muutuja suhtes. Eksponentfunktsiooni = , pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et > 0 ja 1. Kuna pöördfunktsiooni võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad kohad, siis funktsiooni = log + määramispiirkond ja väärtuste hulk on vastavalt = 0, ja = . = log + graafik on = , graafiku peegeldus sirge = suhtes. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktisoonid. Kuna trigonomeetrilised funktsioonid ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed, siis ei ole võimalik saada neile terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. Funktsiooni = 0 1 pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt AA AA AA
määrab valem v = 2 gh. 2 Siit saame kas v2 v = 2 gh või h= . 2g See valem annab lõppkiiruse v, mille See valem annab kõrguse keha omandab h, millelt keha peab kõrguselt h langedes. langema, et omandada lõppkiirus v. Funktsioonid v ja h on teineteise suhtes pöördfunktsioonid. 12 Näide 3 Leiame funktsiooni y = log(1 - x) pöördfunktsiooni. Esialgse funktsiooni määramispiirkond 1- x > 0 x <1 X = (-; 1) Esialgse funktsiooni muutumispiirkond Y = (-; + ) Pöördfunktsiooni arvutuseeskiri y = log(1 - x) 10 y = 1 - x x = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni x = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni määramispiirkond Y = (-; + ).
Näide Galilei seadus ütleb, et kõrguselt h vabalt langeva keha kiiruse v määrab valem v 2 = 2 gh. Siit saame v2 kas v = 2 gh või h= . 2g Esimene valem annab lõppkiiruse v, mille keha omandab kõrguselt h langedes. Teine valem annab kõrguse h, millelt keha peab langema, et omandada lõppkiirus v. Funktsioonid v ja h on teineteise suhtes pöördfunktsioonid. Pöördfunktsiooni näited (3) Näide. Leiame funktsiooni y = log(1 - x) pöördfunktsiooni. Lahendus Kuna funktsioonid z = 1 x ja y = log z on üksühesed funktsioonid, siis on seda ka liitfunktsioon y = log(1 - x) ja pöördfunktsioon on leitav. Funktsiooni y = log(1 - x) määramispiirkonnaks saame: 0 < 1 - x < + - < x < 1. Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Y = (-; + ).
vastavusse y-I, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Def. Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y= graafikut maksimaalselt ühes punktis. Seega on eksponentfunktsioon üksühene nint tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsioon y= pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x= , kus a on logaritmi alus, a>0 ja a1. Kehtivad seosed Määramispiirkond on (0,) ja Y= Def. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Funktsiooni y=sinx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x=arcsiny. Kehtivad seosed arcsin[sinx]=x ja sin[arvsiny]=y, neist esimene iga x korral. Funktsiooni y=cosx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskosinuseks ja tähistatakse x=arccosy. Kehtivad seosed arccos[cosx]=x ja cos[arccosy]=y, neist esimene iga x korral.
vastavusse y-I, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Def. Suvaline x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y= graafikut maksimaalselt ühes punktis. Seega on eksponentfunktsioon üksühene nint tal on olemas pöördfunktsioon. Eksponentfunktsioon y= pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x= , kus a on logaritmi alus, a>0 ja a1. Kehtivad seosed Määramispiirkond on (0,) ja Y= Def. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Funktsiooni y=sinx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x=arcsiny. Kehtivad seosed arcsin[sinx]=x ja sin[arvsiny]=y, neist esimene iga x korral. Funktsiooni y=cosx, x pöördfunktsiooni nimetatakse arkuskosinuseks ja tähistatakse x=arccosy. Kehtivad seosed arccos[cosx]=x ja cos[arccosy]=y, neist esimene iga x korral.
paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = graafikut maksimaalselt ühes punktis. Kuju: , kus a on logaritmi alus. Kehtivad seosed: ja . Kuna pöördfunktsiooni võtmisel vahetavad määramispiirkond ja väärtuste hulk kohad, siis f-ni määramispiirkond ja väärtuste hulk on vastavalt: X=(o,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev. Arkusfunktsioonid trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Trigonomeetrilised f-nid pole kogu oma määramispiirkonnas üksühesed ja nende pöördfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. y = sinx pole üksühene, tema X on kokkuleppeliselt [ ], selles piirkonnas on ta üksühene. Selle f-ni pöördfunktsioon on arkussiinus ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sinx] = x (x [] korral) ja sin[arcsin y] = y.
