ARVUDE LOGARITMIMINE JA POTENSEERIMINE Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t Loga N1 * N2 = loga N1 * loga N2 Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t loga N1 / N2 = loga N1 loga N2 Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega, s.t loga Nc = c* loga N Neet kolm valemit on logaritmimise eeskirjad.
TULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '= f ' ( x)g (x )- f ( x )g ' ( x) [ g ( x) ] 2 TULETISTE VÄÄRTUSED: (x a )' = a * x a-1 ( a x )' = a x * ln a (e x )' = e x 1 -1 ( )' = 2 x x 1 (log a x)' = xln a 1 (ln x )' = x (sin x)' = cos x (cos x)' = - sind x
Liites võrduste mõlemad pooled: 2cos2(/2) = 1 + cos Lahutades: 2sin 2(/2) = 1 - cos järelikult: cos2 (/2) = 1 + cos (/2) sin 2/2) = 1 - cos (/2) Trigonomeetriliste funktsioonide summa ja vahe teisendamine korrutiseks. sin + sin = 2sin( + ) /2 cos( - ) /2 sin - sin = 2cos( + ) /2 *sin( - ) /2 cos + cos =2cos( +) /2 *cos( -) /2 cos cos = -2sin( + ) /2 *sin( - ) /2 tan + tan = sin( + ) / (cos*cos) tan tan = sin( - ) / cos*cos) Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks. sin*sin = 0,5[cos( - ) cos( + b)] cos*cos = 0,5[cos( + ) + cos( - )] sin*cos = 0,5[sin( + ) + sin( - )] Huvitavaid lisavalemeid. 1 + cos = 2cos2 (/2) 1 cos = 2sin 2(/2) cos + sin = 2cos( - 45°) sin8 = 2sin4*cos4 Trigonomeetriliste võrrandite lahendusvalemid . sin x = m Lahendus: x = (-1) n *arcsin m + n nZ (n on täisarv) cos x = m Lahendus: x = ± arccos m + n nZ
Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4² = 64 Korrutise astendamisel võime astendada iga teguri eraldi. 4) (am)n = am × n Näiteks: (3²)5 = 3 2 × 5 = 310 = 59049 Astme astendamisel võime astendajad korrutada ning saadud tulemusega astendada antud alust. n 22 a an 1 1 1 5) = n Näiteks: = 2 = = 0, 25 b b 2 2 4 6)
0 30 45 60 90 180 270 360° ° ° ° ° ° ° ° 1 2 3 sin 0 /2 /2 /2 1 0 -1 0 3 2 1 cos 1 /2 /2 /2 0 -1 0 1 3 tan 0 /3 1 3 - 0 - 0 sin cos tan II:+ I:+ II: - I: + II: - I: + III:- IV:- III: - IV:+ III:+ IV: - · sin= cos(90°-) · sin·sin= -1/2[cos(+)-cos(-)] · cos= sin(90°-) · cos·cos= 1/2[cos(+)+cos(-)] · sin(-x)= -sinx · sin·cos= 1/2[sin(+)+sin(-)] · cos(-x)= cosx ...
