Detaili sisepinna omadused (0)

66
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
5.1. Ristlõige kui varda tugevuse mõõt
Tugevusanalüüsi oluline küsimus:
Kas detaili ristlõike kuju ja
“Jäme” varras on tugevam, kui “ peenike ”
ehk
mõõtmed on optimaalsed?
varras ⇒ milline “jämedus” on piisav?
Eelnevast :
Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist
Ristlõike vastupanuvõime koormuste toimele on erinevate sisejõudude mõjudes erinev
(Joon. 5.1) ning sõltub:
•  tõmbel, survel ja lõikel pindalast A, [m2];
•  väändel polaar -inertsimomendist I0, [m4] ning ümarvarraste korral
polaar-tugevusmomendist W0, [m3].
              Tõmme ja surve (pike)
Tugevustingimus
Ristlõike tugevuse näitaja
Ristlõige
A
Pindala  A
σ epüür
σ = N ≤ [σ ]
A
Dimensioon ; [m2]
D
Kui D ↑ 2 korda, siis
F
tugevus ↑ 22 = 4 korda
                             Lõige
Tugevustingimus
Ristlõike tugevuse näitaja
Lõikepind
τ epüür
A
Pindala  A
Dimensioon; [m2]
τ = Q ≤ [τ ]
A
Kui D ↑ 2 korda, siis
F
D
τ
tugevus ↑ 22 = 4 korda
                            Vääne
Tugevustingimus
Ristlõike tugevuse näitaja
M
Polaar- tugevusmoment   W0
Ristlõige
T
τ epüür
τ
≤
max
[τ]
A
W
Dimensioon; [m3]
0
Kui D ↑ 2 korda, siis
tugevus ↑ 23 = 8 korda
D
τmax
Joonis 5.1
Paindeülesanne (Joon 5.2) ⇒ ristlõike tugevust näitavad telg -tugevusmomendid (telg-
inertsimomendid ) ristlõike pinnakeset läbiva peateljestiku suhtes.
Priit Põdra, 2004
67
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
Painutatud varras
Varda ristlõike pinnakese ja kesk-peateljed
 
Pinnakese
z
Varda telg on 
kõverdunud 
Kesk-peateljed
m
y
Joonis 5.2
Painutatud varda ristlõike geomeetria analüüs (Joon. 5.3) hõlmab kolme ülesannet.
Painutatud varda ristlõike analüüs
 
Määrata ristlõike 
Määrata kesk-
Arvutada kesk-
pinnakeskme asukoht 
peateljestiku asend 
peainertsimomendid  
Joonis 5.3
Kujundi iga sümmeetriatelg = kesk- peatelg  (see on alati nii)
Enamlevinud lihtsamate ristlõigete jaoks (ring,  ellips ruut, ristkülik, I- profiil , jt.) on
pinnakeskme asukoht (sümmeetriatelgede ristumispunkt) ja kesk-peatelgede asend (ristuvad
sümmeetriateljed) teada ja visuaalselt määratav.
5.2. Tasandkujundi omadused
Detaili ristlõige = tasapinnaline
Ristlõike tunnussuuruste määramine =
⇒
geomeetriline kujund
tasandigeomeetria ülesanne
Geomeetrilise tasandkujundi olulised parameetrid tugevusanalüüsis (sõltuvalt
tugevusanalüüsi ülesandest):
•  ristlõike pindala A,
•   pinnamomendid ,
•  pinnakeskme asukoht,
•  kesk-peateljestiku asend.
Pinnamomendid arvutatakse ristlõike geomeetriliste parameetrite (Joon. 5.4) järgi.
Pinnamomentide väärtusi kasutatakse detaili ristlõike pinnakeskme asukoha ning
tugevuse määratlemiseks.
Priit Põdra, 2004
68
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
Tasandkujundi geomeetria parameetrid
dA
z
Pinnaelement
Kontuur
y
Rist - teljestik
A Pindala
z
0
y
Joonis 5.4
Tasandkujundi pinnamomendid on:
•  esimese astme momendid  ehk
⎧S =
zdA
moment
 
