Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine erinevate viisidega". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
võrrandisüsteem, võrrandsüsteemi, tuleta, liitmisvõttega, vastandarvud, avaldis, kumb, nimetaja, korruta, tundmatuga, kirjutata, tabelid, sirged, lahendiks, parempoolne, tekiks, võrrandid, kummagi, vastuseks, avaldise, asendada, lahendame, alumiseley=1 11.Liitmisvõte - lahendusvõte, mis Ül.935 võimaldab arvutamise teel leida lahendeid -4x+5y=-1 tundmatute kordajate kaudu: kõrvaldada 2x-5y=3 ehk ellimineerida üks tundmatu vastavate Panen süsteemile plussmärgi ette ja võrrandite liitmise teel, kui antud süsteemi tõmban süsteemile joone alla, sest y-ga võrrandites on ühe tundmatu kordajad liikmete ees on vastandarvud (need teineteise vastandarvud; võrrandite liikmed koonduvad) vastavate poolte liitmisel saada ühe -2x=2|:(-2) tundmatuga võrrand ja see lahendada; x=-1 saadud ühe tundmatu väärtus asendada I võrrandist leian väärtuse teisele süsteemi lihtsamasse võrrandisse, saada tundmatule võrrandi teise tundmatu väärtuse -4 (-1)+5y=-1 leidmiseks; kontrollida, kas saadud 5y=-1-4
See kirjutatakse x=1 loogelise sulu abil kokku, nagu olid esialgsed võrrandidki. Y=2 4.Saadud lahendi õigsust on lihtne kontrollida. v1=3*1+2*2=3+4=7 v1=p1 v2=5*12*2=54=1 v2=p2 Vastus: x=1 y=2 Mida teha võrrandisüsteemiga, milles kummagi tundmatu kordajad ei ole ei võrdsed ega vastandarvud? Sel juhul peame võrrandid teisendama vajalikule kujule. Selleks korrutame ühe võrrandi või mõlemad võrrandid läbi sobiva arvuga nii, et saaksime ühe tundmatu ette vastandarvud.
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks av
Lineaarvõrrandisüsteemid Põhikoolis lahendatakse põhiliselt lineaarseid võrrandisüsteeme, aga ka mõningaid lihtsamaid ruutvõrrandisüsteeme. Lineaarvõrrandisüsteeme on mõistlik lahendada kas asendusvõttega või liitmisvõttega (jätame graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1). Liitmisvõtte puhul ei pea võrrandeid ilmtingimata liitma, neid võib teineteisest ka lahutada. Näide 2. Lahendame võrrand
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
95 Ratsionaalavaldise lihtsustamine 7 Ratsionaalavaldiseks nimetatakse avaldist, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvudega. Näiteks: 5 a² + 2 - a +2 x Kui avaldis ei sisalda muutujat nimetajas, siis on see täisavaldis, nt x + . Vastasel juhul on 3 7 tegu murdavaldisega, nt a ² + . a a Algebraliseks murruks nimetatakse hariliku murru kujul esitatud avaldist ( ), kus vähemalt
Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a. nulliga) Irratsionaalarvud
Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal I osa © T. Lepikult, 2003 Leida kaks arvu, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida need arvud. Lahendus Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks. Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y. Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese võrrandi: x y = 30 Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30,
2.12 Leida, milline järgnevatest funktsioonidest võib olla nõudlusfunktsioon, milline pakkumisfunktsioon: a) ; b) p (q) ' 500 % 25 q ; c) p (q) ' &1500 & 60 q . 2.13 Leida firma tulufunktsioon, kui toote hind p sõltub kogusest q järgmiselt: p(q) ' 2500 & 30 q . 2.14 On antud firma kulufunktsioon C(q) = 20 + 4q, kus q on tootmismaht. Hind p sõltub nõutavast kogusest järgmiselt: p(q) = 22 - 4q. Leida avaldis firma kasumi arvutamiseks. 2.15 Muutuvkulu ühe toote kohta on 4 kr. Lisaks sellele kulub kuus 11000 kr ruumide rentimiseks ja 20000 kr kontoritöötajate palkadeks. Leida firma kulufunktsioon. 2.16 Leida firma tulufunktsioon, kui pakutakse teenust hinnaga 120 kr tund. 2.17 On antud firma kulufunktsioon C (q) ' 55q % 5000 , kus q on toodete kogus. Hinna p ja nõutava koguse vaheline seos on p (q) ' 500 & 45 q . Leida avaldis firma kasumi arvutamiseks.
nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi. sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2x – sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 tan2 x Näited: 1 1 sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin 2x 2 2 sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x 2 tan 2x tan 4x = 1 tan2 2x Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x 1 Kui lahendad ülesande õigesti, saad lõpptulemuseks sin 32x . 32 Ülesanne. On teada, et cos 2x = cos2x – sin2 x. Millega võrdub a) cos2 2x – sin2 2x b) sin2 4x – cos2 4x c) cos2 8x + sin2 8x POOLNURGA VALEMID Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel kasutatakse ka n.n. poolnurga siinuse,
Nelja aasta pärast oleks isa vanus x + 4 ja poja vanus y + 4 , kuna isa on 4 aasta pärast pojast 3 korda vanem, saame võrrandi x + 4 = 3( y + 4) . Neist kahest võrrandist saame süsteemi: x + y = 48 x + y = 48 /× (- 1) x + 4 = 3( y + 4) x + 4 = 3 y + 12 I lahendus - See on lineaarvõrrandisüsteem, mille lahendan liitmisvõttega. - x - y = - 48 + x + 4 = 3 y + 12 - y + 4 = - 48 + 3 y + 12 - 4 y = - 48 + 12 - 4 - 4 y = - 40 / ÷ (- 1) y = 10 x -i leian I-st võrrandist x + y = 48 x + 10 = 48 x = 48 - 10 x = 38 x = 38 ja
319 Olgu isa vanus x ja poja vanus y x y 48 . Nelja aasta pärast oleks isa vanus x 4 ja poja vanus y 4 , kuna isa on 4 aasta pärast pojast 3 korda vanem, saame võrrandi x 4 3( y 4) . Neist kahest võrrandist saame süsteemi: x y 48 x y 48 / (1) x 4 3( y 4 ) x 4 3 y 12 I lahendus - See on lineaarvõrrandisüsteem, mille lahendan liitmisvõttega. x y 48 x 4 3 y 12 y 4 48 3 y 12 4 y 48 12 4 4 y 40 / (1) y 10 x -i leian I-st võrrandist x y 48 x 10 48 x 48 10 x 38 x 38 ja y 10
319 Olgu isa vanus x ja poja vanus y x y 48 . Nelja aasta pärast oleks isa vanus x 4 ja poja vanus y 4 , kuna isa on 4 aasta pärast pojast 3 korda vanem, saame võrrandi x 4 3( y 4) . Neist kahest võrrandist saame süsteemi: x y 48 x y 48 / (1) x 4 3( y 4 ) x 4 3 y 12 I lahendus - See on lineaarvõrrandisüsteem, mille lahendan liitmisvõttega. x y 48 x 4 3 y 12 y 4 48 3 y 12 4 y 48 12 4 4 y 40 / (1) y 10 x -i leian I-st võrrandist x y 48 x 10 48 x 48 10 x 38 x 38 ja y 10
20 50 100 100 21 1197 ⋅100 57 6) 1,197: = = . 100 1000 ⋅ 21 10 57 Vastus. . 10 7 Näide 3. Leida x, kui 4 3 15 3 − 1 = 5,625. (5,5 + x) : 21 7 3 8 Lahendus. Esimese tehtega arvutame tundmatut x sisaldava murru väärtuse. Teises tehtes leiame selle murru nimetaja väärtuse. Nimetajas on jagatis, mille jagatava 5,5+x väärtuse arvutame kolmanda tehtega. Neljanda tehtega saame tundmatu x väärtuse. 4 3 15 3 3 5 1) = 1 + 5, 625 = 1 + 5 = 7; (5,5 + x) : 21 37 8 8 8 4 49 7 2) (5,5 + x ) : 21 73 = 3 : 7 = = ; 15 15 ⋅ 7 15
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x
koondada. ÜLESANNE 1 KOONDA SARNASED LIIDETAVAD 1) 5a-6a+7b+b= 2) 4a-24a+15b= 3) 4(25+15a)= 4) 4(-1-5a)+30a-15b= ÜLESANNE 1: VASTUSED 1) VASTUS: 5a-6a+7b+b=-1a+8b 2) VASTUS: 4a-24a+15b=-20a+15b 3) VASTUS: 4(25+15a)=100+60a 4) VASTUS: 4(-1-5a)+30a-15b=-4+10a-15b 3.4 VÕRRANDITE SAMAVÄÄRSUS Võrrand – tundmatut sisaldav võrdus 2x – 5 = 3 ühe tundmatuga lineaarvõrrand Võrrandi lahend – arv, millega tundmatut asendades saadakse võrrandist tõene võrdus Võrrandi lahendamine – võrrandi lahendi leidmine Võrrandi lahendamisel tuleb tihti võrrandit mitmel moel teisendada (sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine jm). Seejuures ei tohi võrrandi lahend muutuda. Iga uus võrrand, mis teisendamisel saadakse, peab olema antud võrrandiga samaväärne. Kahte sama tundmatuga võrrandit, millel kõik lahendid
teisele poole võrdusmärki viimist muutes samal ajal liikmete märgid vastupidisteks; 3) võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral LINEAARVÕRRAND Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud). Lineaarvõrrandi lahendiks on Kui a = 0 ja b 0, st. võrrand on kujul 0 x b , siis võrrandil lahendid puuduvad. Kui a = 0 ja b = 0, st. võrrand on kujul 0 x 0 , siis sobib võrrandi lahendiks mistahes reaalarv. Näide 1 3x = -9 on lineaarvõrrand x(x + 2) - 6 = x2 on lineaarvõrrand, sest peale lihtsustamisi omandab see kuju: 2x = 6 (x2-ga liikmed
Näiteks: 1 000 000 00 = 108 ; 0,000 000 1 = 10-7 Sarnaste liikmete koondamine: Kui avaldises on liikmed, mis on ühesugused või erinevad ainult arvulise kordaja poolest, siis nimetatakse neid sarnasteks liikmeteks. Näiteks: a + a + a = 3a a * a * a * a = a4 a +b + a + a + b = 3a + 2b xy + xy = 2xy xy * xy = x2 * y2 3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks. Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust
kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev. Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena: Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem: 2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6; 1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3; 3 1 4 2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1 9 -3 - 12 X1 = = -1,5; X2 = = 0,5; X3 = = 2. - 6 - 6 - 6
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 2. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 7 y -1 - 4 x -1 1. (5p) Leidke avaldise väärtus, kui x : y = 3 : 4. 3y -1 - x -1 Lahendus: 7 ( 4( x y 7x - 4y - -1 7 y - 4x -1 y = (x x = xy = ( 7 x - 4 y ) xy = 7 x - 4 y
Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0)
Seega Järelikult Et Siis y1(x) ja y2(x) on homogeense võrrandi erilahendid ning nad on lineaarselt sõltumatud. Üldlahend on (15.6) Puuudu Kui q=0, siis saame ja kui ka p=0, siis saame vaid hulkliikme . Erilahendit otsime samal kujul kui (15.7) esitatud polünoomid tundmatute kordajatega. (15.8) Kus Ja Ai ja Bi i=0,....,n on tundmatud kordajad. Astendaja s on karakteristilise võrrandi juure kordsus. Kui sellist juurt ei ole siis s=0 ja . Tundmatute kordajate leidmiseks asendatakse y* avaldis võrrandisse (15.1) ja võrdsustatakse kordajad ühesuguste funktsioonide juures mõlemal pool võrdus märke. Saadakse võrrandit tundmatutega, mis laheneb üheselt. Kui parem pool f(x) avaldis (15.7) sisaldab kas või , siis erilahendi avaldis (15.8) peab sisaldama mõlemat funktsiooni. 16. Konstantide varieerimise meetod üldlahendi leidmiseks. Tundmatute kordajate meetod kõlbab vaid korrutise tüüpi avaldise (15.7 või seda tüüpi avaldise summa korral.
n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed. Näide: Lahendada lineaarne võrrandisüsteem: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 - x2 - 2 x3 = 2. . 3 x + 2 x - x = 8 1 2 3 1 2 3 2
MAATRIKSALGEBRA 1. Maatriksi mõiste ja liigitus Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse a ik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a am2 ... a mn A= m1 . Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul: A = ( aik ) mn. Maatriksi erikujud: 1. Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks. Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali
Kõigepealt lihtsustame avaldise: (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² = x² + 4x + 4 + 3x² - 14 - 4x² + 20x - 25 = 24x - 35. Leiame nüüd avaldise väärtuse: 24(-0,5) - 35 = -12 - 35 = - 47. 10. Lineaarvõrrandite lahendamine 1. kui võrrand sisaldab harilikke murde, siis vabaneme nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga 2. lihtsustame võrrandi mõlemaid pooli ( sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine) 3. viime tundmatuga liikmed võrrandi ühele poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid vastupidiseks 4. koondame sarnased liidetavad 5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu. Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida. Näide 1. Lahendame võrrandi 2(2x - 5) = 20 - x Avame sulud 4x - 10 = 20 - x 4x + x = 20 + 10 5x = 30|: 5 x = 6.
ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID VEKTORI MÕISTE, MOODUL JA SUUND Neid suurusi, mida on võimalik iseloomustada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks (temperatuur, mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kok
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo
Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktsioon Funktsioon Kui hulga x igale elemendile on mingi eeskirjaga seatud vastavusse hulga y kindel elementi ,siis öeldaks, et hulgale x on defineeritud funktsioon. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x . Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y Funktsiooni määramispiirkond- Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda, see on nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav. Funktsioonide liigid- Funktsioone võime jagada: 1. Paaris ja paaritu funktsioonid · Paarisfunktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= f(-x)(sümmeetriline y-telje suhtes). · Paaritu funktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= - f (x) ( muutuma peavad kõik märgid) (sümmeetriline 0 punkti suhtes). 2. Perioodiline funktsioonid
annaabi.ee 
