teineteist välistavateks. Kombinatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Permutatsioon-Kõikvõimalike erinevate järjestuste arv etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks Variatsioonid-Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi kindlas järjekorras välja valimine nende elementide hulgast Tõenäosuse geomeetriline tähendus-Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutadageomeetrilise tõenäosuse valemit Binoomjaotus-Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse soodsatest sündmustest moodustuv tõenäosusjaotus
tõenäosuse omadustega). Sündmuse A suhteliseks suuruse X jaotustabel järgmine: 1, Sündmus ja tõenäosus. Kindel, võimatu ja juhuslik sageduseks Pn(A) antud katseseeria puhul nim. sündmuse sündmus, nende tõenäosused. Sündmus on Aesinemiste arvu m ja kõigi katsete arvu n suhet: P n(A)= tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse m/n Juhusliku sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks
SOOJUSLIIKUMINE Molekulide arvu ühes moolis aines annab Avogadro arv N A = 6.02 10 23 mool-1. Mool on ainehulk, milles sisalduvate struktuurielementide arv võrdub 0.012 kg nukliidi 12C aatomite arvuga. Sellise hulga osakeste liikumist saab kirjeldada vaid statistiliselt. Saab anda tõenäosuse, et hetkel t on osakese asukoht punktis P, ja tõenäosuse, et samal hetkel on tema kiirus v . Enamasti pole molekulide paiknemine mingil hetkel oluline. Erandiks on vast juhud, kui meil on vaja arvutada ühe aine difusiooni teise sisse. Küll aga on oluline teada molekulide jaotust kiiruste järgi, sest molekulide liikumise kiirus on otseselt seotud keha temperatuuriga. Soojusliikumine toimub aine eri faasides erinevalt. Ideaalne gaas: · molekule on palju ja nad on ühesugused
U =V ja võimatu sündmuse vastandsündmuseks kindlat sündmust, st. V =U . 7. Klassikaline tõenäosus. sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet k/n Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A). Rõhutame: selle definitsiooni korral eeldatakse kõigi elementaarsündmuste 1) arvu (n) lõplikkust, 2) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaarsündmus), 3) võrdvõimalikkust. Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused: 1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P(A) 1. 2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1, st. P(U) = 1. 3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, st. P(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1, st. P(A) + P( A ) = 1. N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastandsündmus
, , SÕLTUV JA SÕLTUMATU SÜNDMUS Sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse arvu, mille korral on täidetud tingimused: 1) 0 <= P(A) <= 1 2) Kindla sündmuse tõenäosus on üks, P(K) = 1. 3) Võimatu sündmuse tõenäosus on null, P(V) = 0 4) Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis P(A U B) = P(A) + P(B). Klassikalise tõenäosuse valem Valem on rakendatav, kui juhuslikul katsel on lõplik arv võrdvõimalikke tulemusi. Tõenäosus väljendab siin ka sündmuse toimumise sagedust. Klassikaline näide on mündivise. Viske (katse) tulemusi on kaks ( S = { kull , kiri } ) ja korrapärase mündi puhul on mõlema sündmuse tõenäosuseks 50%. P(kull) = P(kiri) = ½ = 50%. Sündmused, et mündi viskel tuleb A = kull või tuleb = kiri, on teineteist välistavad.
suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa ... * Keskväärtuse punkthinnang ( ) e arit. keskmine on keskväärtuse parim hinnang. Püüame hinnata tajuvust, selleks moodustatakse hälbed aritm. keskmise suhtes. + + ... + ) Juhusliku sündmuse mood (M0 X) on kõige suurem tõenäosuse väärtus.
SOOJUSLIIKUMINE Molekulide arvu ühes moolis aines annab Avogadro arv 23 NA = 6.02×10 mool -1 . Mool on ainehulk, milles sisalduvate struktuurielementide arv võrdub 0.012 kg nukliidi 12C aatomite arvuga. Sellise hulga osakeste liikumist saab kirjeldada vaid statistiliselt. Saab anda tõenäosuse, et hetkel t on osakese asukoht punktis P, ja tõenäosuse, et samal hetkel on tema kiirus v. Enamasti pole molekulide paiknemine mingil hetkel oluline. Erandiks on vast juhud, kui meil on vaja arvutada ühe aine difusiooni teise sisse. Küll aga on oluline teada molekulide jaotust kiiruste järgi, sest molekulide liikumise kiirus on otseselt seotud keha temperatuuriga. Soojusliikumine toimub aine eri faasides erinevalt. Ideaalne gaas: · molekule on palju ja nad on ühesugused
Kausist võetakse juhuslikult üks ploom. Kui suur on tõenäosus, et see ploom on sinine? Kausis on kokku 5 + 4 + 7 = 16 ploomi. Ühe ploomi valikuks on 16 erinevat võimalust. Siniseid ploome on kausis 4, see tähendab et soodsaid võimalusi on 4. 4 1 Seega, sinise ploomi valimise tõenäosus (sündmus A) on p(A) = = . 16 4 Tõenäosuse klassikalisest definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused: 1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 p(A) 1. 2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1 p(U) = 1. 3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0 p(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1. p(A) + p( A ) = 1.
