Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatilise analüüsi kollokvium nr.1". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
koonduv, fourier, koonduvuseisendus, koonduva, integraal, võrratus, arvrida, arvrea, hajuveisenduse, koonduvusraadius, arccos, piirväärtus, astmerida, kusjuures, reaks, funktsionaalrida, koonduvusraadiuse, siinus, lõpmatu, summaks, koonduvad, muutuja, ruuduga, polünoomid, diskreetse, arvridade, lõpmatusingimisi, reaga, parajasti, koonduvuseContents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4
korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.5 Dedekindi lõiked . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Võrratused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.1 Aritmeetiliste keskmiste ja geomeetriliste keskmiste võrdlemine . . . . . . . . 27 1.6.2 Hölderi ja Minkowski võrratus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Arvjadad 30 2.1 Koonduvad jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Koonduvate jadade üldised omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1
Kahekordse 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ cosφ punktil leidub niisugune ümbrus Uε (x2,y2), et iga P(x, y) ∈ Uε(x2, y2) on f(x, y) > f(x1, y1). Näide 1. Definitsioon 2 järgi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y2 punktis P0(0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 ja mis tahes integraali omadused: Omadus 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdne nende 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ sinφ punktist P0 erineva punkti P(x, y) korral f(x, y) = x2 + y2 > 0.Näide 2. Funktsioonil z = x2 − y2 ei ole punktis P0(0; 0) funktsioonide kahekordsete integraalide summaga ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠ψ
D D D Adatiivsus: kui D = D1 D2 ; D1 , D2 ei oma ühiseid sisepunkte, siis f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dxdy + f ( x, y)dxdy D D1 D2 Monotoonsus: kui f(x,y) g(x,y) igas piirkonna D punktis, siis f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy D D Kui funktsioon on positiivne, on ka integraal positiivne: f(x,y) 0 , P( x, y ) D f ( x, y )dxdy 0 D Kahekordse integraali geomeetriline tõlgendus Antud kahe muutuja funktsioon w=f(x,y), integreeruv piikonnas D. Def: funk. on pos vaadeldavas piikonnas, siis keha, mis on piiratud pealt antud funktsiooni graafikuga, alt selle piirkonnaga D ja silindriga, mille moodustajad on paral w teljega ja juhtjooneks on piikonna D rajajoon, niisugust keha nim. kõversilindriks.
Def. M-muutuja funktsiooni f graafikuks nimetatakse hulka { ( f ) = ( x1 ,..., x m , z ) R m +1 : ( x1 ,..., x m ) R m , z = f ( x1 ,..., x m ) . } 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus Olgu antud funktsioon z = f (P ) = f (x1 ,..., x m ) P D ja punkt A D D . Def. Arvu nimetatakse funktsiooni z = f (P ) piirväärtuseks punktis A , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv ( ) > 0 nii, et kehtib võrratus f (P ) - < alati kui 0 < d (P, A) < . Kirjutame: lim f (P ) = või lim f (x1 ,..., x m ) = või f (P ) kui P A P A x1 ,..., xm a1 ,..., am 4. Mitme muutuja funktsiooni pidevus Olgu antud funktsioon z = f (P ) P D R m ja punkt A D D . Def
kui a,b € R ja a < b, siis leidub selline irratsionaalarv p, et a < p < b 2. Tõkestatud alamhulgad. Hulga ülemine ja alumina raja (*) Tõkestatud alamhulgad hulgas R. Öeldakse, et alamhulk X ⊂ R on ülalt tõkestatud, kui leidub selline M ∈ R, et võrratus x ≤ M kehtib iga x ∈ X korral. Arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks. Analoogiliselt nimetatakse hulka X ⊂ R alt tõkestatuks, kui leidub m ∈ R, et iga x ∈ X korral kehtib võrratus x ≥ m. Arvu m nimetatakse siis hulga X alumiseks tõkkeks. Öeldakse, et hulk X on tõkestatud, kui ta on nii ülalt kui ka alt tõkestatud. Näited tõkestatud ja tõkestamata hulkadest: Kõigi reaalarvude hulk on tõkestamata hulk Hulk X = (1,5] on tõkestatud hulk, inf X = 1, sup X =max X = 5, minimaalset elementi vaadeldavas hulgas ei eksisteeri. Kõigi naturaalarvude hulk X = N on alt tõkestatud, ei ole ülalt tõkestatud; min X = inf X = 1, sup X = lõpmatus.
