TRIGONOMEETRIA VALEMILEHT 10. KLASS Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel 3 0° 30° 45° 60° 90° 180°() 270° 6 4 3 2 2 1 2 3 sin 0 1 0 -1 2 2 2 3 2 1 cos 1 0 -1 0 2 2 2 3 tan 0 1 3 puudub 0 puudub 3 3 cot ...
sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraline avaldis Matemaatilist avaldist, milles on vaid lõplik arv kordi kasutatud aritmeetikatehteid ning astendamist ja/või juurimist, kus astendajad ja
ei ühti raskuskeskmega. periood sõltub keha massist ja inmom. T=2 , lt=I0/ml g 17.Võnkumiste sumbumine Sumbuvad võnkumised on ka kirjeldatavad siinusfunktsioonina, kuid selle amplituud väheneb ajas ekspotentsiaalselt. x=Asinst s = 02 - 2 kus on sumbuvustegur.Harmooniline võnkumine on protsess, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukohta kirjeldav koordinaat (x) muutub ajas siinus (või koosinus) funktsiooni järgi. Harmooniliselt võngub näiteks ühtlase nurkkiirusega () mööda ringjoont liikuva punkti (m) projektsioon (P). Võnkuva punkti kogu energia võrdub igal ajahetkel kineetilise energia (Wk) ja pot. Energia (Wp) summaga. x=A0·sin,kus A0-amplit väärt;sin=sin(t+0). 18.Lained elastses keskkonnas Elastseks nim keskkonda ,mille osakesed on omavahel vastastikmõjus,st kui üks osake panna võnkuma siis hakkavad võnkuma ka ta naaberosakesed.Võnkumise
ruuduga. a 2 + b 2 = c 2 Eukleidese teoreem: Täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega. a 2 = f c ja b 2 = g c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrgus on võrdne katetite projektsioonide geomeetrilise keskmisega. h = f g vastaskaatet lähiskaatet siinus = koo sin nus = hõpotenuus hüpotenuus vastaskaatet lähiskaatet tan gens = koo tan gens = lähiskaatet vastaskaatet 1 Ümberringjoone raadius. R = c 2 ab ch Pindala: S = = 2 2
1 aksioome. Tasakaalu aksioom.Kui vabale kehale mõjub kaks jõudu saab keha olla tasakaalus kui nende jõud on võrdsed F1=F2 vastassuunalised ning mõjuvad piki sama sirget. Kehale millele mõjub üks jõud ei saa kunagi olla tasakaalus. ,,Aksioom antud jõusüsteemi mõju jäigale kehale ei muutu, kui sinna lisada või sealt ära jätta tasakaalus jõusüsteem.3.aksioom Keha ühes punktis rakendatud kahel mitteparalleelsel jõul on resultant, mis rakendub samas punktis ja mida kujutab nende jõudude kui rööpküliku külgedele ehitatud rööpküliku diagonaal.4aksioom ühe materiaalse keha mõjumisel teisele esineb suuruselt sama,kuid vastupidise suunaga vastumõju.5aksioom ehk jäigastamise aksioom.Deformeeruva keha tasakaal antud jõusüsteemi mõjul ei muutu,kui see keha lugeda jäigaks.6aksioomehk sidemete aksioom Aktiivsed jõud koos nende poolt põhjustatud toereaktsioonidega moodustavad välisjõud. 2. Koonduvtasapinnaline jõusüsteem koosneb ühele kehale rakendatu...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHHATROONIKAINSTITUUT MHD0030 MASINAMEHAANIKA KODUTÖÖ NR. 2 Väntmehhanismi kinemaatiline analüüs ÜLIÕPILANE: KOOD: Töö esitatud: 18.03.2014 Arvestatud: Parandada: TALLINN 2015 Lähteandmed Mehhanismi vänt OA pöörleb konstantse nurkkiirusega OA 2,4 rad/s. Pikkused: OA 40 cm, AB 110 cm, AC = 45 cm (punkt C – kepsu massikese). Leida: - Mehhanismi vabadusaste; - Punkti A koordinaadid funktsioonina pöördenurgast ; - Punkti B koordinaat xB funktsioonina pöördenurgast ; - Punkti C koordinaadid funktsioonina pöördenurgast ; - Punkti A kiirus ja kiirendus; - Punkti B kiirus funktsioonina pöördenurgast ; - Arvutada kõik ülal nimetatud suurused hetkel, kus = 130. Punkti B kiirus leida analüüti...