Ajaperioodi, mille jooksul investeeringu objekt on investeerija käsutuses nimetatakse valdamisperioodiks. Investeeringu tasuvus valdamisperioodi jooksul arvutatakse investeeringu kasumi ja investeeritud summa suhtena: ( jooksev tulu aktsiatelt = saadud dividendid. Kasum kapitalilt arvutatakse müügihind investeeritud summa) Eeldatav kasuminorm: ... on näitaja, mis seondub ühe või teise investeeringu tasuvuse prognoosimisega. Eeldatava tulu hindamisel puutume kokku tõenäosuse mõistega, kuna tasuvus muutub koos riskimäära muutumisega. Tõenäosus varieerub 0 ja 1 vahel. Tõenäosuse hinnang võib olla objektiivne, subjektiivne või esimese ja teise variandi kombinatsioon. - Tõenäosuse objektiivne põhineb eelneval kogemusel - ... subjektiivne hinnang baseerub oletustel ehk ,,kompetentsel ennustusel" , milline võiks olla antud sündmus. Seega eeldav kasuminorm `r kujutab endast tõenäosusega kaalutud investeeringu keskmist
Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3. Eksisteerib kasvõi üks väärtus (x, x+x), millele kehtib P(x X < x+x) = F(x) = f()dx - ksii). 7. Binomiaalne jaotus 1. JS nimetatakse binomiaalselt jaotuvaks (ka Bernoulli jaotus) parameetritega n ja m, kui ta võtab võimalikud väärtused 0, 1, ...., n tõenäosusega P(n, m) valemiga P{Xn =m}= n
Pisut liialdades võiksime öelda, et mõistelisel küsimusel või mõistelisel formuleeringul on grammatiliseks subjektiks tavaliselt abstraktne nimisõna nagu "aeg" või "juhus" või "tõenäosus", samas kui faktiline küsimus lahingu, kohtumise või ilma kohta seostub vastava konkreetse ideega tegusõnade või omadussõnade või määrsõnade abil. Ilmaennustuses, mis teatab meile, et mingis piirkonnas on tõenäoliselt homme lumetorm, on subjektiks ilm mingis kohas ja mitte tõenäosuse mõiste. See idee tuleb sisse vaid määrsõnaliselt, kui ilmaootuste piiritlus. Aga seda öelda oleks liiga vägivaldne. Ilmateade võiks sama hästi olla sõnastatud "On olemas tõenäosus..." või "Lumetorm on väga tõenäoline selles ja selles regioonis". See ilmateade kasutab abstraktset nimisõna "tõenäosus", kuigi selle autor kui seda temalt küsida ütleks, et ta ei rääkinud tõenäosuse mõistest, vaid ainult ilmast
Ühtlase hea tervisega kui ka halva tervisega N'ide21. Urnis on 5 punast 3 sinist ja 2 jaotusega juhusliku suuruse dispersioon on: kodanike hulgas on ühesugune). Leida rohelist kuulikest. Urnist võetakse DX=(b-a)*(b-a)/12 tõenäosus, et juhuslikult valitud kodanik üksteise järel kolm kuulikest. Milline on Tõenäosuse geomeetriline tähendus selles riigis on kas hea tervisega või tõenäosus, et saadakse roheline, sinine ja ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu rikas. Olgu sündmuseks A juhuslikult punane kuulike.Olgu sündmus A1 - pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana valitud valimisõiguslik kodanik on hea saadakse roheline kuulike,P(A1) = ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui tervisega
Kui selles süsteemis on kõik sündmused teineteist välistavad, Ai Aj = , siis nimetatakse seda süsteemi üksteist välistavate sündmuste süsteemiks. Kui kõigi sündmuste summaks on kindel sündmus, siis nimetatakse seda süsteemi täielikuks sündmuste süsteemiks. Kui süsteemi kuuluvad sündmused on kõik võrdtõenäosed, siis sellistsüsteemi nimetatakse elementaarsündmuste süsteemiks. 1.3 Tõenäosuse mõiste Sündmuse toimumise võimalikkust nimetatakse sündmuse tõenäosuseks. Kasutatakse kahte liiki tõenäosust: - klassikaline tõenäosus ( lõpliku arvu sündmuste korral) - statistiline tõenäosus (lõpmatu arvu sündmuste korral). Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A elementaarsündmuste m ja kõikvõimalike elementaarsündmuste n suhet. m P(A) = n m
süsteemi antud tingimustes vähem eelistatud olekust enam eelistatud olekusse. Entroopia kui füüsikalise mõiste sisu Seda illustreerib ka R.Claudiuse 1865.aastal esitatud II printsiip: Kui protsess on pöördumatu, kasvab suletud süsteemi entroopia ja saavutab suurima väärtuse tasakaaluolekus. Entroopia kasvule vastab seega suletud süsteemi evolutsioon tõenäoseisma oleku suunas. Mida me üldse mõistame tõenäosuse all? Antud sündmuse, oleku või ilmingu tõenäosus on intuitiivselt võttes mingi suurus, mis iseloomustab selle sündmuse esinemise suhtelist sagedust kõikide võimalike sündmuste seas. Matemaatikas võetakse tõenäosuse väärtuseks 1, kui sündmus toimub igal juhul ning 0 siis kui seda mitte mingil juhul ei toimu. Mida suurem on tõenäosus, seda ootuspärasem on sündmus ning seda sagedamini võib seda esineda. Entroopia süsteemi olek võrreldes tõenäosusega