kaldasümptoodiks. Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. 31. Mis on antud funktsiooni y=f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F'(x) = f(x) iga x A korral. Kui F(x) on f(x) algfunktsioon, siis on seda ka F(x) + c iga c R korral. 32. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal? Avaldist F(x) +c, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f(x)dx. (c-integreerimiskonstant). 33. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 34. Defineerida määratud integraal. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsoon y=F(x) lõigus {a,b}, siis nimetatakse vahet F(b) F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks
Üleminek polaarkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Kasutada siis, kui piirkond D on ringjoon x=r∗cosθ , y=r∗sinθ , r2=x2+y2 18.Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? Lineaarsus Adiktiivsus. Kui piirkond V on jaotatud kaheks piirkonnaks V1 ja V2, millel pole ühiseid seesmiseid punkte Monotoonsus. kui f on suurem kui g igas piirkonna V punktis Kõigepealt sisemine integraal, siis keksmine ja siis välimine 19.Üleminek silinderkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Üleminek, kui tegemist on silindri ruumala leidmisega x=ρ∗cosφ , y=ρ∗sinφ, z=z 20.Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, üleminekuvalemid) Kui tegemist on sfääri(kera) ruumala leidmisega x=r∗cosφ∗sinθ , y=r∗sinφ∗sinθ , z=r∗cosθ 21.Kolmekordse integraali rakendusi Kujundi ruumala leidmine
Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. TEOORIAKÜSIMUSED nr 6 1. Mis on antud funktsiooni y=f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kuid F´(x)=f(x) iga x e A korral. 2. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal? Avaldist F(x)+c, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja c e R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul: konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 4. Defineerida määratud integraal. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon F(x) lõigus [a;b] siis nimetatakse vahet F(b) - F(a) selle funktsiooni määratud integraaliks rajades a-st b-ni ja tähistatakse: 5
keha Q ruumalaga V. Üks võimalus on eelnevates teadmistest saadud valem V = (x,y)dxdy Järgnevalt käsitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme keha Q, mis on alt pinnaga z= 1(x,y) ja ülalt pinnaga z= 2(x,y). Olgu Q projektsioon xy-tasandil tähistatud D-ga. Meid huvitab Q ruumala. Näitame, et V saab esitada 1 ja 2 vahe integraalina, st V= [ 2(x,y) 2(x,y)] dxdy D 8. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordne integraal (x,y)dxdy ja kaks funktsiooni u= u(x,y) ja v=v(x,y), mis on määratud piirkonnas D. Eesmärgiks on sooritada muutuja vahetus, mille tulemusl asendatakse x ja y u ja v-ga. Kuna funktsioonid u ja v on ühesed kujutsied, siis seavad nad igale punktile P=(x,y) hulgastt D vastavusse ühe kindla punkti P'=(u,v) uv-tasandil. Kui P jookseb läbi kogu piirkonna D siis, siis kujutuspilt P' kujundav uv-tasandi teatud piirkonna D'. Et kehiks
Näide. Leiame 2 n 2 (3 + ) 3n 2 + 2n n = 3. lim = lim n n 2 + 5 n 2 5 n (1 + 2 ) n 2. Arvread 2.1. Arvrea koonduvus ja hajuvus. Olgu antud arvjada (un). Avaldist u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse arvreaks (ka lihtsalt reaks). Arve un nimetatakse rea (1) liikmeteks. Järgnevas täpsustame,mida mõista sellise summa all. Definitsioon 14. Arvrea (1) osasummaks nimetatakse summat
12 4 .10 wk 12 2 .10 pi 0 0 50 100 150 k , i+ 100 28. On antud , , . Teostada arvuti abil lineaarne interpolatsioon ja kuupsplaininterpolatsioon! vt osa 7 punkt 1.15.1 lk 53 OSA 4 1. Mis on jada, arvrida? Esitage 2 näidet! Argumendi n väärtuste kasvamise järgi järjestatud funktsiooni f(n) väärtusi f(1), f(2), f(3),....,f(n),... nimetatakse jadaks. Jada elementidest koostatud avaldist f(1)+f(2)+f(3)+....+f(n)+... nimetatakse arvreaks. Näited: n- 1 n- 1 1. Olgu n:=1,2..20. Naturaalarvulise argumendiga n funktsiooni ( -1) väärtused yn:= ( -1) moodustavad lõpliku jada
Paaritu funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x). Perioodiline funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T ≠ 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f (x1) < f(x2). Kahanev funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x 1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). Monotoonne funktsioon - funktsioon, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1
Funktsiooni piirväärtuse omadused: kahe funktsiooni summa*, vahe, korrutise ja jagatise piirväärtus. lim x a f (x) = A definitsioon: Olgu antud funktsioon y = f ( x ) , x X . Olgu punkt a piirkonna X kuhjumispunkt, s.o. punkt, mille igas ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt. Seega: Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) - A < , alati kui 0 < x -a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = A xa ehk f ( x ) A , kui x a või lim f ( x ) = A , kui x a. lim x a f (x) = ± definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu N > 0 korral leidub selline arv > 0 , et kehtib võrratus
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [m, ) .
