3-Hulgateooria valemid - põhjalik konspekt (0)

HULGAD  SEOSED  SÜSTEEMID



Hulgateooria  valemid Valemite õigsus ja  põhjendatus 


Hulgateooria tähestiku põhisümbolid Î  elemendiks olemise seos =  võrdseks olemise seos
Ø   eituse operaator &  konjunktsiooni operaator („on see ja on too“)
Ú   disjunktsiooni operaator („on see või on too“) É   implikatsiooni operaator („kui on see, siis on too“) Û  ekvivalentsi operaator („see ja too on samaväärsed“) "   üldsuse kvantor („kõik“) $  olemasolu kvantor („mõni“) Hulkade tähisteks on tavaliselt mingi „klassikalise alfabeedi“ (nt kreeka või ladina  tähestiku) tähemärgid
Märkus. Lisaks tähistele (millel peavad olema tähendused) on meil edaspidi vaja  mitmeid nn abisümboleid, nagu nt sulud, punktid, komad, semikoolonid jms
Kokkulepe. Vajadusel võtame kasutusele uusi tähiseid kirjutiste tähistamiseks. Üheks  sääraseks „uueks tähiseks“ on nn metapredikaat Set. Siinkohal lepime kokku, et
SetH  H on hulk 


Hulgateooria valemid
• Kui p ja q on hulkade tähised, siis kirjutis pÎq on hulgateooria  valem • Kui W on hulgateooria valemi tähis, siis kirjutis ØW on  hulgateooria valem. Valemi Ø(pÎq) tähisena kasutatakse sageli  kirjutist pq. • Kui W ja M on hulgateooria valemite tähised, siis järgnevad  kirjutised W&M, WÚM, WÉM, WÛM on hulgateooria valemid • Kui W on hulgateooria valemit tähistav kirjutis, milles pole  kõrvuti tähistest  x, ", $  koostatud kirjutisi  "x  või  $x, siis  kirjutised "xW ja $xW on hulgateooria valemid • Kui W on hulgateooria valemit tähistav kirjutis, siis (W) ning [W]  on hulgateooria valemid. NB!   Kokkulepe: {W} ei ole hulgateooria valem  Soovitus: Ärge koonerdage sulgude kasutamisega! Näiteks  kirjutage "xW ja $xW asemele ("x)W ja ($x)W 


„Ilusate“ sulgude kasutamisest Tuletame siinkohal meelde, et „ilusate“ sulgude ehk märkide { , } korral  leppisime eespool kokku, et neid ei kasuta siis, kui kõneleme, et „valem  sulgudes“ on samuti valem. Ehk siis – kui W on valemi tähis, siis on  valemi tähiseks ka kirjutis (W) ning [W], kuid mitte kirjutis {W}.
See aga ei tähenda, et „ilusad“ sulud hulgateoorias üldse keelatud oleks.  Seda küll mitte. 
Kokkulepe 1. Kirjutisega {A, B, …, C} tähistame hulka, mille ainsateks  elementideks on hulgad, tähistega A, B, …, C.
Kokkulepe 2. Kirjutistega {m T(m) } või näiteks {n T(n) } või hoopis  vms kirjutistega – tähistame hulka, mille elemendiks on iga  selline hulk, näiteks tähisega , mis rahuldab kirjutisega T() esitatud  tingimust.
Näide. Kirjutis { ÎN & P } tähistab sellist hulka, mille iga element  on pärit hulgast N, kuid samas ei kuulu hulka P.
Märkus. Reeglina kasutame kokkuleppe 2. raames tingimusi, mis on  esitatud või saab esitada  hulgateooria valemite abil (nagu seda oli  näiteks ÎN&P)  


