Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kõrgem matemaatika II eksamimaterjal". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahend, muutuja, tuletis, vektoruletis, vektorruum, üldkuju, vektorruumi, koonduvus, integraal, erilahend, piirväärtus, kordajate, tuletiste, reaks, dxdyuletiste, arvrea, homogeenne, erilahendi, parajasti, fourier, reaalarv, lokaalne, ümbrus, tinglik, pidevad, vektorit, tuletised, astmerida, täisdiferentsiaal, ligikaudne, statsionaarnePideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne ƒ integraalsummaga Vn. Järelikult kahekordse integraali defnitsiooni põhja Q ruumala= Lim Vn = ∫∫ ƒ(x,y)dxdy єn →0 D Kahekordse integraali omadusi 1. Kui funktsioon f(x,y) on pidev piirkonnas D, siis ta on ka integreeruv piirkonnas D 2. Piirkonnas D konstantne funktsioon 1 on selles piirkonnas integreeruv, kusjuures 3. Kui eksisteerib integraal ja c ϵ R, siis eksisteerib ka integraal , kusjuures 4. Kui eksisteerivad integraalid , siis eksisteerib ka integral , kusjuures 5. Kui eksisteerivad integraalid ning iga P ϵ D korral kehtib f(P)<=g(P), siis 6. Kui eksisteerib integraal ja piirkonnas D kehtib võrratus m<=f(P)<=M, siis . 2
Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne................................................................................ 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand.
ruumala, mis pealt on piiratud funktsiooni z=f(x,y) graafikuga, alt funktsiooni z=g(x,y) graafikuga ja küljelt Definitsioon 2. Öeldakse, et kahe muutuja funktsioonil on punktis P2(x2, y2) lokaalne miinimum, kui sellel ∭∆ 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧)𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜌𝑑𝑧 .Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul
DV II teooriatöö kordamisküsimused 1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1)
ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. ............................................................6 Absoluutväärtuse omadused..
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. Kõrgemat jär harilikud dvid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y (n)) = 0 (1), kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on
x f X= 2 , F= 2 . ... ... x f n n Kui m < n , siis on alamääratud süsteem, osa tundmatuid jääb määramata, kui m > n , siis on ülemääratud süsteem, lahend võib üldse puududa, kui m = n , siis on üks lahend kui det A 0 . Homogeense võrrandsüsteemi vabaliige on null ehk AX = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil esineb alati triviaalne lahend X = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil on m = n korral mittetriviaalsed lahendid ainult juhul, kui det A = 0 . Kui homogeensel võrrandsüsteemil on üheks mittetriviaalseks lahendiks x1 bx1
..,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1)
n Kõrgemat järku harilik DV-Üldkuju(F,x,y,y’,y’’,.., y ),kus x-sõltumatu muutuja,y=y(x) otsitav funkt ja y’.. ' n x , y , y , .. y on otsitava fun tuletised.Lahendiks y=y(x)>y=y(x,C1,C2,..,Cn). Normkuju: y =f ¿ ,
Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarne vôrrandisüsteem Olgu antud n muutujat, x1, x2, x3,...,xn ja arvud a1, a2, a3, ..., an, saame muutujate suhtes lineaarse vôrrandi a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, kui meil on m lineaarset vôrrandit samade muutujate suhtes, saame lineaarse vôrrandisüsteemi. Lineaarse vôrrandsüsteemi normaalkuju (a kordaja, x muutuja, b vabaliige): a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n = bm Lineaarse vôrrandsüsteemi laiendatud maatriks moodustatakse normaalkujul vôrrandisüsteemi elementidest ja vabaliikmeid on eraldatud püstkriipsuga. Lubatavad elementaarteisendused: 1) Rea korrutamine nullist erineva arvuga 2) Ridade vahetamine
n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn
Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: Laiendatud maatriks: · Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga · Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine.
võrdu nulliga. detA = -45 2) leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada 3) transponeerida saadud maatriks ja korrutada see läbi 1/detA 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: homogeenne süsteem kõik vabaliikmed on nullid laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veerumaatriksiga B, st maatriksit: (A B) = maatriksi elementaarteisendused: Kahe rea (võrrandi) asukoha vahetamine
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi
. . . . . . . . 18 2.4 Maatriksi astak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Cramer'i peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Gauss'i elimineerimise meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Funktsioonid ja jadad 25 3.1 Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MITME MUUTUJ A FUNKTSIOON. PIIRV ÄÄRTUS. DIFERENTSEERIMINE Mitme muutuja funktsioon Mitme muutuja funktsiooni üldkuju: w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D Kahe puntki vaheline kaugus: Puntkide P1 = ( x1 , y1 , z1 ,...) ja P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ,...) vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu d ( P1 , P2 ) = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 + ( z1 - z 2 ) 2 + ... . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x,
.. , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! !
