otsustusest või otsustuse hulgast ning neile ja mingitele reeglitele tuginedes jõutakse uue otsustuseni. Arutluse ehk järeldamise tulemusena saadud otsustust nimetatakse järelduseks (ik conclusion) ehk tuletiseks ning lähteotsustusi eeldusteks (ik premises). Arutlus väljendub keeles lausete hulgana. Klassikalises loogikas käsitletakse arutlust kui propositsioonide hulka või ka kui väidete hulka. Üks neist on järeldus, ülejäänud on eeldused. Tuletis järgneb eeldustest paratamatult (ik necessarily). Et rõhutada tuletise paratamatut iseloomu, alustatakse tema sõnastamist väljendiga järelikult, siit järeldub või sellepärast jt. Neid väljendeid nimetatakse eelduse ja tuletuse seoseks. Loogika ülesandeks on seaduste ja printsiipide formaliseerimine, millest kinnipidamine on paratamatu, kui soovime saada tõestest eeldustest tõese järelduse.
LOOGIKA KONSPEKT EKSAMIKS (autor – mis iganes, kas tead teda või mitte, ei vastuta selles materjalis sisalduva informatsiooni (eba)õigsuse eest; palun ärge solvuge ega süüdistage) 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. ! D1.2. Samasusseadus Ühes ja samas arutluses, ühes ja samas suhtes peab iga termin või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus
LOOGIKA KONSPEKT EKSAMIKS (autor mis iganes, kas tead teda või mitte, ei vastuta selles materjalis sisalduva informatsiooni (eba)õigsuse eest; palun ärge solvuge ega süüdistage) 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. ! D1.2. Samasusseadus Ühes ja samas arutluses, ühes ja samas suhtes peab iga termin või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus
SEMANTILINE KOLMNURK: TEEMA 1!! 1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tšcnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: • sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; • mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; • teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma mõtteid väljendada;
1.LOOGIKA AINE JA PÕHIREEGLID Ratsionaalne mõtlemine- järjekindel ja reeglipärane mõisteline mõtlemine, kusjuures reeglid peavad olema mingil viisil õigustatud. Need võivad tugineda nt kogemuse üldisusele, mille allikaks peetakse tihti tegelikkust. Ratsionaalse mõtlemise eesmärk- tegelikkusega kohanemine. LOOGIKA UURIMISVALDKOND ongi peamiselt ratsionaalse mõtlemise seaduspärasused ja mõtlemise aktide produktid. Irratsionaalne mõtlemine- ebakindel, reeglipäratu või järgib väljendamatuid või vaieldavaid reegleid. Ei kuulu otseselt loogika uurimisvaldkonda, kuid selle olemasoluga tuleb arvestada. Võib tugineda mõtleja sisemistele ajenditele, nt soovidele või hirmudele, sageli neid ajendeid ei teadvustata. Mõnikord on mõtlemise aluseks irratsionaalne soov või usk, aga arutluskäigud
1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tscnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: · sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; · mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; · teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida
