On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos f ( x; y )dxdy = f ( cos; sin ) dd y = sin D
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust.
6. Täisdiferentsiaali rakendusi ligikaudsetes arvutustes (NB! Olen kasutanud sümblit ¤ delta asemel ja b osatuletise tagurpidi d asemel) Olgu funktsioon z=f(x,y) punktis (x,y) diferentseeruv. Leiame selle täismuudu: ¤z=f(x+¤x,y+¤y)- -f(x,y), millest f(x+¤x,y+¤y)=f(x,y)+¤z Teame, et ¤z~dz, kus dz=(bf/bx)*¤x+(bf/by)*¤y Saame ligikaudse valemi: f(x+¤x,y+¤y)~f(x,y)+(bf(x,y)/bx)*¤x+(bf(x,y)/by)*¤y Antud valemit saabki kasutada ligikaudses arvutamises. 7. Liitfunktsiooni tuletis (Monsa vastab) 8. Ilmutamata funktsiooni tuletis Kui funktsioon y=f(x) on antud ilmutamata kujul, F(x,y)=0 ja P(x,y) on selle võrrandiga esitatud joone punkt ja funktsioon F on diferentseeruv punktis P ja selles punktis Fy0, siis dy/dx= -(Fx(x,y)/Fy(x,y)) Teoreem ilmutamata funktsioonist tõestusega Olgu ühemuutuja funktsioon y=f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Eeldame, et tuletis f'(x) eksisteerib punktis x=a ja osatuletised Fx'(P) ja Fy'(P) eksisteerivad punktis P(a,f(a))
Tähistame = x + y Siis 0 x 0 ja y 0.Tingimusest saame kahe muutuja pidevuseks f(x+ x) = f(x) + fxj(x+ x) xj punktis P0(x0 , y0) tarviliku ja piisava tingimuse lim z = 0.Vektorite ~u = (u1; u2; : : : ; um) ja ~v = (v1; v2; : : : ; vm) 0 skalaarkorrutiseks nimetatakse summat ~u * ~v = u1v1 + u2v2 + : : : + umvm : Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. Leiame funktsiooni f(x) tuletise punktis a vektori s suunas. Vektori s suunaline ühikvektor on kujul n := s / s2 = (cos , ... , cos
2. Määratud integraali põhiomadused. b n f ( x)dx = lim f (k )xk a 0 k =1 b b b 1) [ f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx a a a 2) konstandi saab tuua integraali ette, sellest järeldub et ka lahutamistehe sarnaselt liitmisega ekisteerib 3) kui f(x)>=0 [a;b] siis on ka integraal rajades a'st b'ni f(x)'ist >= 0'iga. Järeldus: kui f(x)<=g(x) lõigul [a,b], siis sama võrdus kehtib ka integraalide puhul. (tõestada geomeetrilise näite põhjal) b b 4) f ( x)dx f ( x) dx a a 5) kui vahetada rajad integraalis, siis tuleb miinus märk ette. Tõestada geom. näite põhjal b c b 6) f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx - c ei pea olema a ja b vahel
. . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2
Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas.
normaaliks punktis Q 0 . Näide 10. Leida puutujatasand ja normaal pinnale z xy x y punktis Q 0 1, 1, 3 . Leiame osatuletised z x y 1, z y x 1; z x 1, 1 2, z y 1, 1 2 Seega puutujatasand punktis Q 0 2x 2y z d 0 2 1 2 1 3 d 0 d 1 2x 2y z 1 0 Normaal on siis n 2, 2, 1 . 1.2 Määratud integraal ja selle rakendusi Määratud integraaliks nimetati integraalsummade piirväärtust b f x dx lim xi 0 f i xi a Newton-Leibnizi valem lubab määratut integraali arvutada määramata integraali f x dx F x C abil järgmiselt b b f x dx Fb Fa Fx a . a
mx P Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const P Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 P Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades P( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = P ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )
mx S Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const S Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 S Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades S ' ( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = S ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )
Tallinna Tehnikaülikool Referaat Määratud integraali ligikaudne arvugtamine trapetsi valemiga. Veahinnangud. Näited. Tatjana Kruglova 142442IAPB Sisukord Määratud integraal.................................................................................................................................3 Pindfunktsioon ning selle tuletis........................................................................................................3 Kõverjoonelise trapetsi pindala..........................................................................................................4 Määratud integraali mõiste................................................................................................................5 Definitsioon 1..................................................................................