Valemid valemite tähiste ja tähendustena On olukordi, kus mingis valemis sisalduval tähisel on omakorda teisigi tähiseid  või tähendusi. Niisugusel juhul leidub säärase valemi kõrval teisigi valemeid,  millel on n-ö sama sisu ja seetõttu võib öelda, et „vahet pole“ kumba valemit  kasutada. Siin aga on peidus mõnedki ohud. Täpsemalt öeldes on kõnealuses  olukorras tegemist sellega, et usume liiga kergekäeliselt teatavate kogemuste  üldistusi, mis – osa varem, osa hiljem „üllatusi“ tekitavad.    
Näited valemite tähiseks-tähenduseks olemise kogemustest pärit  üldistustest: 
I. Valemist W(x), millel pole kuju xz ja milles esineval tähisel x on omakorda  tähis y, järeldub valem W(y), mille saame, kui asendame valemis W(x)  tähise x tähisega y ning lisaks valemile W(y) järeldub ka see, et valemi W(y)  tähenduseks on valem W(x). Ehk lühemalt: [W(x)&(yx)] É [W(y) &  (W(y)W(x))] II. Valemist W(x), millel pole kuju zx ja milles esineval tähisel x on omakorda  tähendus y, järeldub valem W(y), mille saame, kui asendame valemis W(x)  tähise x tähisega y ning lisaks valemile W(y) järeldub ka see, et valemi W(y)  tähiseks on valem W(x). Ehk lühemalt:        [W(x)&(xy)] É [W(y) &  (W(x)W(y))]


Näited üldistustest koos üllatustega 
Näide 1. Mõnevõrra ohtlik oleks anduda ahvatlusele ja postuleerida,                    [W(x)&(xy)]É[W(y)&(W(x)W(y))] ilma eeltingimuseta, et  W(x) pole zx! Näiteks: kas nõustute, et   
[ ($USD) & (USDUniv. of San Diego) ] É                                                                                  É [ ($Univ. of San Diego) & ($USD)($Univ.  of San Diego) ]    Näide 2. Samavõrra ohtlik oleks anduda ahvatlusele ja postuleerida,                    [W(x)&(yx)]É[W(y)&(W(y)W(x))] ilma eeltingimuseta, et  W(x) pole xz! Näiteks: kas nõustute, et  
[ (USDUniv. of San Diego) & ($USD) ] É                                                                                  É [ ($Univ. of San Diego) & ($Univ. of San  Diego)(USDUniv. of San Diego) ]   


Hulgateooria valemite roll Hulgateooria valemeid koostatakse hulkade  kirjeldamiseks ehk iseloomustamiseks moodustatavate  väidete selgeks ja rangeks esitamiseks Hulgateoorias võib käsitluse suurema mugavuse, parema  mõistetavuse vms huvides kasutada muidki kirjutisi  väidete esitamiseks, kuid – NB!!!
„tõsiseltvõetavad“ on vaid niisugused väited  (hulkade kohta), mida on võimalik esitada  hulgateooria valemitena ning just sellest lähtuvalt  tunnistada õigeks või valeks  


Hulgateooria atomaarsed valemid ja  nende klassikalisel viisil omistatud  tõeväärtused • Kui p ja q on hulkade tähised, siis kirjutis pÎq on hulgateooria  atomaarne valem. Hulgateooria atomaarsed valemid  esitavad väiteid ühe hulga olemise kohta teise hulga  elemendiks. Märkus. Eelnevast tulenevalt on iga atomaarne valem ühtlasi  valemiks. Samas pole mitte iga valem atomaarseks valemiks.
• Kui kontrollimisel osutub, et hulk, mille tähiseks on p, on  elemendiks hulgas, mille tähiseks on q, siis ütleme, et  atomaarse valemi pÎq klassikaliselt omistatud  tõeväärtuseks on sõna õige ehk arv 1 või näiteks tähemärk  T vms  • Kui kontrollimisel osutub, et hulk, mille tähiseks on p, pole  elemendiks hulgas, mille tähiseks on q, siis ütleme, et  atomaarse valemi pÎq klassikaliselt omistatud  tõeväärtuseks on sõna vale ehk arv 0 või näiteks tähemärk  F vms 