sin tan = cos cos cot = sin 1 1 + tan 2 = cos 2 1 1 + cot 2 = sin 2 · Nurkade summa ja vahe, kahekordse siinus, koosinus ja tangens sin ( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan tan ( ± ) = 1 tan tan sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 = 1 - 2 sin 2 = 2 cos 2 -1 2 tan tan 2 =
perioodiline muutumine ajas. X=x0sinwt Periood- minimaalne ajavahemik, mille järel keha liikumine täielikult kordub Sagedus- võngete arv ajaühikus, ühik 1 Hz Ringsagedus- võngete arv 2pi sekundi jooksul, ühik rad/s. W=2pif Hälve- kaugus tasakaaluasendist, x Amplituud- maksimaalne hälve, x0 Resonants- nimetatakse sundvõnkumiste amplituudi järsku suurenemist süsteemile mõjuva välisjõu sageduse ühtimisel süsteemi oma võnkesagedusega Faas- nurk fii, millest võnkumise võrrandis siinus võetakse Laine- võnkumise edasikandumine ruumis. (toimub energia, ei toimu keskkonna edasikandumist) Lainepikkus- vähim kaugus kahe sünkroonselt võnkuva punkti vahel Lainefront- piir, kuhu veepinna häiritus esimese laine näol jõudnud on Ristlaine- laine, kus võnkumine toimub levimissihiga risti (tahked kehad, vedelike pinnal) Pikilaine- laine, kus võnkumine toimub piki levimissihti (kõigis keskkondades)
Y-teljele antav pinge sunnib elektronkiirt võnkuma vertikaal sihis. X-teljele rakendatud pinge horisontaalsihis. Seega liigub kiir ekraanil mööda trajektoori, mis vastab sama sagedusega ristsihiliste võnkumiste liitumisele. Kuna kiirt juhivad korraga mõlemale teljele rakendatud siinuseliselt muutuv pinge, siis saadakse vastavalt võnkumiste teooriale kiire trajektoori võrrandiks ellipsi võrrand. Kui aga kahe risti oleva siinuse kujulise signaali liitmine toimub punktis, kus siinus läbib nulli, siis saame kiire trajektoori võrrandiks sirgjoone võrrandi ja näeme ostsilloskoobi ekraanil sirgjoont mingi kaldega. Siit tuleb ka meie poolt kasutatav meetod lainepikkuse määramiseks. Selleks leitakse mikrofoni ja valjuhääldi selline vastastikune asend, kus ellips muutub sirgjooneks. Jälgides ostsilloskoobi ekraani nihutatakse mikrofoni valjuhääldi suhtes seni, kuni saadakse ekraanil uus sirgjoone kujutis. Teostatud nihke suurus võrdub poole lainepikkusega. 4
nurgast voolu suuna ja magnetvälja suuna vahel. Jõud on risti nii juhtme kui magnetväljaga, tema suuna määrab vasaku käe reegel (vasak käsi tuleb asetada nii, et magnetinduktsioon suubub peopessa, väljasirutatud sõrmed näitavad voolusuunda, sõrmedega täisnurga moodustav pöial näitab juhtmele mõjuva jõu suunda) F = B I l sin F- jõud [N] I- voolutugevus juhtmes [A] l- juhtme pikkus[m] sin- siinus nurgast voolu suuna ja magnetvälja suuna vahel Ampere'i jõud on vooluga juhtmele magnetväljas mõjuv jõud, mis on määratud Ampere'i seadusega. Nii Ampere'i jõud kui ka Lorentzi jõud on määratavad vasaku käe reegliga, mis näitab, et tegemist on analoogiliste jõududega. Erinevus on selles, et Ampere'i seadus ja jõud on avastatud 1820, kui ei olnud teada, mis voolab (elektron avastati alles 1897). Lorentzi seadus ja jõud selgus aga metallide klassikalise elektronteooria loomisel
1.Skalaarid ja vektorid:Suurusi mille määramiseks piisab ainult arvväärtustest,nimetatakse skalaarideks. 18.Harmooniliste võnkumiste liitmine: -Kahe (aeg,mass,inertsimoment jne) Suurusi ,mida ühesuguse sagedusega(),samasihiliste,kuid erinevate iseloomustab arvväärtus(moodul) ja suund, nimetatakse amplituudidega ja algfaasidega võnkumise liitmisel on 31.Molekulaarkineetilise teoooria põhivõrrand: all vektoriks.1.Vektori korrutamine skalaariga: summaks jäle sama sagedusega harmooniline mõistetakse avaldist,mis seob gaasi molekulide 2.Vektorite liitmine: võnkumine.-Kahe samasihilise,kuid erineva sagedusega kineetilise energia gaasi rõhu ja ruumalaga.Molekulide 3.Vektorite skalaarne korrutamine: kahe vektori harmoonilise võnkumise liitmisel on tulemuseks keskmise kinetilise energia s...
