histogrammi graafik. Kõik koos: 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: Et hüpotees vastu võetaks, peab DN Dkr, siin on 0,08 <0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Kontrollida moodustatud rühmade homogeensushüpoteesi: , kasutades dispersioonanalüüsi metoodikat ja võttes olulisuse nivooks = 0,10 i/r 1 2 3 4 5 1.-5
2 = 0,160 f = k h 1 = 5 0 (kõik parameetrid juba antud) 1 = 4 2kr = 20,90(4) = 7,779 Kuna 2 < 2kr, siis võtame hüpoteesi H0 vastu. 5. Graafikud tõin välja punktis 4. 6. Empiirilise jaotusfunktsiooni F(x) ja üthlase jaotusfunktsiooni graafikud 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Arvutame DN järgmise valemi abil: F0 ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon x(i) punktis 1 moodustatud variatsioonirida DN = 0,2 Kuna DN < Dkr, siis võtame nullhüpoteesi vastu 8. Moodustada valimist kolm alamvalimit/osa, igaüks mahuga neli arvu (võttes osaks/rühmaks 1.-4.arvu, 11.-14.arvu ja 21.-24.arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H0: 1 = 2 = 3 (kasutades dispersioonanaluusi metoodikat ja vottes olulisuse nivooks = 0,05).
3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. 6 Konstrueerida (samas teljestikus) järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil ... hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0.10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0.238). Võib kas väärtust otse lugeda graafikult (et kui palju erinevad empiiriline ja ühtlane kõige rohkem) või siis arvutada. Kui Dn on suurem kui Dkr siis jaotus ei ole ühtlane (hüpotees ei pea paika). Kuna graafikult ei ole väga hästi välja näha siis arvutan: DN = max(abs ( Femp ( xi ) - Füht ( xi ))) DN = 0,24 Arvutasin Excelis, kuna seal on korralikud tabelid olemas ning valemit saab otse sisestada (ülemine ongi Excelis kasutatud valem).
08 0.07 0.05 0 0-14 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 90-104 hüpoteetilise normaaljaotuse jaoutusfunktsioon 8. Kontrollida Kolomogorovi-Smirnovi ja x2 testi abil hüpoteesi, et kõik põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikujaotus, võttes olulisuse nivooks = 0,05, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,265. D N =max|F emp ( x i )-F ( xi ) rk| F(xi) emp max = 1 F(xi)rk max = 0,97 DN = 1 0,97 = 0,03 Dkr = 0,265 Et hüpotees kehtiks, peab DN Dkr, antud arvutustes kehtib võrratus 0,03 < 0,265 Osa B - Dispersioonanalüüs 9. Jagan valimi viieks võrdse mahuga osaks. Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H 0 : 1=2=3= 4= 5 , kasutan selleks dispersioonanalüüsi
xxxx 6. Konstrueerin samas teljestikus: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafiku 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafiku 7. Kontrollin Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võtan olulisuse nivoo = 0,10; st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: Et hüpotees vastu võetaks, peab DN Dkr, antus arvutustes kehtib võrratus 0,16 < 0,238 ja seega võtan nullhüpoteesi vastu ning põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagan valimi viieks võrde mahuga osaks ( võtan osaks 1.-5.arvu...21.-25. arvu). Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi , kasutan selleks
0,45 Ühtl 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: (graafikult, aga ka arvutades:) | ( ) ( )| Et hüpotees vastu võetaks, peab DN Dkr, kuid siin on 0,25 > 0,238 ja seega lükatakse hüpotees tagasi, üldkogumi jaotuseks pole ühtlane jaotus. 8