staatiline
y −
suhtes
 
telje
y
∫
staatilised momendid [m3]:
⎪
A
⎪S =
ydA
moment
 
staatiline
z −
suhtes
 
telje
z
∫
⎩
A
•  teise astme momendid ehk
⎧I = z2 =
dA telg -
ent
inertsimom
y −
suhtes
 
telje
y
∫
inertsimomendid [m4]:
⎪
A
⎪I = y 2 =
dA  telg -
ent
inertsimom
z −
suhtes
 
telje
z
∫
⎩
A
I = yzdA
aal
tsentrifug
ent
inertsimom
yz
suhtes
 
teljestiku
yz
∫
−
A
I = ρ
0
∫ 2 =
dA polaar -
 
mingi
ent 
inertsimom
suhtes
 
0
 
pooluse
A
kus:
S   ⎯ staatiline moment,
dA ⎯ lõpmatult väike pinnaelement, [m2];
[m3];
A   ⎯ kujundi pindala, [m2];
I    ⎯  inertsimoment , [m4];
ρ   ⎯ pinnaelemendi dA kaugus koordinaatide alguspunktist  (polaar-
koordinaat ), [m];
y, z  ⎯ pinnaelemendi dA ristkoordinaadid, [m].
Pinnamomendid on arvutatud alati mingi telje või teljestiku suhtes!!!
5.3. Staatilised momendid
5.3.1. Kujundi staatilised momendid ja pinnakese
Tasapindkujundi staatiliste momentide  Sy ja Sz väärtused sõltuvad yz-teljestiku asendist
kujundi suhtes (Joon. 5.5) ning need väärtused võivad olla nii positiivsed, negatiivsed, kui
ka võrdsed 0-ga. Nende telgede ristumispunkt, millede suhtes staatiliste momentide
väärtused S = 0, ongi kujundi pinnakese. Iga sümmeetriatelje suhtes S = 0.
Priit Põdra, 2004
69
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
Iga rist-teljestik, mille suhtes
⎧S = 0
Pinnakese = keskteljestiku alguspunkt
  ⎨ y
   = keskteljestik
(sümmeetriatelgede lõikumispunkt)
⎩S = 0
z
Kujundi pinnakese ja keskteljestik
z
Keskteljestik
2
⎧S = 0
y 2
A
⎨
⎩S = 0
z 2
y
⎧S = zdA
y
∫
C
2
⎪
A
⎧S ≠ 0
S = ydA
z
∫
y1
Pinnakese
⎪
⎨
⎩
⎩S ≠ 0
A
z1
Mitte-keskteljestik
y1
z1
Joonis 5.5
Keskteljestikke on lõpmatult palju (iga teljestik läbi pinnakeskme on keskteljestik)
5.3.2. Kujundi pinnakeskme asukoht ja lihtkujundi staatiline moment
⎧S = 0
Pinnakeskme määramise ülesanne  = leida yz-teljestik, mille suhtes  ⎨ y
⎩S = 0
z
PROBLEEM:
Teada on kujundi mõõtmed ja paiknemine mingi (vabalt valitud) teljestiku suhtes.
Vaja on arvutada kujundi pinnakeskme koordinaadid (selles teljestikus).
Kujundile on näiteks määratud kaks paralleelset teljestikku: y1z1 ja y2z2 (Joon. 5.6.):
•  z2-telje koordinaat y1z1-teljestikus on a ning y2-telje koordinaat y1z1-teljestikus
on b;
•  kujundi staatilised momendid nende teljestike suhtes on seotud (vastavalt
definitsioonidele)  valemitega :
⎪⎧S = z dA =
y 2
2
(z −b
1
)dA = z dA−b dA = S −
∫
∫
∫ 1
∫
bA
⎨
y1
A
A
A
A
⎪⎩S = S − aA
z 2
z1
•  kui y2z2-teljestik oleks keskteljestik (telgede ristumispunkt on pinnakese), siis:
⎧S = 0
⎧y = a
⎨ y2
 ning pinnakeskme koordinaadid saaks  ⎨ 1C
⎩S = 0
z = b
z 2
⎩ 1C
Priit Põdra, 2004
70
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
S
S
Kujundi pinnakeskme koordinaadid vabalt valitud yz teljestikus:   y
z
 ja  z
y
C
A
C
A
kus: yC, zC ⎯ kujundi pinnakeskme koordinaadid antud teljestikus (teada), [m];
Sy, Sz ⎯ kujundi staatilised momendid telgede y ja z suhtes, [m3].
Kujund ja kaks paralleelset teljestikku
Kujundi pinnakeskme asukoht
z
z
1
2
z
y2
dA
y
 A
A
1
y
C
C
a
z 2
y2
z 1
b
z C
Pinnakese
y1
y
 Joonis 5.6
⎪⎧
on teada
asukoht 
 
