Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Ruutvõrratuse lahendamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahendame, lahendihulk2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid
2 4 Kui a ≠ 1, siis siis sellist võrrandit nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks ja see lahendatakse valemiga b b2 4ac x1;2 2a 3) Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 b = 0 või c = 0, siis selliseid võrrandeid nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks ja neid valemi abil ei lahendata. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x2 – 5x = 0 5 x(3x – 5) = 0, järelikult x1 = 0 ja x2 = . 3 Näide 2. Lahendame võrrandi 4x2 + 21 = 0 21 4x2 = –21, millest x2 = – . Sellel võrrandil reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest 4 negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt. © Allar Veelmaa 2014
- b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0.
Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga 1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi x2 x 6 0 lahendid, milleks on x1 = -2 ja x2 = 3. Näide 1 Kanname need lahendid x-teljele ning tõmbame läbi punktide 2 ja 3 parabooli, mis avaneb ülespoole. -2 3 x Viirutame teisendusega saadud abivõrratuse positiivsuspiirkonna
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Sellelt saame lõpliku vastuse, esialgse võrratuse lahendid: x [-4;-3]]-2;-1[]-1;0[[1;2[[3;[ ehk -4 x -3 -2< x <-1 -1< x < 0 1 x < 2 x 3. Vastus: x [-4;-3] ]-2;-1[ ]-1;0[ [1;2[ [3;[. Kui võrratuse vasak pool on eelnevalt tegurdamata, siis tuleb seda teha, kasutades näiteks Horneri skeemi. Näide 4. Lahendame võrratuse 3x5 + 2x4 - 7x3 + 2x2 0. Selge on, et MP on ]-;[. Vasaku poole tegurdamiseks leiame nullkohad. 3x5 + 2x4 - 7x3 + 2x2 = 0. Toome x2 sulgude ette. x2(3x3 +2x2 -7x +2) = 0, siit x1,2 = 0. Edasi 3x3 + 2x2 - 7x + 2 = 0. Rakendame Horneri skeemi. Oletatavad nullkohad on 2 1 ±2; ±1; ± ; ± . 3 3 3 2 -7 2 1 3 5 -2 0 x3 = 1 -2 3 -1 0 x4 = -2
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
· Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne. Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x 2 = 0. Lahendus. Siin a = 3; b = 5 ja c = 2. - 5 ± 5 2 - 4 3 ( -2) - 5 ± 49 - 5 ± 7 x= = = 23 6 6 -5 -7 -5 +7 2 1 x1 = = -2 x2 = = = 6 6 6 3 Ülesanne 12. Lahenda ruutvõrrandid. 1) 4x2 4x 3 = 0
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1.
= 2x2 + 3x. Lahendus: Teeme joonise ja vaatame, kas punktid kattuvad graafikuga või mitte. Teie ülesanne on vaadata, milline punkt kuskil on. Aga, kes ei saa arvutiprogrammi graafiku joonestamisel kasutada, pole ka hullu. Väga lihtne on kontrollida arvutamise teel. Võtame punkti A(2; -3). Esimene arv on muutuja x väärtus, teine muutuja y väärtus. Nüüd võtame funktsiooni y = -2x2 + 3x ning asendame muutuja x tema väärtusega, milleks antud juhul on 2. Lahendame. y = 2 * 22 + 3 * 2 = 2 * 4 + 6 = 8 + 6 = 2. Meie pidime tulemuseks saama aga väärtuse 3. Järelikult see punkt ei asu antud paraboolil. Proovime teise punktiga B(1; 1). y = 2x2 + 3x = 2 * 12 + 3 * 1 = 2 + 3 = 1. Muutuja y väärtus peabki 1 olema, järelikult see punkt asub paraboolil. 4. Ruutfunktsioon y = 3x2 + bx läbib punkti A(1; 9). Leia kordaja b väärtus. Lahendus:
