TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39
Mitmem~ o~otmelised kerad. Lahtiseks m-m~ o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raadiusega r > 0 nimetatakse hulka U (A, r) = {B || B Rm , |BA| < r} . Kinniseks m-m~o~ otmeliseks keraks keskpunktiga A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja raa- diusega r 0 nimetatakse hulka U (A, r) = {B || B Rm , |BA| r} . ¨ Uhem~ o~otmeline lahtine kera keskpunktiga a ja raadiusega r on vahemik (a - r, a + r). Vastav kinnine kera on l~oik [a - r, a + r]. Kahem~o~ otmeline lahtine kera on ring ilma ringjooneta ja kinnine kera on ring koos ringjoonega. Kolmem~o~otmeline lahtine kera on kera ilma sf¨a¨ arita ja kinnine kera on kera koos sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse
4 ¨ Ulesandeid 4.1 ¨ Ulesanne Arenda determinant teise rea ning kolmanda veeru j¨argi ning ar- vuta tema v¨a¨artus m~olemal viisil. V~ordle tulemusi. 4 3 -5 0 3 2 0 -5 1 0 -2 3 0 1 -3 4 4.2 ¨ Ulesanne Arvuta determinant omaduste (vt teoreem 2) abil. 3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 = · · · = 5 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3 4.3 Vandermonde'i determinant Arvuta n-j¨arku Vandermonde'i determinant 1 1 ... 1 x1 x2 ... xn Vn (x1 , . . . , xn ) := x21 x22 ... x2n = ··· = (xk - xi )
SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m˜oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace’i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xx1 J¨argnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades v~orratuse positiivse arvuga x - x1 saame f(x) - f(x1)/ x - x1 0. V~otame piirv¨a¨artuse: F'(x1) = lim f(x) - f(x1)/ x - x1 0. xx1 V~orratused n¨aitavad, et f'(x1) 0 ja f'(x1) 0. See on v~oimalik vaid siis, kui f'(x1) = 0. Seega on lemma t~oestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x)
SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m~oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud tingimusi, nimetatakse l~oigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks. Kehtib teoreem. Teoreem 1. Kui funktsioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis on see ka integreeruv l~oigul [a; b]. M¨ arkus. L~oigul [a; b] katkevate funktsioonide hulgas leidub nii integree- ruvaid kui ka mitteintegreeruvaid. 5.2 M¨ a¨ aratud integraali p~ ohiomadused Omadus 1 Kahe funktsiooni summa m¨a¨aratud integraal on v~ordne nende funktsioonide m¨aa¨ratud integraalide summaga:
Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
.xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus
Näiteks (N,<) 3. Kujutused. Hulga võimsus. Kujutuseks M hulgast A hulka B nimetatakse seost M hulgal A x B nii, et (((a,b) kuulub M) AND ((a,c) kuulub M)) => b=c. Tähistus: M: A -> B Asjaolu, et (a,b) kuulub M, tähistatakse M(a) = b. Kujutuse M: A -> B · muutumispiirkond Dom(M) = {a | a kuulub A AND eksisteerib b, mille jaoks b = M(a)} · määramispiirkond Ran(M) = {b | b kuulub B AND eksisteerib a, mille jaoks M(a) = b} Liigid: · osaline kujutus -> Dom(M) on A pärisosahulk (osadele A elementidele on vastavus seatud) · täielik kujutus -> Dom(M) = A (kõigile A elementidele on vastavus seatud) · pealekujutus e sürjektsioon -> Dom(M) = A ja Ran(M) = b (osalevad kõik mõlema hulga elemendid) · üks-üheseks kujutuseks e injektsiooniks kui iga A elemendipaari a,a' ning iga B elemendi b korral kehtib seos:
. . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Koonduvuseteooria neli printsiipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Monotoonsuseprintsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Cauchy kriteerium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Reaalarvu kümnendesitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.6 Arv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B) Maatriksi A astaku r(A) leidmiseks teisendatakse see maariks ridade ja veergude elementaarteisendustega selliseks maatriksiks B, mille astak r(B) on maatriksi B kujust hõlpsasti leitav. (r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;...jk 0 ja kõrgemat järku miinorid on nullid. Üldsust kitsendamata võib eeldada M1,..,k1,..,k 0
punktis pidev. Et funktsioon φ on pidev kohal b = f (a) (vt. (5.8)), siis liitfunktsioon φ ◦ f on lause 4.3 põhjal pidev punktis a, seega (5.10) Seostest (5.9) ja (5.10) saame, et Lause on tõestatud Teada pöördfunktsiooni diferentseerimise reeglit: Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D → R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon f−1 : D′ → R on kohal b := f (a) diferentseeruv parajasti siis, kui f′ (a) ̸= 0. Sel juhul 25. Fermat’ teoreem funktsiooni tuletise seosest lokaalse ekstreemumiga (*) Defineerida intervallis määratud funktsiooni lokaalse maksimumi ja lokaalse miinimumi mõiste: Olgu funktsioon f määratud intervallis D ja olgu a intervalli D sisepunkt, s.t. a ∈ Do. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et f (x) ≤ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et
A · X = F korrutada (vasakult) pöördmaatriksiga A-1 : A-1 · A · X = A-1 · F. 17 PEATÜKK 2. PÖÖRDMAATRIKS. LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMID Kuna A-1 · A = I ja I · X = X, siis saamegi võrrandisüsteemi lahendi X = A-1 · F. (2.3) 2.3 Pöördmaatriksi leidmine valemi abil Teoreem 2.1 Ruutmaatriksil A = (aij ) leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Kui |A| = 0, siis T A11 A12 ··· A1n 1 A21 A22 ··· A2n -1 A = ·
„Kas A või B, 1 aga mitte mõlemad“, näiteks „Ma külvan põllule rukist või panen põllule kartulid“. Disjunktsiooni all mõistame mittevälistavat „võid“. o Implikatsioon (märk →) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni „kui . . . , siis . . . “. Näiteks „Kui Sven terve aasta korralikult õpib, siis suudab ta kevadel eksamid hõlpsasti ära teha“ või „Kui kehtib teoreem P, siis kehtib teoreem Q“. Mõlemad laused võib kirja panna valemiga A → B. o Ekvivalents (märk ↔) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost „parajasti siis, kui“ ehk „siis ja ainult siis, kui“. Näiteks lause „hulk X on kinnine parajasti siis, kui X ühtib oma sulundiga“ on valemkujul A ↔ B. Tehete järjekord o ¬, &, ∨, →, ↔ o vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või
ei lähene nullile. Rida hajub
35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten)
36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus
37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus
Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0
Leibnitzi tunnus
Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>...
ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea
esimest liiget
38. Astmeread. Abeli teoreem
Abeli teoreem
a) Kui astmerida koondub mingi nullist erineva väärtuse x'0 korral, siis koondub ta absoluutselt
iga väärtuse x korral, mille puhulx
Funktsiooni m˜oiste Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paaris
= 0,1,2,... korral. T: Olgu L = L (M ), kus M = (Q , Σ, δ , Q0 , F ) ja Q = {q0 ,1 , . . . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma. Järelikult uw ∈ L(M), uvw ∈ L(M), uv2w ∈ L(M) jne. Keel L = {0n1n|n > 0} pole regulaarne. Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ* selline, et xHLy kehtib parajasti siis, kui iga z ∈ Σ* korral kehtib xz ∈ L yz ∈ L (iga suvalise z lisamisel x ja y sappa, kuuluvad saadud xz ja yz mõlemad keelde L või ei kuulu mõlemad). Teoreem: Keel L on regulaarne parajasti siis, kui seose HL ekvivalentsiklasside hulk on lõplik.
Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6. Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused
Katsetame n korda sõltumatult sündmust A. Olgu k(n) ≤ n õnnestunud katsed ja P*(A) ( ) ( ) sündmuse A teoreetiline tõenäosus. Siis ( ) > 0: lim ( | ( )| < ) = 1 Suurtearvude seadus.Juhuslike nähtuste karakteristikute (näiteks keskväärtuse) omadus katsete arvu kasvades läheneda mingitele konstantidele -Tšebõševiteoreem- Bernoulli teoreem 6. Täistõenäosuse ja Bayes’i valemi tuletamine Sündmuse A täistõenäosus: ( ) = ∑ ( | ) ( ). Sündmuste süsteemi H={H1,…,Hn} nimetatakse tingimusteks ehk sündmuste täissüsteemiks, kui 1. i=1,…,n Hi≠0; 2. i,j=1,…,n (i≠j) HiHj=∅; 3. ∑Hi=Ω. Täistõenäosuse valemi tuletamine: P(A) = P(AΩ) = P(A∑Hi) = P(∑AHi) = ∑P(AHi) = ∑[P(A|Hi)P(Hi)] (Korrutuslause: P(A|B) = P(AB)/P(B)) ( | ) ( )
ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule x 18. Dif arvutuse põhiteoreeme 1)Lagrange teoree,(18 saj) Olgu meil f-n y=f(x) dif-v lõigul[a;b], siis leidub sellele lõigule punkt c, nii et f(b)-f(a)/b-a=f'(c); JOONIS! PQR:tan =QR/PR => lõikaja e(P,Q) *Teoreem väidab et leidub selline punkt, kus selle joone puutuja tõus on paralleelne selle lõikajaga(võrdne lõikaja tõusuga). Neid punkte on vähemalt üks, aga võib olla ka rohkem 2)Rolle'i teoreem: Olgu antud f-n y=f(x) dif-b lõigul[a;b], et leidub f(a)=f(b)=>siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt nt c f'(c)=0; Joonis! Antud juhul lõikaja tõus on võrdne 0'ga ehk || x teljega. Leidub vähemalt üks punkt, kus joone puutuja on || x teljega 19. L'Hospitali reegel Teoreem: olgu antud f-nid y=f(x) ja y=g(x)=>dif-vad piirkonnas D nii, et lim x->a f(x)=0, limx->a g(x)=0 või limx->a f(x)= , limx->a g(x)= ja eksisteerib limx->a
ehk sümbolites: Kui A, siis B Kui ¬B, siis ¬A. Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed. Näide1: Lause: ,,Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist." Pöördvastandlause: ,,Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse
YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaulikool ¨ [email protected] http://www.ttu.ee/gert-tamberg ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 25 ~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria to¨ od ¨ (kollokviumi)
Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetatakse punkti a ∈ Vε-ümbruseks. 9. Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja. Reaalarvu a ∈ R korral saame Uε(a) = {x ∈ R|a − ε < x < a + ε}. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks hulgal X, kui ta on pidev hulga X igas punktis. Tahistatakse Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] parajasti siis, kui selle arvu kaugus f(x) ∈ C(X). arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x < a
4)Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-ümbrus, et iga 0 < |x − a| < δ korral kehtib võrratuste ahel f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), siis funktsiooni h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad
U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte. Näited: 1) D = (a, b ) = {x : a < x < b} D = {a, b} D hulk D on lahtine 2) D = [a, b] = {x : a x b} D = {a, b} D hulk D on kinnine 3) D = [a, b ) = {x : a x < b} D = {a, b} hulk D ei ole lahtine ega kinnine 1 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste Def. Kui hulga D R m igale punktile P = ( x1 ,..
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t)
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi x1 = 1(t)
Suurust y nimetatakse funktsiooni muuduks (ehk kasvuks) punktide a ja a + x vahel ehk üleminekul punktist a puntki a + x . Pidevuse tingimus: Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim y = 0 ehk lim f (a + x ) = f (a ) . x 0 x 0 Teoreem: Funktsioon f on pidev puntkis a siis ja ainult siis, kui x = o(1) y = o(1) . Aritmeetilised tehted säilitavad pidevuse, s.t. kehtib teoreem: Teoreem: Kui u = u ( x ) ja v = v( x ) on pidevad funktsioonid punktis a , siis ka nende summa u ( x ) + v(x ) , vahe u (x ) - v( x ) , korrutis u ( x ) v( x ) ja jagatis u ( x ) v( x ) (v(a ) 0 ) on pidevad funktsioonid punktis a . Tõestus: Tõestus u = u ( x ), x X u ja v = v(x ), x X v summa u + v = u ( x ) + v( x ), x X u X v korral. u on pidev punktis a , s.t. lim u ( x ) = u (a ) , a X u . v on pidev punktis a , s.t. lim v( x ) = v(a ) , a X v .
Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui
leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