Funktsioon y=f(x) korraldab vastavuse hulkade X ja Y elementide vahel. Kui selline vastavus on üks-ühene, st kui kehtib tingimus ( ) ( ) , siis öeldakse et funktsioonil y=f(x) eksisteerib pöördfunktsioon f -1: ( ) Pöördfunktsiooni f -1 määramispiirkonnaks on funktsiooni f muutumispiirkond Y ning uutumispiirkonnaks määramispiirkond X. Kehtivad seosed: ( )] ja ( )] Näiteks y=x2 ja y= on üksteise pöördfunktsioonid ja nende graafikud on sümmeetrilised sirge y=x suhtes: 8. Defineerige liitfunktsioon. Kirjeldage näite varal, kuidas on defineeritud liitfunktsiooni ahelakuju. Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide kompositsiooniks nim. funktsiooni, mis saab kahe või enam funktsiooni järjesst rakendamisel. Kui y=f(u), kus u = g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Liitfunktsiooni y=f[g(x)] ahela kuju: y=f(u) u=g(x)
Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. log a y , kus a on logaritmi alus. See funktsioon on määratud, kui x > x= 0. m¨a¨aramispiikond ja v¨a¨artuste hulk on vastavalt X = (0, ∞) ja Y = R. Kui a > 1(graafik) Kui 0 < a < 1(graafik) Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Funktsiooni y = sinx pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [ −π π ; 2 2 ] . Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ [ −π π ; 2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] =
f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja maaramispiirkond. Kui x ja y6 vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.ä>0 a ei tohi olla X = (0,) ja Y = R. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] 5.Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama maaramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) maaramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) maaramispiirkonnaga Yg
ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x ; f[g(y)] = y
· Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y=x
suhtes
· Logaritmifunktsioon on eksponent funktsiooni y=a x pöördfunktsioon. x=logay
kus a on logaritmi alus. y=log ax määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R.
Graafik on juhtudel a>1 ja 0
üksühene. Funktsiooni f pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y Y seab vastavusse kõigi selliste x X hulga, mille korral kehtib võrdus f(x) = y. Logaritmfunktsioon . Eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. Määramispiirkond X = (0;) Väärtuste hulk Y=R Graafik Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on arkusfunktsioonid. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ; y = arctan x : X = R; Y = (- /2; /2) ; y = arccot x : X = R; Y = (0; ) 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa: y = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
g[f(x)] = x ; f[g(y)] = y
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised
sirge y=x suhtes
Logaritmifunktsioon on eksponent funktsiooni y=ax
pöördfunktsioon. x=logay kus a on logaritmi alus. y=logax
määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R. Graafik on juhtudel
a>1 ja 0
Põhiseosed Täiendusnurk,Negatiivne nurk Summa ja vahe Kahekordne nurk Märgid Siinusfunktsioon on I ja II perioodis positiivne, III ja IV perioodis negatiivne. Koosinusfunktsioon on I ja IV perioodis positiivne, II ja III perioodis negatiivne. Tangensfunktsioon on I ja III perioodis positiivne, II ja IV perioodis negatiivne. Üldvalemid Arkusfunktsioonid Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Arkusfunktsiooni väärtusteks on vähimad nurgad, mille väärtus on m. Arkussiinuse väärtused on -/2 ja /2 vahel. Arkuskoosinuse väärtused on 0 ja vahel. sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x 6. Joone võrrand Sirge võrrandid Sirge võrrandit saab koostada peamiselt kahel viisil: 1) Sirge võrrand tõusu ja ühe punktiga.
elemendile y B vastavusse selle elemendi x A, mille korral f (x) = y. St f -1(y) = x y = f (x). · Kui funktsioonide f : A B ja g : B A puhul gf = I ja fg = I , siis leidub f -1 ja f -1 = g. · Kui funktsioonil f : A B leidub pöördfunktsioon f -1, siis ka funktsioonil f -1 leidub pöördfunktsioon ja (f -1)-1 = f . · Kui funktsioonidel f : A B ja g : B C leiduvad pöördfunktsioonid, siis ka funktsioonil gf : A C leidub pöördfunktsioon ja (gf )-1 = f -1g-1. Hulga karakteristlik funktsioon Olgu X universaalne hulk. Hulga A X karakteristlikuks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni XA : X {0, 1}, kus XA(x)= 1, kui xA ; 0, kui x A. Lõpliku hulga võimsus on tema elementide arv. Lõpmatute hulkade võimsuste võrdlemiseks kasutatakse hulkade üksühese vastavuse mõistet. Ütleme, et hulgad A ja B on sama võimsusega, kui leidub bijektsioon f : A B
Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja määramispiirkond. Kui x ja y vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.a>0, a ei tohi olla 1. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-0.5;0.5] y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0;] y = arctan x : X = R, Y = [-0.5;0.5] y = arccot x : X =R, Y =[0;] +graafikud! 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama määramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis. Liitfunktsioon:Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y)
g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub üle sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud sümmeetrilised sirge y = x suhtes Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. (a > 0 ja a = 1). Funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,) ja Y = R. y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas 2 üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel.
