Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Ettevalmistus matemaatika riigieksamiks". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
juur, matemaatika, võrrandid, tõenäosusteooria, seoseid, liitprotsendiline, tehted, juuritav, lähteväärtus, algkapital, reaalarvud, avaldised, piirväärtus, logaritm, trigonomeetrilised, vajalikkusest, jagame, murruga, kasvamise, lõppväärtus, riigieksamiks, lineaar, murdvõrrandid, vektor, joone võrrand, graafikud, arvjada, eksponentvõrrandiddeka- da 10 detsi- d 10-1 Arvu esitamist standardkujus kirjutatakse see arv kahe teguri a ja b korrutisena. Esimeseks teguriks on arvu tüvi (1 a 10) ja teiseks teguriks on kümne aste. Astme a n ja astendaja n põhjal astme aluse leidmist nimetatakse juurimiseks. (Astendamise pöördtehe). n a — n-nda astme juur arvust a (või n-es juur arvust a). juurija n a juure märk juuritav Juurte omadused: 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3
Arvu esitamist standardkujus kirjutatakse see arv kahe teguri a ja b korrutisena. Esimeseks teguriks on arvu tüvi (1 a 10) ja teiseks teguriks on kümne aste. Astme a n ja astendaja n põhjal astme aluse leidmist nimetatakse juurimiseks. (Astendamise pöördtehe). n n a — n-nda astme juur arvust a (või n-es juur arvust a). juurija a juure märk juuritav Juurte omadused: 1. Igal positiivsel arvul a on parajasti üks n-es juur. 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt. 3. Igal negatiivsel arvul on parajasti üks paaritu juurijaga juur, mis on negatiivne. 4. Iga n N korral, kui n 2 n 0 0 ja n 1 1 . 5
ASTME MÕISTE ÜLDISTAMINE RATSIONAALARVULISTE ASTENDAJAGA ASTE Ruutjuureks antud mittenegatiivsest arvust nimetatakse niisugust mittenegatiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga: siis, kui ba2 = = ab ja b 0 Näide: , sest 9 =3 =9 3 2 Murrulise astendajaga astme defineerime nii: m , kusa >= 0, an n m m Z, n Z, n 2 a (loeme: n-es juur arvust a astmes m) Juurimisel kasutame järgmisi nimitusi: on juur, n n a m on juurija ja a juuritav. Ruutjuure korral jäetakse juurija kirjutamata. Kui n = 3, siis nimertame juurt kuupjuureks. Kui n > 3, siis erinimetusi juurtele antud ei ole, loeme: neljas juur, viies juur jne. Pea meeles! 1. Igal positiivsel arvul on parajasti üks n-es juur 2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurija korral juurt 3
lim 3rn , kus rn (1,4; 1,41; 1,414; ...) n 10 lim 10 rn , kus rn (3,1; 3,14; 3,141; 3,1415 ...) n Astme omadusi. 1. Kui a > 0, siis ar > 0 igasuguse reaalarvulise astendaja r puhul. 2. ( a ) 2n a 2n ja ( a ) 2 n 1 a 2 n 1. 3. 0 0 iga r 0 korral. r 4. 1r = 1. Tehted astmetega. 1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel tuleb astendajad liita: a r a s ars Näited 23 2 2 232 25 3 x 4 5 x 3 3 5 x 4 x 3 15 x 43 15x 7 10 1 10 10 1 101 10 11 100 1 2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel alused korrutatakse: a r b r ( a b) r Näited 2 3 2 2
Juure mõiste (I) Astendamise pöördtehet nimetatakse juurimiseks. See pöördtehe on defineeritud vaid ühest suuremate naturaalarvude korral. Antud astendaja n > 1 ning arvu a korral tähendab see sellise arvu b leidmist, et bn = a. Juurimistehte tulemust tähistatakse sümboliga n a , mida nimetatakse n-nda astme (ehk ka n-ndaks) juureks arvust a. Arvu n nimetatakse sealjuures juurijaks ja arvu a juuritavaks. juurija juuritav Näide Kuna 33 27, siis 3 27 3. Kui juurijaks on 2, siis jäetakse juurija kirjutamata ning kasutatakse sümbolit a , mida nimetatakse ruutjuureks arvust a. Kui juurijaks on 3, siis nimetatakse juurt kuupjuureks. Näide 25 5, kuna 52 25. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juure mõiste (II)
Matemaatika Riiklik õppekava: https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1140/1201/1002/VV2_lisa3.pdf# Gümnaasium matemaatika 1.-5 kursus Õppeaine: Matemaatika (lai kursus) Klass: 10. klass 1. Õppekirjandus: l.Lepmann, T.Lepmann, K.Velsker Matemaatika 10.klassile 2. Õppeaine ajaline maht: 5 kursust (175 tundi) 3. Õppeaine eesmärgid:õpilane 1) saab aru matemaatika keeles esitatud teabest; 2) tõlgendab erinevaid matemaatilise informatsiooni esituse viise; 3) kasutab matemaatikat igapäevaelus esinevates olukordades; 4) väärtustab matemaatikat, tunneb rõõmu matemaatikaga tegelemisest; 5) arendab oma intuitsiooni, arutleb loogiliselt ja loovalt; 6) kasutab matemaatilises tegevuses erinevaid teabeallikaid; 7) kasutab arvutiprogramme matemaatika õppimisel. Õppeaine sisu:
b · Arv, millest b moodustab p% on 100 p a · Arv a on arvust b 100 % b b-a · Arv b on arvust a suurem 100 % a b-a · Arv a on arvust b väiksem 100 % b 2. Võrrandid ja võrratused b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a 2 p p x 2 + px + q = 0 x 1;2 = - ± -q 2 2
I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………..