Hulgateooria valemite eitustele  klassikalisel viisil omistatud tõeväärtused  • Kui valemil, mille tähiseks on W, on klassikalisel viisil  omistatud tõeväärtus õige (ehk 1 või T), siis valemi  ØW   klassikalisel viisil omistatud tõeväärtuseks on vale (ehk  0 või F) • Kui valemil, mille tähiseks on W, on klassikalisel viisil  omistatud tõeväärtus vale (ehk 0 või F), siis valemi ØW   klassikalisel viisil omistatud tõeväärtuseks on õige (ehk  1 või T)


Hulgateooria valemite konjunktsioonidele ja  disjunktsioonidele klassikalisel viisil omistatud  tõeväärtused • Kui W ja M on hulgateooria valemite tähised, siis järgnevad  kirjutised W&M, WÚM, tähistavad vastavalt valemite W ning M  konjunktsioone ja disjunktsioone, milles W ning M on valemis  W&M konjunktid ning valemis WÚM disjunktid • Valemite W ja M konjunktsioonile W&M klassikaliselt omistatud  tõeväärtuseks on õige vaid siis, kui mõlema konjunkti (st nii  W, kuid ka M) klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige • Valemite W ja M disjunktsioonile WÚM klassikaliselt omistatud  tõeväärtus on õige vaid siis, kui vähemalt ühe disjunkti (st  W või M) klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige 


Hulgateooria valemite implikatsioonidele  klassikalisel viisil omistatud tõeväärtused • Kui W ja M on hulgateooria valemite tähised, siis järgnev kirjutis  WÉM tähistab valemite W ning M implikatsiooni ehk  järeldamist, milles eelduseks on W ning järelduseks on M Märkus. Ei tohi segi ajada järeldamist ning järeldust! Järeldus on  järeldamise n-ö teine operand (eeldus aga – esimene operand).
• Implikatsiooni WÉM klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on  vale ainult ühel juhul neljast – nimelt siis, kui eeldusele  klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige ning samas  järeldusele klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on vale.  Ülejäänud kolmel juhul on implikatsiooni ehk järeldamise  klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks õige.


Hulgateooria valemite ekvivalentsidele  klassikalisel viisil omistatud tõeväärtused • Kui W ja M on hulgateooria valemite tähised, siis järgnevad  kirjutis WÛM tähistab valemite W ning M loogilist  ekvivalentsi (ehk lühidalt – ekvivalentsi) ehk loogilist  samaväärsust • Ekvivalentsi WÛM klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks  on õige ainult kahel juhul neljast – nimelt siis, kui valemile  W klassikaliselt omistatud tõeväärtus on sama, kui valemile  M klassikaliselt omistatud tõeväärtus. Ülejäänud kahel juhul  ehk siis, kui W ja M klassikaliselt omistatud tõeväärtused on  teineteisest erinevad, on ekvivalentsi WÛM klassikaliselt  omistatud tõeväärtuseks vale.


Üldsuskvantoriga algavatele  valemitele klassikaliselt omistatud  tõeväärtused Vaatleme valemit W, milles
• Esineb mingi hulga tähis x
• Ei esine kirjutist  "x  ega  $x Moodustame valemi  "xW.
Valemi "xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on  vale, kui leidub vähemalt üks niisugune hulk, mille  tähiseks on x ja mille korral valemi W klassikaliselt  omistatud tõeväärtuseks on vale.
Valemi "xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on  õige, kui iga hulga korral, kui selle hulga tähiseks võtta  x, on valemi W klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on  õige.


Olemasolu kvantoriga algavatele  valemitele klassikaliselt omistatud  tõeväärtused Vaatleme valemit W, milles
• Esineb mingi hulga tähis x
• Ei esine kirjutist  "x  ega  $x Moodustame valemi  $xW.
Valemi $xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige, kui  leidub vähemalt üks niisugune hulk, mille tähiseks on x ja mille  korral valemi W klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige.
Valemi $xW klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on vale, kui  iga hulga korral, kui selle hulga tähiseks võtta x, on valemi W  klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on vale.


