Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Funktsiooni uurimine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
nimetaja, kirjutan, nullkohad, kriitilised, teljel, positiivsus, kannan, kasvamis, asümptoodid, asendada, avaldise, abijoon, kordi, jääva, lokaalne, käänupunktid, nõgus, kumer, püstasümptoot, parempoolne, lõpmatus, const, uurimine, määramispiirkond, ruutjuur, logaritm, positiivsuspiirkond, murd, ülespoole, monotoonsuse, ekstreemumid, xmax32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37. Kahe muutuja funktsioon - kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ). 38
3. konstantne vahemikus A f (x) = 0 iga x A korral, 4. kasvav vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, 5. kahanev vahemikus A f (x) 0 iga x A korral ja punktid, kus f (x) = 0 ei moodusta vahemikke, Järeldusi teoreemist: Kui f (x) > 0, siis on funktsioon y = f (x) kasvav vahemikus A. . Kui f (x) < 0, siis on funktsioon y = f (x) kahanev vahemikus A. 4 Statsionaarsed ja kriitilised punktid Punkte x X , kus f ' ( x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f (x) statsionaarseteks punktideks. Funktsiooni statsionaarseid punkte ja neid punkte, kus funktsiooni tuletis puudub, nimetatakse funktsiooni y = f (x) kriitilisteks punktideks. Kui vahemikus A = (a; b) punktid x1 < x2 < ...< xn on funktsiooni ainukesed kriitilised punktid, siis vahemikes (a; x1), (x1; x2) , ..., (xn ; b) säilitab funktsiooni tuletis märki.
lim on lõplik nullist erinev suurus. Lõpmata väikeseid suurusi nimetatakse ekvivalentseteks, ~ kui lim =1 . Lõpmata väikest suurust nimetatakse kõrgemat järku lõpmata väikeseks suuruseks võrreldes -ga, kui lim = 0 . Kui 0 , siis öeldakse ka, et lugeja läheneb 0-le kiiremini kui nimetaja. Pöördväärtus on lõpmata suur. Arv e e (Euleri arv) on naturaallogaritmi alus. e avaldub e = 2,718281828... e on irratsionaalarv (väärtust ei saa täpselt esitada). Piirväärtus Lõpmatu rea summa: kus n! on arvu n faktoriaal. Piirväärtuse arvutamine- arvu A nimetatakse jada an piirväärtuseks, kui mingist jada elemendist alates kõik jada elemendid on arvule A lõpmata lähedal
esmaspäev, 3. veebruar 2014. a 1. Määramispiirkond 7. Kasvamis ja X kahanemisvahemiku 2. Kas funktsioon on paaris- d X või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x
logaritmi logex nim naturaallogaritmiks ja tähistatakse lnx. Piirväärtuse arvutamine Teoreemid, mis hõlbustavad piirväärtuse leidmist · Lõpliku arvu muutujate summa piirväärtus võrdub nende piirväärtuste lim y=a, lim z=b summaga: lim(y+z)=a+b · korrutise piirväärtus võrdub piirväärtuste korrutisega (konstantse kordaja võib piirväärtuse märgi ette võtta) · Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b0 · Kui yuz ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a · Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu
lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtuste arvutamine 1) lim 1/n=0 n 2) lim ±n=± n 3) lim c=c n 4) lim(an±bn)=liman±limbn n n n 5) lim(an x bn)=liman x limbn n n n 6) lim(an÷bn)=liman÷limbn , kui limbn =/ 0 n n n n Murdude piirväärtuste arvutamisel võib esineda kolm juhtumit: A) murru lugeja ja nimetaja on ühe ja sama astme avaldised B) lugeja aste on väiksem, kui nimetaja aste, siis murru piirväärtus on 0 C) lugeja aste on suurem, kui nimetaja aste, siis murru piirväärtus on Funktsioonid y=ax , kus a-tõus ,,a" iseloomustab, millise nurga sirge moodustab, mida suurem on a seda suurem on x-telje ja sirge vaheline nurk. Kui a on positiivne, siis on tõusev sirge I ja III veerandi suunaline. Kui a on negatiivne, siis on II ja IV veerandi suunaline langev sirge. Funktsionaalsed seosed:
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x l
1 1+x y = ln , mida nimetatakse areatangensiks ja t¨ahistatakse y = arth x. 2 1-x 1.1.6 Liitfunktsioon Oletame, et argumendile x X on vastavusse seatud muutuja u v¨aa¨rtus, u = g(x), st u on muutuja x funktsioon ja omandab v¨a¨artusi hulgast U Muutuja u U v~oib omakorda olla argumendiks mingile teisele funktsioonile, st y = f (u). 19 Kui asendada u muutuja x kaudu viimasesse funktsiooni, saame liitfunkt- siooni y = f [g(x)]. Funktsioone u = g(x) ja y = f (u) nimetatakse liitfunktsiooni komponent- funktsioonideks ehk komponentideks. Seejuures funktsiooni u = g(x) nimeta- takse seesmiseks ja funktsiooni y = f (u) v¨aliseks. N¨aide 1. Liitfunktsiooni y = 1 - x2 komponendid on seesmine funkt- sioon u = 1 - x2