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon
Jätkame kirjeldatud jagamist, kuni jagatis on 0. Otsitud arvu saame, kui kirjutame saadud jäägid üksteise järele alustades viimasest. 1.9 Täisarvulise astendajaga astendajaga · an=a·a·a·a (n tegurit) · a1=a · (a·b)n=an·bn · (a/b)n=an/bn · (an)m=anm · am·an=am+n · am/an=an-n 1.10 Ruutjuur a=b, kus b0 ja b2=a · a·b=a·b · a/b=a/b · na+ma=(n+m)a · a2=|a| 1.11 Arvu n-es juur 2k-ndaks juureks mittenegatiivsest arvust a nimetatakse sellist mittenegatiivset arvu b, mille 2k-s aste on a (2k+1)ks juureks arvust a nimetatakse sellist arvu b, mille (2k+1)-ne aste on a 1.12 Juurte omadusi · Igal mittenegatiivsel reaalarvul on parajasti üks mittenegatiivne n-es juur · Negatiivsel arvul ei ole reaalarvude hulgas paarisarvulise juurijaga juurt · Igal negatiivsel arvul on reaalarvude hulgas parajasti üks negatiivne paarituarvulise juurijaga juur 4. 5. 6. 7.
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma
Absoluutväärtust sisaldavad 5. Ligikaudne arvutamine võrratused/võrranid x = a ( ± a ) 22. Trigonomeetria sin 2 + cos 2 = 1 6. Suhteline e. relatiivne viga a sin S = tan = a cos 7. Võrrandid ja võrratused(lineaar, ruut, 1 1 + tan 2 = murd) cos 8. Parameetrit sisaldavad võrratused(peale Phytagorase teoreem a2+b2=c2 otsitava x veel täheline suurus) Täiendusnurga valemid 9. Biruutvõrrand sin = cos( 90° - )
.............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste...............................................................................9 Arvu 10 astmed.....................................................................................................................9 Juurimine...............................................................................................
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. VÕRRANDID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lineaarsed võrrandid. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ruutvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. PROTSENT- JA FINANTSARVUTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0 Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis 1) (AT )T = A 2) (A)T = AT 3) (A ± B)T = AT ± B T 4) (AB)T = B T AT 5) det AT = det A Paneme t¨ahele tegurite j¨arjekorra muutumist omaduses 4). Lause 11. Iga ruutmaatriksi A korral on maatriks A+AT s¨ ummeetriline ja maatriks A - AT antis¨ ummeetriline. II
3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon . . . . . . . . 20 1.5 Reaalarvude korpuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud . . . . . . . . 21 1.5.2 Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus . . . . . . . . 22 1.5.3 Reaalarvu absoluutväärtus. Intervallid . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.5 Dedekindi lõiked . . . . . .
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....
mitterutiinseid ülesandeid); · teada saada, milline on gümnaasiumilõpetajate matemaatikaalane ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel haridusastmel. Eksami vorm Matemaatika riigieksami põhieksam on kahes variandis ja lisaeksam on ühes variandis. Matemaatika riigieksam (ja ka lisaeksam) on kaheosaline kirjalik eksam 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on 45 minutiline vaheaeg. Käesoleva õppeaasta matemaatika riigieksam toimub 4. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksaminandidele, kes mõjuvatel põhjustel põhieksamil osaleda ei saa, korraldatakse lisaeksam 17. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksami 1. osa ülesannetega kontrollitakse gümnaasiumi ainekursuste põhiteadmiste ja -oskuste omandatust ning oskust neid teadmisi ja oskusi rakendada elulistes situatsioonides. Eksami 2. osa ülesannetega kontrollitakse, kuivõrd struktureeritud on eksaminandi teadmised,
Pöördfunktsiooni defineerime nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. 1. ja , neist esimene iga korral 2. ja , neist esimene iga korral 3. ja , neist esimene iga korral 4. ja , neist esimene iga korral · Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad 1. 2. 3. 4. 5. · Algebralised tehted funktsioonidega Kui on antud kaks ühise määramispiirkonnaga funktsiooni ja siis kehtivad järgmised seosed: 1. 2. 3. 4. Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise puhul aga kus · Liitfunktsiooniks nimetame funktsiooni mis saadakse mitme funktsiooni järjest rakendamisel. · Liitfunktsiooni määramispiirkond - on määratud ainult sellistel x väärtustel, mille korral
Mainori Kõrgkool Matemaatika ja statistika Loengukonspekt Silver Toompalu, MSc 2008/2009 1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste .......................................................