4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine am an = am+n 6. Astmete jagamine am : an = am-n 7. Astme astendamine (a m )n = a mn 8. Korrutise astendamine (a b )n = a n b n 9. Jagatise astendamine n an a = n b b 10. Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahend b
ja arvudest ei ole normaalkujulised 2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav, neid saab koondada (täheline osa ei muutu),
logab = c [logaritm b-st alusel a] a logaritmi alus a > 1 v 0 < a < 0 ; a 1 b logaritmitav b > 0 c logaritmi väärtus cR log10 = 1, kuna 101=10 [kümnendlogaritm 10-st] lneb = c [naturaallogaritm b-st] Naturaallogaritmi alus on e2,7 Logaritmi II definitsioon logx2 log2x = (logx)2 log-1x log log-1x = Logaritmimise reeglid ja nende järeldused I Korrutise logaritmimise reegel Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. logabd = logab + logad Järeldus: Logaritmide summa on võrdne korrutise logaritmiga. logab + logad = logabd II Jagatise logaritmimise reegel Jagatise logaritm on võrdne lugeja ja nimetaja logaritmide vahega. Järeldus: Logaritmide vahe on võrdne jagatise logaritmiga. III Astme logaritmimise reegel
O.T.T. OSITI INTEGREERIMINE MÄÄRAMATA INTEGRAALIS Meil on kaks funktsiooni: u ja v, mõlemad funktsioonid on diferentseeruvad ja mõlemad on argumendi x funktsioonid. Tihti tuleb ette olukordi, kus tuleb integreerida kahe funktsiooni korrutist: uv . Kuna integreerimisel tuleb alati avaldada ka diferentsiaal, siis alguseks teemegi seda: Kuna diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu korrutis, siis analoogselt korrutise tuletise valemi järgi (uv)´ = u'v + uv' on korrutise diferentsiaal: d(uv) = duv + udv vahetame integraali kujunduse huvides tegurite du ja v omavahelise järjekorra ja saame: d(uv) = v du + udv Nüüd avaldame siis nende integraalid, ja seega, nagu taibata võib, ka korrutise uv, sest integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on selle funktsiooni enda ja mingi suvalise kontsandi summa: d(uv) = uv +C , seega, selguse mõttes jättes välja konstandi C märkimise (mida saab niikuinii teha
1 arcsin x 1 arccos x arctan x 1 2 1x 2 1 x2 1 x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: u x v x u x v x u x v x u x v x c u x c u x uv u v v u u u v uv v v2 Edasi vaatame ülesandeid. 1. Leia funktsiooni y = 2x3 + 4x2 – 5x + 8 tuletis. Lahendus:
need ruutu tõstes saame neile vastavad dispersioonid S 2. Nurgamõõtmiste kaalud leiame 1 w= nende dispersioonide pöördväärtustena S 2i . Järgnevalt leiame mõõtmistulemustest kõige väiksema tulemuse ning valime selle β 0. Nüüd saame leida β0 ja iga nurgamõõtmise vahe δi= βi- β0. Kaalutud keskmise leidmiseks on meil lisaks vaja kaalude ja vahede korrutise summat. Kaalutud keskmise M =β 0 + ∑ wδ leiame valemist ∑w ning saame väärtuseks 136 ° 14’32’’. Kaalutud keskmise standardhälbe leidmiseks peame esmalt leidma hälbed v =M - βi . Samuti tuleb leida hälvete ruudud ning hälvete ruutude ja kaalude korrutise summa ( ∑ w v2 ). Kaalutud keskmise standardhälve on leitav valemist
8. KLASSI MATEMAATIKA ÜLEMINEKUEKSAM 1. Tehted arvude ja astmetega. Ruutjuur · Astmete korrutamine am × an=am+n · Astmete jagamine am : an=am-n · Korrutise astendamine(a × b)n=an × bn · Astme astendamine (am)n=amn · Jagatise astendamine ( )n=( ) · Kui astendaja on 0 a0=1 a 0 · Kui astendaja on negatiivne täisarv a-n = a0 Ruutjuur · Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. · Ruutjuur nullist võrdub nulliga.
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega.
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega.
c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise ja teise teguri korrutisega, millele on liidetud esimene tegur ja teise teguri tuletise korrutis. (u*v)’ = u’*v+u*v’ ' u 12. Jagatise tuletise sõnastus ja valem ()v
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine, *Astme astendamisel astendajad korrutatakse. ( a m ) n = a mxn 6) Hulkliikme korrutamine üksliikmega. *Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliige iga liige läbi korrutada selle üksliikmega.
