Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "TASANDID". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
tasandite, tasandid, normaalvektor, ericson, kordajad, alguspunktist, tasandist, punktiga, ruutjuure, vastupidine66. Ühtivad a , siis n s (n s) = 0 ja P A l + B m + C n = 0 ja Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 Kauguste arvutamine. 4 Ax0 + By 0 + C 67. Punkti kaugus sirgest tasandil. d = A2 + B 2 Ax0 + By 0 + Cz 0 + D 68. Punkti kaugus tasandist ehk kahe paralleelse tasandi vaheline kaugus d = A2 + B 2 + C 2 S s ×P1 P2 69. Punkti kaugus sirgest ruumis ehk kahe paralleelse sirge vaheline kaugus d = s
66. Ühtivad a , siis n s (n s) = 0 ja P A l + B m + C n = 0 ja Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 Kauguste arvutamine. 4 Ax0 + By 0 + C 67. Punkti kaugus sirgest tasandil. d = A2 + B 2 Ax0 + By 0 + Cz 0 + D 68. Punkti kaugus tasandist ehk kahe paralleelse tasandi vaheline kaugus d = A2 + B 2 + C 2 S s ×P1 P2 69. Punkti kaugus sirgest ruumis ehk kahe paralleelse sirge vaheline kaugus d = s
Afiinseks ruumiks. Tasandi võrrandid. 1. Tasand läbib punkte A(2; -1; 5) B(3; 0; 7) C(6; -4; 12). Kirjutada tasandivõrrand. Toome sisse muutuva punkti P(x; y; z). AB = (1; 1; 2) AC = (4; -3; 7) AP = ( x -2; y + 1; z 5) AP = AB + AC Tasandi võrrand determinant kujul: 1 1 2 4 -3 7= 0 x -2 y+1 z- 5 Tasandi üldvõrrand: 13x + y 7z 10 = 0 2. Tasand läbib punkti P0( -3; 4; 5) ja normaalvektor on n = (2; -6; 7). Leia tasandi üldvõrrand. (toon sisse muutuva punkti P( x; y; z) P0P n = 0 P0P = (x +3; y -4; z 5) Ax + By + Cz + D = 0 n = (A; B; C) 2 ( x +3) -6 (y 4) + 7 (z 5) = 0 2x + 6 -6y +24 +7z 35 = 0 2x - 6y +7z -5 = 0 3. Tasand läbib punkti P0(6; 0; 8) ja rihivektorid on u = (3; -1; 4) ja v = (2; 5; -7). Toon sisse muutuva punkti P (x; y; z). u × v = n n = ( -13; 29; 17) AP = u + v
Kaht tundmatud x ja y sisaldava võrrandiga määratud jooneks nim joont, mille punktide koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks. Kui sellest võrrandist õnnestub tundmatu y avaldada x kaudu, nim seda ilmutatud jooneks. Kahe sirge vastastikused asendid Ühtivad sirged s=t Paralleelsed sirged s||t Lõikuvad sirged st={L} Kiivsirged s Nurk sirgete vahel Tasandi üldvõrrand Ax+By+Cz+D=0 Tundmatute x, y, z kordajad on tasandi normaalvektori koordinaadid. Tasandi normaalvektoriks nim iga vektorit, mis on risti tasandiga. Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes
3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv
Tasandi vektorvõrrand ja üldvõrrand Tasandi normaalvektoriks nim vektorit mis on risti tasandiga. Normaalvektorit tähistatakse harilikult n või n. Normaalvektorist üksi ei piisa tasandi määramiseks. Tuleb võtta veel üks tasand punkt M1. Tasandil tekib siis vektori M1M=r-r1. Et M1M on risti vektoriga n siis nende skalaaekorrutis on null, st n(r-r1)=0 so tasandi vektorvõrrand. Ax+By+Cz+D= 0 tasandi üldvõrrand. Ristseis ja paralleelsus Nurk kahe tasandi vahel on võrdne nurgaga nende tasandite normaalvektorite vahel. Tasandite ristseisu tunnus on A1A2+B1B2+C1C2=0 ja tasandite parallelsuse tunnus on A1/A2=B1/B2=C1/C2 Võrrandid telglõikudes Tasand võrrandiga Ax+By+Cz+D=0 ei läbi koordinaatide alguspunkti siis ja ainult siis kui vabaliige D0. Tasand ei ole paralleelne ühegi koordinaatteljega siis ja ainult siis kui A0, B0, ja C0. x/a+y/b+z/c=1- nim tasandi võrrandiks telglõikudes, arve a b ja c nim telglõikudeks.