* Meetod : uurimus viidi läbi kahes osas. Töö esimeses pooles osalesid 20 atleeti ja 17 tipptreenerit fookusgrupivestlusel. Teises osas viidi 347 noortennisisti hulgas läbi internetis toimuv multisektsiooniuuring. * Statistiline võimsus : Kollektiivselt prognoosivad need motiveerivad muutujad ennustasid 51% vaimselt rasket käitumist. Mõõtmine ja/või manipulatsioonid Structural equation modeling (SEM) analüüsid viidi läbi Mplus 723-ga, kasutades täielikku informatsiooni maksimaalse tõenäosuse protseduuri (FIML) hinnangut ja usaldusväärset maksimaalse tõenäosuse hinnangut (MLR) Hinnang meetodile Antud meetodiga saab ära vastata kõikidele põhilistele küsimustele. Tulemused Suurenenud kontrolli tundlikkus tennises loob vähem konflikte teistes olulistes aspektides nende elus (nagu näiteks peresuhted ja kool jne) ja asetab neid paremasse olukorda, et tulla toime väljakutsudega, millega nad kohtuvad tenniseväljakul. Uuringus leiti, et mängijad, kes kogesid
LIHTSUSTAMINE TÕENÄOSUSE ÜLESANDED: TÕENÄOSU FUNKTSIOON FUNKTSIOON FUNKTSIOON VÕRRANDID Geomeetria PROTSENT VEKTOR, VÕRRANDITE KOOSTAMINE Integraal, pindala arvutamine JADA
Ai kõigisse sündmustesse . Sündmus A toimub sel juhul parajasti siis, kui toimuvad Ai kõik sündmused . 10. Mida näitab sündmuse tõenäosus, milliseid omadusi me tõenäosuselt eeldame? Tõenäosus näitab arvulist karakteristikut, mis lubab võrrelda eri sündmusi nende toimumise võimalikkuse seisukohalt. Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust. 11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga). 12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid). Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. k n! Cn = k ! ( n−k )
Kuidas GMO-sid saadakse? Kui palju nad teistest samaliiki organismidest erinevad ja kus neid kasutatakse? 3. Kuidas üks või teine GMO turule pääseb ja mida peavad jälgima ja tegema selleks firmad, kes GMO-sid kasvatada tahavad? 4. Milline tähtsus on riskianalüüsil GMO-de lubamisel turule ja nende ohtlikkuse ja ohutuse määramisel? 4.1. Ohu määratlemine ja selle hindamine 4.2. Pärast ohu määratlemist on riskianalüüsi teine etapp tõenäosuse ja võimalusehindamine, et see oht tegelikkuses realiseerub 4.3. Nende kahe komponendi võimaliku ohu ja selle tekkimise tõenäosuse korrutisena leitakse risk, st kvalitatiivne või kvantitatiivne hinnang, millist riski see GMO võib kujutada inimestele või keskkonnale ja millised tagajärjed sellel võivad olla 5. GMO-de kasutamise poolt- ja vastuargumendid 5.1. Huvitav vastuargument ja vastuargumendid 5.2. Pooltargumendid
algebra on industreeritud vaadeldava sündmuste komplekti poolt. Olgu Ω=[0, 1] ning A = [0, ¾), B = [1/2,1]. Siis sündmuste A ja B poolt indutseeritud sigma-algebraks on F = {∅,[0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,1],A,B,[0,1/2)U[3/4,1],Ω} Punkti juhuslikul valimisel lõigust [0,1] on loomulik lugeda sündmusteks valitud punkti sattumist osalõikudesse [a,b], kus(a väiksemvõrdne b). Seega pakub suurt huvi ka vähim sigma algebra, mis sisaldab kõiki osalõike. 3. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Def: Olgu Ω mingi hulk, mille element ω me nimetame elementaarsündmuseks. Olgu S hulga Ω mingi alamhulkade hulk. Hulga S elemente nimetame juhuslikeks sündmusteks ja hulka Ω elementaarsündmuste ruumiks. Hulka S nimetame hulga Ω hulkade algebraks, kui 1) Ω∈ S 2) A∈S ja B∈S => AUB ∈ S ja AÜB ∈S ja A/B ∈S
- Ilma tõenäosusi endid leidmata saab leida kõige tõenäolisema sündmuse toimumiste arvu k0. 5. Tinglik tõenäosus. - Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel B nimetame sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B toimub. Täistõenäosus. - Olgu {A1,A2,..Ak} sündmuste täissüsteem ja saagu sündmus B toimuda ainult koos ühega sündmustest Ai, siis täistõenäosust arvutatakse valemiga: Bayes'i valem. - Arvutame sündmuse Ai tingliku tõenäosuse eeldusel, et toimub sündmus B: 6. Juhuslik suurus, - Juhuslik suurus (JS) on suurus, mis omandab katsel mingi väärtuse. Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri,
n bittide arv väljundis k bittide arv sisendis m mäluregistrite arv Suurust k/n ehk koodihinnangut kasutatakse koodi efektiivsuse mõõtmiseks. Tavaliselt on n ja k väärtused vahemikus 1 kuni 8, m väärtused 2 kuni 10 ja koodihinnang vahemikus 1/8 kuni 7/8. Ahendkoodi dekodeerimiseks kasutatakse erinevaid algoritme. Suhteliselt väikeste k väärtuste puhul kasutatakse Viterbi algoritmi, kuna see on kõige parem teadaolev rakendus maksimaalse tõenäosuse dekodeerimises. Modelleerimise struktuurskeem Simulinkis Joonis 5. Simulinkis koostatud skeem Modelleerimise programm Matlab 6.5 Tsym = 0.2; Tsample = 0.01; BERkodVec=[]; BERVec=[]; EbNoVec = [0:1:9]; for n=1:length(EbNoVec); EbNodB = EbNoVec(n); sim('h2irekindlus'); BERkodVec(n,:)= BERkod; BERVec(n,:)= BER; end; semilogy(EbNoVec,BERkodVec(:,1),'o',EbNoVec,BERVec(:,1),'*'); legend('Kodeerimisega BER','Kodeerimiseta BER'); xlabel('Eb/No (dB)');
Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust C, mille korral toimub vähemalt üks sündmustest A või B (s.t toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused). Tähistus: C = A B Mõned allikad kasutavad ka tähistust C = A + B Sündmuste A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust D, mille korral toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Tähistus: D = AB Mõnedes õpikutes kasutatakse ka tähistust D = AB või D = A×B Sündmuste summa tõenäosuse arvutamisel tuleb eristada kahte varianti: · sündmused A ja B on teineteist välistavad (puudub võimalus nende sündmuste koos toimumiseks), arvutusvalem: p ( A B ) = p ( A) + p( B ) (1) või kujul p(A+B) = p(A) + p(B) · sündmused A ja B on teineteist mittevälistavad (mõlemad saavad toimuda), arvutusvalem: p ( A B ) = p ( A) + p ( B ) - p( A B ) (2) või kujul p(A+B) = p(A) + p(B) p(AB)