e
pinnakeskm
Lihtkujund
= kujund, mille 
arvutatav
 
hõlpsasti
on 
 
pindala
4
42
1
4
43
⎨
⎪
 
kolmnurk ,
 
ruut,
 
ristkülik,
 
rõngas,
 
ring,
jne.)
⎩
d
arvutatava
 
hõlpsasti
on 
 
aalid
pindintegr
⎧S = z A
Lihtkujundi staatilised momendid (pinnakeskme asukoha ja pindala järgi):  ⎨ y
C
⎩S = y A
z
C
kus: yC ja zC   ⎯ lihtkujundi pinnakeskme koordinaadid (mingis teljestikus), [m];
A
    ⎯ lihtkujundi pindala, [m2].
5.3.3. Liitkujundi pinnakeskme asukoht
⎧
 teada
ole
 
ei
asukoht 
  
e
pinnakeskm
⎪
arvutatav
 
hõlpsasti
 
ole
 
ei
 
pindala
Liitkujund  = kujund, mille  ⎨⎪pindintegr
keerukas
on 
 
arvutamine
 
aalide
⎩
 
saab
iteks
lihtkujund
 
jaotada
Liitkujund koosneb lihtkujunditest (Joon. 5.7):
•  liitkujund jaotatakse sobivateks osakujunditeks: A = A ± A ± A ±
1
2
3
K
•  liitkujundi staatilise momendi avaldis  yz-teljestikus tuleb:
1
(2)
(3)
(i)
⎧
⎪S = zdA = zdA ± zdA ± zdA ± ... = S ± S ± S ± =
...
S
y
∫
∫
∫
∫
y
y
y
∑ y
⎨
A
A
A
A
1
2
3
1
(2)
(3)
(i)
⎪⎩S = S ± S ± S ±... = S
z
z
z
z
∑ z
Priit Põdra, 2004
71
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
Liitkujundi staatiline moment (mingi telje suhtes) = osakujundite staatiliste momentide
summa (sama telje suhtes)
Liitkujund
Osakujundite staatilised momendid
z
(1)
⎧
A
S = z A
3
C
y
C1 1
3
1. Ristkülik:  ⎨ (
1)
y
S = y A
C
⎩ z
C1 1
z C3
C
(2)
2
⎧S =
C
z A
2. Ristkülik:  ⎨ y
C2
2 ;
A
(2)
2
⎩S = y A
z C
z
C2
2
z C2
(3)
A
⎧S = z A
1
C
y
C3 3
0
1
z C1
3. Ristkülik:  ⎨ (
3)
S
y
⎩
y A
z
C3 3
Liitkujundi pindala
Liitkujundi staatilised momendid
Kujundi pinnakese
( )1
(2)
(3)
A = A + A + A
⎧S = S + S + S
S
S
y
y
y
y
1
2
3
⎨
y
z
 ;  
z
y
1)
(2)
(3)
C
C
⎩S = S + S + S
A
A
z
z
z
z
 yCi, zCi      ⎯ osakujundite pinnakeskmete koordinaadid yz-teljestikus, [m];
(i)
S
(i)
,  S  ⎯ osakujundite staatilised momendid yz-teljestiku suhtes, [m3];
y
z
Ai   ⎯ osakujundite  pindalad , [m2];
i   ⎯  osakujundi  number.
Joonis 5.7
Osakujundid võivad olla nii “positiivsed” kui ka “negatiivsed”:
•  positiivne osakujund  = materiaalne osakujund ehk kujundi tegelik osa;
•  negatiivne osakujund  = mittemateriaalne osakujund ehk kujundist välja
lõigatud osa (pindala ja pinnamomentide väärtused on “-“