Sirged ja tasandid Kordamine Sirge kanoonilised võrrandid: Antud on 2 sirge punkti A( x1 ; y1 ; z1 ) ja x - x1 = y - y1 =
Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon
2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse
Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmise operatsioon on vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (AT)−1 = (A−1)T Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on võrdsed nulliga: b1 = b2 = . . . = bm = 0 Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks Maatriksis on tundmatute kordajad. Laiendatud maatriks Lisatud on ka vabaliikmed. (viimane veerg) 7 LVS-i üldlahend Reaalarve x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn nimetatakse lineaarvõrrandisösteemi lahendiks, kui nende arvude asendamisel tema võrranditesse tundamatute asemel saame samasused. LVS-i erilahend Kui avaldame juhtelemendid vabade tundmatutega ja asendame vabad tundatud mingite arvudega, siis saame erilahendid.
Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x-teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks. Ristkoordinaadistik tasandil: Kaks ristuvat suunaga arvsirget Alguspunktid ühtivad Ühikud on võrdsed punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/alguspunktist. Koordinaatteljel asuva punkti P asukoht määratakse üheselt kindlaks ühe reaalarvuga x (nn punkti P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal. punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed.
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetami
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, ......................, (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai, ......................, am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am, kus x1, x2, . . . , xn on tundmatud ehk otsitavad ning tundmatute kordajad aij , i Nm, j Nn ja vabaliikmed a1, a2, . . . , am on ette antud reaalarvud, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemiks. Homogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, s.t. a1 = a2 = . . . = am = 0. Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks Maatriksit
1 y y1 A koos pealtvaatega A ja eestvaade A koos külgvaatega A. Joon. 7 Märgime, et kolme ja enama ekraani kasutamise korral peavad joonisel olema näidatud omavahel ristiolevate ekraanipaaride likesirged - kaksvaate teljed. Kahe ekraani korral vib kasutada teljevaba kaksvaadet. 2. SIRGJOONE PROJEKTSIOONID Sirge on määratud oma kahe punktiga, iga punkt on määratud oma kaksvaatega - järelikut sirgjoon on määratud oma kahe punkti kaksvaatega (joon. 8). Kui sirge on risti ühe ekraaniga, siis tema kujutis sellel ekraanil on punkt ja kujutis teisel ekraanil on risti kaksvaate teljega. 2.1. Sirge jäljed Sirge jäljeks antud ekraanil nimetatakse tema likepunkti selle ekraaniga. Antud on sirge s(A,B) (joon. 9). Üldasendilisel sirgel on kolm jälge: P s × 1 - phijälg (P= s× x ; P s); E s × 2 - esijälg (E = s × x ; E s).
jne. milles on m võrrandit ja n tundmatut x1 , x2 , . . . , xn . Definitsioon 2.8 Võrrandisüsteemi (2.5) nimetatakse lineaarseks, kuna tundmatud x1 , x2 , . . . , xn esinevad ainult esimeses astmes. Etteantud arvud aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) on võrrandisüsteemi kordajad ja b1 , . . . , bm on võrrandisüsteemi vabaliikmed. Definitsioon 2.9 Võrrandisüsteemi (2.5) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , . . . , xn väärtusi c1 , . . . , cn R, et nende paigutamine süsteemi (2.5) Joonis: Wikipedia. vasakusse poolde tundmatute x1 , . . . , xn asemele muudaks kõik võr- Kui süsteem koosneb kolmest dused samasusteks
14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). Korrutamine arvuga: vektrori korrutamisel arvuga, suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). Samasuunaline kui arv > 0, vastassuunaline kui arv < 0. Liitmine: (liites vektorile selle vastand vektori, saame alati nullvektori.) vektorite summaks nim vektorit · Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; · Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. Lahutamine: Kahe vektori x ja y vahe defineeritakse kui vektori x ja vektori y vastandvektori y summa st: 15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori koordinaadid (mõiste, leidmine). Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks - st antud vektori esitamine
