Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Lineaaralgebra - 3. KT teooria". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
vektor, vektorruumi, reaalarv, vektorit, aktsioomid, kommutatiivsus, vektorid, seatakse, maatriks, aditiivsus, homogeensus, lüke, peegeldamine, korrutamine, assotsiatiivsus, nullkujutis, teatava, vektorarvutus, seovad, parajasti, reaalarvude, liitmise, lagrange, samasus, koleLineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W
Olgu hulgad V ja W vektorruumid siis 2 vektorruumi korral määratud kujutust f:VW nimetatakse lineaarkujutuseks kui ta rahuldab tingimust f(·a+·b)= ·f(a) + ·f(b) J: = =1 f(a+b)=f(a)+f(b) J2: =0 f(·a)= ·f(a) J3: = =0 f(0)=0. Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutlust f:VV nim selle vektorruumi V lineaarteisenduseks (ehk kujutusest vektorruumist V iseendasse tagasi. 1º leidub või eksisteerib vähemalt üks punkt. 2º igale kahele kindlas järjekorras võetud punktide paarile (A;B) on vastavusse seatud parajasti üks vektor AB. 3º iga punkti A ja iga vektori a korral eksisteerib parajasti üks B nii et punktidele A ja B vastab vektor a. 4º rööpküliku aksioom, kui vektor AB on võrdne vektoriga CD siis AC on võrdne BD'ga. J1: AC=BD a+b=b+a. J2: AD=BD+AB a+(b+c)=(a+b)+c
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t
trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigonomeetriline kuju. Arvutamine z1*z2=r1r2, 3. K.arvu astendamine ja juurimine. astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos+isin), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 juurimine Igal k-arvul z=r(cos+isin)0 on parajasti n juurt ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) 4. Geomeetrilised vektorid,lineaartehted ja nende omadused. Geomeetrilised vektorid on suunatud lõigud,a-algus punk,b-lõpp punkt( või ) on võrdsed kui need on,samasuunalised ja ühepikused.ruumis võib olla mis tahes punkt iga vektori ja p.A-le leidub p.B .kui vektori alg ja lõpp punk langevad kokku siis see on null-vektor.vektorite + = . lineaartehted on vektorite liitmine ja skalaar korrutmine omadused , , (null vektor olemas olu), (vastand vektori olemas olu), , 5
korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral 7. korrutamise suhtes leidub ühikelement, selleks on reaalarv 1: 1z = z1 = z z C korral 8. igal nullist erineval kompleksarvul z = (x;y) = x + yi leidub pöördarv w C, nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0
d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse
n = cos n + i sin n . Seda valemit nimetatakse Moivre´i valemiks. 2. Juurimine. + 2k + 2k n r ( cos + i sin ) = n r cos + i sin . n n kompleksarvu n-ndal juurel on n erinevat väärtust. 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q
moodustada numbritest 1, 2, 3 ... n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud ning konkreetne järjestus. Pn = n! Öeldakse, et kui väiksem indeks asetseb suurema ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse, vastasel juhul kui suurem väiksema ees, siis räägitakse, et nad moodustavad inversiooni. Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda elementide korrutistest moodustatud summa põhjal kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõisteid. |a11 a12 a13 | |a21 a22 a23 | = (-1) a11 a22 a33 = - a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + |a31 a32 a33 | + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 1 2 3 123 132 213 231 312 321
Teostades ülalkirjeldatud teisendusi lvsi võrranditega, saame ka uuele süsteemile välaj kirjutada laiendatud maatriksi. Seejuures on ilmsed vastavused: kui korrutame süsteemi mingit võrrandit arvuga, siis tuleb korrutada selle arvuga maatriksi vastavat rida. Vahetades kaks võrrandit, tuleb maatriksis sama teha. Liites ühele võrrandile mingi arv kordse teise võrrandi, tuleb maatriksi sama teha. Gaussi meetod. 1) kirjutada välja lvsi laiendatud maatriks 2)teisendada see ridade elementaarteisendusi kasutades kujule, kus on võimalikult palju nulle 3)kirjutada välja saadud maatriksile vastav lvs 4)kirjutada välja lvsi lahend kasutades vajadusel tagasiasendust. Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks
kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks.
z2 r2 3) Kompleksarvude juurimine. astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos +isin ), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] juurimine Igal k-arvul z=r(cos +isin ) 0 on parajasti n juurt + 2 k +2 k cos + isin n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿ 4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le ( , V on )elemendile on pandud + V vastandisse. 2) skalaarkorrutamine- vastavuse elemet( C V on pandud arvule( C R ja hulga elemendile ( V ) .vektorruumi element-on vektor. 5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse s~oltuvuse tarvilik ja piisav tingimus.
.... xm = m(t) , t [T1, T2] . Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id
.... xm = m(t) , t [T1, T2] . Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id
Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . . . nimetatakse (ruut)maatriksi A peadiagonaaliks. K~oigi k × n-j¨arku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul- ka t¨ahistame edaspidi Matk × n := Matk × n (R). 1.2 Aritmeetilised vektorid ¨ Uherealisi ja u ¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse ka (aritmeeti- listeks) vektoriteks. Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse tavaliselt vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Aritmeetiliste vektorite hulgadeks on seega Mat1 × n ja Matk × 1 . Maatriksi ridadest moodustatud u ¨herealisi maatrikseid nime- tatakse maatriksi reavektoriteks. Maatriksi veergudest moodusta- tud u¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse maatriksi veeruvektori- teks.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.4 Integraalide rakendusi statistikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5 Euler'i integraalid * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.6 Irratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.7 Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 13 Vektorid ruumis 113 13.1 Suunatud lõikude hulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 13.2 Vabavektorid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 13.3 Projektsioonivektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 13.4 Kohavektorid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust
Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat.
