Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Sulud, Arvu üldkuju". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
üldkuju, tehte, sulud, tehted, 000a, looksulud, kõigepealt, põhikuju, 1000a, 100c, sulge, ümarsulud, kantsuludMatemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited.
nimetatakse neid sarnasteks liikmeteks. Näiteks: a + a + a = 3a a * a * a * a = a4 a +b + a + a + b = 3a + 2b xy + xy = 2xy xy * xy = x2 * y2 3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks. Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2
võrdsed. Rööpküliku omadused: 1) rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. 2) rööpküliku vastasküljed on võrdsed. 3) rööpküliku lähisnurkade summa on 180 kraadi. 4) rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Samaväärsed võrrandid on võrrandid, mille lahendihulgad on võrdsed. Sirge ehk sirgjoon on kitsas, pikk, kõverusteta joon. Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti täpselt üks sirge. Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on kus p ja q on konstandid. Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem on . Viète'i teoreemi järgi ja Tippnurgad on nurgad, millest ühe nurga haarad on teise haarade pikenduseks ja need tekivad kahe sirge lõikumisel. Trapets on kumer nelinurk, mille kaks külge (alused) on omavahel paralleelsed ja kaks ülejäänud külge (haarad) ei ole omavahel paralleelsed.
(x+1)/x + x = 4 ei ole lineaarvõrrand, kuna esineb muutujaga jagamine. Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: Tegevuste järjekord 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele . 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (arvuga a) Näide 2 Lahenda võrrand ja kontrolli saadud lahendit.
.............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste...............................................................................9 Arvu 10 astmed.....................................................................................................................9 Juurimine...............................................................................................
ax +bx=0, ax +c=0, ax =0; lahendatakse 2 korrutise nulliga võrdumise tingimuse või x +7x-4=0 täielik ruutjuure abil kordajad a=1, b=7, c=-4 2 NB kõiki ruutvõrrandeid saab lahendada x -9=0 mittetäielik lahendivalemi abil, kuid mittetäielike puhul kordajad a=1, b=0, c=-9 saab kiiremini vastava võtte kasutamisega 14.Taandatud ruutvõrrand - üldkuju Ül.1328 2 x +px+q=0 NB ruutliikme kordaja a=1; Taandada ruutvõrrand. 2 taandamata ruutvõrrandit saab teisendada 2)5t -25t+4=0 |:5 2 taandatuks, jagades mõlemaid pooli t -5t+0,8=0 2 ruutliikme kordajaga 3)0,5z -z+3=0|:0,5
I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………..
NB tundmatu v avaldamine: 0,5v=2-4u; v=(2-4u):0,5; v=4-8u; arvutada viimase seose järgi v väärtused 4.Kahe tundmatuga võrrandist ühe Ül. 905 tundmatu avaldamine teise kaudu - kui Avalda võrrandist tundmatu x võrrandis on murrud, siis korrutan ühise | 12 laiendajad on 4;3;6 nimetajaga; kui on sulud, siis avan need; tundmatuga liikmed jätan vasakule, 4x-3y=-6 ülejäänu viin paremale; jagan pooli 4x=-6+3y|:4 tundmatu ees oleva arvuga, kirjutades x= ehk x=0,75y-1,5 parema poole murruna (kuna seal ei saa koondada); võimalusel jagan paremal pool iga liikme läbi ja annan ilma murrujooneta Ül. 906 Avalda võrrandist tundmatu y
1.3 Arvuhulkade omadusi
· Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b,
a=b või a
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) =
nende esitusreegleid. Kirjeldustes on nad toodud kaldkirjas nimi avaldis, lause jne. Muutuv osa võib olla esitatud üldkujul, hiljem täpsustatakse seda täiendavate kirjeldustega. Näiteks näitab parameetriteta alamprogrammi struktuuri kirjeldus kujul Sub nimi () laused ja kommentaarid End Sub et see peab algama Sub-lausega ning lõppema End Sub-lausega. Nende vahel võivad paikneda suvalised laused ja kommentaarid. Sub-lause algab võtmesõnaga Sub, millele järgnevad nimi ja tühjad sulud. Siin on nimi lause muutuv element, mille valib programmi koostaja, arvestades nimede esitusreegleid. Alamprogrammi lõppu määrav End Sub-lause koosneb aga ainult võtmesõnadest. Andmete põhiliikideks VBAs on arvud, stringid ehk tekstid, ajaväärtused ja tõeväärtused. Iga andmeliigi jaoks on määratud võimalikud väärtused ja nende diapasoon, lubatud tehted ja operatsioonid. Esialgu piirdume arvude ja stringidega.