.................................................................................................. 34 Joone võrrand......................................................................................................................... 34 Sirge tõusunurk, sirge tõus..................................................................................................... 34 Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand................................................................... 35 Kahe punktiga määratud sirge võrrand...................................................................................35 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand......................................................................35 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand.............................................................................. 36 Sirge võrrand telglõikudes......................................................................................................36
pikkus vôivad olla erinevad). 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). Vektori korrutamine arvuga vektori korrutamisel arvuga suureneb tema pikkus vôrdeliselt (siht ei muutu). Samasuunaline kui arv > 0, vastassuunaline kui arv <0. Vektorite liitmine ja lahutamine: 1) Liitmine: a) Kolmurgareegel liidetavat vektorid ühendada järjest summavektor tômmata esimese alguspunktist viimase lôppunkti; b) Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. 2) Lahutamine alguspunktid on samad; vahevektor tômmata teise lôpp-punktist (lahutatav vektor) esimese lôpp-punkti. 15. Vektori lahutamine telgedesihilisteks komponentideks. Vektori projektsioonid. Vektori koordinaadid. Vektori lahutamine telgede sihilisteks komponentideks: nim. antud vektori esitamine telgedesuunaliste
SIRGET NIM TASANIGA LÕIKUVAKS SIRGEKS - kui sirgel ja tasandil on 1 ühine punkt. SIRGE ASETSEB TASANDIL - kui neil on enam kui üks ühine punkt. SIRGE ON TASANDIGA RISTI - kui sirge on risti kahe lõikuva sirgega tasandil. TASANDI RISTSIRGE - nim tasandi normaaliks. SIRGE JA TASANDI RISTSEISUTUNNUS - Kui sirge on risti kahe lõikuva sirgega tasanil, siis on see sirge risti ka tasandiga PUNTKI P PROJEKTSIOONI TASANDIL - nim seda punkti läbiva tasandi lõikepunkti. PUNKTI KAUGUSEKS TASANDIST - nim punkti ja tema projektsiooni vahelist kaugust. TASANDIGA PARALLEELSE SIRGE KAUGUSEKS TASANDIST - loetakse selle sirge mistahes punkti kaugust tasandist. LÕIGUPROJEKTSIOON TASANDIL - on selle lõigu otspunktide projektsioonidega määratud lõik. SIRGE JA TASANDI VAHELISEKS NURGAKS - nim nurka, mis on sirge ja tema projektsiooni vahel. TASANDI NORMAALI JA TASANDI VAHELINE NURK - on 90*. TASANDIGA PARALLEELSE SIRGE JA TASANDI VAHELINE NURK - on 0*.
7 Vastus: k ja 90 60,3 150,3 4 Näide. Leiame sirge võrrandi, kui sirge tõusunurk on 45° ja sirge läbib punkti A(3; 4). k tan 45 1 ja b = 4, seega sirge võrrand on y = x + 4. © Allar Veelmaa 2014 27 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHE PUNKTIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND Sirge läbib punkte A(x1; y1) ja B(x2; y2) ning punkt P(x; y) on sirge suvaline punkt. Kuna punktid A, B ja P asuvad ühel ja samal sirgel, siis on vektorid AB ja AP kollineaarsed vektorid ning kehtib võrdus x x1 x x1 2 y y1 y2 y1 See on kahe punktiga määratud sirge võrrand. Näide. Leiame sirge võrrandi, kui A(–3; –5) ja B(4; 3).
Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks joontest on sirge, ja lahendama rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite abil. Laias kursuses peab õpilane lisaks eelnevale selgitama ka kahe vektori vahelist nurka,
38. Skitseerige kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahendada varjumine). 39. Kas kahe kiivsirge paralleelprojektsioonid võivad olla paralleelsed? jah profiilsirgete puhul on ka kiivse vastastikuse asendi puhulparalleelsed pealt ja eestvaated. 40. Kas kahe paralleelse sirge paralleelprojektsioonid võivad olla lõikuvad? ei 41. Nimetage kõik tasapinna määramisvõimalused. punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti. 3 punktiga,mis ei asetse ühel sirgel. kaks lõikuvat või paralleelset sirget. 42. Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks (eriasendiliseks)? mis on kaldu kõikide ekraanide suhtes. projekteeriv tasand, mis on risti mingi ekraaniga (profiilpind, nivoopind, frontaalpind) või ekraanidega (erijuht nivoopindtasand, mis on paralleelne ühe ekraaniga ja teiste kahega risti). 43. Mis on tasapinna jälgjoon? sirge mida mööda tasand ekraaniga lõikub
