TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! „ -1” ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 – a); -a – 1= - (a + 1); a + 1= - (-a – 1) II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a)
Raudvara 2.peatükk 1. Tegurdamine - - Tegurdamine Avaldise muutmine korrutiseks. 1.Teguri toomine sulgude ette. 2. Valemite kasutamine. ( (a+b2) = a2 + 2ab +b2 / (a + b)((a b) = a2 - b2 3. Ruutkolmliikme tegurdamine. ( ax2 +bx+c = a(x-x1)(x-x2) ) 4. Rühmitamisvõte. - Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide:
Jäägu see aga lahendajaile iseseisvaks tööks.) Samas saame selle punkti ka välja arvutada. Parabool on alati sümmeetriline. Järelikult, kui parabool lõikab x-telge ehk tal on nullkohad, siis kahe nullkoha keskpunkti läbibki parabooli sümmeetriatelg. Arvutame. Nullkohad saavad vaid siis olla, kui muutuja y = 0. See tähendab, et paneme võrrandi y = 2x2 6x võrduma väärtusega 0. Saame 0 = 2x2 6x. Antud juhul võtame muutuja x sulgude ette. Saame x(2x 6) = 0. Kasutame loogikat. Korrutise tulemus on ainult siis 0, kui üks korrutatavatest on 0. Meil on kaks korrutise tegurit: x ja 2x 6. Et korrutis tuleks null, peavad mõlemad võrduma nulliga. Nii saamegi, et x1 = 0 ja 2x 6 = 0. Viimasest seosest saame, et 2x = 6, millest x2 = 3. See läheb kokku ka meie joonisega. Nende kahe punkti keskkoha saame kätte, kui nende vahekauguse jagame kahega. [0 (3)] : 2 = 1,5.
1. Harilik murd kui jagatis Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on mingi tervik jaotatud ja kui mitu sellist osa on kokku võetud. 4 Näiteks: tähendab, et tervik on jaotatud viieks võrdseks osaks, millest on võetud 4 5 osa. Harilikku murdu võib aga vaadata ka kui kahe naturaalarvu jagatist. Jagatavaks on murru lugeja ja jagajaks nimetaja. Seega on murrujoonel jagamismärgi tähendus. 4 Näiteks: =4:5 5 Kuna nulliga ei saa jagada, siis ei saa murru nimetaja olla null. Kui murru lugeja on null, siis on ka murru väärtus 0. 0 0 Näiteks: 0 = = = ... 1 2 Ülesanne 2 18 · Kirjuta murrud jagamismärgi abil: 1) 2)
a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b − c ) = ab − ac Sulgude avamine: a + (b + c ) = a + b + c a + (b − c ) = a + b − c a − (b + c ) = a − b − c a − (b − c ) = a − b + c Viimased kaks valemit ütlevad, et miinusmärk sulgude ees muudab märgid sulgude sees. Näiteks 9 − ( 3 + 4 ) = 9 − 3 − 4 ja 8 − ( 2 − 3) = 8 − 2 + 3 . 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega Näide 1. a) liitmine 15 + ( +8 ) = 15 + 8 = 23 18 + ( −27 ) = 18 − 27 = −9 (lahtiseletatult: −9 saame, kui suuremast arvust, milleks on 27, lahutame väiksema ja märgiks paneme suurema arvu märgi) 10 + ( −7 ) = 10 − 7 = 3
n an = a , kui n paarisarv n am = n = an n a n = a , kui n paaritu arv n m a = nm a ; np a mp = n a m 2.5 Abivalemid ja tegurdamine ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 Abivalemite rakendamise näiteid ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 juuravaldiste lihtsustamisel: ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a -b = ( a- b )( a+ b ) ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( a± b ) 2
Tähistame (2х – 1)2 = t. t2 – 25t + 144 = 0 kust t1 = 9 и t2 = 16. (2х – 1)2 = 9 või (2х – 1)2 = 16. 2х – 1 = ±3 või 2х – 1 = ±4. Esimesest võrrandist : х = 2 и х = -1, teisest võrrandist: х = 2,5 и х = -1,5. Vastus: -1,5; -1; 2; 2,5. MURDVÕRRAND Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu on murru nimetajas. Murdvõrrandi lahendamiseks viiakse kõik võrrandi liikmed ühele poole võrdusmärki ja leitakse ühine nimetaja. Seejärel kasutatakse murru nulliga võrdumise tunnust: Murd võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null. Näide 21 Lahendame võrrandi Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x – 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 ¹ 0, ehk x ¹ –2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja
Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat! Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine: xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2 yh saab arvutada parabooli võrrandist Murdvõrrand Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus nimetaja sisaldab muutujat
Selgitus : Kirjutame välja arvud 1-st n-ni: 1, 2, 3, 4, ..., n. Kriipsutame maha arvu 1, mis ei ole algarv. Edasi võtame arvu 2 ja kriipsutame maha kõik tema kordsed: 4, 6, 8 jne. Pärast seda on esimene allesjäänud arv 3. Kriipsutame maha kõik arvu 3 kordsed: 6, 9, 12 jne. Järgmine allesjäänud arv on 5, kriipsutame maha kõik arvu 5 kordsed jne. Kui oleme niiviisi kõik kordsed eemaldanud, jäävad järele parajasti kõik algarvud. Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. Harilikku murdu võib vaadata kui jagatist. Murru nimetaja ei saa võrduda nulliga. Harilik murd näitab osa suurust võrreldes tervikuga Hariliku murru põhiomadus seisneb selles, et hariliku murru väärtus ei muutu, kui korrutada või jagada murru lugejat ja nimetajat ühe ja sama nullist erineva arvuga. Hektar on mittesüsteemne pindalaühik. Tähis ha. 1 ha = 0,01 km² = 10000 m²
.....................................................................................6 Reaalarvude piirkonnad............................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega................................................................................................
Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud. Arvu esitamist algarvuliste tegurite korrutisena nimetatakse algteguriteks lahutamiseks. Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks murru taandamisel lugeja ja nimetaja ühise jagajana. ÜLESANNE: Lahutame algteguriteks arvud 30 ja 75 ning leiame nende arvude suurima ühisteguri: 30 2 75 3 15 3 25 5 5 5 5 5 1 1 30 = 2 · 3 · 5; 75 = 3 · 5 · 5; Arvude suurima ühisteguri arvutamisel korrutame nende ühiseid algtegurid: SÜT (30;75) = 3 · 5 = 15 Arvu a kordseks nimetatakse arvu, mis jagub arvuga a.
saadud liikmed nõutud järjekorras NB vaja kasutada kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel: enne ei hakka lahendama, kui süsteem on normaalkujul 3.Kahe tundmatuga võrrandi lahend - Ül.909 järjestatud arvupaar; lõpmatu hulk Võrrand 4u+0,5v=2 lahendeid; võrrandi ax+by=c lahend Antud u {1;-0,5;-3,5} kirjutatakse kujul: Leida võrrandi lahendid x=p y=q või need kaks võrdust üksteise alla ja ette loogeline sulg või (p;q) 1)kui u=1, siis 4 1+0,5v=2; 0,5v=2-4; 0,5v=-2; v=-4; lahend on (1;-4) NB lahendite leidmisel vajadusel kasutada 2)kui u=-0,5, siis 4 (-0,5)+0,5v=2; ühe tundmatu avaldamist teise kaudu 0,5v=2+2; 0,5v=4; v=8; lahend on (lihtsam arvutada) (-0,5;8) 3)kui u=-3,5, siis 4 (-3,5)+0,5v=2;
· Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Ühiseks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgeimad astmed. 2.2 Irratsionaalavaldised e juuravaldised Muutujatel on avaldistes vaid sellised väärtused, mille korral kõik juuritavad ja vastavad juured on mittenegatiivsed 2.3 Irratsionaalavaldiste tegurdamine 2.4 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalsusest e juurte kaotamine murru nimetajas 2.5 Irratsionaalavaldiste lihtsustamine Toimime samamoodi nagu ratsionaalavaldiste puhul sooritame kõik avaldises nõutud tehted, arvestades tehete järjekorda, ning anname tulemusele algebralise murru, võimalusel täisavaldise kuju. Murru nimetaja vabastatakse irratsionaalsusest. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 3.1 Võrdus, samasus, võrrand. Lineaar- ja ruutvõrrandid
2 3 xy 2 9x 2 y 4 m) - 3 = a a6 363 Lihtsusta avaldis 2 a) 10 a 3 b 2 = 2ab 5a 2 b 3 x2 c) 6 x2 y2z2 = -3 x 2 z 2 - 2 xy 2 3 a8 b2 10 21 a b c 6 3a 8 b 2 7 e) = 35 a 2 b 5 c 7 5c 5 366 Korruta ja korrasta saadud hulkliige a) 2a(4ab 2 - 3b) = 8a 2 b 2 - 6ab d) (2a 2 + 3a - 4)(-3a 2 ) = -6a 4 - 9a 3 + 12a 2 g) (-3a 4 )(3 - a 2 - a ) = -9a 4 + 3a 6 + 3a 5 = 3a 6 + 3a 5 - 9a 4 368 Lihtsusta avaldis a) x( x - y ) + y ( x + z ) + z ( z - y ) = x 2 - xy + xy + yz + z 2 - yz = x 2 + z 2 c) 3m 3 ( 2n 2 ) 2 + 5m 3 n 4 = 12m 3 n 4 + 5m 3 n 4 = 17 m 3 n 4 372 Leia jagatis 3 2 a) 21u 2 v - 14uv 2 21 u 2 v 14 uv 2