Suurusi ja nim. vastavalt sumbuvate võnkumiste sumbuvusteguriks ja omasageduseks. Suhet nimetame sumbuvuse dekremendiks 25.Lained, energiavoog laines, laine võrrand Energiavoog laines. Et lainetus levib, kaasneb tema liikumisega ka energia levik. Analoogselt vee vooluhulgale läbi vooluga risti oleva pinna Laineks nimetame keskkonna osakeste võnkumist, kus võnkefaas sõltub allika kaugusest siinus (koosinus) funktsiooni järgi. Lainevõrrand. Seega kirjeldab lainet valem 26.Doppleri efekt Doppleri efekt seisneb selles, et lainepikkuse muutus on võrdeline laineallika kiirusega vaatleja suhtes. 27.Newtoni rõngad Kontrollides lihvimisel oleva läätse kvaliteeti, avastas Newton läätse ja selle aluspinna kokkupuutepunkti ümbritsevate kontsentriliste rõngaste süsteemi. Rõngaste olemasolu polnud korpuskulaarteoorias seletatav;
suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx Arkuskoosinus x on nurk, mille koosinus on x arccos(-x)=-arccosx x=±arccosm+2 Tangensfunktsiooni pöördfunktsioon y=arctanx Arkustangens on nurk, mille tangens on x arctan(-x)=-arctanx x=arctanm+n Homogeenne trigonomeetriline võrrand võib olla järgmisel kujul: 2 2 asinx+bsinx=0 asinx+bcosx+csinxcosx=0 Tuletis (x²)´=2x (u±v)´=u´±v´
o Newtoni 3 seadust (+ valemid ja joonised) Esimene seadus - kui kehale teised kehad ei mõju või kui mõjud on tasakaalus, siis on keha kas paigal n või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. ∑ ⃗F t=0 i−1 Teine seadus - kui kehale mõjub jõud, siis liigub see kiirendusega, mis on võrdeline mõjuva jõuga ning pöördvõrdeline selle keha massiga. F=ma Kolmas seadus - kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete vastassuunaliste jõududega nimetatakse ka impulsi jäävuse seaduseks . F1=−F 2 . (joonis F12 m1 →←m2 F21 ...
Suvalise nurga koosinus- · Suvalise nurga koosinuseks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 27. Suvalise nurga tangens- · Suvalise nurga tangensiks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti ordinaadi ja abstsissi suhet. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon- · Funktsiooni y=f(x) , mis rahuldab tingimust f(x+p)=f(x), kus p0 iga x korral määramispiirkonnas X nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks. Arvu p nimetatakse seejuures funktsiooni perioodiks. · Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid · Sinx ja cos x ---- 2 tanx ja cotx ----
l , kus l on pendli pikkus meetrites ja g=9,8m/s². 2) Vedrupendel on ideaalse vedru g m otsas võnkuv punkmass, mille perioodi saab arvutada valemist: T=2·π , kus m on k keha mass kilogrammides ja k on vedru jäikus (ühik 1N/m). Harmoonilisteks nimetatakse võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus või koosinusfunktsiooni abil. Nende võrrandid on saadud ringliikumise ja võnkumise võrdlemisel: x x 0 · sinωt või x x0 · cosωt. Siinuse või koosinuse järel olevat liiget, ωt=φ, nimetatakse siin faasiks ja suurust ω- ringsageduseks (see on nurkkiiruse analoog, ühik 1rad/s). Harmooniliste võnkumiste graafik on siinus- või koosinusfunktsiooni graafik. (Tee ise joonised) Kui välise jõu mõjumise sagedus saab võrdseks süsteemi oma võnkesagedusega tekib
välisringjoone raadius Kui on antud kaks külge ja nendest väiksem vastasnurk tuleb Koosinusteoreem lahendada kaks kolmnurka. a2=b2+c2-2bc*cos Nürinurgast on b2=a2+c2-2ac*cos miinusega. Kõige suuremale küljele vastab kõik pikem külg jne. c2=a2+b2-2ab*cos 30o 45o 60o 90o Siinus on + I ja II veerandis sin 1/2 2/3 3/2 1 Koosinus on + I ja IV veerandis Tangens on + I ja III veerandis cos 3/2 2/2 1/2 0 tan 3/3 1 3 - II veerand: 180o antud nurk III veerand: antud nurk - 180o cot 3 1 3/3 -
III PROBLEEMID, TULETAMISED (koos põhjendustega) 1. Kas vedrukaal näitab ühtviisi nii paigalseisval kui ühtlaselt liikuval laeval? Jah 2. Tooge näiteid, kus avaldub impulsi jäävuse seadus. No impulsi jäävuse seadus avaldub kõikjal, kus on tegemist liikuvate kehade vastastikmõjuga. Eriti hästi tuleb see veel siis välja, kui liikuvad kehad on mingil libedal pinnal. Näiteks kui uisutades keegi kokku põrkab, siis muutub kehade liikumisolek impulsi jäävuse seaduse kohaselt. Veel parem näide on piljard piljardikuul annab oma impulsi kuulile, millega ta kokku põrkab. Kuulide liikumine pärast põrget allub impulsi jäävuse seadusele. Musternäide on veel Maa tehiskaaslase trajektoori korrigeerimine reaktiivmootoriga kui gaas mootorist väljub, siis saab see teatud impulsi. Et kogu impulss konstantseks jääks, peab tehiskaaslane saama vastassuunalise impulsi, mis tähendab, et ta hakkab lii...