a) jäävad ja muutuvad suurused; b) võrdelised suurused ja nende omadused; c) pöördvõrdelised suurused; d) graafikute lugemine. 1.1. Jäävad ja muutuvad suurused Kui suuruse arvuline väärtus antud ülesande või nähtuse tingimustes ei muutu, siis nimetatakse seda suurust jäävaks suuruseks. Kui arvuline väärtus muutub, siis on tegemist muutuva suurusega ehk muutujaga. Selle teema juures on kõigepealt otstarbekas uurida elulisi näiteid, mille puhul õpilased saavad selgesti aru, missugune suurus on antud protsessis muutuv, missugune jääv. Näiteks telefonikõne maksumuse arvutamisel on minutihind konstantne, kõne pikkus aga muutuv suurus (võib uurida ka näiteid, kus kõneminuti hind on x esimest minutit ühe hinnaga ja järgmised kõneminutid mingi muu hinnaga). Kui võtta vaatluse alla päevade arv ühes kuus, siis teatakse, et jaanuaris on
Nagunii on Visual Studio alaliselt ja planeeritult
kahjumiga projekt.
Olemas on ka avatud lähtekoodiga ja vabavaraline SharpDevelop, mis kasutusmugavuselt
amatöörile Visual Studiost oluliselt kehvem ei ole.
Stardi leht:
Loome uue projekti ja valime CONSOL varianti.
Sisestame projekti nime ja klõpsame nupul OK
Automaatselt formeeritakse programmi ,,alus"
C# kood jaotatakse üksteise sees olla võivatesse plokkidesse. Iga ploki ümber on looksulud.
Siinses näites on välimiseks plokiks klass nimega Programm ning tema sees alamprogramm
nimega Main. Plokke võib vahel tunduvalt rohkem olla. Omaette terviklikud toimingud
paigutatakse üldjuhul alamprogrammidesse. Nende sees võivad olla plokid tingimuste ja
korduste tarbeks.
Lihtne tervitus
Näited
C C++ C#
#include
484. Kasutades determinantide omadusi, selgita, kas võrdus kehtib. 2 3 5 2 3 4 2 4 4 2 2 3 Vaatleme võrrandisüsteeme, mis sisaldavad kolme kolme tundmatuga lineaar- a) 3 0 0 =2 b) 4 2 3 3 2 3 c) 4 4 6 =0 võrrandit. Sellise võrrandisüsteemi üldkuju on: 5 0 0 4 3 2 4 3 2 5 5 5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 a1 x + b1 y + c1z = d1 d) 4 0 2 = 2· 2 0 1 e) 4 5 6 1 2 3 a2 x + b2 y + c2 z = d2 (*)
tehet suuliselt kommenteerib: "Leian lõigu AB keskpunkti K koordinaadid, selleks ....", mitte ,,Leian pool vektorist AB ". Vektori mõiste sissetoomisel tuleb rõhutada, et vektorit iseloomustavad kolm omadust: siht, suund ja pikkus. Selgitada tuleb sõnade ,,siht" ja ,,suund" erinevust. Kindlasti ei saa jätta selgitamata, et matemaatikas räägime vabavektorist ja füüsikas seotud vektorist. Varasemates õpikutes olid tehted vektoritega geomeetriliselt ja analüütiliselt vaheldumisi. Panin tähele, et õpilastele osutuvad raskemaks geomeetrilised tehted. Soovitan kõigepealt tegelda vektorite liitmise, lahutamise ja arvuga korrutamisega geomeetriliselt. 1 2 4 3 Joonis 1
1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6; 1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3; 3 1 4 2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1 9 -3 - 12 X1 = = -1,5; X2 = = 0,5; X3 = = 2. - 6 - 6 - 6 lineaarvõrrandisüsteemid põhimõisted Vaatleme võrrandisüsteeme, mille üldkuju on Def: Võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks, kui tundmatud on esimeses astmes Arvud aij (i=1,,m; j=1,,n) on võrrandisüsteemi kordajad, b1,,bm (i=1,,m) on vabaliikmed m võrrandit, n tundmatut, üldiselt Def Võrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabaliikmed on nullid Võrrandisüsteem on mittehomogeenne, kui vähemalt üks vabaliige erineb nullist Vastuoluliseks nim süsteemi, millel lahend puudub
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
1) Lihtsustage see avaldis. 1 2) Arvutage avaldise väärtus täpsusega 10 3 , kui x 5 2. Vastused x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2 Näpunäited Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) . 2 3
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a
algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT. Näide 3: 1 - 2 T 1 0 , A = A= 0 7 - 2 7 . Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega 2. Liitmine Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij ) Näide 1: 2 - 5 6 4 - 1 - 7 6 - 6 - 1 + = .