e) 4 xy 2 3 x 2 y 2 12 x 3 y 4 2 3 xy 2 9x 2 y 4 m) a3 a6 363 Lihtsusta avaldis 2 a) 10 a 3 b 2 2ab 5a 2 b 3 x2 c) 6 x2 y2z2 3 x 2 z 2 2 xy 2 3 a8 b2 21 a 10 b 7 c 6 3a 8 b 2 e) 35 a 2 b 5 c 7 5c 5 366 Korruta ja korrasta saadud hulkliige a) 2a( 4ab 2 3b) 8a 2 b 2 6ab d) (2a 2 3a 4)(3a 2 ) 6a 4 9a 3 12a 2 g) (3a 4 )(3 a 2 a) 9a 4 3a 6 3a 5 3a 6 3a 5 9a 4 368 Lihtsusta avaldis a) x( x y ) y ( x z ) z ( z y ) x 2 xy xy yz z 2 yz x 2 z 2 c) 3m 3 (2n 2 ) 2 5m 3 n 4 12m 3 n 4 5m 3 n 4 17m 3 n 4 372 Leia jagatis 3 2 a) 21u 2 v 14uv 2 21 u 2 v 14 uv 2 3u 2v
e) 4 xy 2 3 x 2 y 2 12 x 3 y 4 2 3 xy 2 9x 2 y 4 m) a3 a6 363 Lihtsusta avaldis 2 a) 10 a 3 b 2 2ab 5a 2 b 3 x2 c) 6 x2 y2z2 3 x 2 z 2 2 xy 2 3 a8 b2 21 a 10 b 7 c 6 3a 8 b 2 e) 35 a 2 b 5 c 7 5c 5 366 Korruta ja korrasta saadud hulkliige a) 2a( 4ab 2 3b) 8a 2 b 2 6ab d) (2a 2 3a 4)(3a 2 ) 6a 4 9a 3 12a 2 g) (3a 4 )(3 a 2 a) 9a 4 3a 6 3a 5 3a 6 3a 5 9a 4 368 Lihtsusta avaldis a) x( x y ) y ( x z ) z ( z y ) x 2 xy xy yz z 2 yz x 2 z 2 c) 3m 3 (2n 2 ) 2 5m 3 n 4 12m 3 n 4 5m 3 n 4 17m 3 n 4 372 Leia jagatis 3 2 a) 21u 2 v 14uv 2 21 u 2 v 14 uv 2 3u 2v
nimetatakse neid sarnasteks liikmeteks. Näiteks: a + a + a = 3a a * a * a * a = a4 a +b + a + a + b = 3a + 2b xy + xy = 2xy xy * xy = x2 * y2 3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks. Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2 x=5
a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 % ) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 ) on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % . b Kui p % arvust a on m, siis
2 V=6 -6-12=18 arv 6 ei ole lahend 2 V=1 -1-12=-12 arv 1 ei ole lahend 2 V=4 -4-12=0 arv 4 on lahend 12.Ruutvõrrandi teisendamine Ül.1327 normaalkujule - sulgude avamise ja 2v(v-5)=0 2 liikmete ümbertõstmise, koondamisega 2v -10v=0 a=2 b=-10 c=0 tekitada kuju, kus vasakul poolel on 2 2 esimesel kohal positiivse kordajaga (u+1) -2u =3 2 2 ruutliige, teisel kohal lineaarliige, u +2u+1-2u -3=0
1 2 2 3 3 5 O 1 x c) (2 - 3 i) + (3 - 4 i) - (4 + 6 i) d) [0,(3) + 1,1(6)i] - [0,1(3) - 0,(2)i] Kompleksarvu reaalosa kujutatakse x-teljel, imaginaarosa aga y-teljel. Seepärast 833. Korruta. nimetatakse siin x-telge reaalteljeks ja y-telge imaginaarteljeks. a) (3 + 2i)(4 - 5i) b) (5 - 6i)(1 - 3i) c) (1 - i)(1 + i) Kui võtta komplekstasandilt punktid A(4; 3), B(-2; 1), C(-3; -2), D(5; 0) ja E(0; 3),
ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac a b c ab ac Sulgude avamine: a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent 1 % on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill 1 ‰ on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % .
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨ arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨ argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q
ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q
15x 4 y 3 z 6 4x 2y 5z 3 y2 Näiteks ' 5x 2yz 3 ' 3x 2 y 2 z 3 8x 5y 3z 4 2x 3z Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse Näiteks (6 x % 7y) (4 x % 9 y) ' 24 x 2 % 54x y % 28 x y % 63y 2' 24 x 2 % 82 x y % 63 y 2 Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga Näiteks 8x 3 & 24 x 2' 8 x 2 (x & 3) 15 x 4y 2 & 45 x 2y 2 % 5 x 3 y 3 ' 5 x 2 y 2 (3 x 2 &9 % x y) ÜLESANDED 2.2 Lihtsusta! a) x 4 x 5 b) x 2 x 1/2 c) (5 x) (13 y 2) d) x 7 x &3 e) x 6 x f) (7 x 3 y 5) (4 x 2y 4)
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. LOENG Sissejuhatus Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga kül
b) keha langeb maapinnale sama kiirusega, millega ta sealt üles visati. Väite 1 tõestas katseliselt itaalia füüsik Galileo Galilei (1564-1642), kes kukutas oma kodulinna Pisa maailmakuulsast tornist alla erineva massiga kehi ning tegi kindlaks, et näiteks korraga lahtilastud suurtükikuul ja temast 100 korda väiksema massiga musketikuul jõuavad maapinnale üheaegselt. Hiljem, katsetehnika täiustudes, sai võimalikuks demonstreerida, et õhutühjas ruumis langevad ka sulg ja kivi ühesuguse kiirendusega. Matemaatilise põhjenduse väitele 1 anname hiljem, mõiste „gravitatsioonijõud“ käsitlemisel. Väite 2a põhjendamiseks arvutame kõigepealt keha üleslennuaja, mida tähistame . Tähistades maksimaalse lennukõrguse ja arvestades, et maapinnalt viskamisel = 0 ja trajektoori kõrgeimas punktis lõppkiirus peab võrduma nulliga, saame liikumisvõrrandid (1.16) kujul = − . 0 = −
Programmeerimise algkursus 1 - 89 Mida selle kursusel õpetatakse?...................................................................................................3 SISSEJUHATAV SÕNAVÕTT EHK 'MILLEKS ON VAJA PROGRAMMEERIMIST?'......3 PROGRAMMEERIMISE KOHT MUUDE MAAILMA ASJADE SEAS.............................3 PROGRAMMEERIMISKEELTE ÜLDINE JAOTUS ..........................................................7 ESIMESE TEEMA KOKKUVÕTE........................................................................................8 ÜLESANDED......................................................................................................................... 8 PÕHIMÕISTED. OMISTAMISLAUSE. ...................................................................................9 ................................................................................................................................................. 9 SISSEJUHATUS.......
1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tscnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: · sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; · mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; · teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma m�
SEMANTILINE KOLMNURK: TEEMA 1!! 1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tšcnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: • sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; • mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; • teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma mõtteid väljendada; • loogika kui teadus (õpetus, filosoofia vms), mis uurib keeles väljenduva mõtlem
Console.WriteLine("Tere"); Console klass asub nimeruumis System ja on üleval märgitud using lause tõttu kasutatav. Klassi käsklus WriteLine lubab kirjutada konsoolile ehk tekstiekraanile. Praegu piirdutakse ühe väikese teretusega. Jutumärgid ümber selleks, et arvuti saaks aru, et tegemist on tekstiga - mitte näiteks käskluse või muutuja (märksõna) alla salvestatud andmetega. } } Kaks sulgu lõpus lõpetamas eespool avatud sulgusid. Iga sulg, mis programmikoodi sees avaneb, peab ka kusagil lõppema - muidu ei saa arvuti asjast aru, hing ei tule sisse ja programm ei hakka tööle. Tühikud ja reavahetused on üldjuhul vaid oma silmailu ja pildi korrastuse pärast. Kompilaatori jaoks võiks kõik teksti rahumeeli ühte ritta jutti kirjutada, enesele kasvaks aga selline programm varsti üle pea. Siin näites paistab, et alamprogramm Main'i sulg on sama kaugel taandes kui alamprogrammi alustav rida ise. Ning klassi sulg on
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