1. Kuidas leida kahe vektori liitmisel tekkiva vektori pikkust kui on teada liidetavate vektorite pikkused. Liidetavad vektorid on: a) samasuunalised; b) vastassuunalised; c) üksteisega risti ? a) Kui vektorid on samasuunalised, siis liitmiseks tuleb nad üksteise otsa panna. b) Kui vektorid on vastassuunalised, siis liitmiseks tuleb nad lahutada. c) Kui vektorid on risti, tuleb liitmiseks kasutada rööpküliku reeglit ( vektorite alguspunktid paigutatakse nii, et alguspunktid ühtivad. Kui soovitakse rohkem kui kahte vektorit kokku liita, tuleb kasutada kolmnurga reeglit; uue vektori algupunkt pannakse eelmise vektori lõpp-punkti. Tuleb arvestada suundasid, saab kuitahes palju vektoreid kokku liita) 2. Kuidas peavad olema vektorid suunatud, et nende: a) skalaarkorrutis oleks 0; b) vektorkorrutis oleks 0 ? a) Selleks et skalaarkorrutis oleks null peavad vektorid risti olema. b) Selleks et vektorkorrutis oleks null peab vektorid olema samasi...
geneesiga Primaarsed klapirikked südame paremal pool on tavaliselt kaasasündinud. 21. Südametamponaad- Südametamponaad südamepauna kogunenud vedelikust (verest) või ülerõhku põhjustavast õhust tekkinud südame kokkupigistamine, mis võib viia südame seiskumisele. Südametamponaadi korral on vedeliku eemaldamiseks sageli vajalik teostada perikardiotsenees: nõela abil eemaldatakse (tavaliselt ultrahelikontrolli all) südamepaunast liigne vedelik. 22. Siinus arrest ja päästelöök- Siinus arrest- siinus sõlmest ei teki impulsse. Pikk paus, järgneb päästelöök. 23. Liikuv sammuandja- Liikuv sammuandja (wandering pacemaker- WAP) on kodade arütmia, mis tekib siis, kui looduslik südame sammuandja asukoht nihkub sinoatriaal sõlme, koja ja/või atrioventrikulaarsõlme vahel. Selline sammuandja nihkumine sinoatriaal sõlmest kõrvalkudedesse on EKG's nähtav- morfoloogilised muutused P-sakil. Siinus löökidel on
Kuna hõõrdumine aeglustab liikuvat objekti, kutsutakse seda ka takistusjõuks. See erineb aktiivjõududest, mis põhjustavad objektide liikumise muutumist.Seisuhõõre F=H=μ0·N μ0-seisuhõõrde tegur (kõige suurem) (mol) F – jõud(J) N – võimsus(W) Liugehõõre – F=mg·sinα α-hõõrdenurk Veerehõõre – F=Hv=μ´·N/r VÕNKUMISED Harmooniline vônkumine - nimetatakse protsessi, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukohta kirjeldav koordinaat(x) muutub ajas siinus (või koosinus) funkst. järgi. Harmooniliselt võngub näiteks ühtlaselt nurkkiirusega ( ωt+ φ0 ω ) mööda ringjoont liikuva punkti (m) projektsioon (p). x= A0 sin ¿ ) Võnkumiseks nim protsesse,milledel on iseloomulik teatud korduvus .Siinuseliselt v koosinuseliselt toimuvaid füüsikalisi suurusemuutusi ajas nim harm võnk.H v
Matemaatiline analüüs I Eksamiteemad 1. Muutuvad suurused: Muutuja x on argument ehk sõltumatu muutuja. Muutuja y on sõltuv muutuja. 2. Funktsioon- Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus Tähistused: y=f(x); y=g(x); y=H(x) Näited: s(t)=3-0,5gt²( s- kaugus maapinnast langemisel; g- raskuskiirendus) Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b. Valemiga - e. Sõnadega- c. Tabelina- f. Funktsiooni f nimetatakse üheseks¸ kui argumendi igale väärtusele vastab üksainus funktsiooni väärtus. g...