1 reegel Dfd=Dfn (definitsioon peab olema tasakaalus, st defineeriv pole liiga suur defineeri tava jaoks) 2 reegel Idem per idem seesama sellesama kaudu (tõlk). Defineeritavas ei tohi esineda defineerivat. Maailmas elab 7 miljardit inimest. Hiinlane- on rahvus, kelle esindajaks on olnud Konfutsius. Hiinlane on rahvus, keda maakeral on kõige enam. Jaapanlane- on rahvus, kelle riigis on Eesti sumomaadleja Baruto. 3 reegel! Definitsioond ei tohi olla eitav, väljaarvatud juhul, mil defineeritav on eitavas vormis. Ei tohi olla eitavas vormis, kuna eitavalt edastatakse vähe informatsiooni. Eitavas vormis varjatakse sisu, ei edastata tunnuseid. Võõramaalane/mittekodanik- (on eitav mõiste) isik, kel puudub antud riigi kodakondsus. Punkt on matemaatiline suurus, millel puuduvad mõõtmed (Eukleides). Vale, kuna sees on eitus. 4 reegel Lgrotum per iqnotius ei tohi olla definitsioon, mis on tundmatu tundmatu kaudu (tõlk) -
3. OTSUSTUSÕPETUS Otsustus on mõtlemise vorm (mõte), millel on teatud kindel tõeväärtus. Tõeväärtus näitab otsustuse (mõtte) kehtivust või mittekehtivust. Keeleteaduslikult otsustus on lause. Kuid kõik laused ei ole otsustused. Nimelt, küsilause, käsulause, hüüdlause - need laused ei ole otsustused, kuna neil puudub tõeväärtus. Näiteks, mis päev on täna, tulge appi, sõida seenele - on laused, kuid ei ole otsustused, sest ei ole võimalik arutleda nende tõeväärtuse üle. Terminoloogiast. Eestikeelses loogikaalases kirjanduses on sõna "otsustus" kasutusele võetud 1924.a. V.Thselpanovi loogikaõpikus. Tõsi, sõna-sõnalises tõlkes peaks see olema
· seletada olemasolevaid teadmisi; · saada uusi teadmisi olemasolevate põhjal. Ratsionaalne mõtlemine on järjekindel ja reeglipärane (ehk loogiline) mõtlemine. See võib olla korrigeeritud kogemusega, mille allikaks peetakse tegelikkust. Eesmärgiks on sageli tegelikkusega kohanemine. Irratsionaalne mõtlemine võib olla nt · preloogiline (müüdiline) · superloogiline (müstiline). Ratsionaalse mõtlemise seaduspärasusi ja vorme uurib loogika. Kreekakeelse sõna lÒgoj (logos) tähendusi: üleslugemine, arveteõiendus, õigustamine, suhe, proportsioon seletamine, tõestamine, mõistus, aruanne, esitlemine, (tõsi)lugu, lausung, sõna, väljend; õpetus; filosoofias: inimmõtlemine ja kõnelemine, teaduslik ratsionaalsus. Sõna ,,loogika" levinud tähendusi: · seaduspärasus maailmas, sündmuste loogika; · seaduspärasus mõtetes, mõtlemise loogika;
Ilmar Lilleorg Loogika vihik 2005 2. MÕISTEÕPETUS Mõiste on elementaarseim mõtlemise vorm, mis tähistab asju, nähtusi, nende omadusi ja nendevahelisi seoseid. Sõnaga mõiste on paralleelselt käibel termin, nimetus ja nimi. Loogikaõpetuses eelistatakse nimetatuist mõistet. Mõiste on mõtte element. Mõtet formuleeritakse mõistete abil. Mõtte täpsus sõltub valdavalt vajalike mõistete valikust
Loogija ja juriidiline argumentatsioon LOENG 1 Loogika – logos - teadus õigest mõtlemisest. Mõtlemisreeglid. Väidete põhjendamise teadus. Loogika kui inimtegevuse teatud järjepidevus. Loogika on kõige lähedasem matemaatika. Loogika on normatiivne teadus, mis määrab mõtlemise reeglid. Meil on vaja loogikat väitluskunstiks. Argumenteerimisoskus, teadustöö tegemises jne.Loogika aitab paremini pidada kõnesid. Jaguneb: Formaalseks-see millega meie tegeleme, matemaatiline loogika; dialektiline loogika-tegeleb seoste ja dünaamikaga. Formaalloogika uurib õige mõtlemise üldstruktuure selle keerulises vormis. Formaalloogika põhimõisteks on mõtlemise loogiline vorm.
