Jäägu see aga lahendajaile iseseisvaks tööks.) Samas saame selle punkti ka välja arvutada. Parabool on alati sümmeetriline. Järelikult, kui parabool lõikab x-telge ehk tal on nullkohad, siis kahe nullkoha keskpunkti läbibki parabooli sümmeetriatelg. Arvutame. Nullkohad saavad vaid siis olla, kui muutuja y = 0. See tähendab, et paneme võrrandi y = 2x2 6x võrduma väärtusega 0. Saame 0 = 2x2 6x. Antud juhul võtame muutuja x sulgude ette. Saame x(2x 6) = 0. Kasutame loogikat. Korrutise tulemus on ainult siis 0, kui üks korrutatavatest on 0. Meil on kaks korrutise tegurit: x ja 2x 6. Et korrutis tuleks null, peavad mõlemad võrduma nulliga. Nii saamegi, et x1 = 0 ja 2x 6 = 0. Viimasest seosest saame, et 2x = 6, millest x2 = 3. See läheb kokku ka meie joonisega. Nende kahe punkti keskkoha saame kätte, kui nende vahekauguse jagame kahega. [0 (3)] : 2 = 1,5.
hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise järel samade märkidega 7.Hulkliikmete lahutamine - lahutatava hulkliikme kõik liikmed kirjutada esimese järele vastupidiste märkidega; võimalusel koondada NB miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees 8.Hulkliikme korrutamine üksliikmega - korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused selgitus:
Näide: x 2 3 3 x2 m t) a n n a m , kui a 0, m Z , n N 3 Näide: x 4 4 x 3 2) Korrutamise abivalemid a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 c) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 d) (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3) Hulkliikme lahutamine teguriteks a) Ühise teguri sulgude ette toomine Näide: 6a 2b 12a 3b 4 18a 4b3 6a 2b 1 2ab3 3a 2b 2 b) Valemite kasutamine (1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) Näide: 4 x 2 9 2 x 3 2 x 3 (2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) (3) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) Näide: 125a 3 8b3 5a 2b 25a 2 10ab 4b 2 (4) a – b = a b =
a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b − c ) = ab − ac Sulgude avamine: a + (b + c ) = a + b + c a + (b − c ) = a + b − c a − (b + c ) = a − b − c a − (b − c ) = a − b + c Viimased kaks valemit ütlevad, et miinusmärk sulgude ees muudab märgid sulgude sees. Näiteks 9 − ( 3 + 4 ) = 9 − 3 − 4 ja 8 − ( 2 − 3) = 8 − 2 + 3 . 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega Näide 1. a) liitmine 15 + ( +8 ) = 15 + 8 = 23 18 + ( −27 ) = 18 − 27 = −9 (lahtiseletatult: −9 saame, kui suuremast arvust, milleks on 27, lahutame väiksema ja märgiks paneme suurema arvu märgi) 10 + ( −7 ) = 10 − 7 = 3
4. x4 n x3 n = x3 n ( x n -1) 5. 25 c2 = (5 c)(5 + c) 6. (v + b)2 n 2 = ((v + b) +n)((v + b) n )= ( v +b + n)(v + b n ) 7. m 2 +6m + 9 = (m + 3)2 8. 9a 2 6a + 1 = (3a -1)2 9. 27s 3 8d 3 = (3s 2d)(9s 2 + 6 s d + 4d 2) 10. 64 + f 3 = (4 + f )(16 4f + f 2) b · Kaksliikmes a + b tuua sulgude ette a: a + b = a( 1 + ). a · Taandada murd: a -b a -b 1. = = -1 b - a - ( a - b) a 3 - 2a 2 a 2 ( a - 2) a2 2. = = a2 - 4 ( a - 2)(a + 2) a + 2 a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b) = a - b 3. 2 a + 2ab + b 2
.....................................................................................6 Reaalarvude piirkonnad............................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega................................................................................................
Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x Hulkliikme korrutamine üksliikmega Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused liidetakse. Näited: 5(4x-2y)=20x-10y ; -3u(5u-v)= -15u +3uv
Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat! Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine: xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2 yh saab arvutada parabooli võrrandist Murdvõrrand Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus nimetaja sisaldab muutujat
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
P=4a; S= a2 d =a 2 a a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x1 = 0, x2 = - ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b)
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse
P=4a; S= a2 d =a 2 a a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = − ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b)
lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga. Ratsionaalavaldises ei tohi esineda muutujat juuritavas. Kui muutuja esineb juuritavas, siis nimetatakse vastatakse vastavat avaldist irratsionaalavaldiseks. Näiteks avaldised ja on ratsionaalavaldised, kuid avaldis on irratsionaalavaldis. Ratsionaalavaldiste lihtsustamiseks kasutame matemaatilisi võtteid ja valemeid. x + 3 2x + 5 2x + 5 Sulgude ette toomine: ab + ac = a(b + c); Arvutamise abivalemid: a2 b2 = (a + b)(a b); (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a b)2 = a2 2ab + b2; (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3; a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2); a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2); Teeme ülesanded. Rühmitamisvõte:
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0. Kui jagame võrduse 3x2 = 0 mõlemad pooled arvuga (3), siis saame võrrandi x2 = 0, millest x1 = x2 = 0.