A mõlema täringuga saadakse paarisarv silmi B summana saadakse 11 silma c. Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse 4 suvalist kaarti. A saadud kaartide hulgas on 3 ässa B saadud kaartide hulgas on vähemalt 2 ärtu mastist kaarti d. Kaardipakis on 36 kaarti. Tõmmatakse üks kaart. A saadud kaart on ärtu äss B saadud kaart on risti mastist Tõenäosuse mõiste, tõenäosuse arvutamine Tõenäosus sündmuse toimumise võimalikkuse määr (arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust). Eristatakse järgmisi tõenäosuse arvutamise võtteid: klassikaline tõenäosus, geomeetriline tõenäosus, statistiline tõenäosus. Vaatleme neid lähemalt. m p(A) = 1. Klassikaline valem: n p - tõenäosus p(A) sündmuse A tõenäosus
.. · Sündmuse A vastandsündmus sündmuse A mittetoimumist nimetatakse sündmuse A vastandsüundmuseks [loe: A kaetud]. · Juhuslikud sündmused on võrdvõimalikud ühel sündmusel ei ole rohkem võimalusi esile tulekuks kui teisel. · Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda. Klassikaline tõenäosuse valem p(A)=m/n, kus m on selle sündmuse jaoks soodsad võimalused ja n on kõik võimalused. · p()=1 · p(V)=0 Tõenäosuse liitmine ja korrutamine Liitmiselause · Kahe teineteist välistava sündmuse (ei saa korraga toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, p(A või B)=p(A)+p(B). · Kahe teineteist mitte välistava sündmuse (võivad ka koos toimuda) summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste
elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A B C) Vastandsündmus A : sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, A : punane kaart) sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast : 1.Normeeritusaksioom: 0 P(A) 1 2 Liitmisaksioom: vastastikkku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = Ø (-aditiivsus) 3.Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) 0)
Tähistatakse A+B. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks – nim keerulist sündmust, mis seisneb nii ühe kui teise toimumises. Tähistatakse AB. 13.Sündmuse klassikaline tõenäosus – sündmuse A tõenäosus on võrdne murruga, mille lugejaks on sündmuse A jaoks soodsate juhtude (võim.)arv m ja nimetajaks kõigi juhtude (võimal.) arv n. P(A) = M/n kusjuures m – sündmuse A jaoks soodsate juhtude arv ja n – kõigi võimaluste arv. Tõenäosuse põh. Omadused: 1.) Juhusliku suuruse tõenäosus on alati vahemikus 0 ..1. 2)võimatu sündmuse tõenäosus on 0.; 3) kindla sündmuse tõenäosus on 1; 4) sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on võrdne ühega, st P(A)+P(Akriipsüleval)=1 Tõenäosuse puudused: def. on rakendatav ainult siis kui kõigi juhtude arv n on lõplik ja on teada, et praktikas see enamasti nii ei ole; soodsate juhtude arv m ei pruugi olla teada; def.eeldab et kõik juhud on
Punktihinnangud Keskväärtuse hinnanguks on Dispersiooni hinnanguks on Standardhälbe hinnanguks on Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond Kui on teada või n on suur, siis Juhusliku sündmuse tõenäosuse usalduspiirkond. Valimi mahu määramine ja ,
Ovulatsioon küpse munaraku väljumine folliikulist Emaka limaskesta muutuste 3 faasi: 1) Deskvamatsioonifaas limaskesta irdumisfaas (1-5 (7)) 2) Proliferatsioonifaas 6-14, emaka limaskest pakseneb 3) Sekretsioonifaas 15-28, limaskest pakseneb veelgi Tsükli kestvus võib olla 3-5 nädalat. Tsükli kõikumine +- 3 päeva (füsioloogiline). Stabiilne on kollakeha faas (2 nädalat) Ovulatsiooni täpselt ette näha ei saa, saab prognoosida tõenäosuse põhjal. Üleminekuperioodil ebaregulaarne anovulatsiooniperiood? Uue tsükli algatajaks hüpotalamuse gonadoliberiinide mõjul toimuv FSH tootmine adenohüpofüüsist. FSH mõjul uus folliikel küpseb, ühtlasi toodab ka östradiooli. Östradiooli tase suureneb, saavutades max 1-2 päeva enne järjekordset ovulatsiooni. Ovulatsiooni järsk tõus positiivse tagasiside teel, LH produktsiooni järsu tõusu ( järsk tüus kutsub ovulatsiooni esile)
Mida tähendab risk ettevõtluses? Risk kujutab endast juhuse või võimaluse esinemise tõenäosust, et füüsiline või juriidiline isik saab kannatada ja/või kahju õnnetuse, tulekahju vms tagajärjel. Risk on ka ohtliku sündmuse võimaliku esinemise sageduse või tõenäosuse ja tagajärgede vaheline seos. Töökeskkonnas tähendab risk eelkõige töötaja tervise halvenemise või tema hukkumise tõenäosust. Millele püütakse kaasa aidata riskide haldamisega? Riskide haldamisega proovitakse kaasa aidata ohutuma töökeskkonna loomisele ,ja riskide vähendamisele. Riski haldamise astmed Riskide haldamise esimeseks etapiks on riskide hindamine. Järgnevateks riskide haldamise astmeteks on riskide kindlaks määramine ja võimalikke kahjude hindamine.