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2
vasakpoolsest ja parempoolsest pidevusest punktis a Funktsioon f on pidev oma määramispiirkonna D kuhjumispunktis a ∈ D parajasti siis, kui Funktsioon on pidev igas punktis a ∈ R. Olgu funktsioon f : [0, 4] → R määratud seosega Siis seega on f punktis a = 2 küll vasakult pidev, kuid ei ole selles punktis paremalt pidev. 17. Tehted pidevate funktsioonidega. Liitfunktsiooni pidevus (*) Defineerida funktsiooni pidevus antud punktis. Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks punktis a (ehk kohal a), kui Tõestada vabal valikul 2 väidet lausest 4.2: Olgu funktsioonid f : D → R ja g : D → R pidevad punktis a, siis ka funktsioonid f + g, f − g, λf, fg ja f/g on punktis a pidevad (funktsiooni f/g puhul eeldame, et g (x) ̸= 0 iga x ∈ D korral). Tõestus:
funktsiooni määramispiirkondade alamhulkadel (näiteks y=sinx x=[-/2;/2]) Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad: y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-/2; /2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; ] ; y = arctan x : X = R; Y = (- /2; /2) ;0 y = arccot x : X = R; Y = (0; ) : (graafikud lk.16,17) Arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetrilised funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) = f(x) - g(x) korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) = . Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x) = 0. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond.
arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f - g)(x) =f(x) - g(x), korrutis y = (fg)(x) =
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus 3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk. Igal lõigukesel xi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame punkti i =[xi-1,xi] 4. Pi
5 29 a b 42 32 (2)2 52 Arvuti abil leiame, et kui cos = 0,26 Siis nurk = 74,9° © Allar Veelmaa 2014 25 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KOKKUVÕTE: TEHTED VEKTORITEGA On antud vektorid a (x1; y1) ja b (x2; y2 ) , siis Vektorite summa a b (x1 x2; y1 y2 ) Vektorite vahe a b (x1 x2; y1 y2 ) Vektori korrutis arvuga k a (k x1; k y1) x1 y Vektorite kollineaarsus 1
3. Mis on operaator? Tooge 2 näidet! Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x) Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega, tehted vektoritega, tehted maatriksitega, kaubahalli kassiiri tegevus kauba hinna määramisel jne. 4. Milline operaator on determineeritud? Tooge näide! () x- fx 1 2 Determineeritud operaatoriks nimetatakse operaatorit, mis seab muutuja x väärtusele vastavusse ühe või mitu muutuja f(x) kindlat väärtust. 5. Mis on argument? f(x) Muutujat x nimetatakse x f() 2
defineeritakse nende funktsiooni määramispiirkondade alamhulkadel (näiteks y=sinx x=[-π/2;π/2]) Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad: y = arcsin x : X = [-1; 1]; Y = [-π/2; π/2] ; y = arccos x : X = [-1; 1]; Y = [0; π] ; y = arctan x : X = R; Y = (-π /2; π/2) ;0 y = arccot x : X = R; Y = (0; π) : (graafikud lk.16,17) Arkusfunktsioonide graafikud on trigonomeetrilised funktsioonide ahendite graafikute peegeldused üle sirge y=x. 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f − g)(x) = f(x) − g(x) korrutis y = (fg)(x) = f(x)g(x) ja jagatis y = (f/g)(x) = . Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X. Jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x ∈ X, mille korral g(x) ̸= 0. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond.
j. am -1 z + ... + a1 z + a0 n.j. Siin am-1, a1, a0 Mingite heade omadustega kordajad Kahendkoodi hulkliige: Koodisõna v.j. 1 0 1 0 0 1 0 1 1 Hulkliige on f n -1 ( Z ) = f 8 ( z ) = 1 z 8 + 0 z 7 +1 z 6 + 0 z 5 + 0 z 4 +1 z 3 + 0 z 2 +1 z 1 + 1 z 0 = = z 8 + z 6 + z 3 + z +1 Selliste koodide kirjeldamiseks ja analüüsiks sobivate hulkliikmete tehete jaoks on kõige sobivam kasutada kordajaid, mis kuuluvad mingisse lõplikku korpusesse. 35. Tehted lõpliku korpuse elementidega.Konspekt 13. -liitmine (ka lahutamine) -korrutamine -korrastamine (faktoriseerimine) -pöördelementide leidmine -..... -diskreetne logaritm -..... 36. Tehted lõpliku laiendatud korpuse elementidega. Samad tehted, aga kõigepealt tuleb korpuse elemendid korrastada! - Madar konsultatsioonis rääkis nii. 37. Hammingi koodi tekitava maatriksi ja kontrollmaatriksi koostamine. Vt. pisut eespoolt 38
annaabi.ee 