Arvu ja vektori korrutis. Koordinaatidega vektori mõlemat koordinaati tuleb korrutada antud arvuga. Geomeetriliselt vektorit tuleb pikendada antud arv miinus vektori pikkus kordi. Skalaarkorrutis. Geomeetriliselt vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. Samasuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vastassuunaliste vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutise vastandarvuga. Ristuvate vektorite skalaarkorrutis on null. Vektori skalaarruut on vektori skalaarkorrutis iseendaga ja on võrdne vektori pikkuse ruuduga. Koordinaatide järgi kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutiste summaga. Kahe vektori vahelise nurga koosinus võrdub nende vektorite skalaarkorrutise ja pikkuste korrutise suhtega.
võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet. 19. Kokkuleppeliselt ei kirjutata astendajat 1. 20. Juurijat 2 ei kirjutata kokkuleppeliselt. 21. Võrdsete aluste astmetega korrutamisel astendajad liidame ja saadud summaga astendatakse astme alus. 22. Võrdsete aluste astmetega jagamisel astendajad lahutame ja saadud vahega astendatakse astme alus. 23. Astme astendamisel astendajad korrutame ja saadud korrutisega astme alus astendatakse. 24. Korrutise astendamisel käib aste mõlema korrutise kohta. 25. Murru astendamisel astendatakse nii lugeja kui ka nimetaja. 26. Negatiivse astendaja puhul pöörame arvu ringi ehk tekib pöördarv. 27. Astendaja 0 puhul on ükskõik millise aluse väärtus 1. 28. Arvu standartkuju on , kus k kuulub hulka Z ja 1 29. Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. 30. Korrutamine Jagamine 31. Juurimine
Ag+ iooni. AgCl ühend on valge värvusega. Sadet moodustava ühendi ioonide kontsentratsioonide korrutis [Ag +] [Cl] teises ja kolmandas katseklaasis: Järelikult peab ka sade tekkima. Kasutan aktiivsusi kontsentratsioonide asemel: Katse 1.2. Ba2+ ioonide määramise reaktiiv peab sisaldama SO 42- ioone. Sadeneb valge värvusega baariumsulfaat. Arvutan sadet moodustava ühendi ioonide kontsentratsioonide korrutise esimeses katseklaasis: Arvutuste kohaselt pidi sade tekkima (ja tekkis ka). Katse 1.3. Sade tekkis 10 mL 0,05 M Pb(NO 3)2 lahuse ja 10 mL 0,5 M NaCl lahuse segamisel. Teisel juhul sadet ei tekkinud. Tekkis valge sade. Arvutan ioonide kontrsentratsioonide korrutise esimeses keeduklaasis: Arvutuste kohaselt tekib sade. Arvutan ioonide kontrsentratsioonide korrutise teises keeduklaasis: Arvutuste kohaselt sadet ei teki. 2
Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse (jagamisel lahutatakse)Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega(jagatise jagatisega)Astme astendamisel astendajad korrutatakse.(a+b)*=a*+2ab+b* (a+b)(a-b)=a*-b* (a+b)"=a"+3a*b+3ab*+b" (a-b)(a*+ab+b*)=a"-b"