Matemaatiline analüüs I Eksamiteemad 1. Muutuvad suurused: Muutuja x on argument ehk sõltumatu muutuja. Muutuja y on sõltuv muutuja. 2. Funktsioon- Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus Tähistused: y=f(x); y=g(x); y=H(x) Näited: s(t)=3-0,5gt²( s- kaugus maapinnast langemisel; g- raskuskiirendus) Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud
Paaridf-n *Def. Y=f(x) on paarisf-n juhul kui f(-x)=f(x) x MP graafik sum y telje suhtes, Nt y=x 2 =(-x)2 3. Paaritu f- n- sel korral paaritu kui f(-x)= -f(x), x MP, graafik sümm 0-punkti suhtes 4.Perioodiline f-n-parajasti siis, kui leidub niisugune reaalarv t, et tekib võrdsus iga MP punkti puhul. Märkus: kui f-n perioodiline=> t on lõpmata palju=> min t =T periood=> näit ting f-nil t>0 4. Liitfunktsioon Funkts, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne 5. Põhilised elementaarfunkts. 1)astmefunkts y=xa; a IR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a 1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F- nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid
Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Pöördfunktsioon Paaris- ja paaritudfunktsioonid : *paaris kui iga x X korral on f(-x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X *paaritu kui iga x X korral on f(-x)=-f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X Perioodiline funktsioon funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks, kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral.
On eeldused ja järeldused. Teoreetiline analüüs (statistilised probleemid jäetakse kõrvale) *Mat majteaduse mudeli puhul ei arvestata kõiki aspekte, sest see on võimatu, valitakse põhifaktorid (mida asendavad muutujad) ja antakse ette seosed (võrranditena). Matemaatiline mudel koosneb võrranditest, mis kirjeldavad faktorite käitumist ja seovad muutujaid omavahel -> analüütilised eeldused -> loogilised järeldused. 3. Funktsiooni mõiste: Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X on vastavusse seotud muutuja y väärtus, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. y=f(x) eeskiri; üksühene vastavus. Liigid: a) konstantne f. N. y=f(x)=7 b) polünoomid y=a0+a1x+a2x2+...+anxn n=0 konstantne f., n=1 linearne f., n=2 ruutf. (0;a0) a1-tõus c) ratsionaalf. N murrud d) mittealgebralised f. n juured, astmed, exp, log, trig. 4. Tasakaalu mõiste, turu tasakaalu mudelid (1.ja 2. ning n hüvisega)
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2
Kordamisküsimused 1. Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes
lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18. Funktsiooni tuletis- funktsiooni y = f(x) tuletiseks f `(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ` (x) = lim y / x ; x 0 = lim f ( x + x) f(x) / x ; x 0, kui see piirväärtus eksisteerib. 19. Funktsiooni n-järku tuletis- funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema (n 1)-järku tuletise tuletist ja seda tähistatakse f (n) (x) sümboliga. 20. Diferentseeruv funktsioon- kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 21. Funktsiooni diferentsiaal- on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega: f ` (x) = lim y / x ; x 0
x 1 Samas |sin | 1 ja lim x0 x2 = 0, seega A = 0. x Teoreem 4. (piirväärtuse monotoonsus) Kui punkti a teatavas ümbruses U(a) kehtib g(x) < f(x), () siis ka lim xa g(x) lim xa f(x). () Teoreem 5. (keskmise muutuja omadus) Kui punkti a mingis ümbruses g(x) f(x) h(x) ja lim xa g(x) = lim xa h(x) = A , siis eksisteerib ka piirväärtus lim xa f(x) = A. Teoreem 6. Kui f on elementaarfunktsioon ja a X, siis lim xa f(x) = f(a). 3. Ühepoolsed piirväärtused Vaatleme piirprotsesse: 1. x a, x > a lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus.
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33
TEOORIAKÜSIMUSED nr 1 1. Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja? Mis on sõltuv muutuja? Funktsioon on eeskiri, mis määrab seose, kus igale elemendile hulgast X on vastavusse seatud üks elemented hulgast Y. Sõltumatu muutuja on x ehk argument. Sõltuv muutuja on y. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulka f(X)={ y e Y: leidub x e X, nii et f(x)=y} nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Hulk Y. Funktsiooni loomulik määramispiirkond on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid?
keha Q ruumalaga V. Üks võimalus on eelnevates teadmistest saadud valem V = (x,y)dxdy Järgnevalt käsitleme pisut teistsugust juhtu. Vaatleme keha Q, mis on alt pinnaga z= 1(x,y) ja ülalt pinnaga z= 2(x,y). Olgu Q projektsioon xy-tasandil tähistatud D-ga. Meid huvitab Q ruumala. Näitame, et V saab esitada 1 ja 2 vahe integraalina, st V= [ 2(x,y) 2(x,y)] dxdy D 8. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordne integraal (x,y)dxdy ja kaks funktsiooni u= u(x,y) ja v=v(x,y), mis on määratud piirkonnas D. Eesmärgiks on sooritada muutuja vahetus, mille tulemusl asendatakse x ja y u ja v-ga. Kuna funktsioonid u ja v on ühesed kujutsied, siis seavad nad igale punktile P=(x,y) hulgastt D vastavusse ühe kindla punkti P'=(u,v) uv-tasandil. Kui P jookseb läbi kogu piirkonna D siis, siis kujutuspilt P' kujundav uv-tasandi teatud piirkonna D'. Et kehiks
annaabi.ee 