märgiga).
Igat liitkujundit saab tavaliselt kirjeldada mitmel viisil ⎯ koosnevana erinevatest
positiivsetest ja/või negatiivsetest osakujunditest
5.4. Inertsimomendid
5.4.1. Mõnede lihtkujundite inertsimomendid
Lihtkujundite pindintegraalid on hõlpsasti avaldatavad (Joon. 5.8) ning inertsimomentide,
pindalade ja pinnakeskme koordinaatide valemid on toodud käsiraamatutes.
Lihtkujunditena käsitletakse ka nn. profiilmaterjalide ristlõikeid, milledest levinumad
on erineva geomeetriaga nurk-, karp- ja I- profiilid , nelikant-torud, aga ka keerukama
ristlõikekujuga alumiiniumist materjalid. Nende materjalide ristlõikepindade omadused
on mõnikord toodud tootespetsifikatsioonides.
Priit Põdra, 2004
72
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
                Ristkülik
Telg-inertsimomendid
dA = bdz
z
h 2
3
h
3
bz
bh
3
hb
dz
2
2
2
I = z dA = b
z dz =
        I =
y
∫
∫
3
h
−
12
z
12
A
−h 2
2
z
h
y
C
Tsentrifugaalinertsimoment:      I = yzdA = 0
yz
∫A
b
Kolmnurk
Telg-inertsimomendid
b ⎛ 2h
⎞
2h
2h
dA = sdz =
⎜
− z ⎟dz
2
b 3
⎛ 2h
⎞
⎛ bz3
2
2
bz4 ⎞
3
h ⎝ 3
⎠
3
I =
bh
z dA
z
z dz
y
∫
∫ ⎜ − ⎟ =
−
⎜⎜
⎟⎟
z
h
3
9
4h
h
36
A
h
⎝
⎠
⎝
⎠
s
−
−
3
3
dz
bh
3
hb
h
I =
             b = b ⇒ I =
z
( 2
2
b
b b
b
1
1 2
2 )
z
36
1
2
z
48
C
y
h/3
2
bh
Tsentrifugaalinertsimoment:     I = yzdA =
−
yz
(b b
∫
2
1 )
b1
b2
72
A
b
Ring
Polaarinertsimoment
D 2
z
4
4
D
2
D
I = ρ dA = 2
3
2
π ρ dρ = π
0
∫
∫
dρ
2 0
32
A
0
ehk     I =
0
∫(y2 + z2)dA = y2dA+ z2dA = I + I
∫
∫
z
y
A
A
A
D
C
y
Telginertsimomendid
Tsentrifugaalinertsimoment
4
I
D
I = yzdA = 0
0
yz
∫
dA
 = 2πρdρ
I
I
y
z
2
64
A
Joonis 5.8
5.4.2. Inertsimomendid rööpsete telgede suhtes
PROBLEEM:
Teada on (on hõlpsasti arvuatavad) kujundi inertsimomendid mingi teljestiku suhtes.
Vaja on kujundi inertsimomente keskteljestiku suhtes (mis on esimesega rööpne).
NB! Või vastupidi.
Selline vajadus tekib tavaliselt:
•  siis, kui lihtkujundi inertsimomendi avaldist on hõlpsam  integreerida
telje suhtes, mis ei ole kesktelg (üldjuhul on vaja arvutada inertsimomente just
keskteljestike suhtes);
•  liitkujundi summaarsete inertsimomentide arvutamisel;
Priit Põdra, 2004
73
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