sündmuse B mittetoimumises. AB A B Näide 3. Olgu A ristimastist kaart, B piltkaart, on sündmuseks A B ristimastist mittepildi tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. 3. Tõenäosuste liitmine Kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud samade sündmuste korrutise tõenäosus. p(A + B) = p(A) + p(B) p(AB) Näide 1. Pakist, milles on 52 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Kui tõenäone on, et see kaart on pada või äss? Olgu A = "saadakse pada"; B = "saadakse äss". Sündmus AB tähendab "saadakse padaäss". Sündmus A + B = "saadakse pada või äss". 13 4 1 16 4 p(A + B) = p(A) + p(B) p(AB) = + = = . 52 52 52 52 13
mõeldud valemit X =( A WA ) A WL , leidsime maatriksi X (Tabel 4), mis koosneb T otsitavatest muutujatest x ja y. A tähistab maatriksi A transponeeritud maatriksit, st T −1 read ja veerud on omavahel ära vahetatud. Maatriks ( A WA ) tähistab aga transponeeritud maatriksi A, kaalumaatriksi W ja maatriksi A korrutise pöördmaatriksit. Selle saame kui kasutame Excel’I funktsiooni MINVERSE. Maatriksite omavahelisel korrutamisel on tähtis järjekord, seetõttu tuleb hoolikalt jälgida, et tehted toimuksid valemis ettenähtud järjestuses. Maatriksite korrutamiseks kasutame Excel’I funktsiooni MMULT, kus tuleb sisendina ära näidata kahe maatriksi ulatus ning käsklus lõpetada ctrl+shift+enter klahvikombinatsiooniga. Samuti tuleb arvestada, et tulemusmaatriksi suurus tuleneb esialgsetest maatriksitest
tvk + p * t p + * (t käiv + t pid ) 3. Arvutame mootori valikuks vajaliku arvutusliku võimsuse Parv = Tekv * n => Parv = 45,0 * 105 =4720W=4,72KW 2 4.Valime mootoriks -61 nimiandmetega Pn = 6 kW, In = 32,6 A ja n = 0,835. 5.Et arvutada mootori nimimomenti arvutame eelnevalt mootori ankrutakistuse ning mootorikonstruktsiooni ja magnetvoo vahelise korrutise c. => = 0,557 => = 1,92 V*s 6.Nüüd saamegi arvutada mootori nimimomendi Tn=In*c => Tn=32,6*1,92=62,6N*m Selgub, et tingimus Tn Tekv on täidetud (62,6 > 45,0 N * m). 7.Kontrollime valitud mootorit ülekoormusele tingimuse 2,5 * Tn Tmax,kd järgi. 2,5 * Tn = 2,5* 62,6 =156 < 160 N * m. Selgub, et ülekoormatavuse tingimus ei ole täidetud. Seega valime järgmise mootori
+ ( 234) = + 234 LIITMINE Kahe negatiivse arvu liitmine - liidan absoluutväärtused -Vastuse ette kirjutan miinusmärgi N. -1 + (-2) = -2 = -3 Kahe erimärgilise arvu liitmine - Lahutan suurema absoluutväärtusega arvust väiksema absoluutväärtusega arvu Vastandarvude summad - Ette kirjutan suurema absoluutväärtusega arvu märgi N. -4 + 5 = +1 KORRUTAMINE JA JAGAMINE Korrutan tegurite absoluutväärtused ja määran korrutise märgi (+) * (+) = (+) : (+) = + (-) * (-) = + (-) : (-) = + (+) * (-) = - (+) : (-) = - (-) * (+) = - (-) : (+) = - TÄNAN TÄHELEPANU EEST!
Poolfinaalis osaleb 6 võistkonda. Finaali pääseb neist vaid kolm. Mitu erinevat võimalust on finaalgrupi moodustamiseks? 6! 4 5 6 C 63 = = = 20 3! 3! 1 2 3 Ülesanne 3 (elementide endi kui ka järjestuse poolest) variatsioonid Finaalvõistlustel osaleb 6 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal nende võistkondade vahel? 6! Korrutise reegel 6 5 4 = 120 ehk V63 = 3!