~ KORGEMA ¨O MATEMAATIKA EKSAMITO ¨ 1. variant1 Perekonnanimi, nimi, kuup¨ aev.......................... 1. Antud 2 LVS laiendatud maatriksit 2 Milline LVS on lahenduv 1 0 15 3 5 1 0 5 3 · esimene 5 0 1 5 0 5 ja 0 1 - 45 0 1 5 · teine 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 · mitte u
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni. Sel juhul on otstarbekas uurida nende avaldiste a1 üldisi omadusi. c b y° a2 ¡¡ 1 1 ±± b2 y c2 a1 korrutame võrrandi pooli a1-ga Üheks selliseks av
NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!! 6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. a (b + c + d) = ab + ac + ad Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame. (a + b + c) : k = a/k + b/k + c/k 7. Hulkliikmete tegurdamine. Hulkliikmete tegurdamine on hulkliikme esitamine korrutisena. NÄIDE 1: 2x² + 5x = x (2x + 5) NÄIDE 2: 7y + 14x + 35 = 7 (y + x + 5) 8. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis, kaksliikme ruut, kaksliikme kuup, kuupide summa ja vahe valemid. Ruutude vahe (a+b)(a-b)= a²- b² Vahe ruut (a-b)²= a²-2ab+b² Summa ruut (a + b)² = a² + 2ab + b² Summa kuup (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Kuupide summa a³ + b³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) Kuupide vahe (a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³
Näide 5. Esitame algebralisel kujul arvu 4(cos 30° + i sin 30°). tulemuseks saame sellise avaldise, mida üldjuhul pole võimalik lihtsustada. Liidame Leiame reaalosa a ja imaginaarosa b: näiteks arvud 4(cos 11° + i sin 11°) ja 2(cos 31° + i sin 31°). Pärast sulgude avamist a = r cos = 4·cos 30° = 2 3 ja b = r sin = 4·sin 30° = 2. saame tulemuseks Seega 4(cos 30° + i sin 30°) = 2 3 + 2i. 4cos 11° + 4 i sin 11° + 2cos 31° + 2i sin 31°. Saadud avaldist ei saa lihtsustada, seepärast kompleksarvude liitmisel ja lahutamisel ei Näide 6
Kordamine III 1. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui a = 5,5 3a - 6 2 - a - 36 a + 6 2 2. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui x = -4,5 4x + 8 3 - x - 16 x - 4 2 1 1 2 3. Lihtsusta avaldis - : m + n m - n mn - n 2 1 1 ab + b 2 4. Lihtsusta avaldis - a -b a +b 2 2 4 4 2 5. Lihtsusta avaldis : - + 2 3x - 6 x - 2 x + 2 x - 4 2 2 4 2 6. Lihtsusta avaldis - + 2 : x - 3 x + 3 x - 9 3x - 9 2 2 1 7. Lihtsusta avaldis 2 2 : +
n an = a , kui n paarisarv n am = n = an n a n = a , kui n paaritu arv n m a = nm a ; np a mp = n a m 2.5 Abivalemid ja tegurdamine ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 Abivalemite rakendamise näiteid ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 juuravaldiste lihtsustamisel: ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a -b = ( a- b )( a+ b ) ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( a± b ) 2
a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 % ) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 ) on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % . b Kui p % arvust a on m, siis
a +b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 %) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 )on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a 100 %
ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac a b c ab ac Sulgude avamine: a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent 1 % on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill 1 ‰ on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % .
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
märkide poolest, kui negatiivne arv, siis lahendid puuduvad.) Näide 16. Lahendame võrrandi 2x2 4,5 = 0 Lahendus. 2x2 = 4,5 ÷ 2 x2 = 2, 25 x = ± 2,25 = ± 1,5 x1 = 1,5 x2 = 1,5 2) Kui võrrandis ax2 + bx + c = 0 on c = 0 (puudub vabaliige), siis saame võrrandi ax2 + bx =0. 11 Selle lahendamiseks toome x sulgude ette: x(ax + b) = 0. Kahe teguri korrutis on null, kui üks teguritest on null: x = 0 või ax + b = 0 x1 = 0 ax = b b x2 = a Näide 17. Lahendame võrrandi 4x2 6x = 0. Lahendus. Kui võimalik, teeme ruutvõrrandi lihtsamaks! 4x2 6x = 0 ÷ 2 2x2 3x = 0 x(2x 3) = 0 x = 0 või 2x 3 = 0
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,(
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,(
ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID VEKTORI MÕISTE, MOODUL JA SUUND Neid suurusi, mida on võimalik iseloomustada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks (temperatuur, mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kok
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,5●(-2x) ●(-1)=7x , kordaja 7 3.2 SULGUDE AVAMINE • Korrutamise jaotuvuse seadust a(b + c) = ab + ac nimetatakse lühidalt sulgude avamiseks. ÜLESANNE 1: AVA SULUD 1) 2(x+1)= 2) 4(-2x+7)= 3) 5(- 1,2a+0,4)= 4) -2(-3,5y - 4,8)= 5) -2(a-2b+1)= ÜLESANNE1: VASTUSED 1) 2(x+1)=2x+2 2) 4(-2x+7)=-8x+28 3) 5(-1,2a+0,4)=-6a+2 4) -2(-3,5y - 4,8)=7y+9,6 5) -2(a-2b+1)=-2a+4b-2 3.3 SARNASTE LIIDETAVATE KOONDAMINE • Võrduse pooli võib vahetada a(b + c) = ab + ac ab + ac = a(b + c)
I. Determinandid 1 Determinandi m~ oiste 1.1 Idee selgitus Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri- tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks. 1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a. 1.3 N¨ aide | - 5| = -5
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) m
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