Ilmar Lilleorg Loogika vihik 2003 4. MÕTLEMISE PÕHIREEGLID. Nimetades olulisemaid ja üldisemaid mõtlemise printsiipe loogika seadusteks (ka mõtlemise seadusteks), väljendatakse püüdu omistada nendele lausetele suuremat tähtsust. On tavaks, et isegi teaduslikes tekstides eelistus on antud seadusele ja reegel on sootuks teisejärguline. Selline seisukohavõtt on iseloomulik vulgaar-materialistlikule arusaamale mõtlemise ja teadvuse küsimustes, mille kohaselt viimane on deterministlikult (põhjuslikult) tingitud sellest maailmast, milles toimivad inimese formuleeritud seadused ja printsiibid. Teisalt, loogika
Hulgateooria valemid Valemite õigsus ja põhjendatus Hulgateooria tähestiku põhisümbolid Î elemendiks olemise seos = võrdseks olemise seos Ø eituse operaator & konjunktsiooni operaator („on see ja on too“) Ú disjunktsiooni operaator („on see või on too“) É implikatsiooni operaator („kui on see, siis on too“) Û ekvivalentsi operaator („see ja too on samaväärsed“) " üldsuse kvantor („kõik“) $ olemasolu kvantor („mõni“) Hulkade tähisteks on tavaliselt mingi „klassikalise alfabeedi“ (nt kreeka või ladina tähestiku) tähemärgid Märkus. Lisaks tähistele (millel peavad olema tähendused) on meil edaspidi vaja mitmeid nn abisümboleid, nagu nt sulud, punktid, komad, semikoolonid jms Kokkulepe. Vajadusel võtame kasutusele uusi tähiseid kirjutiste tähistamiseks. Üheks sääraseks „uueks tähiseks“ on nn metapredikaat Set. Siinkohal lepime kokku, et SetH H on hulk Hulgateooria valemid • Kui p j
Termini lubamatu laiendamine (S- muutub S+ või P- muutub P+) Kui termin on eelduses osalises mahus, siis saabki järelduse teha vaid termini mahu selle osa kohta, millest eelduses juttu oli. Kui äärmine termin esineb lõppjärelduses täies mahus, siis öeldakse lõppjärelduses midagi termini mahu iga elemendi kohta. EELDUSTE REEGLID 1. Ei tohi olla kaks eitavat eeldust – puuduvad ühised elemendid 2. Kui üks eeldus on eitav, peab ka lõppjäreldus eitav olema 3. Ei tohi olla kaks osalist eeldust. 4. Kui üks eeldus on osaline väide, siis peab ka lõppjäreldus olema osaline väide. 5. Kahe üldise eelduse korral võib järeldus olla osaline väide vaid siis, kui on tagatud, et terminite mahud pole tühjad. FIGUURID I figuur: suurem eeldus – üldine väide Väiksem eeldus – jaatav väide II figuur: suurem eeldus – üldine väide
Ja vaadati palju kuuletus. Tegemist ei olnud tõelise vooluga. Inimesed teesklesid. Kuuletujad olid hiljem ääretult pahased. Osa inimesi muidugi ei kuuletunud absoluutselt. Teooria: · Autonoomne seisund · Agendi seisund Mäss vastupanu sotsiaalsele survele, inimesed hindavad oma vabadust ja hakkavad mössama kui surve ähvardab seda ära võtta. Nad teavad et nendega manipuleeritakse. See viib mössuni. Loogika Formaalne loogika- aristotelese loogika Form. Loogika on teadus, mis uurib kehtivate arutuste ja nende baaskomponentide vorme. Mõtlemise põhivormid mõiste, väide, järeldus. Sümbolite keeles. Formaalse loogika rajaja aristoteles Loogikaline vorm on õige siis, kui ta vastab loogikaseadustele ja loogikas kehtivatele printsiipidele. On kas tõesus või väärus. Mõnes mõttes tõene võimalust ei ole. 10 binary yeah. Õige mõtlemise seadused 1