tan 150° = tan(180° – 30°) = – tan 30°, sest 150° on teise veerandi nurk sin 1200° = sin (3 · 360° + 120°) = sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60°, sest 120° on teise veerandi nurk. © Allar Veelmaa 2014 17 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHE NURGA SUMMA JA VAHE SIINUS, KOOSINUS JA TANGENS Kui on teada kahe nurga x ja y siinus, koosinus ja tangens, siis saab leida ka sin( x y ) cos(x y ) tan(x y ) Järgmiste valemite abil on võimalik lihtsustada trigonomeetrilisi avaldisi ja leida ka mõningate nurkade siinuse, koosinuse või tangensi täpset väärtust. sin(x y ) sin x·cos y cos x·sin x cos(x y ) cos x·cos y sin x·sin y tan x tan y tan(x y ) 1 tan x·tan y Näide: Leiame sin 105° täpse väärtuse.
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
Asetame joonpaleti suvaliselt joonele, seame esimese punkti õigele ,,kõrgusele". Fikseerime sirkliga läbi esimese punkti kui pooluse. Pöörame paletti ümber pooluse, seni kuni ka teine punkt jõuab õigele ,,kõrgusele". Torkame läbi joone ja paralleeljoonte lõikepunktid ning kirjutame punktidele juurde nende ,,kõrgused". 16. Trigonomeetrilise nivelleerimise kõrguskasv arvutakse valemist: hAB=a*sin v+i-v; kus a=viseerimiskiire pikkus, sinv=viseerimiskiire siinus kaldenurk, i=instrumendi kõrgus ja v=viseeritud punkti kõrgus teise punkti kohal. Lähteandmeteks instrumendi kõrgus, viseerimiskiire pikkus. Nivelleerimine toimub tänapäeval peamiselt elektrontahhümeetri ja reflektori abil. Trigonomeetrilisel niveleerimisel leitakse kõrguskasv kahe punkti vahel täisnurkse kolmnurga lahendamisega kaldenurga ja joonepikkuse kaudu. Maastiku kaldjoon moodustab kolmnurga hüpotenuusi, üks
Kinemaatika 1. Taustkeha, taustsüsteem. Taustkeha on keha, mille suhtes liikumist vaadeldakse. Taustsüsteem = taustkeha + koordinaadistik + ajamõõtja 2.Punktmass, keha massikese. Kui kehade vaheline kaugus ületab palju kodri kehade mõõtmeid, siis võib kehasid vaadelda punktmassidena. Punktmass on materiaalne keha, mille mõõtmeid tema liikumise uurimisel ei arvestata. Sel juhul võib vaadelda keha massi koondununa ühte punkti. Punktmass - see on keha kui tervik. Keha massikese on punkt, milles lõikuvad kõik keha või kehade süsteemi kulgliikumist põhjustavate jõudude mõjusirged. Kui keha liigub kulgevalt, siis kehale rakendatud kõigi jõudude resultandi mõjusirge läbib keha massikeset. 2. Trajektoor, teepikkus, nihe. Trajektoor on keha (punktmassi) liikumistee e. joon mida mööda keha liigub. Trajektoori kuju järgi eristatakse sirgjoonelist, ringjoonelist ja kõverjoonelist liikumist. Kõverjoo...
Kuidas integreerib arvuti? ............................349 funktsioonid ...................................... 230 Ringliikumine ja trigonomeetria .................. 231 integraal ja tuletis ............................ 352 Kraadid ja radiaanid .....................................234 Algfunktsioon ja määramata integraal ........ 353 Koosinus, siinus ja elastne vedru* ................236 Algfunktsioon ja määratud integraal ...........354 Newtoni-Leibnizi seos .................................356 trigonomeetrilised avaldised ja nende teisendamine ........................ 240 trigonomeetriliste funktsioonide vahelised seosed .......................................241 kõik võngub* ....................................