11 0.04 0.04 0 0.06 0.06 -0.02 0.05 0.05 -0.01 0.09 0.09 -0.05 0.09 0.09 -0.05 0.02 0.02 0.06 0 0 0.04 0.01 0.01 0.03 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne e DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DN≤Dkr, siin on 0,16<0,238 , üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8) 1 2 3 1.- 4. 10 5 12 11.- 14. 50 28 82 21.- 24. 68 14 95 1397.625 üldine rühmasisene dispersioon 105.2524 Rühmavaheline dispersioon F= 0.075308 F- statistik Hüpoteesi vastu võtmiseks
histogrammi graafik Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,13 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DN Dkr, siin on 0,13 < 0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagada valim viieks võrdse mahuga osaks (võttes osaks/rühmaks 1.-5. arvu, 6.-10. arvu, ..., 21.-25. arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade keskväärtuste
3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 6. Koostada samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN , kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238) F0 ühtlase jaotuse jaotusfunktsioon x(i) punktis 1 moodustatud variatsioonirida Kuna DN < Dkr, siis võtame nullhüpotees vastu 8. Kontrollida moodustatud rühmade homogeensushüpoteesi: H0: 1=2=3=4=5, kasutades dispersioonanalüüsi metoodikat ja võttes olulisuse nivooks = 0,05 ir 1 2 3 4 5 1.-5. 77 2 39 37 14 33,8 661,36 476,99 6.-10
84 0.87 0.03 22 94 0.88 0.94 0.06 23 95 0.92 0.95 0.03 24 96 0.96 0.96 0 25 98 1 0.98 0.02 0.03 0 0.03 0.04 0 0.04 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaa 0.06 -0.02 0.08 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DN≤Dkr, siin on 0,17<0, 0.09 -0.05 0.14 üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 0.1 -0.06 0.16 0.13 -0.09 0.22 0.16 -0.12 0.28 0.17 -0.13 0.3 0.16 -0.12 0.28 0.15 -0.11 0.26 0.17 -0.13 0.3 0.15 -0.11 0.26 0.14 -0.1 0.24 0.1 -0.06 0.16 0.08 -0.04 0.12 0.02 0.02 0 0.06 -0.02 0.08 0.01 0.03 0.02 0.02 0.02 0 0 0.04 0.04 0.03 0.07 0.04 0.06 0.1 0.04 0.03 0.07 0.04 0 0.04 0
1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 6. Konstrueerida (samas teljestikus) järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0.10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0.238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,13 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Hüpotees vastu võtmiseks, peab DNDkr, siin on 0,13<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu. 8. Moodustada valimist kolm alamvalimit/osa, igaüks mahuga 3 arvu (võttes osaks/rühmaks 1.-3.arvu, 11.-13.arvu ja 21.-23.arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H0: µ1 = µ2 = µ3 , kasutades
0,4 Линейная (Ühtl) 0,3 0,2 0,1 0 0 20 40 60 80 100 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes α = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: D N = 0,14 DN=max[Femp (Xi)- F0 (Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DN ≤ Dkr, siin on 0,14 < 0,238 Seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagada valim viieks võrdse mahuga osaks (võttes osaks/rühmaks 1.-5. arvu, 6.-10. arvu, ..., 21.-25. arvu)
Variant 23 0, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 20, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 31, 33, 38, 38, 39, 40, 43, 44, 44, 45, 46, 48, 52, 52, 55, 56, 56, 62, 62, 65, 69, 71, 71, 71, 74, 74, 75, 75, 79, 79, 80, 82, 85, 86, 87, 91, 91, 95, 96, 98 Dixon-test Rlow=(x3-x1)/(xn-2-x1), n=60 -> Rlow=(4-0)/(95-0)=4/95=0,042 < Dkr=0,35 Rhigh=(xn-xn-2)/(xn-x3) = (98-95)/(98-4)=3/94=0,0319 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statilised hüpoteesid ja jaotused Tabel 1. Valim xi-juhuslik arv, ni xi kordumiste arv n=60 xmin=0 , xmax=98 xi ni ni*xi ni*xi2 ni(xi-x)2 2282,92 0 1 0 0 84 2188,36 1 1 1 1 84