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
1. Sõnastada ja tõestada piirväärtusteoreem kahe funktsiooni summa piirväärtuse arvutamiseks protsessis x +. Teoreem (1): Kahe, kolme, üldiselt lõpliku hulga muutuvate suuruste algebralise summa piirväärtus võrdub nende muutuvate suuruste piirväärtuste algebralise summaga. lim(u1 + u2 +....) = lim u1 + lim u2 + ... Tõestus: Tõestan teoreemi kahe funktsiooni liitmise korral. Olgu lim f(x) = A ja lim g(x) = B (Vaatlen mõlemaid protsesse piirprotsessis x +) Teoreem (1) põhjal võib kirjutada lim x + f(x) + g(x) = lim x + f(x) + lim x + g(x) Eeldame, et liidetavaid on lõplik arv. Tugineb lvs omadusele. Lvs (lõpmata väike suurus) omadus: lim(x+) f(x) = A, kui iga > 0 korral leidub selline arv N, et iga x > N korral on I
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 = a11a22 - a12 a21 . a21 a22
lim/xa/f(x) = b1 ja lim/xa/f(x) = b2, siis b1 = b2 . 2. Funktsioonil võib olla piirväärtus ka punktis a, mis asub väljaspool tema määramispiirkonda. See oli nii eespooltoodud näites. Funktsiooni piirvaartuse definitsiooni laiendamine() juhtudele a = ± ja b = ±. ( Analoogiliselt saab käsitleda() ka piirväärtusi, milles lõplike arvude a ja b asemel esinevad suurused - v~oi . Selleks tuleb ülaltoodud() definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega või -. Funktsiooni uhepoolsete piirvaartuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. ( ) Funktsioonil on vasakpoolne() piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a(-), mis rahuldab tingimust x = a, funkt.väärtus f(x) läheneb arvule b. lim/x a(-)/f(x) = b Funktsioonil on parempoolne() piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a(+), mis rahuldab tingimust x = a, funkt.väärtus f(x) läheneb arvule b.
y'(c)=0. Tõestus. Kui f. on pidev lõigul (a;b), siis ta saavutab mingis punktis oma suurima ja vähima väärtuse. Olgu f(x1)=m vähim väärtus ja f(x2)=M suurim väärtus. Kui m=M=0, siis f(x)0 ja y'(x)0. Olgu näiteks M0. Punktis x2 ei saa aga f. olla 0-st erinev. Kui tuletis oleks 0, siis f. oleks kas kasvav või kahanev ja mistahes x2 ümbruses väärtusi, mis oleksid M nii väikesed kui suured. S.o. vasturääkivuses eeldusega, et M on suurim. Järeldus. Kui teoreemi tingimus asendada tingimusega f(a)= f(b), siis teoreem kehtib. 28. Cauchy ja Lagrange'i teoreemid: Lagrange'i Teoreem. (Lagrange'i) Olgu y=f(x) 1) Pidev lõigul (a,b) 2)diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub vähemalt 1 selline punkt c(a,b), et kehtib valem. f(a)-f(b)= (a-b)f'(c) Lagrange'i valem, lõpliku muudu valem. Tõestus. vaatleme f.-ni (x)=(a-b)(f(x)-f(b))- (x-b)(f(a)-f(b)) See f. on pidev lõigul (a,b), dif.-uv vahemikus (a,b), (a)=(b)=0. Järelikult Rolle`i teor
Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12 a11a22 a12 a21 . a21 a22
... 4 MÄÄRAMATUSTE LAHENDAMISEST 1. DEFINITSIOON.Täisratsionaalseks funktsiooniks e. POLÜNOOMIKS nimetatakse funktsiooni Pn (x) = a0xn + a1xn - 1 + a2xn - 2 + ... + an-1x + an. Polünoomide jagatist nimetatakse MURDRATSIONAALSEKS funktsiooniks. f(x) = Pn(x)/Qm(x): 0/0: lugejal ja nimetajal on ühine tegur x a, ülesande lihtsustamiseks jagada lugeja ja nimetaja sellega läbi. /: ülesande lihtsustamiseks võtta x kõrgeim aste sulgude ette nii lugejas kui nimetajas. 2. f(x) sisaldab IRRATSIONAALSUSI: ülesande lihtsustamiseks kaotada olemasolevad irratsionaalsused, kasutades algebra põhivalemeid. 3. OLULISI PIIRVÄÄRTUSI lim (sin x)/x = 1, x0 lim (1+(1/x))x = e 2,71... x 5 TULETISTE ARVUTAMINE DEFINITSIOON
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on
iga kuitahes väikese positiivse arvu korral leidub selline positiivne arv N, et kõigi x x >N f ( x) - b < väärtuste puhul, mis rahuldavad võrratust >, kehtib võrratus . sin x 8. Funktsiooni x piirväärtus, kui x 0 , koos tõestusega. sin x Funktsioon x ei ole punktis x = 0 määratud, sest murru lugeja ja nimetaja muutuvad nulliks. Leiame selle funktsiooni piirväärtuse, kui x 0. 9. x 1 1 + 10. Arvu e definitsioon ja ligikaudne väärtus. Funktsiooni x piirväärtus x lähenemisel lõpmatusele. Naturaallogaritm. n 1