10. inertsmoment-ainepunktide süsteemi ( keha) inertsimomendiks z telje suhtes nim summat, mille iga liidetav on ainepunkti massi korrutis tema kauguse ruuduga pöörlemisteljest z. 11. Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand Moment telje z suhtes võrdub keha inertsimomendi ja nurkkiirenduse korrutisega. Pöörleva keha energia- 12. Harmooniline võnkumine- on protsess, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukohta kirjeldav koordinaat x muutub ajas siinus (v cos) funktsiooni järgi. Harmooniliselt võngub nt ühtlaselt nurkkiirusega mööda ringjoont liikuva punkti m projektsioon P. 13. Matemaatiline pendel- kaalutu ja venimatu mass. 14. füüsikaline pendel- vb iga keha , kui see on nii kinnitatud, et ta saab võnkuda ning kinnituspunkt ei ühti raskuskeskmega. 15. harmooniliste võnkumiste liitmine- 16. võnkumiste sumbumine- sumb.võnkumisi kirjeldab sinfunkt.,kuid selle amplituud väheneb ajas eksponentsiaalselt
1. · Kinemaatika on mehaanika osa, mis uurib kehade liikumist ruumis, kusjuures ei ole oluline, mis seda liikumist esile kutsub. · Seda joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. · Kulgeval liikumisel on kõikide kehade punktide trajektoorid ühesuguse kujuga. · Pöörleva liikumise korral on keha punktide trajektoorid erinevad. · Ühtlane sirgjooneline liikumine ehk ühtlane liikumine on keha või masspunkti sirgjooneline liikumine, mille puhul keha massikese või masspunkt läbib liikumise kestel mis tahes võrdsete ajavahemike jooksul võrdsed teepikkused. · Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruseks nimetatakse jäävat vektorsuurust, mis võrdub suvalises ajavahemikus sooritatud nihke ja selle ajavahemiku suhtega. · nihe on vektoriaalne füüsikaline suurus, vektor liikuva keha algasukohast keha lõppasukohta. Tähis . · Teepikkusek...
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
• exp(N) – eksponentfunktsioon • int(N) – täisosa arvust N on siin mistahes arvuline väärtus või arvtüüpi avaldis Vaadake ka slaidi Tähistused andmetüüpidele Aritmeetikafunktsioonid • log(N) – naturaallogaritm • log10(N) – kümnendlogaritm • pi() – 3.14159... • rand() – ühtlase jaotusega juhuarv • round(N1,N2) – ümardab arvu N1 jättes N2 kümnendkohta • rtod(N) – radiaanid kraadideks • sin(N) – siinus • sqrt(N) - ruutjuur • tan(N) – tangens • ... • val(C) – annab numbrimärkidest koosneva stringi arvulise väärtuse. Kasutatakse tüübiteisendustes. Stringifunktsioonid • alltrim(C) – kõrvaldab tühikud stringi ümbert • at(C1,C2,N) – otsib stringi C1 stringis C2 n-ndat korda ja annab alguspositsiooni numbri. Kui ei leita, siis on vastus 0. Eeristatakse suur- ja väiketähti
VÕNKUMISED (lainepikkusest). Aine murdumisnäitajat võib def. Kahel viisil: Üks neist on geom. Määratlus, mille järgi aine Harmooniline vônkumine - nimetatakse protsessi, kus punktmass liigub mööda sirget ning tema asukohta murdumisnäitaja on valguse langemis- ja murdumisnurga siinuste suhe, kui valgus langeb ainele vaakumist. kirjeldav koordinaat(x) muutub ajas siinus (või koosinus) funkst. järgi. Harmooniliselt võngub näiteks Teine määrab murdumisnäitaja levimiskiiruste järgi samades keskkondades. ω sinα c n=
Elektrivool 1.Elektrivool , selle tekkimise tingimused Elektrivool on vabade laengukandjate suunatud liikumine . Elektrivoolu tekkimiseks peab olema täidetud kaks tingmust : 1) Aines peab leiduma piisavalt vabu laengukandjaid (osakesi , mis liiguvad ) Peab mõjuma elektrijõud (peab leiduma likumise tekitaja ) Vabadr laengukandjad on elektrilaenguga osakesed , mis saavad liikuda kogu vaadeldava ainekoguse või keha piires . Mettallides on vabadeks laengukandjateks pp , juhtivuselektronid ehk ühistunud valetselektronid vedelikes ja gaasides aga negatiivsed ja positiivsed . Vabade laengukandjate sisalduse alusel jagunevad ained juhtideks , dielektrikuteks ja pooljuhtideks . Juhid on ained , milles vabade laengukandjate arv ei erine väga palju aatomite (või molekulide) üldarvust . Mitmevalentsesmetallis on vabu elektrone isegi rohkem kui aatomid . Ained loetakse ju...