lähtudes eksponentfunktsioonist (vt §1.3) näeme, et funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev (joonised 1.6 ja 1.7). Võrreldes graafikuid joonistel 1.4 - 1.7 näeme, et y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega: Arkusfunktsioonid: Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud: Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 5. Algebralised tehted funktsioonidega: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X
· Üksühese funktsiooni pöördunktsioon kujutis mis seab igale le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Üksühese funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikud on sümeetrilised sirge suhtes. · Logaritmfunktsioon eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon , kus a on logaritmi alus. ( ja ). Logaritmfunktsiooni graafik on eksptonentfunktsiooni graafiku peegeldus sirge suhtes. · Arkusfunktsioonid trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Kuna trigonomeetrilised funktsioonid pole terves oma määramispiirkonnas üksühesed siis ei ole võimalik saada neile terves oma määramispiirkonnas üksühest pöördfunktsiooni. Pöördfunktsiooni defineerime nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. 1. ja , neist esimene iga korral 2. ja , neist esimene iga korral 3. ja , neist esimene iga korral 4. ja , neist esimene iga korral
4a 3 4 b 3 x Ülesanne 6. Logaritmi avaldis 5c 4 Siit leiad veel midagi huvitavat logaritmi kohta. http://www.crjg.vil.ee/materjalid/kursus/logaritm.ppt LOGARITMFUNKTSIOON Funktsiooni y = logax nimetatakse logaritmfunktsiooniks. Logaritm ja eksponentfunktsioon on teineteise pöördfunktsioonid. Nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. Joonisel on kujutatud eksponentfunktsiooni y = e^x ja tema pöördfunktsiooni y = lnx graafikud. Uuri logaritmfunktsioonide omadusi nende graafikute põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/logaritmid1.pdf Saime teada, et logaritmfunktsiooni korral Elve Vutt ¿ 1) määramispiirkonnaks on vahemik ¿ 0 ; ¿
Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+ε), kus ε > 0. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,∞), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞,−M), kus M > 0. 2.Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. Pöördfunktsioonid. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Funktsioon - Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y = f(x) (x ∈ X). Määramispiirkond ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks.
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID x3 x5 x7 x9 arctan x = x + + arccot x = 2 arctan x 3 5 7 9 Hüperboolsed funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid ex ex ex ex ex + ex shx = thx = x cthx = 2 e + ex e x e x ex + ex 2 2 chx = schx = x csc hx = x 2 e +e x e e x Arshx = ln( x + x 2 +1) Archx = ±ln( x + x 2 1)
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID x3 x5 x7 x9 arctan x = x + + arccot x = 2 arctan x 3 5 7 9 Hüperboolsed funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid ex ex ex ex ex + ex shx = thx = x cthx = 2 e + ex e x e x ex + ex 2 2 chx = schx = x csc hx = x 2 e +e x e e x Arshx = ln( x + x 2 +1) Archx = ±ln( x + x 2 1)
1 + cos = 2 cos 2 2 1 - cos = 2sin 2 2 3.12 Korrutise teisendamine summaks 1 sin sin = cos ( - ) - cos ( + ) 2 1 cos cos = cos ( - ) + cos ( + ) 2 1 sin cos = sin ( - ) + sin ( + ) 2 tan + tan tan tan = cot + cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin ( arcsin m ) = m , kusjuures - arcsin m , 2 2 -1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m: cos ( arccos m ) = m ,
pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. · Funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes Logaritmfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = log a y, kus a on logaritmi alus. a > 0 ja ei võrdu 1. X = (0,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev. y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid. Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid. y = sinx, x [-/2,/2] x = arcsiny : X = [-1,1], Y = [- /2, /2] y = cosx, x [0,] x = arccosy : X = [-1,1], Y = [0,] y = tanx, x (-/2,/2) x = arctany : X = R, Y = (- /2 , /2 ) y = cotx, x (0,) x = arccoty : X = R, Y = (0,) Arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y = x. 5
sümmeetrilised sirge y = x suhtes · Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. (a > 0 ja a = 1 ei võrdu). Funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,) ja Y = R. y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. · Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral.
sümmeetrilised sirge y = x suhtes · Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. (a > 0 ja a = 1 ei võrdu). Funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,) ja Y = R. y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. · Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral.
sin sin cos cos 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 tan tan tan tan cot cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin arcsin m m , kusjuures arcsin m , 2 2 1 m 1 . 2
Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nim. paarisfunktsiooniks kui iga x X korral
kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nim. paarituks funktsiooniks kui iga x X korral kehtib
võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks kui
leidub konstant C > 0 nii et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist arvu C
nim. funktsiooni f perioodiks.