8)n-järku determinandid. Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid. N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter, mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe. Kolmandat järku determinant koosneb 3 liidetavast, mis on maatriksi 3 elemendi korrutused ja nende märgid määratakse vastavalt
( sin x ) = cos x ( cos x ) = -sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x ) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1-x 2 1 - x2 1+ x Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletise valemid: [ u( x ) + v( x ) ] = u( x ) + v ( x ) [ u( x ) - v( x ) ] = u ( x ) - v ( x ) [ c u( x ) ] = c u( x ) ( uv ) = uv + v u u u v - uv = v v2
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Logaritm Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N. Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. Jagatise logaritm on võrdne jagatava ja jagaja logaritmide vahega. Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. Potentseerimiseks nimetatakse avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist. Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = logaX, kus a > 0 ja a 1. Logaritmvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas või logaritmi aluses. logaN = r
tan 2 = sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 1 - tan 2 1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 2 2 tan Liitmisvalemid ) = sin ) = sin ) = cos ) = cos Korrutise teisendamine summaks Trigonomeetrilised põhivõrrandid x = ( - 1) arcsin m + n n sin x = m, , nZ ± arccos m + 2n cos x = m, x= ,nZ tan x = m, x = arctan m + n , nZ arc cot m + n
c 0 Kontstandi tuletis on null. x 1 Argumendi tuletis on üks. x² 2x x³ 3x ² x nx -¹ Astmete tuletis on astendaja korrutatud ühe võrra väiksema astendaja astmega. f (x) + g (x) f '(x) + g '(x) Summa tuletis on liidetavate tuletiste summa. f (x) · g (x) f '(x) · g (x) + g '(x) · f (x) Korrutise tuletis on esimese teguri tuletis korruatatud teise teguriga liita teise teguri tuletis korrutatud esimese teguriga. f (x) f '(x) · g (x) - g '(x) · f (x) Murru tuletis on murd mille nimetajaks on g (x) [ g (x) ] ² eelmise nimetaja ruut, lugejas on lugeja tuletis
2 2 2 2 + - + - cos + cos = 2 cos cos cos - cos = -2 sin sin 2 2 2 2 sin( ± ) tan ± tan = cos cos Trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamine summaks: 1 1 sin sin = [ cos( - ) - cos( + )] sin 2 = (1 - cos 2 ) 2 2 1 1 cos cos = [ cos( - ) + cos( + )] cos 2 = (1 - cos 2 )
või kujul p(A+B) = p(A) + p(B) p(AB) Meie näite puhul on sündmused A ja B teineteist mittevälistavad (kummastki urnist võib võetuks saada punane pall), seega tuleb rakendada valemit (2). 3 3 p ( A B) = + ( A) + p ( B ) - p(a B ) = + - p ( A B ) = ... 7 9 Lahendus jääb hetkeks pooleli, sest ei ole veel selge, kuidas leida sündmuste korrutise tõenäosust p ( A B ) . Sündmuse korrutise tõenäosuse leidmisel tuleb eristada järgmisi võimalusi: · sündmused on sõltumatud (kummagi sündmuse toimumine või mittetoimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist või mittetoimumist), arvutusvalem: p ( A B ) = p ( A) p ( B ) (3) või kujul p(AB) = p(A)×p(B) · sündmused on sõltuvad (ühe sündmuse toimumisest või mittetoimumisest
Sündmuste liigid. liike ja omadusi; Klassikaline 2) selgitab permutatsioonide, tõenäosus. kombinatsioonide ja Suhteline sagedus, variatsioonide tähendust ning statistiline leiab nende arvu; tõenäosus. 3) selgitab sõltuvate ja Geomeetriline sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus. ning välistavate ja Sündmuste liigid: mittevälistavate sündmuste sõltuvad ja summa tähendust; sõltumatud, 4) arvutab erinevate, ka reaalse välistavad ja eluga seotud sündmuste mittevälistavad. tõenäosusi; Tõenäosuste 5) selgitab juhusliku suuruse liitmine ja jaotuse olemust ning juhusliku korrutamine. suuruse arvkarakteristikute Bernoulli valem
liige. Kui reas on paaris arv liikmeid, siis mediaaniks on kahe keskmine. Sarnaste liidetavate koondamine: Tähte nimetatakse matemaatikas kas muutuja või tundmatu või otsitav. Liidetavaid nimetatakse sarnasteks, kui nende muutuja osad on võrdsed ja nad erinevad ainult kordaja poolest. Sarnaseid liidetavaid saab liita ja lahutada, seljuhul tehe tuleb teha kordajatega, muutuja osa jääb samaks. Sarnaste liidetavate liitmist, lahutamist nimetatakse koondamiseks. Korrutise lihtsustamine: Korrutise lihtsustamisel korrutatakse kõigepealt kordajad (arvud), seejärel muutujad tähestikulises järjekorras. Kahe muutuja ning arvu ja muutuja vahele ei pea korrutusmärki kirjutama. Sulgude avamine: Sulu ees või järel oleva arvuga või avaldisega tuleb sulus kõik liikmed korrutada. Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees. Kui pärast sulgude avamist tekib sarnaseid liikmeid, siis tuleb need koondada. Võrrand: Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab muutajat ehk tundmatut.
täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala korrapärane kuusnurk Ruumilised kujundid risttahukas kuup püst- ja kaldprisma korrapärane püramiid silinder koonus kera TULETISED JA TEKSTÜLESANDED tuletised korrutise tuletis: jagatise tuletis: liitfunktsiooni tuletis: ekstreemumkohad nullkohad: positiivsus: negatiivsus: ekstreemum: kasvamisvahemik: kahanemisvahemik: puutuja kohal : vektor ja sirge tasandil vektorite skalaarkorrutis: vektorid on risti, kui vektorid on paralleelsed, kui tõusu ja algordinaadiga määratud sirge: punkti ja tõusuga määratud sirge: kahe punktiga määratud sirge: punkti ja vektoriga määratud sirge: sirge üldvõrrand:
Valemid ja Mõisted Funktsiooni f(x) tuletis kohal x: f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim x 0 x Funktsiooni jagatise tuletis u u v - uv = v v2 Funktsiooni summa tuletis (u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z
* Funktsiooni y=ax positiivsuspiirkond ühtib määramispiirkonnaga, negatiivususp. Puudub.
*Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0
alog a N = N a2log a N = ( alog a N)2=N2 a2+log a N =a2alog a N =a2N a2-log a N= a2 : (alog a N)= a2 : N a-log a N= N-1 Kümnendlogaritm Logaritmi aluseks on arv 10, mida ei kirjutata logN (log10N) Naturaallogaritm Logaritmi aluseks on arv e, mida ei kirjutata lnN (lneN) Avaldise logaritmimine ja potentseerimine Logaritminime avaldise logaritmi leidmine Potentseerimine avaldise logaritmi järgi avaldise leidmine · Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga logaN1N2= logaN1+ logaN2 · Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega loga(N1 : N2)= logaN1 logaN2 · Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega logaNc = c logaN Üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele log b N log a N =
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1.
TEHTED ASTMETEGA Astmete korrutamine a2 a3 = a 2 + 3 = a 5 4-2 45 = 4 -2 + 5 = = 43 = 4 4 4 = 64 Üksliikmete korrutamine -2ab3 3ab4c2 = -2 3 a1+1 b3+4 c2 = = -6a2b7c2 Korrutise astendamine ( -2ab)3 = (-2)3a3b3 = -8a3b3 Astme astendamine (a3)2 = (a3) (a3) = a6 VÕI (a3)2 = a32 = a6 Üksliikme astendamine (-6a3b)2 = -6a3b(-6a3b) = 36a6b2 VÕI (-6a3b)2 = (-6)2 (a3)2 b2 = 36 a32 b2 = 36a6b2 Astmete jagamine a5 : a3 = a5-3 =a2 75 : 73 = 75-3 = 72 = = 7 7 = 49
Arvu ruut Arvu ruut Näide 1. Arvu 5 ruut on 25, sest 52 = 5 · 5 = 25. Ruutjuur Antud mittenegatiivse arvu a ruutjuureks nimetatakse sellist mitte- negatiivset arvu b, mille ruut võrdub arvuga a. a =b b2 = a ! Negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt võtta. Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem.
18 = 2 9 = 2 9 = 3 2 Ülesannete lahendamise Juurimise reeglid juures ei pea kõiki 90 = 9 10 = 9 10 = 3 10 vaheetappe kirja panema! · ab = a b Mittenegatiivsete arvude korrutise aritmeetiline ruutjuur võrdub 12 = 3 4 = 3 4 = 2 3 nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte korrutisega. 20 = 4 5 = 4 5 = 2 5 a a Nipp seisneb selles, et arvu korrutiseks teisendamisel tuleb leida just · = b b niisugused tegurid, kus vähemalt ühest saab võtta ruutjuurt.