1. Sissejuhatus: 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? l Programmeerimise paradigma l loogiline (LP) l funktsionaalne (FP) l jt Fookus: MIDA ARVUTADA l LP ja FP on deklaratiivsed programmeerimisstiilid; l LP põhineb loogika printsiipidel ja kasutab automaattõestamise protseduure (resolutsioon, unifitseerimine); l LP keel on Prolog, kuid LP ≠ Prolog; 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? (2) l LP sobib tehisintellekti rakenduste programmeerimiseks: l loomuliku keele analüüs ( DCG grammatikareeglid) l ekspertsüsteemid (otsingu- ja järeldusreeglid) l kujundituvastus (tuvastusreeglid) l kitsendustega planeerimine (logistika, marsruudi otsimine) l rekursiivsete funktsioonide püsipunkti arvutus l jne l LP ei sobi: l Kiired numbrilised arvutused (n. maatriksarvutused, võrrandid) l OOP (kuigi on toetatud mõnes prologis) l kasutajaliideste programmeerimine (tugi on
10. Defineerida funktsiooni pidevus. Too näiteid pidevatest ja mittepidevatest funktsioonidest. Kui lim f(x) = f(a), siis nimetatakse funktsiooni y=f(x) pidevaks kohal a. Kui viimane võrdus kehtib iga x korral hulgast X, siis nimetatakse funktsiooni f pidevaks hulgal X. (pidevat funktsiooni võib piltlikult kirjeldada kui funktsiooni, mille graafikut saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata). Pidev funktsioon: f(x)=1+x ,Mittepidev funktsioon: f(x)=1/x-1 11. Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y= f(x+ x) - f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile ja tähistatakse f'(x) või y'. f'(x) = lim Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni, millel on olemas tuletis punktis x (piirkonnas X), nimetatakse diferenseeruvaks punktis x (piirkonnas X). 12. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis
..;xn) |Rn. w=f(x1;x2; ...;xn). Elementaarfunktsioonid funktsioonid, mida saab moodustada pôhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y = x2 + 2x + 2, y = log(2x-3). Pôhielementaarfunktsioonid: f(x) = c; xa;ax;logax; sinx;...;...arccotx. Liitfunktsioonid: y=f(t) ja t = g(x) y = f[g(x)] y on argumendi x liitfunktsioon. 29. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub y=f(x) piirväärtus limx0(y/x) = limx0[f(x0+x) f(x0)]/ x, siis seda piirväärtust nim. funkts. tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f'(x0). Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. 30. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooni tuletis kui on antud y=f(t) ja t=g(x) ja y=f[g(x)]. Eeldusel, et leidub g'(x0) ja f'(t0), siis leidub ka f'(x0) = f'(t0)*g'(x0). 31
10. Graameri reegel. Kui võrdse otsitavate ja võrrandite arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (DA0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n xj = = A A.............. an1an 2. .d n . .ann 11. Tuletise mõiste ja sisuline tähendus, muutumise määr ja tuletis, tuletis ja kõvera kallak (st tõus või langus) Kui kohal x on f-ni y=f(x) muudu ja argumendi muudu jagatisel olemas piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile, siis nim seda piirväärtust antud f-ni tuletiseks kohal x ja tähistatakse f´(x). f ( x + x) - f ( x ) f ' ( x ) = lim x 0 x y f ( x 0 + x ) - f ( x 0 ) = erinevuste suhe, y-i, x-i keskmise muudu määr. Kui x on väga väike, x x