3. Monotoonsed funktsioonid. Pöördfunktsioonid
Funktsiooni f nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi
väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus ja kahanevaks kui igale suuremale argumendi
väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Seega kui x1
N äide: Tões tada, et funkts ioon f= 2x-3 on kas vav reaalarvude hulgal x1< x2 j äreldub et 2*x1-3< 2*x2-3 s eega f(x1)< f(x2). D ef: Olgu D f f un k ts ioon i f m ääram is p iirk on d ja S D f . Fu nk ts ioon i f n im etam e k ah an evak s p iirk on n as S p arajas ti s iis k u i k õigi x1, x2 S korral järeld u b x1< x2,- st et f(x1)>f (x2). Ü l: N äidata , et funkts ioon f= (x+ 2)/(x+ 1) on kahanev (- ,-1) ja (-1, ) 7. Bijektiivsed funktsioonid ja pöördfunktsioonid D ef. Olgu f: A->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b f(x)=f (y)-s t, et x=y . D ef. S am aväärs elt: Olgu f : A ->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b x y -st, et f(x) f(y). S ama sus funkts ioon on inj ektiivne definits iooni kohas elt. N 1: O lgu m> 1 pos itiivne täis arv, s iis funkts ioon h(n)= n mod m ei ole inj ektiivne .
· logaritmilised funktsioonid · eksponentsiaalsed funktsioonid · jt funktsioonid · Näiteks leiame ruutjuure 81st ruutjuure leidmine 1. Objekti Math meetodid · Math.abs(a) - absoluutväärtus · trigonomeetrilised pöördfunktsioonid; tulemus radiaanides o Math.acos(a) o Math.asin(a) o Math.atan(a) · Math.ceil(a) - vähim täisarv, mis on argumendist suurem või võrdne · siinus, koosinus või tangens, sulemus radiaanides o Math.cos(a) o Math.sin(a) o Math.tan(a) · Math.exp(a) - naturaallogaritm · Math
N äide: Tões tada, et funkts ioon f= 2x-3 on kas vav reaalarvude hulgal x1< x2 j äreldub et 2*x1-3< 2*x2-3 s eega f(x1)< f(x2). D ef: Olgu D f f un k ts ioon i f m ääram is p iirk on d ja S D f . Fu nk ts ioon i f n im etam e k ah an evak s p iirk on n as S p arajas ti s iis k u i k õigi x1, x2 S korral järeld u b x1< x2,- st et f(x1)>f (x2). Ü l: N äidata , et funkts ioon f= (x+ 2)/(x+ 1) on kahanev (- ,-1) ja (-1, ) 7. Bijektiivsed funktsioonid ja pöördfunktsioonid D ef. Olgu f: A->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b f(x)=f (y)-s t, et x=y . D ef. S am aväärs elt: Olgu f : A ->B fu nk ts ioon . S ed a f un k ts ioon i n im etam e in jek tiivs ek s k u i k õigi x,y A k orral järeld u b x y -st, et f(x) f(y). S ama sus funkts ioon on inj ektiivne definits iooni kohas elt. N 1: O lgu m> 1 pos itiivne täis arv, s iis funkts ioon h(n)= n mod m ei ole inj ektiivne .
selle funktsiooni graafik peegeldub üle sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud sümmeetrilised sirge y = x suhtes Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. (a > 0 ja a = 1). Funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,) ja Y = R. y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral.
kaudu ja ilma nendeta saab väga hästi hakkama. Mõnikord on nad siiski abiks. (Allikas: http://www.theopencurriculum.org/articles/trigonometry/) (Allikas: http://www.theopencurriculum.org/articles/trigonometry/) (Allikas: http://www.theopencurriculum.org/articles/trigonometry/) · Arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x on vastavate trigonomeetriliste funktsioonide y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x pöördfunktsioonid (sobivas osalõigus). 33 PEATÜKK 3. FUNKTSIOONID JA JADAD Arkustangens arctan : R - 2 , 2 on paaritu, üksühene pealekujutus. Arkuskootangens arccot : R (0, ) on üksühene pealekujutus. Arkusseekans arcsec : R (-1, 1) [0, ] 2 on üksühene pealekujutus.