Nurk kahe vektori vahel 5. =180o, siis a*b=-|a|*|b| (kõige väiksem) cos=a*b/|a|*|b| a*b=b*a | 2*(a*b)=2*a*b*cos | a*(b+c)=a*b+a*c | a*b*c=arv*c=vektor Kolmnuraga pindala Skalaarkorrutis koordinaatides S=a*h/2 Vastavate koordinaatide korrutise summa S=1/2a*b*sin a*b=x1*x2+y1*y2 S=1/2*a*c*sin Rööpküliku | rombi pindala S=1/2*b*c*sin S=a*b*sin | S=a2*sin S=ruutjuur p(p-a)(p-b)(p-c), kus p=ü/2 S=pr, kus Siinusteoreem r on siseringjoone raadius S=abc/4R, kus R on a/sin=b/sin=c/sin=2R
mis võrdub pinge, voolutugevuse ja aja korrutisega. Elektrivoolu võimsust P mõõdetakse ajaühikus tehtud elektrivoolu tööga. Elektrivooluks nim laengukandjate suunatud liikumist. Elektromotoorjõud on vooluallika energeetiline karakteristik. Ta näitab, kui suur on kõrvaljõudude töö ühiklaengu nihutamisel suletud vooluringi ulatuses. Eritakistus on aine elektrilisi omadusi iseloomustav füüsikaline suurus, mis võrdub elektritakistuse ja ristlõikepindala korrutise ning juhi pikkuse suhtega ja näitab, kui suur on ühikulise pikkuse ja ühikulise ristlõikepindalaga juhi elektritakistus 0°C juures. Vase eritakistus 0°C juures on 1,7*10-8m, st vasest kuubi elektriline takistus 0°C juures on 1,7*10-8 , kui kuubi serva pikkus on 1m. Joule'i-Lenzi seadus elektrivoolu töö arvel juhis eraldunud soojushulk on võrdeline voolutugevuse ruuduga, juhi takistusega ja ajaga. Juhi takistuse sõltuvus temperatuurist R = R0 (1+t)
Astmefunktsioonide puhul kasuta valemit ( xn)`= nxn-1 Leida tuletised 1 2 5 y x3 y y3 y x 0, 4 x 5 2 x Korrutise tuletise valem (u v)´ u `v v`u y= (x2+2)(x-2x3) y=x2 cosx y=exlnx y= sinx(x2-1) , u u´v vù Jagatise tuletis valem
cos + cos = 2 cos · cos 2 2 (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ + - cos - cos = -2 sin · sin 2 2 (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Korrutise _ teisendus _ summaks : 1 sin · sin = [ cos( - ) - cos( + ] 2 1 cos · cos = [ cos( + ) + cos( - )] 2 1
5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14. Võrdsete alustega astmete korrutis a m a n = a m+ n . am 15. Võrdsete alustega astmete jagatis n = a m -n a mn 16. Astme aste (a ) = a .
Fiskaalpoliitika- Kui valitsus kasutab majandutegevuse mõjutamiseks maksude või avaliku sektori kulutuste muutmist. Automaatne fiskaalpoliitika- reguleerib automaatselt avaliku sektori kulutusi- ntx tulumaks Maksumultiplikaator= MPC/ 1-MPC Ekspansiivne fiskaalpoliitika- Languslõhe kõrvaldamiseks, suurendatakse avaliku sektori kulutusi, maksude vähendamine, kogunõudluskõver nihkub ülespoole ja kogutulus suureneb joone nihke ning multiplikjaatori korrutise võrra Kitsendav fiskaalpoliitika- inflatsioonilõhe kõrvaldamiseks vähendatakse avaliku sektori kulutsi, suurendatakse makse, kogunõudluskõver nihkub allapoole ja kogutulu väheneb joone nihke ning multiplikaatori korrutise võrra. M1 ehk kitsas rahapakkumine= sularaha majanduses + residentide nõudmiseni kroonihoiused ehk jooksvad arved kommertspankades. M2 ehk laen rahapakkumine= M1+ tähtajalised hoiused + välisvaluutahoiused Baasraha- sularaha ringluses
5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14. Võrdsete alustega astmete korrutis a m a n = a m+ n . am 15. Võrdsete alustega astmete jagatis n = a m -n a mn 16. Astme aste (a ) = a .
annaabi.ee 