0, 1, 1, 4, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 17, 20, 22, 23, 24, 25, 25, 25, 27, 33, 38, 38, 39, 39, 40, 43, 44, 44, 46, 52, 62, 62, 69, 69, 71, 71, 74, 74, 75, 75, 78, 78, 79, 79, 80, 82, 82, 85, 86, 87, 91, 91, 96, 96, 96, 98 Dixon-test Rlow=(x3-x1)/(xn-2-x1), n=60 -> Rlow=(1-0)/(96-0)=1/96=0,01 -> x1 ekse, sest et Rlow =0,01> Dkr=0,35 Osa A. Hinnangud, usaldusvahemikud, statilised h üpoteesid ja jaotused Tabel 1. Valim xi-juhuslik arv, ni xi kordumiste arv xmin=0, xmax=98 xi ni ni*xi ni*xi² ni(xi-x)² 0 1 0 0 2254.35 4320.78 1 2 2 2 1 4 1 4 16 1890.51 3609.10 5 2 10 50 1
F(x) graafik, Parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikjaotuse F(x) graafik ja hüpoteetilise normaaljaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik kooskõlas punktiga 5. 8 8. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi ja/või 2 -testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikjaotus, võttes olulisuse nivooks =0,05 st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks Dkr = 0,265. Tabel 4: xi-1 xi ni ni' ni-ni' (ni-ni')2 (ni-ni')2/ni' 0 15 9 7,37 1,63 2,65 0,29 15 30 5 6,37 -1,37 1,88 0,38 30 45 5 6,37 -1,37 1,88 0,38 45 60 8 6,37 1,63 2,66 0,33
7.3 Hüpoteetilise normaaljaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik kooskõlas punktiga 5. 8. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi ja testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a=0 ja b=100 ristkülikjaotus, võttes olulisuse nivooks =0,05, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,265. ; Osa B. Dispersioonanalüüs 9. Jagada korrastamata algandmete valim viieks võrdse mahuga osaks võttes gruppideks valimi arvud järjekorranumbriga 1-12;13-24;25-36;37-39;49-60. Kontrollida nii moodustatud gruppide keskväärtuste homogeensushüpoteesi h0=1=2=3=4=5 kasutades dispersioonanalüüsi metoodikat (ANOVA-test) ja võttes olulisuse nivooks =0,05 Sgen=Pj-((/pq) p=5; q=12 p=5; q=12 Sfac=(Rj2/q)-((Rj)2/pq) Sjääk=Sgen- Sfac fac=Sfac/(p-1)
histogrammi graafik. Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,17 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0,17<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Moodustada valimist kolm alamvalimit/osa, igaüks mahuga neli arvu (võttes osaks/rühmaks 1.-4.arvu, 11.-14.arvu ja 21.-24.arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade
histogrammi graafik. Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,17 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0,17<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Moodustada valimist kolm alamvalimit/osa, igaüks mahuga neli arvu (võttes osaks/rühmaks 1.-4.arvu, 11.-14.arvu ja 21.-24.arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade
*leitakse teststatistiku väärtus *järelduste tegemine. Kui leitud statistiku väärtus ei ületa kriitilist kvantiili, siis nullhüpotees võetakse vastu Kolmogoroivi-Smirnovi test kasutab erinevust hüpoteetilise ja empiirilise jaotusfunktsiooni vahel. Nullhüpoteesi kontrolli sammud on järgmised: *moodustatakse valimi variatsioonrida *leitakse empiirilise ja hüpoteetilise jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus DN *leitakse DN kriitiline väärtus Dkr vastavatest tabelitest sõltuvalt valimi mahust N ja valitud olulisuse nivoost alfa. *järelduste tegemine, kui Dn on väiksemvõrdne Dkr siis nullhüpotees võetakse vastu. X2 test on töökindlam ent ei pruugi tagada parimat tulemust. Korrelatsioon on levinuim arvkarakteristik iseloomustamaks kahe sõltuva juhusliku suuruse X ja Y vahelist seost. Korrelasiooni hindamiseks katseandmete järgi on vaja nn paarisvalimit, mis koosneb katse/vaatluse tulemusel saadud paarisvaatlustest.