rohkem Seega P(A)=2/3 Sündmuse B tõenäosus, tingimusel et sündmus A toimus on 0.96 ehk P(B|A)=0.96 (see on tinglik tõenäosus) P(A B)= 2/3*0.96 · Sündust A nimetame sõltumatuks sündmusest B, kui sündmuse A tinglik tõenäosus tingimusel B võrdub sündmuse A tingimatu tõenäosusega. P(A|B)=P(A). Geomeetriline tõenäosus D d Sd P(A)= SD Geomeetriline tõenäosus üldistab tõenäosuse klassikalist definitsiooni juhule kus võrdvõimalike elementaarsündmuste arv ei ole lõplik (näiteks punktide arv 2D piirkonnas). Tõenäosus, et tabatakse teatud alampiirkonda on soodsate võimaluste arv ja kogu võimaliku viskepiirkonna tabamine kogu võimaluste arv 3 Ülesanne 1: Partii koosneb 30 detailist, mille hulgas on 4 praakdetaili. Vatuvõtmisel kontrollitakse 15 detaili ja vastu võetakse juhul kui praakdetailide arv ei ületa 2-te.
Kordamisteemad 2019 1. Riski ja ohu mõisted. Riskil on mitmeid erinevaid tähendusi: Risk on mingi ebasoodsa sündmuse tõenäosuse ja tagajärgede kombinatsioon. Risk on mingi ebasoodsa sündmuse esinemise võimalus (tõenäosus) Oht on potentsiaalne kahjustuse allikas. Oht on allikas või olukord, millega võib kaasneda kahju vigastuse või haiguse vormis, varaline kahju, töökeskkonna kahjustamine või nende kombinatsioon. RISK ON EBASOODSA SÜNDMUSE VÕIMALUS… OHT ON EBASOODSA SÜNDMUSE VÕIMALIKKUS… 2. Tõenäosus, tagajärjed, määramatus.
kvantmehhaanilne olek ei määra üheselt kõikide suuruste arvulisi väärtusi (mõõtmistulemusi). Seega võime mikromaailmas kausaalsete seoste olemasolu sedastada ainult füüsikaliste suuruste tõenäosuste vahel. Kvantmehhaanikas peame nõudma, et vastavates tingumustes annaksid kvantmehhaanika valemid piirjuhuna klassikalise mehhaanika valemid. 8. Milleks on vaja olekufunktsiooni normeerida? Sellepärast, et normeeritud olekufunktsiooni absoluutväärtuse ruut annab tõenäosuse tiheduse arvulise väärtuse. 9. Kuidas normeeritakse olekufunktsiooni Olekufunktsiooni normeeritakse nii, et lainefunktsiooni ruut pannakse võrduma ühega 2 dV = 1. Olekufunktsioon peab rahuldama nõuet: 1) tõenäosus peab olema ühene, 2) peab olema pidev (ei saa järsult muutuda), 3) peab olema lõplik.
