangas nr 2. Kotid plaanitakse teha materjalidest, mis jäid üle mööblivalmistamisel. Materjali kogus vastavalt 400 m, 200 m, 100 m, 150m. Muud tingimused on esitatud tabeli kujul järgmised: Materjali kogus ühele tootele Materjali Materjal kogus meetrites Reisikott 1 Reisikott 2 Reisikott 3 Reisikott 4 0 1 4 Pärisnahk 400 2 200 4 2 4 0 Kangas nr1 Kunstnahk 100 2 1 2 4 80 0 1 ...
1. Mitme muutuja funktsiooni definitsioon. Mitme muutuja funktsiooni määramispiirkonna definitsioon (kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond). Erinevad piirkonnad, piirkonna rajajoon. Tõkestatud piirkond. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x;y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Kahe muutuja funktsiooni z märgitakse kujul z=f(x,y). Argumentide x ja y väärtuspaaride (x;y) hulka, mille puhul funktsioon z=f(x,y) on määratud, nim. selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Kui x ja y iga väärtuspaari kujutada xy-tasapinna punktina M(x;y), siis funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasapinnal. Ka seda punktide hulka nim. funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni määramispiirkonnaks võib olla ka kogu tasapind. Edaspidi tegeleme peamiselt niisugu...
HARMOONILINE VÕNKUMINE Vaatame ühtlast ringliikumist küljelt. Siis saame ühemõõtmelise liikumise, nagu näidatud joonisel. Z r P0 O -r Liikumisvõrrandistest jääb nüüd järele ainult üks: z = r sin (t + 0 ) (1) See ongi punkti P harmoonilise võnkumise võrrand. Lähtudes endiselt ühtlasest ringliikumisest, oletame, et liikumise alghetkel asub punkt asendis P0 ja liigub esialgu üles kõrguseni r , siis alla kõrguseni r ja siis jälle üles. Punktile P0 vastas ringliikumisel pöördenurk 0, mida nimetati algfaasiks. See nimetus jääb kehtima ka võnkumise puhul. Punkti asukohale mingil suvalisel ajahetkel t vastas pöördenurk . Siin nimetame seda suurust faasiks ja see ...
Mehhanosüsteemide komponentide õppetool Kodutöö nr 3 õppeaines TUGEVUSÕPETUS I (MHE0011) Variant Töö nimetus A B Tala ristlõike paindetugevuse näitajad 3 5 Üliõpilane Üliõpilaskood Esitamise kuupäev Õppejõud 2015 Külmvormitud võrdkülgse nurkprofiiliga vardast ja U-profiiliga Võrdkülgse vardast (mõlemad vastavalt EN 10162) on keevituse teel nurkprofiiliga valmistatud tala (hakkab eeldatavalt tööle paindele). Arvutada varras selle tala ristlõike tugevusmomendid kesk-peatelgede suhtes. Rist...
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi ...
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi ...
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4.Ilmutatud funktsioon- funktsioon, kus esitatava võrdsuse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal muutujast x sõltuv avaldis. 5. Ilmutamata funktsioon- funktsioon, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist. 6.Ühesed funktsioonid- nimetakse sellist fuktsooni, kus argumendi ühele väärtusele on seatud vastav...
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust v...
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud muutujad Näide: Funktsioon võib olla antud ilmutatud kujul z= f (x1 , x2 , x3 , … x n) (z=x2+y2-5) või ilmutamata kujul F ( x 1 , x 2 , ...
annaabi.ee 