20. Sõnastage kahe sirge paralleelsuse tunnus kaksvaate alusel. Kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on paralleelsed 21. Skitseerige kiivsirgete a ja b kaksvaade koos varjumise näitamisega. 1) Kiivsirged ei lõiku ega ole paralleelsed. 2) Kiivsirgete kaksvaade ei tohi rahuldada lõikumise ega paralleelsuse tunnust. 22. Nimetage kõik tasandi määramisvõimalused. 1) Kolme punktiga, mis ei asetse sirgel 2) Punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti 3) Kahe lõikuva sirgega 4) Kahe paralleelse sirgega 5) Mistahes tasapinnaline kujund 23. Mis on tasandi jälgjoon? Tasandi ja ekraani lõikejoon. 24. Millist tasandit nimetatakse 1)üldasendiliseks 2)eriasendiliseks? 1) Üldasendiliseks kui on kaldu kõikide ekraanide suhtes 2) Eriasendiliseks On risti vähemalt ühe ekraaniga 25
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm
y (s2) (s1) Tõusva sirge (s1) tõus on positiivne : tan 1 > 0 (0 < < 90°); langeva sirge (s2) tõus on 2 negatiivne: 1 0 x tan 2 < 0 (90 ° < <180°); Kahe punktiga määratud sirge tõus Kui sirgelt on teada kaks punkti A(x1; y1) ja B(x2; y2), siis saab sirge tõusu leida valemiga y2 - y1 k= . x2 - x1 y Näide B Kui sirge läbib punkte A(3; 5) y2 ja B(-7; 0), siis sirge tõusuks y2 - y1 saame A
kummagi sirge mõlemad vaated pole risti kaksvaate teljega. 38) Skitseerida kahe kiivsirge (a ja b) kaksvaade (lahendada varjumine). 39) Kas kahe kiivsirge paralleelprojektsioonid võivad olla paralleelsed? Jah. 40) Kas kahe paralleelse sirge paralleelprojektsioonid võivad olla lõikuvad? Ei, nende paralleelprojektsioonid võivad olla kas paralleelsed sirged, punktid või ühine joonkujutis. 41) Kõik tasapinna määramisvõimalused. a) kolme punktiga, mis ei asetse sirgel b) punkti ja sirgega, kui sirge ei läbi seda punkti c) kahe lõikuva sirgega d) kahe paralleelse sirgega 42) Missugust tasapinda nimetatakse üldasendiliseks/eriasendiliseks? a) üldasendiline tasapind ei ole paralleelne mitte ühegi ekraaniga b) eriasendiline tasapind on risti vähemalt ühe ekraaniga 43) Mis on tasapinna põhijälgjoon/esijälgjoon? a) põhijälgjoon tasandi ja põhiekraani lõikesirge b) esijälgjoon tasandi ja esiekraani lõikesirge
parajasti siis kui need vektorid on komplanaarsed (x,y,z)=0óx,y,z komplanaarsed 4)Vektorid x,y,z
moodustavad paremakäe kolmiku kui nende segakor on posit, vektorid x,y,z mood vasakukäekolmiku
kui nende segakorrutis on neg (nürinurk=vasakukäe, tervanurk=paremakäe)
Tasandi üldvõr A1x+B1y+C1z+D=0
Sirge u parameetriline võr{x1=c1+s1t;x2=c2+s2t,...xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
on kongruentnekujundienesega$dreldub 1.4 Ristprojektsioon lausest6). g Paralleelsetesirgete paralleelprojektsioo- Et ristprojektsioonon paralleelprojektsiooni nid on Uldjuhuljdlle paralleelsedsirged; alaliik,siis kehtivadsiin k6ik eespooltoodud erijuhtudel punktikujulised v6i uhine laused1...9.Lisaksselleleon ristprojektsioonil joonkujutis (Kui AB llCD, siis A'B' llC'D'. veeljdrgmised eriomadused. Vastupidine ei kehti,sest MNllCD, ehkki M ' N 'l lC ' D '; o o n .1 .3 ). j pikkus v6rdub 10 Sirgloiguristprojektsiooni l6igu enda pikkuse ia kaldenurga koosinuse korrutisega (A'B' = AB'cosg; joon.1
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x). · Kui iga arvu yY korral leidub ainult üks xX, mille korral y=f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on pöördfunktsioon y=g(x) · 26. Suvalise nurga koosinus- · Suvalise nurga koosinuseks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 27. Suvalise nurga tangens- · Suvalise nurga tangensiks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti ordinaadi ja abstsissi suhet. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon-
aluseks on elementaarteisendamine A .1) kui m.A on saadud teisenduste 1)ja 2) abil m.B A siis on nende astakud r(A)=r(B). Iga (m*n) maatriksit võib teisendada nii et tekib antud maatriksi vastav K-järku ühikmaatriks,kõik ülejäänud elemendid on nullid.siit atak r(A)=K 9. Lineaarvõrrandite süsteem ja selle maatriks kuju. .lineaarne võrrand süsteemiks on maatriksi lõplikust arvust lin.võrrandist koosnevat süsteem.. aij (i-m,j-n)-süsteemi kordajad,b-süsteemi vabaliikmed,x-tundmatud.arvud mis rahuldvad süsteemi (()) ongi süsteemi lahendus. A=-süst.maatriks. B=- süst.laien maatriks. - süst.tundmatute maatriks. B=-süst.vabaliikme maatriks. Siis korrutis(maatriksite) A * == = b avaldist A on süst (()) maatriks kuju. 10. Gaussi meetod lin. Võrrandite lahendamiseks ,süsteemi laiendamine maatriksi abil. 1) 2 LVS on samaväärsed kui neil on ühed ja samad lahendused. 2) LVS teisendades
Sirged tasandil Sirge esitamise viisid: 1. Kahe punktiga esitatud sirge võrrand: Olgu antud kaks punkti , siis sirge võrrandiks on 2. Punkti ja sihivektoriga esitatud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja sihivektor , siis sirge võrrandiks on 3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes:
X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ; 4) määratud sirge tõus. Kas sirge on tõusev või langev?
annaabi.ee 