· Tööõnnetuse toimumise koht, kuupäev ja kellaaeg; · Sündmuse lühikirjeldus; · Tööandja nimi ja aadress · Teate edastaja ees- ja perekonnanimi, ametinimetus ja kontakttelefon. Surmaga lõppenud tööõnnetusest peab tööandja teavitama viivitamata ka politseid. Riskianalüüsi mõiste Riskianalüüs on protsess, mis hõlmab piirväärtuste ja piirnormide määramist, ohtude väljaselgitamist ja riski suuruse hindamist. Riski suurust hinnatakse tagajärje raskuse ja kahju tekkimise tõenäosuse suhtes. Riskianalüüsil tuleb hinnata nii iga üksiku riski suurust kui ka summaarse riski (erinevate riskide) suurust. Juhendmaterjalid riski hindamise 5 sammu 1. Teabe kogumine, töökeskkonna ohutegurite kindlakstegemine 2. Töökeskkonna ohutegurite tuvastamine ja kaardistamine 3. Töökeskkonna ohuteguritega seotud riskide suuruse (taseme) hindamine 4. Töötervishoiu- ja tööoohutuse tegevuskava koostamine 5. Riskianalüüsi dokumenteerimine
Füüsikalis-keemiliste omaduste ohtlikkuse hinnang inimese tervisele · 3. Hinnang keskkonnaohtlikkuse osas · 4. PBT ja vPvB hindamine · - - - - kui ohtlik või PBT või vPvB - - - - · 5. Ekspositsooni hindamine · 6. Riskide iseloomustamine Mis on ekspositsiooni hindamine? Kemikaaliga seotud riskid pääsevad mõjule ainult siis, kui toimub kokkupuude ainega (ekspositsioon) Ekspositsiooni hindamise eesmärgiks on võimaliku kokkupuute tõenäosuse ja ulatuse hindamine See on süstemaatiline analüüs: Erinevatest kokkupuute tüüpidest aine kogu elutsükli vältel Iga kokkupuute tüübiga tekkivad annused / kontsentratsioonid inimorganismis / keskkonnas Kokkupuute ulatuse toote kasutamisel määravad ära: Aine kogus tootes ja selle kasutamise aeg Aine võime tootest "välja lekkida" Keskkonna ekspositsioon Heide toodetest ja protsessidest kogu elutsükli vältel määrab
jaotusseadus) PILT! Juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikult vaatekohalt. Jaotusseadus võimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga sündmuse tõenäosust. Jaotusseaduse põhikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral. Jaotusseadus-eeskiri, mis seab igale juhuslikule suuruse väärtusele vastavusse tema tõenäosuse. Juhusliku suuruse (tõenäosusfunktsioon) jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi). Näiteks: Diskreetne ühtlane jaotus on defineeritud oma tõenäosusfunktsiooni kaudu: P(X=i)=1/k, i=1,...,k. Täringuviske jaotusseadus tabelina.Tõenäosusfunktsiooni võib esitada valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna. Jaotusseadus (tõenäosusfunktsioon) iseloomustab diskreetset juhuslikku
Dispersioon ja standardhälve on arvkarakteristikud juhusliku suuruse hajuvuse iseloomustamiseks keskväärtuse suhtes. Juhusliku suuruse p-kvantiil xp on selline juhusliku suuruse väärtus, millest vasakule jäävale jaotuse osale vastab tõenäosus p. Kvantiile nim ka protsentiilideks, siis tõenäosus p väljendatakse protsentides. 10% kordseid protsentiile nim detsiilideks, 25%kordseid protsentiile nim kvartiilideks, 50% korral mediaaniks. Mediaan on jaotuse keskpunktiks tõenäosuse järgi: mediaanist nii vasakule kui paremale sattumise tõenäosus on võrdelt 0.5 Asümmeetria näitab jaotuse sümmeetrilisust. Sümmeetriliste jaotuste puhul iga x asümmeetria võrdub nulliga. Kui erineb nullist, siis tema märkr näitab, kumb jaotuse saba on suhteliselt väljavenitatum: negatiivne asümmeetria puhul on pikem vasakpoolne saba, positiivse puhul parempoolne saba. Ekstsess näitab jaotuse sabade suhtelist väljavenitatust võrreldes normaaljaotusega.
15 Mõõtmisteooria alused Mõõtmiste arvu suurendades ja samal ajal vahemiku laiust vähendades (joonis 5) sulavad piirjuhul ni tulpade tippud siledaks kõveraks f ( x) lim x 0 ,n n xi . Saadud kõverat f (x) nimetatakse tõenäosuse tihedusfunktsiooniks (joonis 5 sinine joon). Üksikmõõtmiste histogramm 3.5 Mõõtmisi 100000 tulpade_arv 317 Tõenäosuse tihedusfunktsioon Kmin Kmax 2.33 1.17
See on arv, mis kirjeldab juhusliku suuruse hajutatust tema keskväärtuse suhtes. Dispersiooni omadused: Konstandi dispersioon on null. D(aX + b) = a2DX 15. Binoom-, Poissoni-, ühtlase- ja normaaljaotuse keskväärtused ja dispersioonid. Katsetes esineb kahesuse element, kus tulemuseks on soodsatest sündmustest moodustuv diskreetne tõenäosusjaotus, mida nim binoomjaotuseks . Keskväärtus ja dispersioon Poissoni jaotus: kasutatakse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosuse määramiseks ajaühikus järgnevatel juhtudel: sisestavate vigade arv, kriimustuste või muude vigade arv värskelt värvitud paneelil, külastajate arv, kes ootavad teenindamist, kaubasaadetises esinevad vigade arv. Ühtlase jaotuse keskväärtus EX = (a + b)/2 s.o. keskväärtus on juhusliku suuruse võimalike väärtuste lõigu [a, b] keskpunkt. Dispersioon on DX = (b - a)2/12. Normaaljaotuse keskväärtus EX = µ ja dispersioon on s2. 16. Pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon.