Hulgateooria valemite klassikaline interpreteerimine I. Hulgateooria valemite klassikaliseks interpretatsiooniks nimetame igat  sellist tähenduste omistamise viisi, mille korral on täidetud järgmised  tingimused 1-9:
1.  Igale hulga tähisele omistatakse tähenduseks kas otsekohe täpselt mingi üks  hulk, või omistatakse eelnimetatud tähisele tähenduseks järgnevaid tähiseid,  millest viimase tähise tähenduseks on täpselt mingi üks hulk
Märkus. Kui tähistame vaadeldava omistamise viisi näiteks tähisega  ja kui x  on hulga tähis, siis võime kirjutada, et (xx) ja võib-olla veel (xx), …,  kusjuures sedalaadi kirjutiste jada peab olema lõplik (vt lõplikkuse printsiipi) ja  selle lõpus peab olema kirjutis  …x, mille tähenduseks on täpselt mingi üks  hulk. See hulk on reeglina vastava kokkuleppe kohaselt ka tähise x tähenduseks  olev hulk, mis ülal esitatud tingimuse (1) kohaselt on vaadeldava  interpretatsiooni raames ainus hulk, mis tohib olla tähise x tähenduseks     
2.  Igale hulgateooria valemile omistatakse tähenduseks vaid üks tõeväärtus,  kas 1  või 0 ehk vastavalt eespool esitatud kokkulepetele: õige või vale. Seega,  kui W on valemi tähis ja  on klassikalise interpretatsiooni tähis, siis W=1 või 
 W=0.


Hulgateooria valemite klassikaline  interpreteerimine II. 3. Kui W on hulgateooria valem, siis   (ØW) = 1 – W
4. Kui W ja M on hulgateooria valemid, siis   (W&M) = WM
5. Kui W ja M on hulgateooria valemid, siis   (WÚM) = W + M – WM
6. Kui W ja M on hulgateooria valemid, siis   (WÉM) = 1 – W + WM 
7. Kui W ja M on hulgateooria valemid, siis   (WÛM) = 1 – W – M
Kui W on hulgateooria valem, milles
• esineb mingi hulga tähis x
• ei esine kirjutist  "x  ega  $x
Siis
8.1. ($xW)=1, siis ja ainult siis, kui leidub niisugune hulk, mille tähiseks on x ja  mille korral valemi W klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige ehk W=1.
8.2. ($xW)=0, siis ja ainult siis, kui ei leidu niisugune hulka, mille tähiseks on x  ja mille korral valemi W klassikaliselt omistatud tõeväärtuseks on õige ehk W=1.
9. ("xW) = [Ø$x(ØW)] = 1 – [$x(ØW)]  


Hulgateooria valemite klassikaline  interpreteerimine III • Äsja esitatud kirjeldus, mille abil määratleti klassikaline  interpreteerimine, kui teatavaid tingimusi rahuldav  tähenduste omistamise viis, pole ainumõeldav  (klassikalise korral). Samas peab iga klassikaline  interpreteerimine olema „üks-ühele tõlgitav“ just  niisugusele kujule. Näide. Asendame eespool tingimused 4-6 järgmistega:
4’. (W&M) = min(W,M)
5’. (WÚM) = max(W,M)
6’. (WÉM) = max(1 – W, M) 
Võib suurema vaevata veenduda, et eelmainitud „üks-ühele- tõlge“ on teostatav.