e0 = Em sin . Positiivne algfaas jääb koordinaatide algpunktist vasakule, negatiivne paremale. Kui kaks sama sagedusega siinuskõverat on teineteise suhtes ajaliselt nihutatud, siis räägitakse faasinihkest ja faasinihkenurgast. 74 Joonisel on kaks elektromotoorjõu sinusoidi algfaasi- ga 1 = 60° ja 2 = 30°. Nende hetkväärtused on e1 = Em sin (t + 1 ) ja e2 = Em sin (t + 2 ). Faasinihe = 1 2 = 60° 30° = 30°. Faasilt eesolev on see siinus, mille periood algab varem ja faasilt mahajääv on see, mille periood algab hiljem. Siin siis on e1 faasilt ees e2st või teisiti öeldes e2 jääb e1st faasilt maha. Faasinihkenurka pinge ja voolu vahel tähistatakse (kreeka väiketäht fii). See võib olla mõõdetud nii amplituudi- kui nullväärtuste vahel. Üldisemalt = 1 2 faasinihkenurk 1 esimese, pinge siinuskõvera algfaas 2 teise, voolu siinuskõvera algfaas Kui sama sagedusega siinuskõverad on võrdse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.2 Kompleksarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.3 Kompleksarvu algebraline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15.4 Tehted kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 15.5 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 15.6 Siinus ja koosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 15.7 Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16 Kompleksarvu juured. Eksponentkuju 145 16.1 Kompleksarvu n-astme juured . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 16.2 Kompleksarvu eksponentkuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
I. Klassikaline mehaanika. 1. Kinemaatika põhimõisted (punktmass, jäik keha, taustsüsteem, liikumishulk, nihkevektor, kulgev liikumine). Punktmass idealiseeritud objekt, mille puhul keha mass loetakse koondatuks ühte ruumipunkti. Keha võib vaadelda punktmassina, kui selle mõõtmed on antud ülesande kontekstis tühiselt väikesed. Punktmassi kinemaatiline võrrand . Jäik keha keha, mis talle mõjuvate jõudude toimel ei muuda oma suurust ega kuju ehk keha, mille kõik osad on üksteisega seotud nii, et keha kuju muutumine ei ole võimalik. Taustsüsteem kehade süsteem, mille suhtes kehade kinemaatikat vaadeldakse. Liikumisseadus kui punkt liigub ruumis, siis tema koordinaadid muutuvad ajas (x=x(t), y=y(t), z=(t)). Nihkevektor , kohavektori juurdekasv vaadeldava aja jooksul, kohavektor () määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistukus. Kulgev liikumine kõik keha punktid liiguvad keskpunkti suhtes ühesuguse kiirusega. Kui keha pun...
süsteemi vabavõnkumise sagedusega. Igal võnkuda saaval süsteemil on oma vabavõnkumise sagedus, seda nimetatakse ka omavõnkesageduseks. Näiteks: kiikumisel hoo juurde andmine, august auto väljalükkamine, majade purunemine maavärinal, pilli kõlakast, ja esineb sildadel ning merejääl. Harmooniline võnkumine Harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse võnkumist, mida saab kirjeldada siinus või koosinus funktsiooni abil. x = x0 sin ( t ) - võnkumiste ringsagedus t - võnkumiste faas määrab ära võnkuva süsteemi oleku. Võnkumine kordub faasi intervalliga 2 (täisring, - 180 ) o Võnkumiste graafikud antakse nii, et aja teljel on aeg või Faas. Näidisülesanne: (võnkeamplituud, aja graafik) x = 0,2 sin 0,5 t x0 = 0,2 2 2 0,5 T= = = 4s f = = = 0,25 Hz
................................................................................24 Mistahes nurga trigonomeetrilised funktsioonid.................................................................... 24 Seosed ühe ja sama nurga trigonomeetriliste funktsioonide vahel.........................................25 Kahe nurga summa ja vahe trigonomeetrilised seosed...........................................................25 Kahe nurga summa ja vahe siinus...................................................................................... 25 Kahe nurga summa ja vahe koosinus................................................................................. 26 Kahe nurga summa ja vahe tangens................................................................................... 26 Taandamisvalemid..................................................................................................................26
(kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a c Teravnurga koosinus = ; cos = , cos = a hüpotenuus c c vastaskaatet a b
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
Naturaallogaritm (alus e=2,718...). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; ...) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; ...) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
Naturaallogaritm (alus e=2,718…). a>0 Logaritm antud alusega, kui puudub, siis 10. a>0, alus>0 Logaritm alusega 10. a>0 Jagatise a/b jääk Ümardab arvu etteantud täpsusega Pii = 3,141592654 Teisendab kraadid radiaanideks Juhuslik arv vahemikus 0 kuni 1 Ümmardab a väärtuse n koma- või kümnendkohani Siinus. Argument radiaanides Ruutjuur. a>=0 Argumentide väärtuste summa Tangens. Argument radiaanides Arvu täisosa Loogikafunktsioonid AND (logav1; logav2; …) IF (tingimus; avaldis1; avaldis2) NOT (logav) OR (logav1; logav2; …) Tagastab vääruse TRUE (tõene), kui kõikide loogikaavaldiste väärtused on tõesed Kui tingimus on tõene, siis kasutatakse avaldis1, vastupididsel juhul avaldis2
Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks energiaks ja see omakorda muutub täielikult kineetiliseks energiaks. Pärast põrget kehad eemalduvad teineteisest. Absoluutselt mitteelastne põrge on selline, mille käigus osa summaarsest kineetilisest energiast muutub kehade siseenergiaks. Pärast põrget jäävad kehad paigale või liiguvad koos edasi. Aeg: ajahetke tähistab nn. jooksev aeg (kunas?), tähis t , ühik 1s; kestust tähistab ajavahemik (kui kaua), tähis t, ühik 1 s. Aineid jaotatakse vabade laengukandjate kontsentratsiooni järgi kolmeks: juhid, dielektrikud (isolaatorid) ja pooljuhid. Juhtides on vabade laengukandjate kontsentratsioon väga suur. Näiteks 1 cm3 metalli sisaldab ca 1022 ...1023 vaba elektroni. Seetõttu on metallid head elektrijuhid. Dielektrikutes ehk isolaatorites on vabu laengukandjaid väga vähe, 1 cm3 ca...
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (r...
Täisvõte nurk mõõdetakse kaks korda. Nurk võrdub limbilt tehtud lugemite vahena. Täisvõte koosneb kahest poolvõttest. Esimese poolvõttega mõõdetakse nurk ühes vertikaalringi asendis. Seejärel pööratakse pikksilm üle seniidi ja mõõdetakse nurk teise poolvõttega teises vertikaalringi asendis. Kordusvõte sellega mõõtes muudetakse limbi asendit mõõdetava nurga võrra. Selle võtte kasutamisvõimalus on ainult kordusteodoliidil. Nurga siinus võrdub lõpp- ja alglugemi vahe jagatud korduste arvuga. Tuleb tähele panna, mitu korda limbi 0 möödus algsuunast, iga üleminekuga tuleb lõpplugemile liita 360°. Mõõtmine orienteeritud limbi abil - Limbi teatud lugemi suunamist näiteks teodoliitkäigu punktile või magnetilise põhjapooluse suunas nim. limbi orienteerimiseks. Sel juhul võrdub horisontaalringilt tehtud lugem horisontaalnurga suurusega. Mis on täisvõte? Täisvõte nurk mõõdetakse kaks korda
Resonants – võnkeamplituudi järsku kasvamist perioodilise välismõju sageduse kokkulangemisel süsteemi vabavõnkumise sagedusega. Igal võnkuda saaval süsteemil on oma vabavõnkumise sagedus, seda nimetatakse ka omavõnkesageduseks. Näiteks: kiikumisel hoo juurde andmine, august auto väljalükkamine, majade purunemine maavärinal, pilli kõlakast, ja esineb sildadel ning merejääl. Harmooniline võnkumine Harmooniliseks võnkumiseks nimetatakse võnkumist, mida saab kirjeldada siinus või koosinus funktsiooni abil. x x0 sin ( t ) - võnkumiste ringsagedus t - võnkumiste faas – määrab ära võnkuva süsteemi oleku. Võnkumine kordub faasi intervalliga 2 (täisring, 180 o ) Võnkumiste graafikud antakse nii, et aja teljel on aeg või Faas. Näidisülesanne: (võnkeamplituud, aja graafik) x 0,2 sin 0,5 t x0 0,2 2 2 0,5
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