Doppleri efekt on lainepikkuse muutus lainepikkusega võrdeliste laineallika kiirusega vaatleja suhtes. Kui vaatleja ja laineallikas teineteisele lähenevad, siis sagedus suureneb (heli muutub kõrgemaks, spektrivärvid nihkuvad violetse poole- violettnihe), kui nad teineteisest eemalduvad, siis sagedus väheneb (heli muutub madalamaks, spekter nihkub punase poole- punanihe). Doppleri efekt põhjustab vastu valgust kiirusega v leviva aatomi puhul neeldumise tõenäosuse kasvu, valgusega samas suunas liikuv aatom neelab footoni väikese tõenäosusega. Paremalt vasakule liikuvate aatomite pidurdamiseks tuleb neile suunata teine, vastassuunas leviv, laserikiir. Doppleri efekti põhjustatud peegeldunud signaali sageduse muutus võimaldab määrata objekti radiaalsuunalist kiirust ja välistada seisvate objektide kujutisi. Doppleri efektil põhineb radarite võime hinnata liikuva objekti kiirust. Selleks tuleb
Mõõteseerja keskmine väärtus on = 2169,38. Mõõtetulemuste standardhälve on = 176,55. Mõõtja ühe mõõtmise piirviga on = ±282,49. - Keskmine mõõteviga ehk mõõtja mõõtevea hinnang on = 180,06. Mõõtevea standardhälve on = 156,00. Mõõtevea keskväärtuse hajumise normaaljaotuse standardhälve on = 22,06. - Mõõtevea mõõtemääramatus tõenäosuse 0,95 korral on = 44,12. - Keskmine katsetaja mõõteviga on = 180,06 ± 44,12 ms. Leian, et inimese kaasamine mõõteprotsessi kahandas kõvasti mõõtmise täpsust, seega võimaluse korral tuleks vältida inimese kaasamist mõõtmise protsessi.
2.)Probleem on see, kui pole teada olukorra lahendamise algoritmi. 3.)Probleem tekib siis, kui praktilise või teoreetilise ülesande lahendamiseks ei piisa senistest teadmi 4.)Ei ole. Puudub ainult oskus nende lahendamiseks. 5.)Tuleb välja töötada süstemaatiline probleemide lahendamise strateegia. 6.) · Probleemi mitme aspekti tähtsuse ebaobjektiivne hindamine. · Liigne probleemile mõtlemine muudab probleemi inimese jaoks tähtsaks. · Sündmuse matemaatilise tõenäosuse ignoreerimine. · Andmete saamise aeglus püsimälust. · Kinnitavat tõestusmaterjali eelistatakse infole, mis ei kinnita ideesid. Ignoreeritakse ebareeglipärasusi ja vasturääkivaid infoallikaid; · Edukaid lahendusi seletatakse enda tõhusa tööga ja vaevalist lahenduskäiku halva õnnega ja probleemi raskusega, jne. 7.) · Teadmistevajaku otsing. · Strateegia hüpoteeside (oletuste) väljatöötamine. · Strateegia eksperimentaalsest kontrollist. 8
raamatust))? Kui probleem näib lahendamatuna, Siis tuleb süstemaatiliselt välja töötada probleemi lahendamise strateegia. Millised on psühholoogilised takistused probleemide lahendamisel ()vt Ülo Kristjuhani raamatust)? Psühholoogilised takistused probleemide lahendamisel: probleemi mitme aspekti ebaobjektiivne hindamine, mille tagajärjel võib mõttetegevus kulgeda vales suunas.Liigne tähelepanu mõnele probleemi üksikaspektile.Matemaatilise tõenäosuse ignoreerimine.Andmete saamise aeglus püsimälust. Kinnitavat tõestusmaterjali eelistatakse infole, mis ei kinnita ideesid.Ignoreeritakse ebareeglipärasusi ja vasturääkivaid infoallikaid: ebareeglipärasused viitavad sageli lahenduse leidmise suundadele.Oma võimete ülehindamine. Millised on probleemi lahendamise etapid ?(vt Ülo Kristjuhani raamatust) ? Probleemide lahendamise strateegia kolm järku:Teadmistevajaku otsing.Strateegia hüpoteeside, oletuste väljatöötamisest.Strateegia
RAKENDUSSTATISTIKA Kontrollküsimused 12.2005 1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine
positsioonilt tugevate kaartidega. Seega sa tead mis kaartidega mängida enne kolme ühiskaarti. Tänases peatükis vaatame, kuidas arvestada võidu tõenäosust peale lauakaartide laudatulemist ehk kuidas tõsta võidu tõenäosust arvestades matemaatilist tõenäosust. Matemaatilist tõenäosust saame kasutada pokkeris, sest teame, et kaardipakis on kokku 52 kaarti. Lisaks tead sa enda kahte kaarti. Seega peale lauakaartide nägemist, saad sa juba väljaarvestada oma võidu tõenäosuse. Näiteks. Kui sinul on ning lauakaartideks tulevad: võidad kui lauda tulevatest kahest kaardist on üks veel poti mastist, sest siis on sul kõrgeim võimalik mast. Kuidas arvutada välja kui suur on täpselt tõenäosus saada juurde veel üks poti? Kasutame ülevalolevat näidet, kus oled näinud nelja lauakaarti. Seega 52-st kaardist 6-t sa tead ( kahte enda kaarti ja nelja lauakaarti ), seega on veel 46 kaarti mida sa ei tea. Ühte masti kaarte on kokku 13