•  keerulise kujuga kujundi inertsimomentide arvutamisel.
Kujundile olgu näiteks antud kaks rööpset teljestikku: keskteljestik yz ja y1z1 (Joon. 5.9.):
•  pinnakeskme koordinaadid y1z1-teljestikus on a ja b;
•  kujundi telginertsimomendid y1z1-teljestikus tulevad:
⎧I = z2dA =
2
2
2
2
2
2
y1
1
(z +b)
⎪
dA = z dA + b zdA + b
dA = I + bS +
∫
∫
∫
∫
∫
b A
y
y
⎨
A
A
A
A
A
⎪⎩I = I + 2aS + a2 A
z1
z
z
•  kujundi tsentrifugaal -inertsimoment y1z1-teljestikus tuleb:
I
= y z dA =
y1z1
1
(y a)(z b)dA
yzdA b ydA a zdA ab dA
∫ 1
∫
∫
∫
∫
∫
A
A
A
A
A
A
= I + bS + aS + abA
yz
z
y
⎧I = I + b2 A
⎧S = 0
⎪ y1
y
•  kuna yz on keskteljestik, mille suhtes  ⎨ y
, siis   ⎨I = I + a2 A .
⎩S = 0
z1
z
z
⎪I
= I +
⎩
abA
y1z1
yz
Kujund ja kaks rööpset teljestikku
z1
y
z
Keskteljestik
y1
z
C
dA
y
a
Mitte-keskteljestik
A
z 1
b
01
y1
Joonis 5.9
Telginertsimomendid rööpsete telgede suhtes:
I = I + e2 A
M
K
ning
Tsentrifugaal-inertsimoment rööpsete teljestike suhtes:     I
= I
+ e e A
MM
KK
1 2
kus: e 
⎯ kujundi kesktelje koordinaat mittekeskteljestikus (+/- märgiga), [m];
IM 
⎯ kujundi inertsimoment mittekesktelje suhtes, [m4];
IMM  ⎯ kujundi inertsimoment mittekeskteljestiku suhtes, [m4];
IK 
⎯ kujundi inertsimoment kesktelje suhtes, [m4];
IKK  ⎯ kujundi inertsimoment keskteljestiku suhtes, [m4];
5.4.2.1. Kolmnurga inertsimoment aluse suhtes
Kolmnurga alusega on pandud ühtima y1-telg, mis on paralleelne kolmnurga keskteljega
y (Joon. 5.10):
Priit Põdra, 2004
74
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
Kolmnurga inertsimoment aluse suhtes
Kesktelg
h
2
C
3
3
2
bh
⎛ h ⎞ bh bh
I = I = I + e A =
+ ⎜ ⎟
y
1
y
M
K
36
⎝ 3 ⎠ 2
12
e
y1
b
Joonis 5.10
h
bh
•  nende rööpsete telgede vahekaugus on:  e = ,  kolmnurga pindala:  A =
3
2
3
•
bh
  inertsimoment kesktelje suhtes:  I = I =
K
y
36
•  inertsimoment aluse suhtes saadakse rööpsete telgede seost kasutades.
5.4.3. Liitkujundi inertsimomendid
PROBLEEM:
Teada on iga osakujundi inertsimomendid nende oma keskteljestike suhtes.
Vaja on määrata liitkujundi inertsimomendid liitkujundi keskteljestiku suhtes.
Liitkujundi inertsimoment (mingi telje suhtes) = osakujundite inertsimomentide
summa (sama telje suhtes)