*Järeldus x0->x0+ x=> y=f(x0+ x)-f(x0)=>f-ni muut x->0 y->0 *Märkus1 põhilised elementaarf-nid on oma määramispiirkonnas pidevad *Märkus2 u,v ->pidevad f-nid =>u ± v, u*v, u/v(v 0), u(v(x)) pidevad *Katkevuspunktid: Def. Kui mõni pidevuse f-ni tingimustest ei ole täidetud, siis f-n katkev 1) I liiki katkevuspunkt: f(x0)= (x0 MP) (joonis) 2) II liiki katkemispunkt limx->x0-f(x) =A1, limx->x0+f(x)=A2 =>A1 A2(joonis) 12. F-ni tuletis, füüs ja geom. Tõlgendus *ühtlane sirgjooneline liikumine t=t2-t1; s=s2-s1(joonis); vk = s/ t-> hetkkiirust: t->0 =>v=lim t->0 s/ t isel meh. Liikumise hetkkiirust: Newton(1642-1727) ja Leibniz(1646-1716) *DEF f-n punktis x diferentseerunud parajasti siis, kui tuletis selles punktis on olemas (ainsas punktis, v. piirkonnas D). Tuletise leidmise protsessi me nimetame diferentseerimiseks: Lim x->0 y/ x=y' *Märkus: vajadusel võib leida ka
z = f ( x, y ) Pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = b lõikejoon on x := . y = b Joon x ja tema puutuja asuvad tasandil y = b ja punktis A võetud puutuja tõus on funktsiooni f ( x, b ) - f (a, b ) z = f ( x, b ) tuletis punktis a , kuid seejuures f ( x, b ) = f x (a, b ) = lim . x =a x 0 x Seega f x (a, b ) on joone x punktis A võetud puutuja tõus tasandil y = b . 3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 6
Loogika harjutuseksami küsimused-vastused 1. Hägusloogikas võib lause tõesusaste olla: 0,25 2. Kui unaarne predikaat ei ole samaselt väär, siis on see kindlasti: Kehtestatav 3. Milline traditsioonilise loogika põhireegel ei ole otseselt ega kaudselt kasutusel klassikalise loogika põhialuste fikseerimisel: Küllaldase aluse seadus 4. Kuidas jagunevad küsimused vastuste hulga alusel? Õiged ja ebaõiged. 5. Atributiivse lihtväitena termin on alati piiritletud, kui ta esineb… Eitava väite predikaadina 6. Disjunktsioonitehte eitus on … Selle operandide eituste konjunktsioon. 7. Traditsioonilisele arutlusele „üldiselt üksikule“ vastab klassikalises loogikas … Üldisuskvantori eemaldamine. 8
. . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.3 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni diferentseerimine . . . . . . . . . 91 4.2 Diferentseeruvuse keskväärtusteoreemid, nende rakendused . . . . . . . . . . 93 4.2.1 Fermat’ ja Rolle’i teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2
Teoreetiline informaatika Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A &&
1 lim 1 + = e = 2, 7182... , x x sin x lim = 1 sin x : x , kui x 0 . x0 x Funktsiooni nimetatakse pidevaks kohal a, kui lim f ( x ) = f ( a ) . x a Funktsiooni nimetatakse pidevaks mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. 32 4.5 Funktsiooni tuletis Funktsiooni y = f ( x ) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile. dy Funktsiooni tuletise tähised on y , f ( x ) , , yx . Seega dx y y = lim .
20 10 7 18 1 N agu näha, AB ei võrdu BA , s t korrutamin e pole kommuta tiivn e. V õib ka olla, et üht neis t korrutis tes t ei leidu, teine on aga olmas . Maatrik s it A n im etataks e regu laars ek s , kui te ma deter min ant ei võrdu nulliga: DA 0 Maatrik s it A n im etataks e s in gu laars ek s , kui te ma deter min ant võrdub nulliga: DA = 0 R uu tm aatrik s i p ead iagon aal moodus tub ele ment ides t a 1 1 , a 2 2 , ..., a n n . Ü h ikm aatrik s ik s n im etataks e niss ugus t maatriks i t, mi lle peadiagonaal i ele mendid võrduvad ühega j a ülej äänud ele mendid võrduvad nulliga. 1 0 0 0 1 0 E= Ü hikma atriks ig a korrutamine maatr iks it ei muuda. 0 0 1 A E =E A = A