t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkonnas si. Tähistame osapiirkondade si maksimaalset läbimõõtu sümboliga , s.t. Piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga Piirkonda D nim. integreerimispiirkonnaks. Kui f(x,y)0 piirkonnas D, siis kahekordne integraal tähendab geomeetriliselt niisugust kõversilindri ruumala, mis alt on piiratud xy- tasandi piirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) graafikuks oleva pinnaga ja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse integraali omadusi: 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdse nende funktsioonide kahekordsete integraalide summaga: 2. Kui c on konstant, siis: 3
Need on
lokaalsed ekstreemumpunktid.
Funktsiooni z=f(x,y) statsionaarseks punktiks nim punkti, mille
koordinaadid rahuldavad võrrandisüsteemi f `x(x,y)=0 ja f `y(x,y)=0.
See on diferentseeruva funktsiooni ekstreemumpunkti olemasolu
tarvilik tingimus.
Kahemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis P1 lokaalne maksimum kui
1. funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,)
2. iga PU(P1,), PP1 kehtib võrratus f(P)
Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. Teooriaküsimused nr. 6 1. Mis on antud funktsiooni y = f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kuid F´(x)=f(x) iga x e A korral. 2. Mis on antud funktsiooni y = f(x) määramata integraal? Avaldist F(x)+c, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja c e R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul: fx(dx) konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 1) (f(x)dx)'= f(x) 2) (f(x)± g(x))dx = f(x)dx± g(x)dx 3) af (x)dx = af (x)dx 4. Defineerida määratud integral. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon F(x) lõigus [a;b] siis nimetatakse vahet F(b) -
piirväärtus on . 3. Iga koonduv jada on tõkestatud. 2. ¿ a∨≥ a Tõkestatud: leidub arv M>0 , et iga 4
Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid- Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond,
Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on f(x)/g(x), kusjuures mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f(x1) < f(x2). 1. Naidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 aksioome) || f ||∞ := sup x∈X | f(x)|. ∈X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused.
30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine
y = f (x) (x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f -1 (y ) , mis igale arvule y Y = f (X )
seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x).
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekasvav või
mittekahanev.
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või
kahanev.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 X korral, mis rahuldavad võrratust
x1
nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste. kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav. a rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn| arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| <
tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist järku tingimusteks (ingl. second order conditions), eristamaks neid esimest järku tarvilikest tingimustest. Globaalsed ekstreemumid o u u x, y, z,... x, y, z,... D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal Olgu antud funktsioon P0 D globaalne miinimum, kui P D korral kehtib võrratus f P0 f P . Tähistus: min u u P0 A .Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D globaalne maksimum, kui P D korral kehtib võrratus f P0 f P . Tähistus: max u u P0 A . Globaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Globaalne ekstreemum võib olla ainult kriitilises punktis või rajapunktis. o Funktsiooni
iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. α
tähistatakse järgmiselt: x → ∞ või lim x = ∞ Muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞, −M), st rahuldavad võrratust x < −M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x → −∞ või lim x = −∞ . 7. Defineerida reaalarvude jada piirväärtus. Milline jada on koonduv ja milline jada on hajuv? (lk 4) Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn → a või lim xn = a 8. Defineerida funktsiooni piirväärtus. (lk 5)
Taylori valem. Taylori valemi ja¨ akliige. ¨ Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. ~ Joone kumerus ja nogusus. Ka¨ anupunktid. ¨ Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 4 / 25 Integraalarvutus Ma¨ aramata ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aramata ¨ integraalide tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete
max ∆ xi → 0 max ∆ xi →0 i i Määramata integraal on lineaarne operaator, st ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide ξi valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud b
. . . . . . . . . . 62 6.3 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4 Funktsiooni ekstreemumid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.6 Funktsiooni graafiku joonestamine * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7 Algfunktsioon ja määramata integraal 69 7.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