Liitkujund koosneb (positiivsestest ja negatiivsetest) lihtkujunditest (Joon. 5.11):
•  liitkujund jaotatakse sobivateks osakujunditeks  A = A ± A ± A ±
1
2
3
K
Liitkujund
Osakujundite inertsimomendid
z
(1)
(1)
z
⎪⎧I = I + 2
e A
ey3
3
1. Ristkülik: 
z
⎨ y
1
y
z1 1
1
1
;  ( )
( )
I
= I
+ e e A ;
1)
(1)
2
⎪
2
yz
1
y z1
1
y
z1 1
⎩I = I + e A
z
z1
1
y
1
(2)
(2)
A3
⎪⎧I
= I + 2
e A
C3
y
2. Ristkülik: 
3
⎨ y
y2
z 2
2
2
2
;  ( )
( )
I
= I
+ e e A ;
2)
(2)
⎪
2
yz
y 2z 2
y2 z 2
2
⎩I
= I + e A
z
z 2
y2
2
ey2
e z3
(3)
(3)
⎪⎧I = I + 2
e A
e z2
3. Ristkülik:  ⎨ y
y3
z3
3
3
3
;  ( )
( )
I
= I
+ e e A .
3)
(3)
⎪
2
yz
y3z3
y3 z3
3
C
y
⎩I = I + e A
z
z3
y3
3
C
y
2
2
Liitkujundi inertsimomendid
e z1
z1
A2
( )1
(2)
(3)
⎧ I = I + I + I
y
y
y
y
C
⎪
1
A
( )1
(2)
(3)
1
⎨ I = I + I + I
y
z
z
z
z
1
( )1
(2)
(3)
⎪I = I + I + I
e
⎩ yz
yz
yz
yz
y1
Joonis 5.11
Priit Põdra, 2004
75
Tugevusanalüüsi alused  ⎯     5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED
•  liitkujundi inertsimomentide avaldised keskteljestikus yz tulevad:
2
2
2
2
(1)
(2)
(3)
(i)
⎧I = z dA = z dA ± z dA ± z dA ±... = I ± I ± I ±... =
I
y
∫
∫
∫
∫
y
y
y
∑
⎪
y
⎪
A
A
A
A
1
2
3
1)
(2)
(3)
(i)
⎨I = I ± I ± I ± ... =
I
z
z
z
z
∑ z
⎪
(1)
(2)
(3)
(i)
⎪I = yzdA = yzdA ± yzdA ± yzdA ±K = I ± I ± I ±K =
I
yz
∫
∫
∫
∫
yz
yz
yz
∑ yz
⎩
A
A
A
A
1
2
3
•  osakujundite inertsimomendid liitkujundi yz-keskteljestikus  (i)
I  ja  (i)
I  ei ole
y
z
teada;
•  osakujundite inertsimomendid oma y
i
i
izi-keskteljestike suhtes  ( )
I  ja  ( )
I  on
yi
zi
teada;
•  kui kõik osakujundite valitud keskteljestikud yizi on rööpsed yz-teljestikuga,
siis:
(i)
(i)
I
I
e2 A ,     (i)
(i)
I
I
e2 A   ja    (i)
(i)
I
I
e e A .
yz
∑[ +
yizi
yi zi
i ]
z
∑[ +
zi
yi
i ]
y
∑[ +
yi
zi
i ]
5.4.4. Keeruka kujundi inertsimomendid
Keerukas kujund = kujund, mis ei ole lihtkujund ega ka vaadeldav liitkujundina
Keerukas kujund jaotatakse õhukesteks ristkülikukujulisteks ribadeks (Joon. 5.12):
•  ribade paksus võetakse selle telje rist-sihis, mille suhtes inertsimomenti
arvutatakse;
•  kujundi inertsimoment tuleb liitkujundi (koosneb paljudest sama paksusega
ristkülikutest) inertsimomendi metoodikale vastavalt;
•  võttes ribade paksuse küllalt väikese δ