6.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 Parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 1.2 1 0.8 0.6 Ühtlane jaotus F(X) Empiiriline jaotus Fn(x) 0.4 0.2 0 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes α = 0,10, st test-statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: D N =0 , 1 D N =max |F emp ( x i )−F 0 ( xi )| x Et hüpotees vastu võetaks, peab DN ≤ Dkr 0,1 <0,238 Seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. H 0 : μ 1=μ2=μ3=μ 4=μ 5 8
ühtlane 0.6 0.4 0.2 0 1 2 5 14 18 19 25 27 31 33 37 39 39 45 46 50 56 63 65 71 74 77 83 89 98 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes α = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN =0,14 DN =max|F emp ( x i )−F 0 ( xi )| x Et hüpotees vastu võetaks, peab DN ≤ Dkr, antus arvutustes kehtib võrratus 0,14 < 0,238 ja seega võtan nullhüpoteesi vastu ning põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagan valimi viieks võrde mahuga osaks ( võtan osaks 1.-5.arvu...21.-25. arvu). Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi
histogrammi graafik 4) hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik Kõik graafikud koos: 6. Graafikute koostamine: 1) empiirilise jaotusfunktsiooni graafik. 2) parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollin Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus fikseeritud parameetritega a = 0 ja b = 100 ( = 0,10, Dkr = 0,238). Valemid DN arvutamiseks: DN = max d i di = max i ( di+ , di- ) i di+ = F0 ( xi ) - N (i - 1) di- = F0 ( xi ) - N Jrk nr xi F0 d+i d-i di 1 0 0 0,04 0 0,04
6 0.5 Ühtlane jaotus Empiiriline jaotus F(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -1 4 9 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 99 x 7. Graafilise lahenduse põhjal on suurim erinevus graafikutel punktides x=15 ja x=27, kus vastavalt DN=0,32-0,15=0,17 ja DN=0,44-0,27=0,17. Dkr=0,238 DN < Dkr jaotus on ühtlane 8. H0: 1= 2= 3= 4= 5 = 0,05 r= 1, 2, 3, 4, 5 Ni= 5 k= 5 Rühmelemendi 1 2 3 4 5 järjenumber I rühm 12 6 11 62 21 II 62 7 98 10 1 III 52 27 81 25 94
Kõik jaotustiheduse ja empiirilise esinemissageduse graafikud ühes teljestikus 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN0,2 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0,2<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Moodustada valimist kolm alamvalimit/osa, igaüks mahuga neli arvu (võttes osaks/rühmaks 1.-4.arvu, 11.-14.arvu ja 21.-24.arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade
järelduste tegemine. Kui leitud statistiku väärtus ei ületa kriitilist kvantiili, siis nullhüpotees võetakse vastu Kolmogoroivi-Smirnovi test kasutab erinevust hüpoteetilise ja empiirilise jaotusfunktsiooni vahel. Nullhüpoteesi kontrolli sammud on järgmised: moodustatakse valimi variatsioonrida leitakse empiirilise ja hüpoteetilise jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus DN leitakse DN kriitiline väärtus Dkr vastavatest tabelitest sõltuvalt valimi mahust N ja valitud olulisuse nivoost järelduste tegemine, kui Dn on väiksemvõrdne Dkr siis nullhüpotees võetakse vastu. X2 test on töökindlam ent ei pruugi tagada parimat tulemust. 3. RAKENDUSSTATISTIKA PÕHIVALDKONNAD Korrelatsioon on levinuim arvkarakteristik iseloomustamaks kahe sõltuva juhusliku suuruse X ja Y vahelist seost. Korrelasiooni hindamiseks katseandmete järgi on vaja nn paarisvalimit, mis koosneb
Empiiriline ja ühtlane jaotusfunktsioon 1 0.8 Empiiriline jaotus 0.6 Ühtlane jaotus 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 (võttes a = 0.10, st testi statistiku Dn kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0.238). i Xi F0(Xi) di+ di- di 1 2 0,02 0,02 0,02 0,02 2 4 0,04 0,04 0,00 0,04 3 7 0,07 0,05 0,01 0,05 4 8 0,08 0,08 0,04 0,08 5 9 0,09 0,11 0,07 0,11 6 13 0,13 0,11 0,07 0,11 7 18 0,18 0,10 0,06 0,10 8 24 0,24 0,08 0,04 0,08
histogrammi graafik. Kõik ühes graafik . Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku D N kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: (graafikult, aga ka arvutades) Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0,250,238 ja seega lükatakse hüpotees tagasi, üldkogumi jaotuseks pole ühtlane jaotus. 8. Kontrollida nii moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H0: µ1=µ2=µ3=µ4=µ5 (kasutades dispersioonanalüüsi metoodikat ja võttes olulisuse nivooks a = 0.05).