32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II
muutujale muudu xi ja jättes ülejäänud muutujad konstantseks. u = f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x n ) - f ( x1 ,..., xi -1 , xi , xi +1 ,..., x n ) Def. 3.1. Funktsiooni z = f ( x, y ) osatuletist x järgi nimetatakse funktsiooni tuletist tingimusel, et y = const . z z f ( x + x , y ) - f ( x, y ) (3.1) = z x = lim x = lim x x 0 x x 0 x Selle funktsiooni osatuletiseks y järgi on tuletis z yz f ( x, y + y ) - f ( x, y ) (3.2) = z y = lim = lim y y 0 y y 0 y n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osatuletiseks x k suhtes on tuletis tingimusel, et kõik muutujad on konstantsed, välja arvatud x k . z z = lim k (3.3) x k x k 0 x k k = 1,2,..., n z
*Järeldus x0->x0+ x=> y=f(x0+ x)-f(x0)=>f-ni muut x->0 y->0 *Märkus1 põhilised elementaarf-nid on oma määramispiirkonnas pidevad *Märkus2 u,v ->pidevad f-nid =>u ± v, u*v, u/v(v 0), u(v(x)) pidevad *Katkevuspunktid: Def. Kui mõni pidevuse f-ni tingimustest ei ole täidetud, siis f-n katkev 1) I liiki katkevuspunkt: f(x0)= (x0 MP) (joonis) 2) II liiki katkemispunkt limx->x0-f(x) =A1, limx->x0+f(x)=A2 =>A1 A2(joonis) 12. F-ni tuletis, füüs ja geom. Tõlgendus *ühtlane sirgjooneline liikumine t=t2-t1; s=s2-s1(joonis); vk = s/ t-> hetkkiirust: t->0 =>v=lim t->0 s/ t isel meh. Liikumise hetkkiirust: Newton(1642-1727) ja Leibniz(1646-1716) *DEF f-n punktis x diferentseerunud parajasti siis, kui tuletis selles punktis on olemas (ainsas punktis, v. piirkonnas D). Tuletise leidmise protsessi me nimetame diferentseerimiseks: Lim x->0 y/ x=y' *Märkus: vajadusel võib leida ka
Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) =
Valime piirkonnas D suvalise osapiirkonna S. Olgu S mass mS ning pindala S. Suhet S= mS/S nimetatakse aine keskmiseks pindtiheduseks osapiirkonnas S. Võtame Si peal konkreetse punkti P. Vaatleme piirprotsessi, kus S kahaneb punktiks P. ( P ) = lim S - aine pindtihedus S 0 punktis P Jagame piirkonna D n osapiirkonnaks Si, kus i=1,2,...,n. Olgu Si pindala Si ja PiSi (P)(Pi), kui PSi mSi=(Pi)Si Piirkonna D ligikaudne mass n mn = ( Pi )Si i =1 Olgu di Si diameeter ja n=max{d1, d2,...,dn}, siis funktsiooni (P) kus Vi on hulga V tükeldamisel n osahulgaks V1, V2,..., Vn saadud f ( x, y, z )dxdydz =
Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2)<0, x1 , x 2 [a, b] . Siis leidub niisugune x3 ]x1 , x 2 [ , et f ( x 3 ) = 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 9 Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. Olgu antud funktsioon y = f (x) Anname argumendile x muudu x Siis funktsioon saab vastava muudu y = f ( x + x ) - f (x) Definitsioon 1 Funktsiooni y = f ( x) tuletiseks nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x) y ' = lim = lim x 0 x x 0 x y
Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2)<0, x1 , x 2 [a, b] . Siis leidub niisugune x3 ]x1 , x 2 [ , et f ( x 3 ) = 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 9 Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. Olgu antud funktsioon y = f (x) Anname argumendile x muudu x Siis funktsioon saab vastava muudu y = f ( x + x ) - f (x) Definitsioon 1 Funktsiooni y = f ( x) tuletiseks nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x) y ' = lim = lim x 0 x x 0 x y
1 lim 1 + = e = 2, 7182... , x x sin x lim = 1 sin x : x , kui x 0 . x0 x Funktsiooni nimetatakse pidevaks kohal a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . x a Funktsiooni nimetatakse pidevaks mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. 32 4.5 Funktsiooni tuletis Funktsiooni y = f ( x ) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. dy Funktsiooni tuletise tähised on y , f ( x ) , , yx . Seega dx y y = lim .
Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1).
Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et 27Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata
Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tallinna Tehnikaülikool Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused..........................
z = f ( x, y ) Pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = b lõikejoon on x := . y = b Joon x ja tema puutuja asuvad tasandil y = b ja punktis A võetud puutuja tõus on funktsiooni f ( x, b ) - f (a, b ) z = f ( x, b ) tuletis punktis a , kuid seejuures f ( x, b ) = f x (a, b ) = lim . x =a x 0 x Seega f x (a, b ) on joone x punktis A võetud puutuja tõus tasandil y = b . 3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal 47 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Tuletise definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . .
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja teine liidetav β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus ∆x suhtes. Järelikult väikese ∆x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem ∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C − konstant, 5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2
Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3
4 Näide. Leiame sirge võrrandi, kui sirge tõusunurk on 45° ja sirge läbib punkti A(3; 4). k tan 45 1 ja b = 4, seega sirge võrrand on y = x + 4. © Allar Veelmaa 2014 27 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHE PUNKTIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND Sirge läbib punkte A(x1; y1) ja B(x2; y2) ning punkt P(x; y) on sirge suvaline punkt. Kuna punktid A, B ja P asuvad ühel ja samal sirgel, siis on vektorid AB ja AP kollineaarsed vektorid ning kehtib võrdus x x1 x x1 2 y y1 y2 y1 See on kahe punktiga määratud sirge võrrand. Näide. Leiame sirge võrrandi, kui A(–3; –5) ja B(4; 3). Asendame punktide koordinaadid sirge võrrandisse x (3) 4 (3) x 3 7 ehk ,
1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