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist).
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks.
Puutuja võrrand: (x-xo)/m= (y-yo)/n= (z-zo)/p=t s=(m,n,p) sihivektori koordinaadid (x-xo)/x*(to)= (y-yo)/y*(to)=(z-zo)(z*(to) Tasand, mis läbib punkti M on risti puutujaga, on normaaltasand: x*(to)(x-xo)-y*(to)(y-yo)+z*(to)(z-zo)=0 10. Skalaarväli. Funktsiooni suunatuletis (Margus) 11. Skalaarvälja gradient Funktsiooni gradiendi mõiste ja omadused Olgu u=f(x,y,z) kolmemuutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et osatuletised f'x, f'y ja f'z eksisteerivad piirkonnas D. Vektorit gradf(P)=(f'x(P),f'y(P),f'z(P)) nimetatakse skalaarvälja f gradiendiks punktis P. gradf ( P ) × s 3 1. Olgu s vektor ruumis R . Siis kehtib valem s f ' ( P ) =
= | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn ) Kahe muutuja funktsiooni ekstreemum Ekstreemumpunkt: Ekstreemumpunktiks on funktsiooni w = f (P ) määramispiirkonna sisepunkt A kui sellel punktil leidub selline ümbrus S(A,r), milles funktsiooni muut f = f ( A) - f ( P ) säilitab märki. 2 Maksimumpunkt: f > 0 A lokaalne maksimum
¨ (x1 , x2 , . . . , xm ). Uldiselt vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨ artustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse jooneks. V~orrandeid (6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. Olgu antud 2 punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) ruumis Rm . Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirgl~oiku. See on punktide P = (x1 , x2 , . . . , xm ) hulk, mille koordinaadid xi rahuldavad parameetrilisi v~orrandeid
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste
N¨aide 1.9. Vaatleme funktsiooni y = x ln . 1-x 1+x Funktsioon f (x) = x on paaritu, funktsioon g(x) = ln on n¨aite 1-x 4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T = 0, et x X korral f (x + T ) = f (x). Siin on eeldatud, et ka x + T X. V¨ahimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks. Selle definitsiooni esimese poole p~ohjal on siinusfunktsioon perioodiline, sest definitsioonis n~outud reaalarvuks T sobivad 4, 10, -6 jne. V¨ahimaks 8 positiivseks selliseks reaalarvuks on aga 2, mis on definitsiooni p~ohjal sii-
(xj)u:=f(x1,...,xj-1,xj +xj,xj+1,...,xn)- f(x1,...,xj-1,xj,xj+1,...,xn) . Funktsiooni u=f(x1, ..., xn) gradiendiks punktis P(x1, ..., xn) nimetatakse selle funktsiooni osatuletistest koosnevad vektorit (grad f) Kui eksisteerib piirväärtus lim ((xj)-->0) (xj)u / xj ,siis seda piirväärtust (P) = (f/x1(P), f/x2(P), ..., f/xn(P)). Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatakse operaatorit := (/x1, nimetatakse funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xj (j 1,...,n) järgi ja tähistatakse fxj (P)
a c ac a ac = c = b d bd b b b ab a c a d ad a = : = = c c b d b c bc a a b c ac :c = a: = a = b bc c b b 5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine:
c b d bd b b b ab a c a d ad a : c c b d b c bc a a b c ac :c a: a b bc c b b 5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: ab ba ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac
ja b 0.
· Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud
· Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv.
· Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
· Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna,
siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.
1.3 Arvuhulkade omadusi
· Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b,
a=b või a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline n¨aide . . 53 9. Vektors¨ usteemi lineaarne s~oltuvus ja s~oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid u ¨leminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Kordamisküsimused Staatika, kinemaatika ja dünaamika 1. Mida nimetatakse jõuks? Jõud on vektoriaalne suurus, mis väljendab ühe materjaalse keha mehaanikalist toimet teisele kehale ja mille tulemuseks on kehade liikumise muutus või keha osakeste vastastikuse asendi muutus ehk deformatsioon. Jõu iseloomustamiseks peab tal olema rakenduspunkt, suund ja moodul. 2. Mis on jõu mõjusirge? Jõu mõjusirge on sirge, mille peal jõu vektor asetseb. 3. Mida nimetatakse absoluutselt jäigaks kehaks? Absoluutselt jäigaks kehaks nimetatakse sellist keha, mille mis tahes kahe punkti vaheline kaugus jääb alati muutumatuks. 4. Millal võib kahte jõusüsteemi nimetada ekvivalentseteks?' Kahte jõusüsteemi võib nimetada ekvivalentseks, kui ühe jõusüsteemi võib asendada teisega nii, et keha liikumises või paigalseisus midagi ei muutu. 5
annaabi.ee 