DEF: Osaliselt rekursiivsed funktsioonid on konstrueeritavad elementaarfunktsioonidest superpositsiooni-, rekursiooni- ja minimeerimisoperaatori abil. DEF: Kõikjal määratud rekursiivseid funktsioone nimetatakse täisrekursiivseteks funktsioonideks. 20 Cantori funktsioonid. Arvutatava funktsiooni ühekohalised esindajad. Cantori funktsioon (kahekohaline) seab igale naturaalarvude paarile vastavusse tema koodi: c(x,y) = 0,5(x +y)(x+y+1)+x. Leiduvad ka pöördfunktsioonid koodile vastava naturaalarvu leidmiseks. l(c(x, y)) = x; r(c(x, y)) = y c3(x,y,z) = c(x,c(y,z)) cm(x1,x2,...,xm) = c(x1,cm−1(x2,...,xm)) Funktsioonid cm,c1m,c2m,...,cmm on lihtrekursiivsed. Cantori numbreid kasutatakse registermasina käskude kodeerimiseks. Ülejäänud saab neist käskudest tuletada. käsu kuhu
-teljega paralleelne, ei oskagi ju tõusu vastavusse seada. Tõuseb ta lõpmatult kii- resti ülespoole või allapoole? 216 proportsioonid ja kolmnurgad Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid Mitmel pool õpikus tulevad esile pöördfunktsioonid. Lühidalt rääkisime neist juba funktsioonide peatükis [lk 68], kus täheldasime, et pöördfunktsioonid rahuldavad järgmist seost: . Teisisõnu, ühe funktsiooni pöördfunktsioon nullistab täpselt tema efekti ning annab tagasi algse väärtuse. Näiteks võiks öelda, et kolme liitmise pöördfunktsioon on kolme lahutamine. Hil- jem näeme, et eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon
. . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Elementaarfunktsioonid, nende pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon . . . . . . . 68 3.4.2 Eksponentfunktsioon y = ax , kus x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 Logaritm- ja astmefunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.4 Trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid . . . . . 74 3.5 Ühtlaselt pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.1 Ühtlase pidevuse mõiste. Cantori teoreem . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.2 Lipschitzi funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.3 Ühtlase pidevuse kirjeldamine jadade abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5
-1 -1 eksisteerib f ja f =g . -1 -1 Järeldus: Kui f : X Y -1 on pööratav, siis ka f :Y X on pööratav ja (f ) =f . Teoreem Kui funktsioonidel f :X Y ja g :Y Z leiduvad pöördfunktsioonid, siis ka funktsioonil gf : XZ -1 -1 -1 leidub pöördfunktsioon ja ( g f ) =f g . TÕESTUS Kuna funktsioonid f ja g on pööratavad ehk bijektiivsed, siis ka gf on bijektiivne ehk pööratav. Näitame nüüd, et (g f )-1=f -1 g-1 . Eelmise teoreemi põhjal piisab näidata, et (g f ) (f -1 g-1 )=I -1 -1 ja (f g )( g f )=I .
sega (angtos nurk kirjapilt täpsus). Kirjapildi ja täpsuse kohta kehtib peaaegu sama, mis funktsiooni rtos korral (vt. ülalpool, kirjapildi väärtuseks võetakse enamasti 0, so. kraadid). Negatiivne nurk teisendatakse võrdväärseks positiivseks. Näiteks (angtos 0.785398) annab tulemuseks "45" (angtos 0.785398) annab tulemuseks "315" Lausega (angtof sõne kirjapilt) tehakse eelmise teisenduse angtos pöördteisendust (nad ongi teineteise pöördfunktsioonid ühe funktsiooni väärtus sobib teise funktsiooni argu- mendiks). Kirjapildi argument ei ole siingi kohustuslik. Kui teisendus ei osutu võimalikuks, saadakse väärtuseks nil. Avaldise väärtust saab kanda käsureale lausega (princ avaldis). Avaldisena võib siin figureerida nii sõne- kui aritmeetiline avaldis. Praktikas kasutatakse lauset vaid protseduuri koosseisus. Märgime, et protseduuri viimase lausena on kasulik kirjutada parameetrita lause
annaabi.ee 