sega standardiseeritud protsentuaalsed 6. Lihtsustatuse aste agreeritud detailiseeritud punktmudelid ruumilised mudelid Determineeritud ja stohhastilised mudelid. Mudelid jagunevad determineeritud ja stohhastilisteks mudeliteks. Stohhastilisteks nimetatakse mudelit, mille konstruktsioonis ja funktsioneerimisel on oluline osa juhuslikkusel ja mida kirjeldatakse selliste mõistete abil nagu juhuslik sündmus, juhuslik suurus, juhuslik protsess, tõenäosuse jaotus ja tõenäosustihedus. Determineeritud mudeli konstruktsioonis ja funktsioneerimisel ei ole juhuslikkusel olulist osa. Modelleerimise etapid. Etapid on: a. Probleemi määratlemine b. Mudeli loomine (konstrueerimine) c. Mudeli kontroll (katsetamine) d. Mudeli kasutamise tingimuste täpsustamine e. Mudeli käivitamine (rakendamine) f. Resultaatide hindamine
normaaljaotuse tabeli kasutamine), b) kui valim väike (n<30, t-jaotuse tabeli kasutamine). n30 n<30 3. Hüpoteeside kontroll. Ühe- ja kahepoolsed hüpoteesid üldkogumi keskmise kohta: hüpoteeside püstitamine, teststatistiku leidmine, nullhüpoteesi tagasilükkamise kriteerium iga hüpoteeside paari puhul. Hüpoteeside praktiline kontrollimine antud andmete korral. 4.Hüpoteeside kontroll.Ühe- ja kahepoolsed hüpoteesid osakaalu (tõenäosuse) kohta, suur valim: hüpoteeside püstitamine, teststatistiku leidmine, nullhüpoteesi tagasilükkamise kriteerium. Hüpoteeside praktiline kontrollimine antud andmete korral. Tõenäosusteooria Page 2 Teststatistik: 5.Hüpoteeside kontroll.Kahe üldkogumi keskmiste ja osakaalude võrdlemine, suured valimid. hüpoteeside püstitamine, teststatistiku leidmine, nullhüpoteesi tagasilükkamise kriteerium. Hüpoteeside praktiline kontrollimine antud andmete korral.
elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A Ì B Ì C) 4) Vastandsündmus A: sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, B: punane kaart) Iga sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenaosusteooria seisukohalt on tõenaosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast: 1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2. Liitmisaksioom: vastastikku välistuvate sündmuste loenduva summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( Ai ) = P( Ai ) kui AiAj = O (-aditiivsus) 3. Tinglik tõenäosus määratletakse seosega P(A/B) = P(AB) / P(B) (tinglik tõenäosus näitab sündmuse A toimumise tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud ja P(B) > 0) Tõenäosuse määramise viisid:
Euroopa Liit jaotab hädaolukorrad kaheks põhitüübiks: ·Loodusõnnetused, näiteks:Üleujutused, Metsatulekahjud,laviinid ·Inimtekkelised õnnetused Smith · Atmosfääri: Üksikud mõjutegurid, Kombineeritud mõjutegurid · Hüdroloogilised · Geoloogilised · Bioloogilised · Tehnoloogilised RISK = TÕENÄOSUS×TAGAJÄRJED · risk on mingi ebasoodsa sündmuse tõenäosuse ja tagajärgede kombinatsioon. · risk on mingi ebasoodsa sündmuse esinemise võimalus (tõenäosus) Tõenäosus ja tagajärg · Tõenäosus mõõdetavate kriteeriumide põhjal eeldatav või subjektiivselt hinnatav hädaolukorra esinemissagedus teatud ajaperioodi jooksul. · Tagajärg (mõju) hädaolukorra põhjustanud nähtuse või sündmuse poolt tekitatud kahju inimeste elule ja tervisele, varale, riigi/asutuse rahvusvahelisele mainele, keskkonnale jm.
1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P(A+B) = P(A) + P(B); P(∑i=1∞Ai) = ∑i=1∞P(Ai) P(∅) = 0 tõestus: on ilmne, et ∅+∅=∅ ja ∅*∅=∅. Seega P(∅) = P(∅+∅) = P(∅) + P(∅) => P(∅) = 0.
antud ruumist, antud hetkel. Elektroni täpset asukohta ei ole võimalik ette ennustada, vaid on võimalik aint leida tõenöosus. Elektronide lainelisuses peitub võti mõistmaks mis on aatomis kohad, kus aatomid viibivad ja kus ei viibi. Tegelik elektronide käitumine aatomis ei meenuta tiirlemist. Elektronida käitumise kirjeldamiseks tuli luua uus füüsika teooria, mis kannab nimetust kvantmehaanika- kirjeldatakse elektronide liikumist laine funkts. abil. Laine funtks. võimaldab leida tõenäosuse, et elektron viibib antud ajahetkel antud ruumipunktis, täpset asukohta ei ole täpslet öelda. Kvantmehaanika võrrandiks, mis sisaldab laine puntki nim.Schrödingeri võrrandiks Mikromaailma täpsuspiirangud: a=h/mv, p=h/x, E=hf. Osutub, et mikromaailmus ei ole võimalike korraga täpselt fikseerida 1)osakese energiat ja aja hetkel 2)osaline impulssi ja kordinaate. Heizenbergo järeldustest avaldub, et meile tuntud energia ja impulssi seadus kehtivad ainult ligikaudselt
annaabi.ee 