lahendatakse ükshaaval kõik süsteemi kuuluvad võrratused; süsteemi lahendihulgaks on üksikute võrratuste lahendihulkade ühisosa. Näiteks, k 4,5 2k 9 0 k 3 Lahendame võrratussüsteemi | : (-2) (k 3)( k 4) 0 2 0 k (k 4) 0 k 4 k 0 k 4 k 40
Leiame proovimise teel sellised kaks täisarvu (üks nendest on negatiivne, sest lahendite korrutis on negatiivne), mille korrutis on – 6 ja summa 1. Need arvud on –2 ja 3. Seega võrrandi lahendid on x1 2 ja x 2 3 . Vastus. x1 2 , x 2 3 . Näide 17 Lahenda parameetrit sisaldav ruutvõrrand. x2 – 8ax + 12 = 0 Lahendus: Antud ruutvõrrandis on muutujaks x ja parameetriks a. 1) Lahendame selle esialgu tingimusel a 0 . Vastavalt taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalemile 2 p p x 1,2 q 2 2 saame kirjutada x 4a 4a 2 12 ; x 4a 16a 2 12 . 2) Kui a < 0, siis x 4a 4a 2 12 ; x 4a 16a 2 12 . Lahendid kehtivad parameetri a suvalise väärtuse korral. BIRUUTVÕRRAND
kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad. Lihtsaimate eksponentvõrratuste lahendamine Kui b > 0, siis sõltub lahendihulk sellest, kas alus a on ühest suurem või väiksem: y = ax , y a) juhul kui b a> a > 1, 1 siis on võrratus ax > b täidetud kui x > logab, 1 võrratus ax < b aga juhul kui 0 logab x x < logab.
x (x - 7) = 0 x² - 9 = 0 x1 = 0 x² = 9 x7=0 x = ± 9 = ±3 x2 = 7 x1 = 3 ja x2 = -3 Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax4 + bx² + c = 0, kus a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu. Lahendamisel asendame x² mingi tähega ja lahendame võrrandi uue muutuja suhtes. Näidisülesanne 1: Näidisülesanne 2: x4 10x² + 9 = 0 x4 + 5x² + 4 = 0 x² = y x² = y y² - 10y + 9 = 0 y² + 5y + 4 = 0 y = 5± 25 - 9 =5± 16 = 5±4 -5 52 - 4 4 -5 9 -5 3 y= = =
nt: 2 < 5 | +10 12 < 15 2) mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga, jääb võrratusmärk samapidiseks. nt: 8 < 10 | : 2 4<5 3) mõlemaid pooli korrutada ühe ja sama negatiivse arvuga, siis märk muutub vastupidiseks. nt: 8 < 10 | (-2) -16 > -20 5 Võrratuse lahendamine: Võrratust lahendame sarnaselt võrrandi lahendamisele. Esinevad mõningad erinevused: 1. tundmatul on mitu väärtust 2. rida omadusi, mis kehtivad ainult võrratuse kohta Näide: 5x + 3 > 2x 9 5x 2x > -9 3 3x > -12 |: 3 x>-4 Suhe ja mõõtkava: Geograafilise kaardi nurgast leiame mõõtkava, kus on märgitud kahe arvu suhe. nt: 1:30000 st. et 1cm kaardil vastab 30000cm (300m) looduses. Kahe arvu a ja b suhteks nimetatakse nende jagatist a:b.