20 10 7 18 1 N agu näha, AB ei võrdu BA , s t korrutamine pole kommu tati ivne. Võib ka olla, et üht neis t korrutis tes t ei leidu, teine on aga olmas . Maatrik s it A n im etatak s e regu laars ek s , kui tema determinant ei võrdu nulliga : DA 0 Maatrik s it A n im etatak s e s in gu laars ek s , kui te ma deter min ant võrdub nulliga: DA 0 R uu tm aatrik s i p ead iagon aal moodus tub ele ment ides t a 1 1 , a 2 2 , ..., a n n . Ü h ikm aatrik s ik s n im etataks e niss ugus t maatriks i t, mi lle peadiagonaal i ele mendid võrduvad ühega j a ülej äänud ele mendid võrduvad nulliga. 1 0 0 0 1 0 E Ü hikma atriks ig a korrutamine maatr iks it ei muuda. 0 0 1 AE EA A N u llm aatrik s ik s n im etatak s e ma atriks i t, mi lle kõik ele mendid on nullid.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
nt {0n1n | n>0 } vt üleval. Lõpliku magasinmäluga automaadi poolt aktsepteeritav keel on kontekstivaba. KV keelte hulk ongi see hulk keeli, mida pinuautomaadid aktsepteerivad. 12 Ühe olekuga pinuautomaatide ja Greibachi mõttes normaliseeritud KV-grammatikate ekvivalentsus. Teoreem: Iga pinuautomaadi M jaoks leidub ühe olekuga M′, nii et nad aktsepteerivad samu keeli. T: teeme palindroome (aiassadassaia) aktsepteeriva automaadi, kogu olekute loogika on asendatud magasini panemise ja sealt võtmise loogikaga. Teoreem: Ühe olekuga pinuautomaadi M jaoks leidub KV grammatika G, nii et L(M)=L(G). DEF: KV grammatika on Greibachi normaalkujul, kui tema produktsioonid on kujul A→aA1A2…An või A→a (muu on tühi sõne) või kujul S → ε, kui keelde L (G) peab kuuluma ka tühi sõne. Iga KV grammatika on teisendatav Greibachi normaalkujule. T: 1) grammatika peab olema Chomsky nk-l. 2) mitteterminaalid nimetatakse ümber A1-ks, A2-ks jne
või u''=0, integreerides same u=Ax+B, kui A=1 ja B=0, siis u=x. Teiseks erilahendiks saab võtta y2=xek1x See on esimesest lineaarselt sõltumatu, kuna y2/y1 =xconst. Üldlahendiks on funktsioon : y=C1ek1x+C2xek1x 36. Diferentsiaalvõrrandi lahendi stabiilsus Uurime seda esimest järku konstantsete kordajatega lin.dif.võrrandi näite abil : y'+ay=b Tasakaaluväärtus y* on selline suurus, mis ei muutu ajas. Kui y ei muutu, siis tema tuletis aja järgi =0, seega tasakaaluväärtus y*=b/a ; a0. Kui a=0, siis y'=b, y(t)=bt+c, integreerimise constant c=y(0) y(t)=bt+y(0). Eeldame nüüd et a0, siis lineaarse DV lahendamise valemis p=a, q=b. Leiame üldlahendi : y(t)=e-t( etbdt+c)= e-t(et b/a+c)=b/a +c*e-t .Leiame konstandi c, votes t=0,c=y(0)-y*. Seegay(t)=y*+y(0)-y* e-t .Selle valemi järgi saab leida süsteemi seisundi igal ajamomendil t, arvestades algseisundit y(0) ja tasakaaluseisundit y*
Et me aga oskaksime viga täpselt sõnastada, peame tundma loogikaseadusi. Loogikaseadused Loogika tegeleb väidete vaheliste formaalsete seostega. Ta ei ütle meile millised väited on tegelikult tõesed (nt väide "G. W. Bush on 2005 aastal USA president" on tõene tänu faktidele, mitte oma loogilisele struktuurile), vaid seda, mis tüüpi väidetest saab järeldada mis tüüpi väiteid. Selle ütlemiseks on terve rida loogikaseadusi. Traditsioonilises formaalse loogika puhul eristatakse nelja põhilist seadust, mida kehtiv arutlus peab järgima. Samasusseadus "Ühes ja samas kohas, ühes ja samas suhtes on tarvilik, et iga mõiste või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, oleks kasutatud iseendale sisuliselt identsena." (Galina Vuks, Traditsiooniline formaalne loogika, Tartu, 1999, lk 23) AA Vasturääkivuse lubamatuse seadus Loogiline arutlus ei tohi olla vasturääkiv. Vasturääkiv on arutlus siis, kui arutluses
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