5 100 7 2,9250 1,7423 5 0,00319 0,00287 0,01 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega (a = 0, b = 100) ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238 Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,1 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0,1<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. jrk Xi f(emp) f(ühtl) D 1 9 0,04 0,09 0,05 2 15 0,08 0,15 0,07 3 18 0,12 0,18 0,06 4 19 0,16 0,19 0,03
b. Ühtlase jaotusfunktsiooni graafik parameetritega a=0 ja b=100 Empiiriline jaotusfunktsioon on teoreetilise jaotusfunktsiooni nihutamata ja mõjus hinnang. See on trepina kasvav funktsioon, astme kõrgus on . 7. Kontrollin Kolmogorovi- Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a=0, b=100 ühtlane jaotus (eelmisel joonisel punasega). (=0,10; seega testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238) DN on empiirilise ja hüpoteetilise jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus, st. jrk xi di 1 0 0 0,04 0,00 0,04 2 5 0,05 0,03 0,01 0,03 3 10 0,1 0,02 0,02 0,02 4 12 0,12 0,04 0,00 0,04
Kõik ühel graafikul 6. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,1 DN=max[Femp(Xi) F0(Xi)] Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0,1<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagada valim viieks vordse mahuga osaks (vottes osaks/ruhmaks 1.5.arvu, 6.10.arvu, ..
b. Ühtlase jaotusfunktsiooni graafik parameetritega a=0 ja b=100 Empiiriline jaotusfunktsioon on teoreetilise jaotusfunktsiooni nihutamata ja mõjus hinnang. See on trepina kasvav funktsioon, astme kõrgus on . 7. Küsimus Kontrollida Kolmogorovi- Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a=0, b=100 ühtlane jaotus (eelmisel joonisel punasega). (=0,10; seega testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238) DN on empiirilise ja hüpoteetilise jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus, st. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,13 Et hüpotees vastu võetaks, peab DNDkr, siin on 0,13<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Küsimus Jagada valim viieks võrdse mahuga osaks (võttes osaks/rühmaks 1.-5.arvu, 6.-10.arvu, ... , 21.-25.arvu).
2 0 0 1-14. 14-28 28-42 42-56 56-70 70-84 84-99 8. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi ja 2 -testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a=0 ja b=100 ristkülikjaotus, võttes olulisuse nivooks =0,05, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr=0,265 di+ di- di 0.006667 0.01 0.01 0.026667 0.043333 0.043333 0.02 0.036667 0.036667 0.013333 0.03 0.03 0.006667 0.023333 0.023333 0.02 0.036667 0.036667 0.013333 0.03 0.03 0.046667 0.063333 0.063333 0.04 0.056667 0.056667 0.063333 0.08 0.08 0.056667 0.073333 0.073333 0.06 0.076667 0.076667 0.043333 0.06 0.06 0.096667 0
75 χ^2emp > χ^2kr, järelikult H0 ei kehti, ei ole tegemist normaaljaotusega, kehtib H1 Ül. 8 Kolmogorovi-Smirnovi ja χ^2 testi abil kontroll 8.1 Kolmogorovi-Smirnovi test a* = 6.881287966 b* = 96.218712034 Teoreetiline tihedusfn f(x) = 0.0111935173 Dkr = 0.265 λkr (0,05) = 1.358 λ = Dn√n , kus Dn = max |Femp(x) - Fteor(x)| 0.1753170461 8.2 χ^2 test χ^2kr(α, k) = χ^2kr (0,05; 7) = 14.07 χ^2emp = Σ(ni-ni')^2/n'i = 58.7501 Tõenäosus: 76.67%
südamikus on ainult mõni ühik väiksem, kui pinnal. Joonis näitab, et legeerterase korral, mis on kaks korda suurem kui süsinikterasest, on detailis kõvadus südamikus on 42 HRC, õhemas süsinikterases aga ainult 27 HRC. Läbikarastuvuse kvantitatiivseks hindamiseks kasutatakse suurus, mida nimetatakse kriitiliseks diameetriks (critical diameter) Dkr s.o. läbimõõt, mille korral antud karastuskeskkonnas detail karastub läbini. Joonisel on toodud eriläbimõõduga teimikute karastusügavus nende karastamisel vees või õlis. Karastatud ja karastamata tsoonide jaotus teimikutes näitab, et igal karastuskeskkonnal on oma maksimaalne ristlõige, mis karastub tervikuna, kusjuures Dkr vees on suurem, kui Dkr õlis, sest vesi jahutab intensiivsem. Läbikarastuvus on tähtis terase näitaja
6 ühtlane Empiiriline 0.4 0.2 0 5 10 15 20 25 7. Kontrollida Kolmogorovi- Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus fikseeritud parameetritega a=0, b=100 (võttes α=0,10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238) DN on empiirilise ja hüpoteetilise jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus, st. −¿ +¿ , d ¿i | −¿= F 0 ( x(i) )−
annaabi.ee 