2) Lahendage võrrand f (x) = 1. 3) Lahendage võrratus f (x) > 0 lõigus [0; ] . 4) Leidke funktsiooni f (x) miinimumkoht vahemikus ( 0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. Lahendus: 1) Lihtsustame avaldist f ( x ) f ( - x ) . f ( x ) f ( - x ) = ( sin x - cos x ) ( sin ( - x ) - cos ( - x ) ) = ( sin x - cos x ) ( - sin x - cos x ) = = - ( sin x - cos x ) ( sin x + cos x ) = - ( sin 2 x - cos 2 x ) = - sin 2 x + cos 2 x = cos 2 x 2) Lahendame võrrandi f(x) = 1. sin x - cos x = 1 Kasutame täiendusnurga valemit cos = sin ( 90 - ) . 0 Saame võrrandi sin x - sin ( 90 - x ) = 1 . 0 - + Kasutame vasaku poole teisendamiseks valemit sin - cos = 2sin cos . Saame
Murdvõrrandid Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid. Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi. 2x - 3 = 0. Näide 1. Lahendame võrrandi x+2 Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused 2x 3 = 0, millest x = 1,5 ning x + 2 = 0, ehk x = 2. Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed. Vastus: x = 1,5. 4 1
Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ülesande põhjal võrdub see avaldis 7-ga. Saame võrrandi 1 2 x = 7. 2 Lahendame saadud võrrandi. 1 2 x =7 2 2 x 2 =14; x = ± 14 = ±3,74; x 1 = 3,74; x 2 = -3,74. Kontroll: Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 3,74 2 = 14 = 7. 2 2 Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 ( - 3,74 ) = 14 = 7. 2 2 2 Vastab ülesannete tingimustele. Vastus: Otsitav arv on kas 3,74 või 3,74
Tähelepanu tuleb juhtida sellele, et parabooli teljeks ei ole y-telg, vaid haripunkti läbiv verikaalne sirge. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku konstrueerimist võib alustada väärtuste tabeli koostamisega, kuid siin tekib üks küsimus missugused x väärtused on otstarbekas tabelisse võtta, et arvutustulemustest hiljem graafiku konstrueerimisel oleks kasu. Soovitan selle probleemi lahendamiseks järgmist võimalust: a) lahendame võrrandi ax2 + bx = 0; b) kui võrrandi lahendid on x1 ja x2 (x1 < x2), siis võiks tabelisse võtta x väärtused lõigust [x1 2; x2 + 2] või [x11; x2 + 1]. Näide. Joonestame funktsiooni y = x2 x 4 graafiku. Lahendame võrrandi x2 x = 0, millest x1 = 0 ja x2 = 1. Koostame tabeli lõigus [3; 2] sammuga 0,5 ja teeme joonise (vt joonis 17). Joonis 17
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m (a ) = a
a Näide Lineaarvõrrandi 2 x 3 0 lahendiks on 3 x . 2 1 Lineaarvõrrandi x 0 lahendiks on 2 1/ 2 x 1 / 2. 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näited Näide x Lahendame võrrandi 1,5 . 5 Lahendus Läheme üle samaväärsele võrrandile, tuues paremal pool oleva lineaarliikme vastandmärgiga vasakule poole võrdusmärki: x 1,5 0. 5 Saadud lineaarvõrrandi lahendiks on 1,5 3/ 2 35 15 1 x 7 . 1/ 5 1/ 5 2 1 2 2
27 x - 71 <0 42 Murd (kahe arvu jagatis) saab olla negatiivne vaid juhul, kui lugeja ja nimetaja on vastandmärgilised. Kuna nimetaja (arv 42) on positiivne, peab lugeja olema negatiivne: 71 17 27 x - 71 < 0 27 x < 71 x< =2 27 27 Näide 1 (4) Teise võrratuse lahendame analoogselt esimesega: 2 x + 7 3x - 5 10 - 3 x < +8+ 3 7 5 35(2 x + 7) - 15(3x - 5) - 8 105 - 21(10 - 3 x) <0 105 70 x + 245 - 45 x + 75 - 840 - 210 + 63 x <0 105 88 x - 730 730 13
xm Pea meeles! x m n xm * xn , xmn xn , x x mn x m n n m , log x n n log x 3 x 2 x 1 Näide 2. Lahendame eksponentvõrrandi 0,2 25 , teisendades selle võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. 1 Et 0,2 5 51 ja 25 5 , siis saab võrrand kuju 5 2 1 3 x
a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i. ( a + bi) (c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc)i. Kontrollime lahendeid, pidades silmas et i·i = i2 = -1. (-4i)2 + 16 = (-4)2 · i2 + 16= 16·(-1) +16 = 0 ja
VÕRRATUSED Võrratusmärgid on : > - on suurem < - on väiksem - on suurem või võrdne - on väiksem või võrdne Omadused: 1. a > b a - b > 0 a < b a-b < 0 2. Kui võrratuse mõlema poolega liita üks ja sama reaalarv, jääb võrratusmärk endiseks: a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada
funktsioonid 1) jäigad, 2) ühikelastsed, 3)elastsed: Lahendus:D(p) = 54 p3 + 20 Elastsuse leidmise valemi järgi p p Ep (D) = D · D = 54 +20 · -3·54 p4 81 = - 27+10p3 p3 Elastsus on negatiivne. Vaatame millal viimase avaldise absoluutväärtus on väiksem kui 1. Selleks lahendame võrratuse 81 > 27 + 10p3 , mille lahendiks saame p> 3 5, 4. Seega on tegemist jäiga nõudlusega, kui p > 3 5, 4, ühike- 3 3 lastse nõudlusega, kui p = 5, 4 ning elastse nõudlusega, kui p < 5, 4. 3
FUNKTSIOON Järgnevas on muutuv suurus selline suurus, mis võib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi väärtusi. Nende väärtuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsioon f on eeskiri, mis seab ühe muutuva suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv (
7x - 4 2 x + 1 x -1 55. + = ( x - 2)( x + 3) x + 3 x - 2 x+ y = 5 46. x + y = 13 2 2 56. Lahenda võrratus 57. 3 x - 2( 2 x + 5) > 2( 3 x +1) - 40 58. 2( x - 3) - 3( 2 x +1) > x -19 59. 5( 2 x + 6 ) - 3( 4 - 3 x ) < 15 x + 28 kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on suuremad kui -2. 60. 4( 5 - 2 x ) - 2( 3 x + 4 ) > 6 -18 x kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on väiksemad kui 3. 61. Leia võrratuse 2 x - 3 < 5 kõik positiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 62. Leia võrratuse 5( x + 3) 4 x +12 kõik negatiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 63
2 x2 - 2 = 0 :2 x 2 - 1 = 0; x 2 = 1 x = 1 x1 = 1 ja x2 = -1 ei sobi määramispiirkonda Ekstreemumkoht on x = 1. Määrame ekstreemumkoha liigi 2. tuletise järgi. Saame ( f ( x) = f ( x) ) = 2x - 2x = 2 + x22 2 f ( 1) = 2 + = 4 > 0 , seega x = 1 on miinimumkoht. 12 Leiame nüüd funktsiooni miinimumi ymin = f(1) = 1 2 ln 1 + 3 = 1 0 + 3 = 4. 4. Lahendame võrrandi f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. x2 + ln2 x = x2 2 ln x + 3; ln2 x + 2 ln x 3 = 0. Lahendame ruutvõrrandi ln x-i järgi: ln x = -1 1 + 3 = -1 2 ln x1 = -1 + 2 = 1 x1 = e1 = e; 1 ln x2 = -1 - 2 = -3 x2 = e -3 = e3 1 Saime, et x1 = e ja x2 = e3 12
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Nimi perenimi HARILIK ITERATSIOONIMEETOD REFERAAT Juhendaja: nimi Tallinn 2016 Sisukord Mis on iteratsioonimeetod?..............................................................................................................3 Harilik iteratsioonimeetod...............................................................................................................4 Meetodi realisatsioon.......................................................................................................................8 Näide 1)........................................................................................................................................8 Näide 2)........................................................................................................................................9 Allikad............................................................................................
Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või sulgude sees olev avaldis on võrdne nulliga b x1 = 0 x2 = -2 Antud ruutvõrrandi lahendid on 0 ja - a b) puudub lineaarliige Üldkuju: ax2 + c = 0 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 3x2 48 = 0 | : 3
Funktsioonid I Funktsiooni tuletis Tuletiste tabel: 1 1 c 0 x 1 x x2 x 2 1 x x nx n n 1 e e x x
Võrrandite lahendamine Lineaarvõrrandid Lineearvõrrandeid saab alati esitada kujul ax + b = 0. Sellel võrrandil võib olla · täpselt üks lahend · lahendid võivad puududa · lõpmata palju lahendeid Näide 1. Lahendame võrrandi 3(2x + 5) = 7x. Avame sulud 6x + 15 = 7 x, millest 6x + x = 7 15 ehk 7x = 8. 8 - Selle võrrandi lahend on x = 7. Näide 2. Lahendame võrrandi 3(2x 1) = 6x 3. Avame sulud, saame 6x 3 = 6x 3 (*), ehk 6x 6x = 33 (**), millest 0x = 0. Viimane võrdus kehtib iga tundmatu x väärtuse korral (0 · x = 0)
Kordamisülesanded 11 klass 1. Kombinatoorika ja tõenäosus a) Ühes klassis õpitakse 14 õppeainet. Mitmel erineval viisil saan nendest koostada ühe päeva tunniplaani, kui selles peab olema 7 erinevat õppeainet? Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski sahtlis
annaabi.ee 