2 11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium FUNKTSIOONI MÄÄRAMISPIIRKOND Leia joonise abil funktsiooni 2 y ja 1 x y 5 x määramispiirkond © Allar Veelmaa 2014 3 11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium FUNKTSIOONI NULLKOHAD y 8 7 y=(x-3)4+1 6 5 y x 2 ( x 3) 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3
x1)=RS ->def RS>QS *f'(x1)(x2-x1)>f(x2)-f(x1); f'(x2)(x1-x2)>f(x1)-f(x2)|-1-> f'(x2)
(x2-x1)
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarv�
31. Määramata integraal- avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom- hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal- piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37
Kui , siis ehk Kui , siis ehk Seega Kontroll mathcadiga: Mathcadis võib kasutada ka Symbolics---Variable---Convert to Partial Fraction 13. Mis on ratsionaalfunktsioon? Tooge 2 näidet! Ratsionaalf-niks nim. f-ni , kus p(x) ja q(x) on polünoomid. Näited: , 14. Mis on liigmurd, lihtmurd ratsionaalfunktsioonide puhul? Esitage 2 näidet! Kui murru lugeja aste on nimetaja astmest madalam, siis nimetatakse murdu lihtmurruks, vastasel juhul liigmurruks. Näited: lihtmurd: , liigmurd: , 15. Mis on osamurrud? Toode 2 näidet! Osamurd on murd kujul , kus A, B, p, q on reaalarvulised konstandid ja nimetaja nullkohad ei ole reaalarvud ning k on positiivne täisarv. Näited: v.t. punkti 12 16. Mis on funktsiooni graafiku asümptoot? Tooge 2 näidet!
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A (a,b). 2. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suu
x1 , x2∈ A FUNKTSIOON (Ühene) ühe reaalmuutuja f-n – hulga X ⊂ R igale elemendile vastab element y hulgast Y ⊂ R. Mitmene f-n – hulga X igale elemendilt vastab vähemalt üks element hulgas Y ja vähemalt ühele hulga X elemendile Mittekahanev(monotoonselt kasvav): piirkonnas A⊂X , kui iga korral vastab mitu elementi hulgast Y. Määramispiirkond – hulk X. Muutumispiirkond – hulk Y. f ( X )={ y| y=f ( x ) ˄ x ∈ X } ⊆Y
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x. Selle arvu absoluutväärtus moodul I x I on defineeritud järgmiselt: I x I = x, kui x ≥ 0 I x I = -x, kui x < 0 Nt. I 3 I = 3 ; I -5 I = 5 ; I 0 I = 0 Arvu absoluutväärtus muudab arvteljel selle arvu kaugust
57. F-ni mõiste. Määramis- ja muutumispk. F- 69. Arv e ni graafik. 70. Arvu logaritm y=f(x) log a c = b a b = c , kus a 1, a > 0, c > 0 Määramispiirkond on muutuja x kõik a-logaritmi alus väärtused b-logaritm 58. F-ni nullkohad.Positiivsus- ja c-logaritmitav negatiivsuspk I. Kümnendlogaritm 59. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. log10 c = b log c = b Ekstreemumid 60. Astmefunktsioon II. Naturaallogartim y = x n kus n 0 ja n Z log e c = b ln c = b 61
Funktsiooni tuletis (jätk) - + sin - sin = 2 sin cos 2 2 Funktsiooni y = sin x tuletis Teoreem: Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x Tõestus: y = sin( x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x = 2 sin cos x + 2 2 x x x 2 sin cos x + sin y 2 2 2 cos x + x = = x x x 2 2 1 x
1) kui A1 < 0 , A2 > 0 , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne maksimum; 2) kui A1 > 0 , A2 > 0 , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne miinimum; 3) kui A2 < 0 , siis funktsioonil f pole punktis P0 lokaalset ekstreemumit; 4) kui A2 = 0 , siis antud teoreem ei sobi lokaalse ekstreemumi määramiseks punktis P0. Lokaalsete ekstreemumite määramine: 1) Tuleb leida kõik funktsiooni f kriitilised punktid; 2) Tuleb kontrollida, kas statsionaarsetes punktides leidub lokaalseid ekstreemume kasutada eelmist teoreemi; 3) Tuleb kontrollida, kas ülejäänud kriitilistes punktides leidub lokaalseid ekstreemume kasutada definitsiooni. Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis. Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D .
funktsiooni suurim väärtus on 14. Näpunäited I, II, III 1) Funktsioon y f ( x) on diferentseeruv. Diferentseeruv funktsioon on kasvav vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min ,
(tõestusega). kujul. Teoreem 1 Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigul 19 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus [a,b], siis eksisteerib määratud integraal (tõestusega). Kriitilised punktid. m=inf f(x) x [a,b] ; M=sup f(x) x [a,b] 20. Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega). 21. Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid.
annaabi.ee 