Näide 3: 1 - 2 T 1 0 A = , A = . 0 7 - 2 7 Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega · Liitmine Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij ) -2-
Graafiku mõiste Esitatkse ristkordinaadistikus.Kanname tasandile riistuvad x ja y teljed.Vaatleme selles teljestikus joont G mis koosneb punktidest P=(x;f(x)) kusjuures P esimene kordinaad x jookesb läbi kogu määramispirkonda X .Seda joont nimetataksegi funktsiooni f graafikuks. Graafiku omadused Punkt P teist kordinaadi f(x) võib tõlgendada P ,,kõrgusena" x telje suhtes.Kui f(x)>0 ;siis on graafiku kõrgus positiivne,kui aga f(x) < 0 siis negatiivne. X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) . Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x).
kb kb : k b 1.3 Tehetevahelised seosed Kui x + a = b , siis x = b - a . Kui x - a = b , siis x = a + b . Kui a - x = b , siis x = a - b . a a Kui a : x = b ehk = b , siis x = ( b 0) . x b x Kui x : a = b ehk = b , siis x = ab ( a 0) . a 1.4 Tehted harilike murdudega d b a c a+c a c ad + bc + = + = b b b b d bd d b a c a-c a c ad - bc - = - = b b b b d bd a c ac a ac
Mainori Kõrgkool Matemaatika ja statistika Loengukonspekt Silver Toompalu, MSc 2008/2009 1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus ....................................
Graafiku mõiste Esitatkse ristkordinaadistikus.Kanname tasandile riistuvad x ja y teljed.Vaatleme selles teljestikus joont G mis koosneb punktidest P=(x;f(x)) kusjuures P esimene kordinaad x jookesb läbi kogu määramispirkonda X .Seda joont nimetataksegi funktsiooni f graafikuks. Graafiku omadused Punkt P teist kordinaadi f(x) võib tõlgendada P „kõrgusena” x telje suhtes.Kui f(x)>0 ;siis on graafiku kõrgus positiivne,kui aga f(x) < 0 siis negatiivne. X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) . Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x).
1.3 Tehetevahelised seosed Kui x a b , siis x b a . Kui x a b , siis x a b . Kui a x b , siis x a b . a a Kui a : x b ehk b , siis x b 0 . x b x Kui x : a b ehk b , siis x ab a 0 . a 1.4 Tehted harilike murdudega d b a c ac a c ad bc b b b b d bd d b a c ac a c ad bc b b b b d bd
1. Mis on staat anal, võrdl staat anal, dünaamiline anal, mis on eesmärgiks? *Staatilises e. tasakaaalu analüüsis on valitud muutujate väärtused sellised, et süsteemi seisund säilub (s.t. puudub tendents muutuda). Tasakaal ei ole tingimata ideaalne seis. Osaline turutasakaal (lineaarne & mittelineaarne mudel), üldine turutasakaal. *Võrdlevstaatiline analüüs tegeleb erinevate tasakaalu seisundite võrldemisega (vastab erinevate parameetrite ja välimuutujate komplektidele). Kui mingi parameeter või välimuutuja muutub, läheb süsteem tasakaalust välja, siis võrreldakse uut ja vana. VSA on kvalitatiivne või kvantitatiivne. Peaülesanne leida sisemuutujate muudumäärad sõltuvalt parameetri või välimuutuja muutudst. *Dünaamilises analüüsis jälgitakse muutujate teed ajas ning kas antud aja jooksul muutujad koonduvad kindlateks tasakaaluväärtuseks. Täiendab eelmist kahte, sest uurib kas tasakaal on üldse saavutatav. Oluline on, et muutujad seostatakse ajaga (
väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬). Igapäevakeeles väljendab eitus lause mittekehtimist, näiteks „Lehis ei ole okaspuu“. Selle lause võib kirja panna valemiga ¬A, kus A = „Lehis on okaspuu“. o Konjunktsioon (märk &) tähendab seost „ja“. Näiteks „Puhub tuul ja sajab vihma“ on valemkujul A & B.
5 29 a b 42 32 (2)2 52 Arvuti abil leiame, et kui cos = 0,26 Siis nurk = 74,9° © Allar Veelmaa 2014 25 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a (x1; y1) ja b (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a b (x1 x2; y1 y2 ) Vektorite vahe a b (x1 x2; y1 y2 ) Vektori korrutis arvuga k a (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus 1
Arkusfunktsioonid: Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud: Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x X vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y = f(x)+g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) = f(x) - g(x), korrutis
. . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