Hulgateooria valemid ja neile  klassikalisel viisil leitud  põhjendused • Hulgateooria valemite ehk selges ja ranges vormis (formaadis) esitatud  ning hulkade kohta käivate väidete põhjendamine peab samuti  toimuma selgel ja rangelt kokkulepitud viisil. Kokkulepe 1. Osa valemeid loetakse põhjendatuteks a priori. Neid  nimetatakse hulgateooria aksioomideks (põhipostulaatideks vms).
Kokkulepe 2. Osa valemeid loetakse põhjendatuteks lähtuvalt  mingitest teistest valemitest, kui on olemas selgelt ja rangelt fikseeritud  viisid – reeglipärased tuletussammud – kuidas ühtedest valemitest  lähtudes, liigutakse teisteni, lõpetades põhjendatava valemiga. Kui  seejuures alustatakse põhjendamist aksioomidest ja ainult aksioomidest,  siis kõneldakse tõestamisest ning tõestamist esitavatest tõestustest.  Iga valemit, millel on tõestus nimetatakse teoreemiks.
Märkus. Vahel lepitakse kokku kõnelda, et iga aksioom on ühtlasi  iseenda tõestus.


Mõned tuletusreeglid. Modus  ponens. Reegel modus ponens paneb paika ühe lubatud viisi, kuidas lähtudes  mingitest ühtedest valemitest on võimalik saada teisi (esimestest  tuletatud) valemeid: 
• Kõigepealt peavad meil olema valemid, mille tähised olgu vastavalt  X   ning  Y • Moodustame valemi  XÉY,  mis esitab niisugust järeldamist, mille  eelduseks on  X  ning järelduseks on  Y.  • Kui lähtume nüüd valemitest  X  ning  XÉY,  siis on nendest  valemitest tuletatud valemiks valem  Y. Reegli modus ponens ehk lühemalt MP kohast tuletussammu esitatakse  järgmise kirjutisega:        
                                          X            XÉY
                                                  Y
Selgitus: õigest eeldusest ja õigest järeldamisest tuleneb õige järeldus


Mõned tuletusreeglid. Modus  tollens.  Reegel modus tollens paneb paika veel ühe lubatud viisi, kuidas lähtudes  mingitest ühtedest valemitest on võimalik saada teisi (esimestest  tuletatud) valemeid: 
• Kõigepealt peavad meil olema valemid, mille tähised olgu vastavalt  X   ning  Y • Moodustame valemi  XÉY,  mis esitab niisugust järeldamist, mille  eelduseks on  X  ning järelduseks on  Y.  • Kui lähtume nüüd valemitest   XÉY  ning  ØY,  siis on nendest  valemitest tuletatud valemiks valem  ØX. Reegli modus ponens ehk lühemalt MT kohast tuletussammu esitatakse  järgmise kirjutisega:        
                                             XÉY            ØY
                                                      ØX
Selgitus: õigest järeldamisest ning sellest, et järeldus pole õige,  tuleneb, et ka eeldus pole õige.


Lüüriline kõrvalepõige:  Ülalnimetatud tuletussammude  „astumiseks“ olevat võimalik tugineda  „rauas realiseeritud vahenditele“! Aga kes teab ja ütleb, et 
kuidas? 
Kas näiteks tema:


Really – as she (Dr. Erika 
Matsak) say: it’s the 
realization of inference step   Confirmed by Professor Peeter Lorents, CCD COE Chief of the R&D Branch  Realization  of  inference  steps  (Matsak,  Lorents 
2010) 

Document Outline

• Slide 1
• Hulgateooria tähestiku põhisümbolid
• Hulgateooria valemid
• „Ilusate“ sulgude kasutamisest
• Valemid valemite tähiste ja tähendustena
• Näited üldistustest koos üllatustega
• Hulgateooria valemite roll
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Hulgateooria valemite klassikaline interpreteerimine I.
• Hulgateooria valemite klassikaline interpreteerimine II.
• Hulgateooria valemite klassikaline interpreteerimine III
• Slide 18
• Mõned tuletusreeglid. Modus ponens.
• Mõned tuletusreeglid. Modus tollens.
• Slide 21
• Slide 22