5 punkti
Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 5 punkti.
~ 4 lehte
Lehekülgede arv dokumendis
2009-11-15
Kuupäev, millal dokument üles laeti
29 laadimist
Kokku alla laetud
0 arvamust
Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Joosep Andrespuk
Õppematerjali autor
2. Korrutame arvu 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi lõppu; 3. Siis korrutame arvu 1; 10; 100; 1000 jne, et koma läheks perioodi ette; 4. Lahutame tulemused; 5. Jagame mõlemad pooled läbi x ees oleva arvuga. Lahendus: tähistame x= 1,2(43) 1000x=1243,4343... _ 10x= 12,4343... 990x= 1231 X= 1231 = 1 241 990 990 IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. näiteks 2=1,4142135623373... ei ole ratsionaalarv, sest ta pole lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Järelikult on irratsionaalarv. Irratsionaalarvud on veel 32; 53; -7; jt. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I.
Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. · Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud. Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse ratsionaalarvu ning pöördarvuks ratsionaalarvu .
......................................................................................... 2 Murdarvude hulk.................................................................................................................2 Ratsionaalarvude hulk Q.....................................................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R.......................................................................................................................3 Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z
Matemaatika: Arvuhulgad ja
arvuhulkade omadused
Mairo Tammepõld
10ü
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
perioodilise kümnendmurruna. Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad kokku reaalarvude hulga R. Reaalarvude hulga omadused Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk Reaalarvude hulk on pidev nendele arvudele vastavad punktid katavad kogu arvtelje Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on reaalarv. Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete nimetusi liidetav +liidetav = summa; vähendatav - lahutatav = vahe; tegur · tegur = korrutis; jagatav : jagaja = jagatis. NB! Lahutamine on liitmise pöördtehe ning jagamise on korrutamise pöördtehe. Tehete järjekord keerulisema avaldise väärtuse arvutamisel: 1)Kui avaldises esinevad ka sulud, siis sooritatakse kõigepealt sulgudes olevad tehted; 2)Korrutatakse ja jagatakse avaldises antud
n2 = k2 Paremal pool on paarisarv, seega ka vasakul on paarisarv. n2 on paarisarv n on paarisarv. Murd pidi olema taandumatu, kuid selgus, et m ja n on paarisarvud. Seega murdu on võimalik taandada 2-ga. Saime vastuolu. Seega murdu pole. Et aga ratsionaalarvu saab alati avaldada taandatud murruna, siis 2 ei ole ratsionaalarv. 15. Reaalarvud. 1) Reaalarvude hulk on pidev. S.t arvtelje igale punktile vastab üks kindel reaalarv ning vastupidi. 2) Reaalarvude hulk on järjestatud. S.t iga kahe erineva reaalarvu a ja b korral kehtib üks väidetest : a < b või b > a 3) Omadused : a) a, b a+b=b+a liitmise kommutatiivsus b) a, b, c (a + b) + c = a + (b + c) liitmise assotsiatiivsus
· Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14 · Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 1.3 Arvuhulkade omadusi
ühesed või lahendid puuduvad. Võrduse liikmeid võib viia teisele poole võrdusmärki, kusjuures ülekantava liikme ees muudetakse märk vastupidiseks. Kui pärast võrrandi lihtsustamist on võrrandis oleva tundmatu kõrgeim aste üks, siis sellist võrrandit nimetatakse lineaarvõrrandiks. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis esitub kujul ax 2 bx c 0, kus a 0. a, b ja c on reaalarvud ja x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrandi lahendid diskriminandi kaudu. D b 2 4ac Kui D 0, siis võrrandil 2 erinevat lahendit. Kui D 0, siis võrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui D 0, siis võrrandil on kaks võrdset lahendit. Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb murru nimetajas. Murdvõrrandis tuleb kindlasti lisada tingimus, millega otsitav ei tohi võrduda, et ei tekiks nulliga jagamist.
annaabi.ee 
Kõik kommentaarid